場の量子論が数学的パズルを解き明かす

先月、 カレン・フォークトマン & マイケル・ボリンスキー 証拠を掲載しました グラフのモジュライ空間と呼ばれる、これまでアクセスできなかった数学的世界の中に数学的構造がトラック一杯にあること 最初に説明 1980の中で

「これは非常に難しい問題です。 ジョージア工科大学の数学者であるダン・マーガリットは、次のように述べています。

Vogtmann と Borinsky は、ワーウィック大学の数学者である Vogtmann が何十年も自分自身に問いかけてきた疑問から始めました。 ペアはその後、物理学の言語で問題を再考し、場の量子論の手法を使用して結果を導き出しました。

この証明は、特定の構造がモジュライ空間に存在することを示していますが、それらの構造が何であるかを明示的に明らかにしていません。 その意味で、彼らの新しい結果は、カメラというよりも金属探知機に似ています。完全には説明できなくても、何か興味深いものが隠されていることを警告します。

グラフのモジュライ空間は、装飾が追加された数学的形状と考えることができます。 図形の任意の点に立つと、頭上にグラフが浮かんでいるのがわかります。これは、エッジで接続された点または頂点の集まりです。 モジュライ空間のさまざまな場所で、グラフが変化し、エッジが縮小または拡大し、場合によっては完全に消えます。 これらの特徴のために、スイス連邦工科大学チューリッヒ校の数理物理学者であるボリンスキーは、モジュライ空間を「グラフの大きな海」と表現しています。

グラフの「ランク」は、グラフが持つループの数です。 グラフのランクごとにモジュライ空間が存在します。 この空間のサイズは急速に大きくなります — グラフの辺の長さを固定すると、ランク 2 の 15 つのグラフ、ランク 3 の 111、ランク 4 の 2,314,204,852、ランク 10 の XNUMX のグラフがあります。モジュライ空間では、これらの長さは次のようになります。変化し、さらに複雑になります。

特定のランクのグラフのモジュライ空間の形状は、グラフ間の関係によって決まります。 空間を歩き回ると、近くのグラフが類似し、スムーズに相互に変化するはずです。 しかし、これらの関係は複雑で、モジュライ空間の XNUMX つの壁が互いに通過する領域など、モジュライ空間に数学的に不安定な特徴が残ります。

数学者は、コホモロジー クラスと呼ばれるオブジェクトを使用して、空間または形状の構造を調べることができます。これは、空間がどのように組み合わされているかを明らかにするのに役立ちます。 たとえば、数学者の好きな形の XNUMX つであるドーナツを考えてみましょう。 ドーナツでは、コホモロジー クラスは単純なループです。

ドーナツの表面にいくつかの異なる種類のループを描くことができます。ループ 1 はドーナツの中央の穴を囲んでいます。 2本の糸を穴に通します。 XNUMX 番目の「些細な」ループはドーナツ側にあります。

ただし、すべてのコホモロジー クラスが同じように作成されるわけではありません。 ドーナツの外側にあるループ (XNUMX 番目のループのように) は、別のループとの交差を避けるために、いつでもスライドしたり縮んだりできます。 これにより、「自明な」コホモロジー クラスになります。

しかし、ループ 1 と 2 は、ドーナツの構造についてより多くを語っています。 違いを数学的に識別するには、交差点を使用できます、とマルガリットは説明しました。 ループ 1 と 2 はドーナツの表面を滑ることができますが、無理に表面から離さないようにしない限り、常に互いに交差します。 これらの XNUMX つのループには交差せずにはいられないパートナーが付属しているため、それらは「非自明な」コホモロジー クラスです。

ドーナツとは異なり、数学者は絵を描いただけではグラフのモジュライ空間上のコホモロジー クラスを見つけることができません。 コペンハーゲン大学の数学者であるナタリー・ウォール氏は、これほど膨大な数のグラフがあるため、モジュライ空間を扱うのは難しいと述べています。 「すぐに、コンピューターはもう役に立たなくなりました」と彼女は言いました。 実際、奇数次元の非自明なコホモロジー クラスは XNUMX つだけです。 明示的に計算された (11 次元で)、一握りの偶数次元と一緒に。

Vogtmann と Borinsky が証明したことは、特定のランクのグラフのモジュライ空間内に膨大な数のコホモロジー クラスが存在するということです。 「私たちはたくさんあることを知っており、XNUMXつを知っています」とウォールは言い、事態を「ばかげている」と呼びました。

ボリンスキーとフォークトマンは、コホモロジー クラスを直接扱う代わりに、オイラー標数と呼ばれる数値を研究しました。 この数は、モジュライ空間の測定のタイプを提供します。 オイラー標数を変更せずに特定の方法でモジュライ空間を変更して、コホモロジー クラス自体よりもオイラー標数にアクセスしやすくすることができます。 それがボリンスキーとフォークトマンがしたことです。 グラフのモジュライ空間を直接扱う代わりに、彼らは「スパイン」、つまり本質的に空間全体の骨格を研究しました。 スパインは、モジュライ空間自体と同じオイラー特性を持ち、操作が簡単です。 スパインのオイラー標数を計算することは、グラフのペアの大規模なコレクションを数えることになりました。

ボリンスキーの洞察は、量子粒子が相互作用する方法を表すグラフであるファインマン図を数える手法を使用することでした。 物理学者が、たとえば、電子と陽電子の衝突で XNUMX つの光子が生成される確率を計算したい場合、次のようにする必要があります。 すべての可能な相互作用の合計 それがその結果につながる。 これは、多くのファインマン ダイアグラムを平均化することを意味し、巧妙なカウン​​ト戦略を動機付けます。

「この種の問題は、一種のおもちゃの場の量子論の宇宙として定式化できることに気付きました」とボリンスキーは説明しました。

ボリンスキーは、このグラフが単純なバージョンの宇宙の物理システムを表していると想像しました。この宇宙には、さまざまな仮定の中で、XNUMX 種類の粒子しか存在しないという想定がありました。 ボリンスキーとフォークトマンが正しい数を得るには、場の量子論のフレームワークを調整する必要がありました。 たとえば、場の量子論では、互いに鏡像である XNUMX つのグラフは区別できない、とボリンスキー氏は述べています。 ファインマン ダイアグラムを合計するための式には、これらのグラフが過大評価されないようにするための要素が含まれています。 しかし、オイラー標数の計算に関しては、これらのグラフは異なるものと見なされます。 「グラフの対称性でちょっとしたゲームをする必要があります」とボリンスキーは言いました。

物理学者からのプログラミングの助けを借りて ヨス・フェルマセレン、 ボリンスキーとフォークトマンはついにこの困難を克服しました。 XNUMX 月の論文で、ランクのグラフのモジュライ空間のオイラー標数が n のように非常にネガティブになります。 n 大きくなります。 これは、各モジュライ空間内で発見される非常に多くの非自明なコホモロジー クラスがあることを意味します。

Borinsky と Vogtmann の論文には、これらのコホモロジー クラスに関するさらなるヒントは含まれていませんが、それらを見つけようとする研究者にとって心強い結果です。 コホモロジークラスのマーガリットは次のように述べています。 そして、私たちがそれを見つけるたびに、それはこの美しいものです.