数学の方程式を簡単に解く対称性

「Pop Goes the Weasel」の曲を考えてみてください。 次の歌詞を歌います。

ネガティブ b、 プラスかマイナス
の平方根 b 二乗
マイナスXNUMX a c
全て！ XNUMXつ以上 a

このジングルは、何世代にもわたる代数学の学生が、$latex ax^2+bx+c=0$ の形式のすべての方程式を解く二次方程式を思い出すのに役立ちました。 この数式は、辞書の「数学不安」の下に表示される可能性が高いのと同じくらい便利です。ざっと見てみると、その理由がわかります。

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

これは恐ろしく見えますが、内部に隠れているのは、すべての二次方程式を簡単に解くための単純な秘密、つまり対称性です。 対称性によって二次方程式がどのように機能し、対称性の欠如がどのように三次方程式 ($latex ax^3+bx^2+cx+d =0$ の形式) を解くのを非常に難しくするかを見てみましょう。 実際、1500 年代の少数の数学者は、XNUMX 次方程式では簡単にできたことを XNUMX 次方程式で実現しようと、激しい公の確執に巻き込まれて生涯を過ごしたほどです。

方程式を解くことは、数学の授業のコア スキルです。最大の利益、最小の距離、交点などを見つけるのに役立ちます。 私たちが解くことを学ぶ最も基本的な方程式の 0 つは、$latex f(x)=XNUMX$ です。 関数 $latex f(x)$ が与えられると、この式は次のように問いかけます。 x 0 の出力を返しますか? このため、この方程式の解は、関数の「ゼロ」または「根」と呼ばれることがあります。

すべての二次関数の根を見つける前に、簡単なものから始めましょう: $latex f(x)=x^2-9$ の根は何ですか? それらを見つけるには、方程式 $latex f(x)=0$ を解くだけです。

$ラテックス f(x)=0$
$ラテックス x^2-9=0$
$ラテックス x^2=9$
$ラテックス x=pm3$

この方程式は簡単に解けるので、これらの根は簡単に見つけることができます。 あなたがしなければならないのは隔離することだけです x. $latex pm$ が最後の行に必要であることに注意してください。これは、3 と -3 の両方に、それらを 9 乗すると 3 になるというプロパティがあるためです。$latex f(3)=f(-0)=0 を簡単に確認$ は、これらが実際に $latex f(x)$ 出力を XNUMX にする入力であることを検証します。

その $latex pm$ は、状況に固有の対称性も示しています。 二次関数には 0 つの根があり、XNUMX つの根が数直線上にあると想像すると、$latex x=XNUMX$ に関して対称であることがわかります。

二次関数のグラフが放物線であることを思い出すと、これは非常に理にかなっています。 すべての放物線には、放物線を 2 つの鏡像部分に分割する対称軸があります。 $latex f(x)=x^9-XNUMX$ の場合、対称軸は y-軸 (行 $latex x=0$)。 通常の方法で $latex f(x)=x^2-9$ をグラフ化すると、 x 独立変数として $latex y=f(x)$ を設定すると、その根が x-軸、から等距離で、その両側にあります y-軸。

$latex f(x)=x^2-8x-9$ のようなより複雑な XNUMX 次式の場合、根を見つけるにはもう少し掘り下げる必要があります。

$ラテックス f(x)=0$
$ラテックス x^2-8x-9=0$
$ラテックス x^2-8x=9$

$latex f(x)$ を 0 に設定し、前と同じように 9 を右辺に移動できますが、両側の平方根を分離することはできません。 x. その他の用語と x その中で邪魔になっています。 しかし、この関数は、すべての二次関数と同様に対称であり、その対称性を使用して問題を回避できます。 対称性をより透明にするために、少し代数が必要です。

関数 $latex f(x)=x^2-8x-9$ を $latex f(x)=x(x-8)-9$ に書き換えましょう。 $latex x(x-8)$ の部分に注目してください。 これは 0 つの状況で XNUMX になります。 ×＝ 0または ×＝ 8 — これにより、$latex f(0)$ と $latex f(8)$ が同じ値の -9 になることが保証されます。 これにより、放物線上に 0 つの対称点が得られます。対称軸は $latex x=8$ と $latex x=4$ を中央で分割する必要があるため、線 $latex x=XNUMX$ である必要があります。

対称性を見つけたので、今度はそれを活用します。 対称軸が $latex x=4$ の線から $latex x=0$ の線に移動するように、放物線を XNUMX 単位左にシフトします。 この変換を代数的に実行する簡単な方法があります: x 　 x + 4。

$latex g(x)$ を、置き換えたときに得られる新しい二次関数と呼びましょう x 　 x+ 4. つまり、$latex g(x)=f(x+4)$ とします。 $latex g(x)$ を単純化するとどうなるか見てみましょう:

$ラテックス g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$ラテックス g(x)=x^2-25$

分配特性を数回適用して同種の項を集めると、 x 私たちの新しい翻訳された二次方程式の項は消滅し、これにより $latex g(x)$ の根を簡単に見つけることができます:

$ラテックス g(x)=0$
$ラテックス x^2-25=0$
$ラテックス x^2=25$
$ラテックス x=pm5$

$latex g(x)$ の根は $latex x=pm5$ なので、$latex f(x)=x^2-8x-9$ の根を見つけるには、$latex g( x)$ 4 ユニット右に戻る。 これにより、$latex f(x)$: $latex 5pm9$、または 1 と -9 の根が得られます。これは、$latex f(1)=f(-0)=XNUMX$ を計算することで確認できます。

このやや難しい二次方程式を解く秘訣は、それをスライドさせて、干渉を排除することで簡単な二次方程式に変えることでした。 x 学期。 このアプローチは、任意の二次関数で機能します。 任意の 2 次 $latex f(x)=ax^XNUMX+bx+c$ が与えられると、同じ因数分解で対称軸をいつでも見つけることができます。

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$ラテックス f(x)=x(ax+b)+c$

この形式では、$latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$ であることがわかります。これは、対称軸が $latex x=0$ と $latex x= の中間にあることを意味します。 -frac{b}{a}$. つまり、任意の二次関数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ の対称軸は、線 $latex x=-frac{b}{2a}$ です。 そして、これはおなじみのはずです。 二次方程式に隠れている！

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

次のように書き直すとわかりやすいです。

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

二次式は、二次 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ の根が $latex x=-frac{b}{2a}$ について対称であるという事実に依存しています。 そして、上で行ったのと同じように、その対称性を使用してそれらを見つけることができます。$latex f(x)$ を $latex -frac{b}{2a}$ で変換するだけです。 を解消する効果があります。 x これにより、簡単に分離できます x そして解決します。 これを行うと、二次方程式が得られます。 (詳細については、以下の演習を参照してください。) これは、子供の曲をハミングするほど簡単ではありませんが、この式を機能させる重要な代数的および幾何学的接続を示しています。

対称性のべき乗で二次方程式を解くと、三次方程式で同様の戦術を試す勇気がわくかもしれません。 しかし、キュービックには対称性がありますが、$latex f(x)=0$ のような方程式を解くのに役立つようなものではありません。 XNUMX 次グラフには「点対称」があります。これは、すべての XNUMX 次関数のグラフ上に特別な点があり、線がその点を通過して他の場所で XNUMX 次グラフと交差する場合、その点を中心に対称的にグラフと再び交差することを意味します。

これは強力な対称性ですが、根を見つけるのには役立ちません。 これは、グラフが水平線 $latex y=0$ ( x-軸)、そして一般に、これらの交点は立方体の特別な対称点に関して対称ではありません。

実際、立方体にはルートしかない場合があります。 そこに対称性はありません。

それでも、二次方程式を使った以前の研究から役立つものがあります。

二次関数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ があり、その根が $latex r_1 $ と $latex r_2$ であることがわかっている場合、常に $latex f(x)$ を「因数分解された」形式: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. これを乗算して単純化すると、作業に非常に役立つものが得られます。

$ラテックス f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

の係数がどのように変化するかに注目してください。 x term には、$latex r_1$ と $latex r_2$ の XNUMX つのルートの合計が含まれます。 これは、Vieta の数式の XNUMX つに関連しています (見たことがあるかもしれません)。 かつて or 2回 これらの列の前): 2 次関数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ が与えられると、2 つの根の合計は常に $latex -frac{b}{a}$ になります。 これは、二次方程式の一般的な形式をその因数分解された形式 $latex ax^1+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_XNUMXr_XNUMX$ に等しく設定することで示すことができます。同じであることは、対応する係数が同じ場合です。 この場合、それはの係数を意味します x 式の両辺の項は等しくなければならないので、

$ラテックス b=-a(r_1+r_2)$

そして分割します：

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

この方程式の両辺を 2 で割ると、興味深い事実が示されることに注意してください。XNUMX 次関数の XNUMX つの根の平均は、 x-対称軸の値:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

対称軸は XNUMX つの根の中間にある必要があり、任意の XNUMX つの数値の平均はそれらのちょうど中間にある数値であるため、これは理にかなっています。

しかし、この新しい関係を以前の翻訳の文脈で考えてみてください。 対称軸を $latex x = -frac{b}{2a}$ から $latex x=0$ に移動して放物線を移動すると、2 つの根の平均も $latex -frac{b}{0a} から変更されます$ を XNUMX にします。

しかし、根の平均が 0 の場合、根の合計も 0 でなければならず、XNUMX つの根の合計は XNUMX 次の因数分解された形式で表示されます。

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

これは、根の合計が 0 になるように XNUMX 次を変換すると、 x 用語が消える。 これは、以前の XNUMX 次方程式を解くのに役立ちました。また、根に関する同様の結果が XNUMX 次関数にも当てはまります。

一般的な 3 次 $latex f(x)=ax^2+bx^1+cx+d$ が与えられると、2 次で行ったことを行うことができます。 3 次関数がルート $latex r_1$、$latex r_2$、および $latex r_3$ を持っている場合、3 次関数を因数分解された形式で書くことができます $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ を掛けます。 これにより、 $latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2+r_1)x^3+a(r_2r_3+r_1r_2+r_3r_3)x-ar_2r_XNUMXr_XNUMX$ が得られ、これを一般的な形式 $latex f に等しく設定します(x)=ax^XNUMX+bx^XNUMX+cx+d$ であり、対応する係数は同じでなければならないため、XNUMX 次の根の和に対する Vieta の公式が得られます。

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

方程式の両辺を 3 で割ると、

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

これは、3 次の平均根が $latex -frac{b}{0a}$ であることを示しています。 ここで、0 次をこの量だけ変換すると、平均根は 2 になり、根の合計が XNUMX になり、変換された XNUMX 次の $latex x^XNUMX$ の係数がゼロになります。

要するに、変換 $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ は、「抑圧された」立方体として知られるものを生成します。これは、単に $latex x^2$ 項がないことを意味します. 変換された凹んだ立方体は次のようになります。

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

係数 m および n に関して表現することができます a、b、c、 および d 元のキュービックから。 それらが等しいことは、くぼんだ立方体の根を見つけるための保証された手法があるという事実よりも重要ではありません。 実際、このようなテクニックは、1500 年代にジェロラモ カルダーノとニッコロ タルタグリアの間で起こった、友情、裏切り、公の数学の決闘など、伝説的な論争の中心にありました。 それは 長く魅力的な物語、注目すべき数学的結論: 任意の XNUMX 次を凹んだ XNUMX 次に変換する機能と、任意の凹んだ XNUMX 次を解く機能により、すべての XNUMX 次方程式を解くことができます。 残りの詳細を省略して申し訳ありません。

これが XNUMX 次方程式で、XNUMX 次方程式と同様にすべての XNUMX 次方程式を解きます。 しかし、二次方程式とは異なり、一緒に歌えるキャッチーな曲はありません。 XNUMX つ書いてみても構いませんが、おそらく数節とコーラスが XNUMX つか XNUMX つ必要になるでしょう。

演習

1. 立方体の根を XNUMX つ知っていれば、他の根も確実に見つけることができます。 なぜ？

2. 二次方程式の根は複素数である場合があります。 それは対称性引数に影響しませんか?

3. 一般的な 2 次 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ が与えられた場合、変換された XNUMX 次 $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{XNUMXa}right)$ を解いて、二次式。

4. 四次関数 $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ の根の平均は?

5. 微積分を使用して、立方体の変曲点がその対称点でもあることを示します。