Quantum Field Theory Pries Open 수학 퍼즐

지난 달, 카렌 보그트만 과 마이클 보린스키 증거를 게시 Vogtmann과 공동 작업자 먼저 설명 1980 중반.

“매우 어려운 문제입니다. 그들이 할 수 있었다는 것이 놀랍습니다.”라고 Georgia Institute of Technology의 수학자 Dan Margalit가 말했습니다.

Vogtmann과 Borinsky는 University of Warwick의 수학자인 Vogtmann이 수십 년 동안 자신에게 묻고 있던 질문으로 시작했습니다. 그런 다음 쌍은 양자장 이론의 기술을 사용하여 결과를 도출하는 물리학 언어로 문제를 재구성했습니다.

증명은 특정 구조가 모듈리 공간에 존재한다는 것을 보여주지만 그러한 구조가 무엇인지 명시적으로 밝히지는 않습니다. 그런 식으로 그들의 새로운 결과는 카메라라기보다 금속 탐지기에 가깝습니다. 완전히 설명할 수는 없지만 흥미로운 것이 숨겨져 있음을 경고합니다.

그래프의 계수 공간을 장식이 추가된 수학적 모양으로 생각할 수 있습니다. 도형의 아무 지점에 서 있으면 가장자리로 연결된 점 또는 정점 모음인 그래프가 떠 있는 것을 볼 수 있습니다. 모듈리 공간의 다른 위치에서 그래프가 변경되고 가장자리가 줄어들거나 커지며 때로는 완전히 사라집니다. 이러한 특징 때문에 취리히 스위스연방공대(Swiss Federal Institute of Technology Zurich)의 수학 물리학자인 보린스키(Borinsky)는 모듈러스 공간을 "큰 그래프의 바다"라고 표현합니다.

그래프의 "순위"는 그래프가 가지고 있는 루프의 수입니다. 그래프의 각 랭크마다 계수 공간이 존재합니다. 이 공간의 크기는 빠르게 커집니다. 그래프의 가장자리 길이를 고정하면 순위 2의 그래프가 세 개, 순위 15의 그래프가 3개, 순위 111의 그래프가 4개, 순위 2,314,204,852의 그래프가 10개입니다. 계수 공간에서 이러한 길이는 더욱 복잡해집니다.

주어진 순위의 그래프에 대한 계수 공간의 모양은 그래프 간의 관계에 의해 결정됩니다. 공간을 돌아다닐 때 근처의 그래프는 비슷해야 하고 서로 부드럽게 모핑되어야 합니다. 그러나 이러한 관계는 복잡하여 계수 공간의 세 벽이 서로를 통과하는 영역과 같이 수학적으로 불안정한 기능을 가진 계수 공간을 남깁니다.

수학자들은 코호몰로지 클래스라는 개체를 사용하여 공간이나 모양의 구조를 연구할 수 있으며, 이는 공간이 어떻게 구성되어 있는지 밝히는 데 도움이 될 수 있습니다. 예를 들어 수학자들이 가장 좋아하는 모양 중 하나인 도넛을 생각해 보십시오. 도넛에서 cohomology 클래스는 단순히 루프입니다.

도넛 표면에 여러 종류의 고리를 그릴 수 있습니다. 고리 1은 도넛의 중앙 구멍을 둘러싸고 있습니다. 구멍을 통해 2개의 스레드를 반복합니다. 세 번째 "사소한" 루프는 도넛의 측면에 있습니다.

그러나 모든 코호몰로지 클래스가 동일하게 생성되는 것은 아닙니다. 세 번째 루프와 같이 도넛 외부에 있는 루프는 다른 루프와 교차하지 않도록 항상 미끄러지거나 줄어들 수 있습니다. 그것은 그것을 "사소한" cohomology 클래스로 만듭니다.

그러나 루프 1과 2는 도넛의 구조에 대해 훨씬 더 많은 것을 말해줍니다. 구멍 때문에 존재할 뿐입니다. 차이점을 수학적으로 식별하기 위해 교차점을 사용할 수 있다고 Margalit은 설명했습니다. 루프 1과 2는 도넛 표면에서 미끄러질 수 있지만 표면에서 강제로 분리하지 않는 한 항상 서로 교차합니다. 이 두 루프는 교차할 수밖에 없는 파트너와 함께 제공되기 때문에 "사소하지 않은" 코호몰로지 클래스입니다.

도넛과 달리 수학자들은 그림을 그리는 것만으로는 그래프의 계수 공간에서 코호몰로지 클래스를 찾을 수 없습니다. 코펜하겐 대학의 수학자 Nathalie Wahl은 이렇게 많은 수의 그래프로 인해 계수 공간을 다루기가 어렵다고 말했습니다. "매우 빨리, 컴퓨터는 더 이상 도울 수 없습니다."라고 그녀는 말했습니다. 사실, 오직 하나의 홀수 차원의 사소하지 않은 코호몰로지 클래스만이 명시적으로 계산 (11 차원에서) 소수의 짝수와 함께.

보그트만과 보린스키가 증명한 것은 주어진 순위 그래프의 계수 공간 내에 존재하는 엄청난 수의 코호몰로지 클래스가 있다는 것입니다. 비록 우리가 찾을 수는 없지만 말입니다. Wahl은 상황을 "어리석다"고 말하면서 "우리는 수많은 것이 있다는 것을 알고 있고 하나를 알고 있습니다."라고 말했습니다.

코호몰로지 수업으로 직접 작업하는 대신 Borinsky와 Vogtmann은 오일러 특성이라는 숫자를 연구했습니다. 이 숫자는 계수 공간의 측정 유형을 제공합니다. 오일러 특성을 변경하지 않고 특정 방식으로 모듈 공간을 수정할 수 있으므로 오일러 특성이 코호몰로지 클래스 자체보다 더 쉽게 접근할 수 있습니다. 보린스키와 보그트만이 그렇게 했습니다. 그래프의 계수 공간으로 직접 작업하는 대신, 그들은 본질적으로 전체 공간의 골격인 "척추"를 연구했습니다. 척추는 모듈리 공간 자체와 동일한 오일러 특성을 가지며 작업하기가 더 쉽습니다. 척추에 대한 오일러 특성을 계산하는 것은 많은 양의 그래프 쌍을 세는 것으로 귀결되었습니다.

보린스키의 통찰력은 양자 입자가 상호 작용하는 방식을 나타내는 그래프인 파인만 다이어그램을 세는 기술을 사용하는 것이었습니다. 예를 들어, 물리학자들이 전자와 양전자 사이의 충돌이 두 개의 광자를 생성할 가능성을 계산하고자 할 때, 그들은 다음을 수행해야 합니다. 가능한 모든 상호 작용에 대한 합계 그 결과로 이어지는 것. 이는 많은 Feynman 다이어그램에 대한 평균을 구하고 영리한 계산 전략에 동기를 부여하는 것을 의미합니다.

보린스키는 "이런 종류의 문제를 일종의 장난감 양자장 이론 우주로 공식화할 수 있다는 것을 깨달았다"고 설명했다.

Borinsky는 그래프가 우주의 단순한 버전에서 물리적 시스템을 나타내는 것으로 상상했습니다. 우주에는 다른 가정 중에서도 단 한 가지 유형의 입자만 있습니다. 양자 장 이론 프레임워크는 올바른 개수를 얻기 위해 Borinsky와 Vogtmann에 대해 약간의 조정이 필요했습니다. 예를 들어, 양자장 이론에서 서로 거울상인 두 개의 그래프는 구별할 수 없다고 Borinsky는 말했습니다. Feynman 다이어그램을 합산하는 공식에는 이러한 그래프가 과도하게 계산되지 않도록 하는 요소가 포함됩니다. 그러나 오일러 특성을 계산할 때 이러한 그래프는 다른 것으로 간주됩니다. Borinsky는 "우리는 그래프의 대칭성을 가지고 약간의 게임을 해야 합니다."라고 말했습니다.

물리학자의 프로그래밍 도움으로 조스 베르마세렌, Borinsky와 Vogtmann은 마침내 이 어려움을 극복했습니다. XNUMX월 논문에서 그들은 순위 그래프의 계수 공간의 오일러 특성을 증명했습니다. n 다음과 같이 크게 부정적이 됩니다. n 더 커집니다. 이는 각 모듈리 공간 내에서 밝혀져야 할 사소하지 않은 코호몰로지 클래스가 많다는 것을 의미합니다.

Borinsky와 Vogtmann의 논문에는 이러한 코호몰로지 클래스에 대한 추가 힌트가 포함되어 있지 않지만, 이를 찾으려는 연구자에게 고무적인 결과이며 아마도 사냥의 스릴을 더할 것입니다. Cohomology 수업의 Margalit은 다음과 같이 말했습니다. “우리가 알고 있는 이들은 바로 이러한 보석입니다. 그리고 우리가 하나를 찾을 때마다, 그것은 이 아름다운 것입니다.”