수학 방정식을 쉽게 푸는 대칭

"Pop Goes the Weasel"의 곡을 생각해보세요. 이제 다음 가사를 부릅니다.

부정적인 b, 더하기 또는 빼기
의 제곱근 b 제곱 한
마이너스 XNUMX a c
모두! 둘 이상 a

이 징글은 여러 세대의 대수학 학생들이 $latex ax^2+bx+c=0$ 형식의 모든 방정식을 푸는 이차 공식을 기억하는 데 도움이 되었습니다. 이 공식은 "수학 불안"이라는 사전에 나올 가능성이 높기 때문에 유용하며, 간략히 살펴보면 그 이유를 알 수 있습니다.

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

보기에는 무섭게 보이지만 내부에 숨어 있는 것은 모든 이차방정식을 쉽게 풀 수 있게 해주는 간단한 비밀입니다. 바로 대칭입니다. 대칭이 어떻게 3차 방정식을 작동시키는지, 대칭이 부족하면 2차 방정식($latex ax^0+bx^1500+cx+d =XNUMX$ 형식)을 훨씬 더 어렵게 만드는 방법을 살펴보겠습니다. 사실 XNUMX년대의 몇몇 수학자들은 XNUMX차 방정식에서 쉽게 할 수 있는 일을 XNUMX차 방정식에서 하기 위해 경쟁하는 격렬한 공개적 불화에 휘말려 그들의 삶을 보냈습니다.

방정식을 푸는 것은 수학 수업의 핵심 기술입니다. 최대 이익, 최소 거리, 교차점 등을 찾는 데 도움이 됩니다. 우리가 푸는 방법을 배우는 가장 기본적인 방정식 중 하나는 $latex f(x)=0$입니다. 함수 $latex f(x)$가 주어지면 이 방정식은 다음과 같이 묻습니다. x 0의 출력을 반환합니까? 이러한 이유로 이 방정식의 해는 때때로 함수의 "XNUMX" 또는 "근"이라고 합니다.

모든 이차 함수의 근을 찾기 전에 쉬운 것부터 시작하겠습니다: $latex f(x)=x^2-9$의 근은 무엇입니까? 그것들을 찾으려면 $latex f(x)=0$ 방정식을 풀면 됩니다.

$라텍스 f(x)=0$
$라텍스 x^2-9=0$
$라텍스 x^2=9$
$라텍스 x=pm3$

이 방정식은 풀기 쉽기 때문에 이러한 근을 쉽게 찾을 수 있습니다. 당신이 할 일은 격리하는 것뿐입니다 x. 마지막 줄에 $latex pm$이 필요합니다. 3과 -3 모두 제곱하면 9가 된다는 속성이 있기 때문입니다. $latex f(3)=f(-3)=0인지 빠르게 확인합니다. $는 이것이 실제로 $latex f(x)$ 출력을 0으로 만드는 입력인지 확인합니다.

그 $latex pm$도 상황에 내재된 대칭을 가리킵니다. 0차 함수는 근이 두 개이고 수직선에 두 근이 있다고 상상하면 $latex x=XNUMX$에 대해 대칭임을 알 수 있습니다.

그리고 이차 함수의 그래프가 포물선이라는 것을 기억한다면 이것은 많은 의미가 있습니다. 모든 포물선에는 포물선을 두 개의 거울상 조각으로 분할하는 대칭축이 있습니다. $latex f(x)=x^2-9$의 경우 대칭축은 y-axis ($latex x=0$ 라인). 일반적인 방법으로 $latex f(x)=x^2-9$ 그래프를 그릴 때 다음을 처리하여 x 독립 변수로 $latex y=f(x)$를 설정하면 x-축, 양쪽에서 등거리 y-중심선.

$latex f(x)=x^2-8x-9$와 같은 더 복잡한 XNUMX차 방정식의 경우 근을 찾는 데 더 많은 시간이 걸립니다.

$라텍스 f(x)=0$
$라텍스 x^2-8x-9=0$
$라텍스 x^2-8x=9$

$latex f(x)$를 0으로 설정하고 이전과 같이 9를 오른쪽으로 이동할 수 있지만 양쪽의 제곱근을 취하여 분리할 수는 없습니다. x. 다른 용어는 x 그것은 방해가됩니다. 그러나 이 함수는 모든 XNUMX차 방정식과 마찬가지로 대칭이며, 이 대칭을 사용하여 문제를 탐색할 수 있습니다. 대칭을 더 투명하게 만들기 위해 약간의 대수학이 필요합니다.

$latex f(x)=x^2-8x-9$ 함수를 $latex f(x)=x(x-8)-9$로 다시 작성해 봅시다. 이제 $latex x(x-8)$ 부분에 집중하십시오. 이것은 두 가지 상황에서 0이 됩니다. 엑스 = 0 아니면 엑스 = 8 — 이는 $latex f(0)$ 및 $latex f(8)$가 -9라는 동일한 값을 갖도록 보장합니다. 이것은 포물선에 두 개의 대칭점을 제공하고 대칭축이 $latex x=0$과 $latex x=8$을 가운데로 분할해야 하므로 $latex x=4$ 선이어야 합니다.

대칭을 찾았으니 이제 이를 활용할 차례입니다. 대칭축이 $latex x=4$ 선에서 $latex x=0$ 선으로 이동하도록 포물선을 왼쪽으로 XNUMX단위 이동할 것입니다. 이 변환을 대수적으로 수행하는 간단한 방법이 있습니다. x 과 x + 4.

$latex g(x)$를 교체할 때 얻게 되는 새로운 이차 함수라고 하겠습니다. x 과 x+ 4. 즉, $latex g(x)=f(x+4)$라고 합니다. $latex g(x)$를 단순화하면 어떤 일이 일어나는지 지켜보십시오.

$라텍스 g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$라텍스 g(x)=x^2-25$

분배법칙을 몇 번 적용하고 비슷한 항을 모으면, x 새로 번역된 XNUMX차 방정식의 항이 사라지고 $latex g(x)$의 근을 쉽게 찾을 수 있습니다.

$라텍스 g(x)=0$
$라텍스 x^2-25=0$
$라텍스 x^2=25$
$라텍스 x=pm5$

$latex g(x)$의 근은 $latex x=pm5$이므로 $latex f(x)=x^2-8x-9$의 근을 찾으려면 $latex g( x)$ 오른쪽으로 네 단위 뒤로. 이것은 $latex f(x)$의 근을 제공합니다: $latex 4pm5$ 또는 9와 -1, $latex f(9)=f(-1)=0$를 계산하여 확인할 수 있습니다.

이 조금 더 어려운 이차방정식을 푸는 비결은 이차방정식을 밀어서 간섭하는 것을 제거하여 더 쉬운 이차방정식으로 바꾸는 것이었습니다. x 용어. 이 접근 방식은 모든 이차 함수에서 작동합니다. 임의의 2차 $latex f(x)=ax^XNUMX+bx+c$가 주어지면 항상 동일한 인수분해를 통해 대칭축을 찾을 수 있습니다.

$라텍스 f(x)=ax^2+bx+c$
$라텍스 f(x)=x(ax+b)+c$

이 양식에서 $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$를 볼 수 있습니다. 이는 대칭축이 $latex x=0$와 $latex x=의 중간에 있음을 의미합니다. -frac{b}{a}$. 즉, 이차 함수 $latex f(x)=ax^2+bx+c$의 대칭축은 $latex x=-frac{b}{2a}$ 선입니다. 그리고 이것은 친숙해 보일 것입니다. 이차 공식에 숨어 있습니다!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

다음과 같이 다시 작성하면 더 쉽게 확인할 수 있습니다.

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

2차 공식은 2차 $latex f(x)=ax^2+bx+c$의 근이 $latex x=-frac{b}{XNUMXa}$에 대해 대칭이라는 사실에 의존합니다. 위에서 한 것처럼 대칭을 사용하여 찾을 수 있습니다. $latex f(x)$를 $latex -frac{b}{XNUMXa}$로 번역하기만 하면 됩니다. 을 제거하는 효과가 있습니다. x 용어를 사용하면 쉽게 분리할 수 있습니다. x 해결합니다. 이렇게 하면 이차 공식을 얻을 수 있습니다. (자세한 내용은 아래 연습 문제를 참조하십시오.) 이것은 어린이 곡을 흥얼거리는 것만큼 쉽지는 않지만 이 공식이 작동하도록 만드는 중요한 대수 및 기하학적 연결을 보여줍니다.

대칭의 힘으로 이차방정식을 풀면 우리는 삼차방정식에 대해 비슷한 전술을 시도할 용기를 얻을 수 있습니다. 그러나 입방체에는 대칭이 있지만 $latex f(x)=0$와 같은 방정식을 푸는 데 도움이 되는 종류는 아닙니다. XNUMX차 그래프에는 "점 대칭"이 있습니다. 즉, 모든 XNUMX차 함수의 그래프에는 선이 해당 점을 통과하고 다른 곳에서 XNUMX차와 교차하는 경우 해당 점에 대해 대칭적으로 그래프와 다시 교차하는 특별한 점이 있습니다.

이것은 강력한 대칭 유형이지만 근을 찾는 데 도움이 되지 않습니다. 함수의 근은 그래프가 수평선 $latex y=0$( x-축) 그리고 일반적으로 이러한 교차점은 입방체의 특수 대칭점에 대해 대칭이 아닙니다.

사실, 입방체는 루트만 가질 수 있습니다. 거기에는 대칭이 없습니다.

그러나 도움이 될 수 있는 XNUMX차 방정식에 대한 이전 작업의 무언가가 있습니다.

2차 함수 $latex f(x)=ax^1+bx+c$가 있고 그 근이 $latex r_2 $와 $latex r_1$인 것을 알고 있으면 항상 $latex f(x)$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다. "분해된" 형식: $latex f(x)=a(x-r_2)(x-r_XNUMX)$. 이제 이것을 곱하고 단순화하면 작업하기에 매우 유용한 것을 얻을 수 있습니다.

$라텍스 f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

계수가 어떻게 x 용어는 두 근 $latex r_1$ 및 $latex r_2$의 합계를 포함합니다. 이것은 Vieta의 공식 중 하나와 관련이 있습니다. 일단 or 두번 2차 함수 $latex f(x)=ax^2+bx+c$가 주어지면 두 근의 합은 항상 $latex -frac{b}{a}$가 됩니다. 이차 방정식의 일반 형식을 인수분해된 형식 $latex ax^2+bx+c=ax^1-a(r_2+r_1)+ar_2r_XNUMX$와 동일하게 설정하고 두 개의 다항식이 실제로 동일하다는 것은 해당 계수가 동일한 경우입니다. 이 경우, 그것은 다음의 계수를 의미합니다. x 방정식의 양쪽 항이 같아야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$라텍스 b=-a(r_1+r_2)$

다음으로 나눕니다.

$라텍스 r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

이 방정식의 양쪽을 2로 나누면 흥미로운 사실이 나타납니다. 이차 함수의 두 근의 평균은 다음과 같습니다. x-대칭축의 값:

$$ 분수{r_1+r_2}{2} = -분수{b}{2a}$$

이것은 대칭축이 두 근의 중앙에 있어야 하고 두 숫자의 평균은 정확히 중간에 있는 숫자이기 때문에 의미가 있습니다.

그러나 이전 번역의 맥락에서 이 새로운 관계를 고려하십시오. $latex x = -frac{b}{2a}$에서 $latex x=0$로 대칭축을 이동하여 포물선을 변환하면 $latex -frac{b}{2a}에서 두 근의 평균도 변경됩니다. $에서 0.

그러나 근의 평균이 0이면 근의 합도 0이어야 하며 두 근의 합은 XNUMX차 방정식의 인수분해된 형태로 나타납니다.

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

즉, 근의 합이 0이 되도록 이차를 변환하면 x 용어 소멸. 이것은 우리가 이전의 XNUMX차 방정식을 푸는 데 도움이 되었으며 근에 대한 유사한 결과가 XNUMX차 함수에 대해 유지됩니다.

일반적인 3차 $latex f(x)=ax^2+bx^1+cx+d$가 주어지면 우리는 2차 방정식으로 했던 것을 할 수 있습니다. 3차에 근 $latex r_1$, $latex r_2$ 및 $latex r_3$가 있는 경우 인수분해된 형식으로 3차 함수를 작성할 수 있습니다. $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$를 곱합니다. 이것은 우리에게 $latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2+r_1)x^3+a(r_2r_3+r_1r_2+r_3r_3)x-ar_2r_XNUMXr_XNUMX$를 제공하고 일반 형식 $latex f와 동일하게 설정합니다. (x)=ax^XNUMX+bx^XNUMX+cx+d$, 해당 계수가 동일해야 하므로 삼차의 근의 합에 대한 Vieta의 공식으로 끝납니다.

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

방정식의 양변을 3으로 나누어 다음을 얻을 수 있음에 유의하십시오.

$$ 분수{r_1+r_2+r_3}{3} = -분수{b}{3a}$$

이것은 삼차의 평균 근이 $latex -frac{b}{3a}$임을 알려줍니다. 이제 우리가 이 양만큼 세제곱을 변환하면 평균 근은 0이 될 것이며, 이는 근의 합을 0으로 만들고 변환된 삼차에서 $latex x^2$의 계수를 사라지게 할 것입니다.

요컨대, $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ 변환은 "우울한" 삼차라고 알려진 것을 생성합니다. 이는 단순히 $latex x^2$ 항이 없음을 의미합니다. . 변형되고 눌린 입방체는 다음과 같습니다.

$라텍스 g(x)=ax^3+mx+n$

계수 m 와 n 로 표현할 수 있다. 에이, 비, 씨, 와 d 원래 큐빅에서. 그것들이 같다는 것은 눌려진 삼차의 근을 찾기 위한 보장된 기술이 있다는 사실보다 덜 중요합니다. 사실, 그러한 기술은 1500년대에 Gerolamo Cardano와 Niccolò Tartaglia 사이에 우정, 배신 및 공개 수학 결투가 관련된 전설적인 논쟁의 중심에 있었습니다. 그것은 길고 매혹적인 이야기, 놀라운 수학적 결론: 어떤 눌린 XNUMX차를 풀 수 있는 능력과 함께 어떤 XNUMX차를 눌린 XNUMX차로 바꾸는 능력은 우리가 모든 XNUMX차 방정식을 풀 수 있게 합니다. 보여주기가 더 쉽기 때문에 나머지 세부 사항을 생략해도 괜찮습니다.

이것은 이차 공식과 마찬가지로 모든 삼차 방정식을 푸는 삼차 공식입니다. 그러나 XNUMX차 공식과 달리 따라 부를 수 있는 귀에 쏙 들어오는 곡이 없습니다. 당신은 하나를 쓰려고 시도하는 것을 환영하지만 아마도 몇 개의 구절과 한두 개의 후렴구가 필요할 것입니다.

운동

1. 삼차의 한 근을 알면 확실히 다른 근을 찾을 수 있습니다. 왜?

2. 이차 방정식의 근은 복소수일 수 있습니다. 대칭 인수에 영향을 미치지 않습니까?

3. 일반 2차 $latex f(x)=ax^2+bx+c$가 주어지면 변환된 XNUMX차 $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{XNUMXa}right)$를 풀어 이차 공식.

4. 4차 함수 $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx^XNUMX+dx+e$의 근의 평균은 얼마입니까?

5. 미적분을 사용하여 입방체의 변곡점이 대칭점임을 보여줍니다.