Introductie
Eerder dit jaar besloot een drietal wiskundigen om van citroenen limonade te maken - en dat is uiteindelijk gelukt grote vooruitgang over een probleem waar wiskundigen al eeuwen over nadenken.
De drie waren net bezig met het afronden van een project en dachten na over de volgende stappen toen eind maart twee van hen... Levent Alpöge van Harvard University en Ari Schnidman van de Hebreeuwse Universiteit van Jeruzalem – covid-19 opgelopen, afzonderlijk maar bijna gelijktijdig. Veel mensen zouden onder zulke omstandigheden een pauze nemen, maar het derde teamlid, Manjul Bhargava van Princeton University, stelde het tegenovergestelde voor. Het opvoeren van hun wekelijkse Zoom-bijeenkomsten tot drie of vier keer per week, suggereerde hij, zou zijn zieke medewerkers kunnen afleiden van hun symptomen. Quarantaine, zo besloten de drie, zou een gelegenheid kunnen zijn om ongestoord na te denken.
Tijdens deze bijeenkomsten dachten ze na over een van de oudste vragen in de getaltheorie: hoeveel gehele getallen kunnen worden geschreven als de som van twee derdemachtsbreuken, of, zoals wiskundigen ze noemen, rationele getallen? Het getal 6 kan bijvoorbeeld worden geschreven als (17/21)3 + (37/21)3, terwijl 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Wiskundigen vermoeden al tientallen jaren dat de helft van alle gehele getallen op deze manier kan worden geschreven. Net als bij oneven en even getallen, lijkt deze eigenschap hele getallen in twee gelijke kampen te verdelen: degenen die de som zijn van twee kubussen, en degenen die dat niet zijn.
Maar niemand was in staat om dit te bewijzen, of zelfs maar een grens te geven aan het aandeel van gehele getallen dat in elk kamp valt. Voor zover wiskundigen wisten, zou het kamp dat bestaat uit sommen van rationale kubussen verwaarloosbaar klein kunnen zijn - of het zou bijna elk geheel getal kunnen bevatten. Wiskundigen hebben berekend dat, als iets dat het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer wordt genoemd, waar is (zoals algemeen wordt aangenomen), ongeveer 59% van de getallen tot 10 miljoen de som is van twee rationele kubussen. Maar dergelijke gegevens kunnen op zijn best hints geven over hoe de rest van de getallenlijn zich zou kunnen gedragen.
In tegenstelling tot de oneven en even nummers, "zijn deze twee kampen subtiel", zei Barry Mazuur van Harvard. Er is geen test om te bepalen welke nummers in welk kamp horen waarvan bekend is dat ze voor alle nummers werken. Wiskundigen hebben tests bedacht die sterke kandidaten zijn, maar voorlopig heeft elk een nadeel: ofwel kunnen wiskundigen niet bewijzen dat de test altijd tot een conclusie zal komen, ofwel kunnen ze niet bewijzen dat de conclusie juist is.
De moeilijkheid om sommen van kubussen te begrijpen, en kubische vergelijkingen in het algemeen, is "een terugkerende gêne voor getaltheoretici", zei Bhargava. Hij won de Fields-medaille in 2014 deels voor zijn werk aan rationele oplossingen tot de kubieke vergelijkingen die bekend staan als elliptische krommen, waarvan de som van twee kubussen een speciaal geval is.
Nu in een krant Alpöge, Bhargava en Shnidman, die eind oktober online zijn gezet, hebben aangetoond dat ten minste 2/21 (ongeveer 9.5%) en maximaal 5/6 (ongeveer 83%) van gehele getallen kunnen worden geschreven als de som van twee tot de derde macht deelbare breuken.
De kwestie van de som van de kubussen is niet alleen een curiositeit. Elliptische krommen hebben een zeer ingewikkelde structuur die hen naar het centrum van veel gebieden van zowel pure als toegepaste wiskunde heeft gedreven, waardoor cryptografen met name krachtige cijfers kunnen bouwen. Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, de centrale vraag in het veld, heeft een premie van $ 1 miljoen op zijn kop als een van de Millennium Prize Problems van het Clay Mathematics Institute.
Het nieuwe werk bouwt voort op een reeks tools die Bhargava de afgelopen 20 jaar samen met medewerkers heeft ontwikkeld om verken het hele gezin van elliptische krommen. Het begrijpen van sommen van twee kubussen betekent het analyseren van een veel kleinere familie, en "hoe kleiner de familie, hoe moeilijker het probleem", zei Peter Sarnak van het Institute for Advanced Study in Princeton.
Deze specifieke familie leek 'ver buiten bereik', voegde Sarnak eraan toe. "Ik zou hebben gezegd: 'Dat lijkt te moeilijk, veel te moeilijk.'"
Een faseovergang
In tegenstelling tot sommen van tot de derde macht deelbare breuken, die overvloedig lijken te zijn, zijn bijna geen gehele getallen de som van twee kwadratische breuken. Aan het begin van de 1600e eeuw hadden de wiskundigen Albert Girard en Pierre de Fermat een eenvoudige test bedacht om te bepalen welke gehele getallen de som zijn van twee kwadraten: ontbind je getal in priemgetallen en controleer vervolgens de exponent van elk priemgetal met een rest van 3 als je het deelt door 4. Als die exponenten allemaal even zijn, is je getal de som van twee kwadraten; anders is het niet. Bijvoorbeeld 490 factoren in 21 × 51 × 72. De enige van deze factoren die een rest van 3 heeft als je deelt door 4 is 7, en 7 heeft een even exponent. Daarom is 490 de som van twee kwadraten (voor de nieuwsgierigen, het is gelijk aan 72 + 212).
De overgrote meerderheid van de getallen slaagt niet voor de test van de even exponent. Als je willekeurig een geheel getal kiest, is de kans dat het de som is van twee kwadraten in wezen nul. Wiskundigen geloven dat hetzelfde geldt voor sommen van twee breuken verheven tot de vierde macht, of de vijfde macht, of elke macht hoger dan drie. Pas met de som van kubussen is er ineens overvloed.
Wiskundigen zijn eraan gewend dat kubieke vergelijkingen zich anders gedragen dan die van alle andere machten. Onder vergelijkingen die zijn gemaakt van twee variabelen (zoals de som-van-twee-kubussen-vergelijkingen), worden de vergelijkingen waarvan de hoogste exponent 1 of 2 is, meestal goed begrepen. Meestal hebben ze geen rationele oplossingen of oneindig veel, en het is over het algemeen eenvoudig om vertel welke. Ondertussen hebben de vergelijkingen waarvan de hoogste exponent 4 of hoger is over het algemeen slechts een eindige beregening van rationele oplossingen.
Derdegraadsvergelijkingen daarentegen kunnen eindig veel oplossingen hebben, oneindig veel of helemaal geen. Deze vergelijkingen vertegenwoordigen een soort faseovergang tussen de exponenten onder de 3 en die erboven, waarbij fenomenen worden weergegeven die in deze andere instellingen nooit worden gezien. "Kubussen zijn in elk opzicht anders", zei Mazur.
In tegenstelling tot vergelijkingen met lagere exponenten, zijn kubussen verrassend moeilijk te doorgronden. Er is geen overkoepelende methode voor het vinden of tellen van de rationele oplossingen voor derdemachten waarvan is bewezen dat ze altijd werken.
"Zelfs met alle rekenkracht die we hebben, als je me een elliptische curve met zeer grote coëfficiënten geeft, weet ik niet noodzakelijkerwijs hoeveel rationele oplossingen het heeft," zei Wei Ho, een voormalige leerling van Bhargava momenteel gastprofessor aan het Institute for Advanced Study.
In het som-van-twee-kubussen-probleem kunnen de betrokken breuken enorm zijn: het getal 2,803 is bijvoorbeeld de som van twee tot de derde macht gevormde breuken waarvan de noemers elk 40 cijfers hebben. En als we eenmaal naar getallen in de miljoenen kijken, zei Bhargava, zouden veel van de breuken "meer cijfers bevatten dan op al het papier in deze wereld past."
Matrices in kaart brengen
Omdat elliptische krommen zo onbeheersbaar zijn, zoeken getaltheoretici naar manieren om ze te koppelen aan meer handelbare objecten. In april, terwijl Alpöge en Shnidman tegen Covid vochten, bouwden zij en Bhargava voort op werk dat laatstgenoemde eerder met Ho had gedaan en ontdekten dat wanneer een som-van-kubussen-vergelijking rationele oplossingen heeft, er een manier is om ten minste één speciale 2 te bouwen. × 2 × 2 × 2 matrix - een vierdimensionale analoog van de bekendere tweedimensionale matrix. "We begonnen met het opstellen van een plan om deze 2 × 2 × 2 × 2-matrices te tellen", schreven de drie.
Om dit te doen, putte het team uit twee klassieke onderwerpen die elk meer dan een eeuw zijn bestudeerd. Een daarvan is de "geometrie van getallen", die betrekking heeft op het tellen van roosterpunten binnen verschillende geometrische vormen. Dit onderwerp heeft de afgelopen 20 jaar een renaissance beleefd op het gebied van elliptische krommen, grotendeels dankzij het werk van Bhargava en medewerkers.
De andere techniek, bekend als de cirkelmethode, is ontstaan in het werk van de legendarische Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan en zijn oude medewerker GH Hardy in het begin van de 20e eeuw. "Dit is de eerste grote toepassing van het combineren van de cirkelmethode met deze geometrie-van-getallen technieken," zei Ho. "Dat deel is erg cool."
Met behulp van deze methoden kon het trio aantonen dat voor ten minste 1/6 van alle gehele getallen geen 2 × 2 × 2 × 2-matrix bestaat. Dat betekent dat voor die getallen de som-van-kubussen-vergelijking geen rationele oplossingen heeft. Dus niet meer dan 5/6 van de gehele getallen, of ongeveer 83%, kan de som zijn van de derdemachtsdelen van twee breuken.
In omgekeerde richting ontdekten ze dat ten minste 5/12 van alle gehele getallen precies één overeenkomende matrix heeft. Het is verleidelijk om te concluderen dat deze getallen de som zijn van twee kubussen, maar dat volgt niet automatisch. Elk getal dat de som is van twee kubussen heeft een matrix, maar dat betekent niet noodzakelijk dat het omgekeerde waar is: dat elk getal met een matrix de som is van twee kubussen.
Alpöge, Bhargava en Shnidman hadden wat elliptische curve-onderzoekers een omgekeerde stelling noemen nodig - iets dat informatie over een derdegraadsvergelijking neemt en gebruikt om rationele oplossingen te construeren. Omgekeerde stellingen vormen een bloeiend deelgebied van de theorie van elliptische krommen, dus wendde het trio zich tot twee van de deskundige beoefenaars van het deelgebied: Asha Burungale van de Universiteit van Texas, Austin en van Princeton. Burungale en Skinner konden aantonen dat als een geheel getal een enkele bijbehorende matrix heeft, dat getal, tenminste een deel van de tijd, de som moet zijn van twee rationale derde machten. Hun stelling, die in wezen een relevant deel van het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer bewijst, verschijnt in het artikel als een bijlage van drie pagina's, die Sarnak op zichzelf als wonderbaarlijk omschrijft.
Burungale en Skinner bewezen hun stelling niet voor elk geheel getal met precies één matrix - ze moesten een technische voorwaarde opleggen die de 5/12 deelverzameling terugbracht tot 2/21, of ongeveer 9.5%, van alle gehele getallen. Maar Bhargava is optimistisch dat Burungale en Skinner, of andere onderzoekers in hun gebied, binnenkort de rest van de 5/12 (ongeveer 41% in totaal) zullen bereiken. "Hun technieken worden gestaag sterker", zei Bhargava.
Om het volledige vermoeden te bewijzen - dat precies de helft van alle gehele getallen de som is van twee kubussen - moet uiteindelijk de reeks getallen worden aangepakt die meer dan één bijbehorende matrix hebben. Deze set, die Bhargava 'erg wazig' noemt, bevat zowel getallen die de som zijn van twee kubussen als getallen die dat niet zijn. Om met dergelijke aantallen om te gaan, zijn volledig nieuwe ideeën nodig, zei hij.
Voor nu zijn onderzoekers blij dat ze eindelijk de vraag hebben opgelost voor een aanzienlijk deel van de gehele getallen, en ze staan te popelen om de technieken in het bewijs verder te onderzoeken. "Het is een van die mooie dingen: je kunt het resultaat heel gemakkelijk uitleggen, maar de tools zijn heel, heel erg geavanceerd in de getaltheorie", zei Sarnak.
