Kwantumveldentheorie wrikt wiskundige puzzel open

Vorige maand, Karen Vogtman en Michaël Borinski een bewijs geplaatst dat er een vrachtwagen vol wiskundige structuren bestaat binnen een tot nu toe ontoegankelijke wiskundige wereld die de moduliruimte van grafieken wordt genoemd, die Vogtmann en een medewerker eerst beschreven in het midden van 1980s.

“Dat is een supermoeilijk probleem. Het is verbazingwekkend dat ze daartoe in staat zijn”, zegt Dan Margalit, een wiskundige aan het Georgia Institute of Technology.

Vogtmann en Borinsky begonnen met vragen die Vogtmann, een wiskundige aan de Universiteit van Warwick, zichzelf al tientallen jaren stelde. Het tweetal heeft de kwestie vervolgens opnieuw bedacht in de taal van de natuurkunde, met behulp van technieken uit de kwantumveldentheorie om tot hun resultaat te komen.

Het bewijs toont aan dat bepaalde structuren bestaan ​​in de moduliruimte, maar onthult niet expliciet wat die structuren zijn. Op die manier lijkt hun nieuwe resultaat meer op een metaaldetector dan op een camera: het waarschuwt hen dat er iets interessants verborgen is, ook al kunnen ze het niet volledig beschrijven.

Je kunt de moduliruimten van grafieken beschouwen als wiskundige vormen met toegevoegde decoratie. Als je op een willekeurig punt op de vorm staat, zie je een grafiek boven je zweven: een verzameling punten of hoekpunten, verbonden door randen. Op verschillende locaties in een moduliruimte veranderen de grafieken, waarbij de randen kleiner of groter worden en soms helemaal verdwijnen. Vanwege deze kenmerken beschrijft Borinsky, een wiskundig natuurkundige aan het Zwitserse Federale Instituut voor Technologie in Zürich, moduliruimten als ‘een grote zee van grafieken’.

De “rang” van een grafiek is het aantal lussen dat deze heeft; voor elke reeks grafieken bestaat er een moduliruimte. De omvang van deze ruimte groeit snel. Als je de lengtes van de randen van de grafiek vastlegt, zijn er drie grafieken van rang 2, 15 van rang 3, 111 van rang 4 en 2,314,204,852 van rang 10. Op de moduliruimte kunnen deze lengtes variëren, wat nog meer complexiteit met zich meebrengt.

De vorm van de moduliruimte voor grafieken van een bepaalde rang wordt bepaald door relaties tussen de grafieken. Terwijl u door de ruimte loopt, moeten grafieken in de buurt vergelijkbaar zijn en soepel in elkaar overgaan. Maar deze relaties zijn gecompliceerd, waardoor de moduliruimte wiskundig verontrustende kenmerken vertoont, zoals gebieden waar drie wanden van de moduliruimte door elkaar heen gaan.

Wiskundigen kunnen de structuur van een ruimte of vorm bestuderen met behulp van objecten die cohomologieklassen worden genoemd en die kunnen helpen onthullen hoe een ruimte in elkaar zit. Neem bijvoorbeeld een van de favoriete vormen van wiskundigen: de donut. Op de donut zijn cohomologielessen eenvoudigweg lussen.

Je kunt verschillende soorten lussen op het oppervlak van de donut tekenen: Lus 1 omringt het centrale gat van de donut; lus 2 draden door het gat; de derde “triviale” lus bevindt zich aan de kant van de donut.

Niet alle cohomologieklassen zijn echter gelijk. Een lus die aan de buitenkant van de donut zit, zoals de derde lus, kan altijd verschuiven of krimpen om te voorkomen dat hij een andere lus kruist. Dat maakt het tot een “triviale” cohomologieklasse.

Maar de lussen 1 en 2 zeggen veel meer over de structuur van de donut: ze bestaan ​​alleen vanwege het gat. Om het verschil wiskundig te onderscheiden, kun je kruispunten gebruiken, legde Margalit uit. Lussen 1 en 2 kunnen over het oppervlak van de donut glijden, maar tenzij je ze dwingt om helemaal los te komen van het oppervlak, zullen ze elkaar altijd kruisen. Omdat deze twee lussen gepaard gaan met partners die ze niet anders kunnen dan kruisen, zijn het 'niet-triviale' cohomologieklassen.

Anders dan bij een donut kunnen wiskundigen geen cohomologieklassen vinden in de moduliruimten van grafieken door simpelweg een afbeelding te tekenen. Met zulke enorme aantallen grafieken zijn moduliruimten moeilijk onder de knie te krijgen, zegt Nathalie Wahl, een wiskundige aan de Universiteit van Kopenhagen. “Heel snel kan de computer niet meer helpen,” zei ze. Er is inderdaad maar één oneven-dimensionale, niet-triviale cohomologieklasse geweest expliciet berekend (in 11 dimensies), samen met een handvol even dimensies.

Wat Vogtmann en Borinsky bewezen is dat er enorme aantallen cohomologieklassen zijn die binnen de moduliruimte van grafieken van een bepaalde rangorde liggen – ook al kunnen we ze niet vinden. ‘We weten dat het er heel veel zijn, en we weten er één’, zei Wahl, die de stand van zaken ‘belachelijk’ noemde.

In plaats van rechtstreeks met cohomologielessen te werken, bestudeerden Borinsky en Vogtmann een getal dat de Euler-karakteristiek wordt genoemd. Dit getal geeft een type meting van de moduliruimte weer. Je kunt de moduliruimte op bepaalde manieren wijzigen zonder de Euler-karakteristiek te veranderen, waardoor de Euler-karakteristiek toegankelijker wordt dan de cohomologieklassen zelf. En dat is wat Borinsky en Vogtmann deden. In plaats van rechtstreeks met de moduliruimte van grafieken te werken, bestudeerden ze de ‘ruggengraat’ – in wezen een skelet van de totale ruimte. De wervelkolom heeft dezelfde Euler-karakteristiek als de moduliruimte zelf en is gemakkelijker om mee te werken. Het berekenen van de Euler-karakteristiek op de wervelkolom kwam neer op het tellen van een grote verzameling grafiekenparen.

Borinsky's inzicht was om technieken te gebruiken voor het tellen van Feynman-diagrammen, dit zijn grafieken die de manieren weergeven waarop kwantumdeeltjes met elkaar omgaan. Wanneer natuurkundigen bijvoorbeeld de kansen willen berekenen dat een botsing tussen een elektron en een positron twee fotonen zal produceren, moeten ze som van alle mogelijke interacties die tot dat resultaat leiden. Dat betekent het middelen van veel Feynman-diagrammen, wat slimme telstrategieën motiveert.

“Ik besefte dat je dit soort problemen kunt formuleren als een soort speelgoed-kwantumveldtheorie-universum”, legt Borinsky uit.

Borinsky stelde zich voor dat de grafieken fysieke systemen vertegenwoordigden in een eenvoudige versie van het universum, waarin er, naast andere aannames, slechts één type deeltje is. Het raamwerk van de kwantumveldentheorie had enige aanpassing nodig voordat Borinsky en Vogtmann de juiste telling konden krijgen. In de kwantumveldentheorie zijn bijvoorbeeld twee grafieken die spiegelbeelden van elkaar zijn niet van elkaar te onderscheiden, zei Borinsky. Formules voor het optellen van Feynman-diagrammen bevatten factoren die ervoor zorgen dat deze grafieken niet overgeteld worden. Maar als het gaat om het berekenen van de Euler-karakteristiek, worden die grafieken als verschillend beschouwd. “We moeten een spelletje spelen met de symmetrieën van de grafieken,” zei Borinsky.

Met wat programmeerhulp van de natuurkundige Jos Vermaseren, Borinsky en Vogtmann hebben deze moeilijkheid eindelijk overwonnen. In hun artikel van januari bewezen ze dat de Euler karakteristiek is voor de moduliruimte van ranggrafieken n wordt enorm negatief als n Wordt groter. Dit impliceert dat er binnen elke moduliruimte heel veel niet-triviale cohomologieklassen te ontdekken zijn.

Hoewel het artikel van Borinsky en Vogtmann geen verdere aanwijzingen bevat over deze cohomologieklassen, is het een bemoedigend resultaat voor onderzoekers die ze proberen te vinden – en misschien draagt ​​het bij aan de spanning van de jacht. Margalit van de cohomologielessen zei: “Deze waarvan we weten dat het slechts deze edelstenen zijn. En elke keer als we er een vinden, is het iets moois.”