De symmetrie die het oplossen van wiskundige vergelijkingen gemakkelijk maakt

Denk aan het deuntje van ‘Pop Goes the Weasel’. Zing nu deze tekst:

Negatief b, plus of min
De vierkantswortel van b kwadraat
min vier a c
Alle! over twee a

Deze jingle heeft generaties algebrastudenten geholpen zich de kwadratische formule te herinneren die elke vergelijking van de vorm $latex ax^2+bx+c=0$ oplost. De formule is net zo nuttig als hij waarschijnlijk in het woordenboek zal verschijnen onder 'wiskundeangst', en een snelle blik laat zien waarom:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Hoe intimiderend dit ook lijkt, binnenin schuilt een eenvoudig geheim dat het oplossen van elke kwadratische vergelijking eenvoudig maakt: symmetrie. Laten we eens kijken hoe symmetrie ervoor zorgt dat de kwadratische formule werkt en hoe een gebrek aan symmetrie het oplossen van kubieke vergelijkingen (van de vorm $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) veel, veel moeilijker maakt. Zoveel moeilijker zelfs, dat een paar wiskundigen in de 1500e eeuw hun leven lang verwikkeld waren in bittere publieke vetes, strijdend om voor kubieke eenheden te doen wat zo gemakkelijk voor kwadratica gedaan kon worden.

Het oplossen van vergelijkingen is een kernvaardigheid in de wiskundeles: het helpt ons maximale winst, minimale afstanden, snijpunten en nog veel meer te vinden. Een van de meest elementaire vergelijkingen die we leren oplossen is $latex f(x)=0$. Gegeven een functie $latex f(x)$, vraagt ​​deze vergelijking: Wat wordt er ingevoerd x een uitvoer van 0 retourneren? Om deze reden worden oplossingen voor deze vergelijking soms de “nullen” of “wortels” van de functie genoemd.

Voordat we de wortels van elke kwadratische functie vinden, beginnen we met een makkelijke: Wat zijn de wortels van $latex f(x)=x^2-9$? Om ze te vinden, hoeft u alleen maar de vergelijking $latex f(x)=0$ op te lossen.

$latexf(x)=0$
$latexx^2-9=0$
$latexx^2=9$
$latexx=pm3$

Deze wortels zijn gemakkelijk te vinden omdat deze vergelijking gemakkelijk op te lossen is. Het enige wat je hoeft te doen is isoleren x. Merk op dat we $latex pm$ nodig hebben in de laatste regel, omdat zowel 3 als -3 de eigenschap hebben dat als je ze kwadrateert, je 9 krijgt. Een snelle controle dat $latex f(3)=f(-3)=0 $ verifieert dat dit inderdaad de invoer is die $latex f(x)$ uitvoer 0 maakt.

Dat $latex pm$ wijst ook op de symmetrie die inherent is aan de situatie. De kwadratische functie heeft twee wortels, en als je je de twee wortels op een getallenlijn voorstelt, zul je zien dat ze symmetrisch zijn rond $latex x=0$.

En als je bedenkt dat de grafiek van een kwadratische functie een parabool is, is dit heel logisch. Elke parabool heeft een symmetrieas die de parabool in twee spiegelbeeldige stukken splitst. In het geval van $latex f(x)=x^2-9$ is de symmetrieas de y-as (de lijn $latex x=0$). Wanneer u $latex f(x)=x^2-9$ op de gebruikelijke manier grafisch maakt, door te behandelen x als de onafhankelijke variabele en instelling $latex y=f(x)$, kun je de wortels ervan zien op de x-as, op gelijke afstand van en aan weerszijden van de y-as.

Voor een ingewikkelder kwadratisch geheel, zoals $latex f(x)=x^2-8x-9$, vergt het vinden van de wortels wat meer graafwerk.

$latexf(x)=0$
$latexx^2-8x-9=0$
$latexx^2-8x=9$

We kunnen $latex f(x)$ gelijk stellen aan 0 en de 9 naar de rechterkant verplaatsen zoals we eerder deden, maar we kunnen niet de wortel van beide zijden nemen om te isoleren x. Die andere term met de x daarin staat het in de weg. Maar deze functie is, zoals elke kwadratische functie, symmetrisch, en we kunnen die symmetrie gebruiken om het probleem te omzeilen. We hebben alleen een beetje algebra nodig om de symmetrie transparanter te maken.

Laten we de functie $latex f(x)=x^2-8x-9$ herschrijven als $latex f(x)=x(x-8)-9$. Concentreer u nu op het $latex x(x-8)$ gedeelte. Dit zal in twee situaties 0 zijn: als x= 0 of zo x= 8 — en dit garandeert dat $latex f(0)$ en $latex f(8)$ dezelfde waarde van -9 zullen aannemen. Dit geeft ons twee symmetrische punten op de parabool, en aangezien de symmetrieas $latex x=0$ en $latex x=8$ in het midden moet splitsen, moet dit de lijn $latex x=4$ zijn.

Nu we de symmetrie hebben gevonden, is het tijd om deze te benutten. We gaan onze parabool vier eenheden naar links verschuiven, zodat de symmetrieas van de lijn $latex x=4$ naar de lijn $latex x=0$ beweegt. Er is een eenvoudige manier om deze vertaling algebraïsch uit te voeren: we vervangen elke x Met x + 4.

Laten we $latex g(x)$ de nieuwe kwadratische functie noemen die we krijgen als we vervangen x Met x+ 4. Met andere woorden: $latex g(x)=f(x+4)$. Kijk wat er gebeurt als we $latex g(x)$ vereenvoudigen:

$latex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$latex g(x)=x^2-25$

Nadat we de distributieve eigenschap een paar keer hebben toegepast en soortgelijke termen hebben verzameld, wordt de x De term van ons nieuw vertaalde kwadratisch verdwijnt, en dit maakt het vinden van de wortels van $latex g(x)$ eenvoudig:

$latexg(x)=0$
$latexx^2-25=0$
$latexx^2=25$
$latexx=pm5$

De wortels van $latex g(x)$ zijn $latex x=pm5$, dus om de wortels van $latex f(x)=x^2-8x-9$ te vinden, verplaatsen we gewoon de wortels van $latex g( x)$ vier eenheden terug naar rechts. Dit geeft ons de wortels van $latex f(x)$: $latex 4pm5$, of 9 en -1, die u kunt verifiëren door $latex f(9)=f(-1)=0$ te berekenen.

Het geheim van het oplossen van deze iets moeilijkere kwadratische vergelijking was om deze om te schuiven en er een gemakkelijkere kwadratische vergelijking van te maken door de storende elementen te elimineren. x termijn. Deze aanpak werkt op elke kwadratische functie. Gegeven een willekeurige kwadratische $latex f(x)=ax^2+bx+c$, kun je altijd de symmetrieas ervan vinden met hetzelfde stukje factoring:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

In dit formulier kun je zien dat $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, wat betekent dat de symmetrieas halverwege $latex x=0$ en $latex x= ligt -frac{b}{a}$. Met andere woorden: de symmetrieas van elke kwadratische functie $latex f(x)=ax^2+bx+c$ is de lijn $latex x=-frac{b}{2a}$. En dit zou er bekend uit moeten zien. Het zit verborgen in de kwadratische formule!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Het is gemakkelijker om te zien als je het als volgt herschrijft:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

De kwadratische formule is gebaseerd op het feit dat de wortels van de kwadratische $latex f(x)=ax^2+bx+c$ symmetrisch zijn rond $latex x=-frac{b}{2a}$. En net zoals we hierboven hebben gedaan, kun je die symmetrie gebruiken om ze te vinden: vertaal $latex f(x)$ gewoon door $latex -frac{b}{2a}$. Dit heeft tot gevolg dat de x termijn, waardoor u deze vervolgens gemakkelijk kunt isoleren x en oplossen. Doe dit en je krijgt de kwadratische formule. (Zie de onderstaande oefeningen voor meer details.) Dit is niet zo eenvoudig als het neuriën van een kinderliedje, maar het demonstreert de belangrijke algebraïsche en geometrische verbanden die ervoor zorgen dat deze formule werkt.

Het oplossen van kwadraten met de kracht van symmetrie zou ons kunnen aanmoedigen een soortgelijke tactiek uit te proberen voor derdegraadsvergelijkingen. Maar hoewel kubieke eenheden symmetrie hebben, is dit niet het soort dat helpt bij het oplossen van vergelijkingen als $latex f(x)=0$. Kubieke grafieken hebben 'puntsymmetrie', wat betekent dat er een speciaal punt op de grafiek van elke kubieke functie is waar, als een lijn door dat punt gaat en de derdegraads kubus ergens anders snijdt, deze de grafiek opnieuw symmetrisch rond dat punt snijdt.

Dit is een sterke vorm van symmetrie, maar het helpt niet bij het vinden van wortels. Dat komt omdat de wortels van een functie voorkomen waar de grafiek de horizontale lijn $latex y=0$ kruist (de x-as), en in het algemeen zijn deze snijpunten niet symmetrisch ten opzichte van het speciale symmetriepunt van de kubus.

In feite kan een derdegraadsdeel alleen maar een wortel hebben. Geen symmetrie daar.

Toch is er iets uit ons eerdere werk met kwadratica dat kan helpen.

Als we een kwadratische functie $latex f(x)=ax^2+bx+c$ hebben en we weten dat de wortels ervan $latex r_1 $ en $latex r_2$ zijn, dan kunnen we altijd $latex f(x)$ schrijven in “gefactoriseerde” vorm: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Als we dit nu vermenigvuldigen en vereenvoudigen, krijgen we iets heel nuttigs om mee te werken.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Merk op hoe de coëfficiënt van de x term omvat de som van de twee wortels $latex r_1$ en $latex r_2$. Dit heeft te maken met een van de formules van Vieta (die je misschien al hebt gezien). eens or twee keer eerder in deze kolommen): Gegeven een kwadratische functie $latex f(x)=ax^2+bx+c$, zal de som van de twee wortels altijd $latex -frac{b}{a}$ zijn. Je kunt dit aantonen door de algemene vorm van de kwadratische vorm gelijk te stellen aan de ontbonden vorm $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ en te observeren dat de enige manier waarop twee polynomen daadwerkelijk kunnen hetzelfde zijn is als hun overeenkomstige coëfficiënten hetzelfde zijn. In dit geval betekent dat de coëfficiënten van de x termen aan beide kanten van de vergelijking moeten gelijk zijn, zodat we kunnen schrijven

$latex b=-a(r_1+r_2)$

en verdeel dan:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Merk op dat het delen van beide zijden van deze vergelijking door 2 een interessant feit aantoont: het gemiddelde van de twee wortels van de kwadratische functie is gelijk aan de x-waarde van de symmetrieas:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Dit is logisch, omdat de symmetrieas zich in het midden van de twee wortels moet bevinden, en het gemiddelde van twee willekeurige getallen het getal precies in het midden ervan is.

Maar beschouw deze nieuwe relatie eens in de context van onze eerdere vertaling. Het vertalen van de parabool door de symmetrieas te verplaatsen van $latex x = -frac{b}{2a}$ naar $latex x=0$ verandert ook het gemiddelde van de twee wortels van $latex -frac{b}{2a} $ naar 0.

Maar als het gemiddelde van de wortels 0 is, dan moet de som van de wortels ook 0 zijn, en de som van de twee wortels verschijnt in de ontbonden vorm van de kwadratische vorm:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Dit betekent dat het vertalen van de kwadratische richting zodat de som van de wortels 0 wordt, ook de x termijn verdwijnen. Dit heeft ons geholpen bij het oplossen van onze eerdere kwadratische vergelijking, en een soortgelijk resultaat over de wortels geldt voor kubieke functies.

Gegeven een algemene kubieke $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, kunnen we doen wat we deden met de kwadratische waarde. Als de derdegraads wortel $latex r_1$, $latex r_2$ en $latex r_3$ heeft, kunnen we de derdegraadsfunctie schrijven in de ontbonden vorm $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ en vermenigvuldig het. Dit geeft ons $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, die we vervolgens gelijk stellen aan de algemene vorm $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, en aangezien de overeenkomstige coëfficiënten hetzelfde moeten zijn, eindigen we met Vieta's formule voor de som van de wortels van een derdegraadsdeel:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Merk op dat we beide zijden van de vergelijking door 3 kunnen delen om dit te verkrijgen

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Dit vertelt ons dat de gemiddelde wortel van de kubieke waarde $latex -frac{b}{3a}$ is. Als we nu de kubieke waarde met deze hoeveelheid vertalen, zal de gemiddelde wortel 0 zijn, wat de som van de wortels gelijk maakt aan 0, wat op zijn beurt de coëfficiënt van $latex x^2$ in onze vertaalde kubieke waarde doet verdwijnen.

Kortom, de transformatie $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ levert wat bekend staat als een “depressieve” kubieke waarde, wat simpelweg betekent dat er geen $latex x^2$ term is . Onze getransformeerde en depressieve kubus zal er als volgt uitzien:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

De coëfficiënten m en n kan worden uitgedrukt in termen van een, b, c, en d van de originele kubus. Waar ze gelijk aan zijn, is minder belangrijk dan het feit dat er gegarandeerde technieken zijn om de wortels van depressieve kubussen te vinden. In feite vormde een dergelijke techniek de kern van een legendarisch dispuut tussen Gerolamo Cardano en Niccolò Tartaglia in de 1500e eeuw, waarbij vriendschap, verraad en openbare wiskundeduels betrokken waren. Het is een lang en boeiend verhaal, met een opmerkelijke wiskundige conclusie: het vermogen om van elke kubieke kubus een depressieve kubus te maken, samen met de mogelijkheid om elke depressieve kubus op te lossen, stelt ons in staat elke derdegraadsvergelijking op te lossen. Je vergeeft me dat ik de rest van de details heb weggelaten, want het is gewoon gemakkelijker om het je te laten zien.

Dit is de derdegraadsformule, die, net als de kwadratische formule, elke derdegraadsvergelijking oplost. Maar in tegenstelling tot de kwadratische formule heeft het geen pakkend deuntje om mee te zingen. Je bent welkom om te proberen er een te schrijven, maar je hebt waarschijnlijk een paar coupletten en een paar refreinen nodig.

Oefeningen

1. Als je één wortel van een derdegraadswortel kent, kun je zeker de andere vinden. Waarom?

2. De wortels van een kwadratisch getal kunnen complexe getallen zijn. Heeft dat geen invloed op het symmetrieargument?

3. Gegeven het algemene kwadratische $latex f(x)=ax^2+bx+c$, los je het getransformeerde kwadratische $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ op om de kwadratische formule.

4. Wat is het gemiddelde van de wortels van de vierdegraadsfunctie $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Gebruik calculus om aan te tonen dat het buigpunt van een kubus ook het symmetriepunt is.