Introduksjon
I desember 1977, en revolusjonær papir stille dukket opp i Journal d'Analyse Mathématique, et spesialtidsskrift for matematikk. Forfatteren, Hillel Furstenberg, hevdet ikke noen spennende – eller til og med nye – resultater. Han hadde rett og slett tilbudt et bevis på et teorem som en annen matematiker, Endre Szemerédi, allerede hadde bevist to år før.
Til tross for det satte Furstenbergs papir et varig avtrykk på matematikken. Hans nye argument inneholdt en kjerne av innsikt med vidtrekkende konsekvenser: Du kunne omformulere problemer som det Szemerédi hadde løst, om sett med heltall, til spørsmål om punkter som beveger seg rundt i rommet.
I årene etter har Furstenbergs teknikker blitt brukt igjen og igjen, og litt etter litt har de blitt justert og forbedret. Tidligere i år ble de overladet, og dukket opp i to nye artikler som avdekker uendelige mønstre i sett med heltall – som går videre med store sprang forbi Szemerédis nå 47 år gamle teorem.
Furstenbergs bevis
Szemerédi hadde undersøkt sett som inneholder en "positiv brøkdel" av alle heltallene. Ta for eksempel settet som inneholder alle multipler av 5. Når du ser på større og større streker av tallinjen, fortsetter multipler av 5 å vises regelmessig. Matematikere sier at settet som inneholder alle multipler av 5 har brøkdelen av en femtedel av alle heltallene.
I kontrast, mens det er et uendelig antall primtall, blir de så sjeldne ettersom tallene blir større at settet med alle primtall ikke inneholder en positiv brøkdel av heltallene, eller sagt på en annen måte, ikke har en positiv tetthet . Primtallet sies i stedet å ha tetthet null.
Szemerédi lette etter eksempler på såkalte aritmetiske progresjoner, eller kjeder med jevnt fordelte tall. Tenk deg for eksempel at du har en uendelig rekkefølge av tall, for eksempel de perfekte kvadratene: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. De perfekte rutene har en aritmetisk progresjon med lengde tre som skjuler seg i de første leddene: {1, 25, 49}. Hvert tall i denne progresjonen er 24 flere enn forgjengeren.
Szemerédi beviste at ethvert sett som omfatter en positiv brøkdel av heltallene må inneholde vilkårlig lange aritmetiske progresjoner. Resultatet var et landemerke i underfeltet av matematikk kalt additiv kombinatorikk.
Szémeredis bevis, selv om det var strålende, var nesten umulig å følge. "Den dag i dag tror jeg det kanskje bare er tre eller fire personer som virkelig forstår [Szemerédis] bevis," sa Terence tao, en matematiker ved University of California, Los Angeles.
Så Furstenbergs mer forståelige argumentasjon var velkommen. For å skrive det, stolte Furstenberg på metoder fra sitt eget felt innen matematikk, dynamiske systemer. Et dynamisk system er enhver prosess som endres med tiden. Dette kan være noe så enkelt som en biljardball som ruller rundt et biljardbord. Alt du trenger er en måte å matematisk representere systemet ditt på, og en regel for hvordan det utvikler seg. En ball kan for eksempel beskrives ved sin posisjon og hastighet. Det systemet utvikler seg på en foreskrevet måte over tid, og følger lovene i klassisk fysikk.
Furstenberg var mest interessert i noe som het ergodisk teori. I stedet for å se på tilstanden til et system på et gitt tidspunkt, studerer ergodiske teoretikere statistikk over lange perioder. For en biljardball kan det bety å finne ut om ballen havner noen steder på bordet mer enn andre på grunn av måten den har en tendens til å sprette fra veggene.
Furstenbergs nøkkelide var å se sett med heltall ikke som faste objekter, men som momentane tilstander i et dynamisk system. Det kan virke som en liten endring i perspektiv, men det tillot ham å bruke verktøy fra ergodisk teori for å bevise resultater i kombinatorikk. På den tiden hadde Furstenberg ingen anelse om at ideene hans ville få sitt eget liv. "Det var bare, jeg likte å ha dette andre beviset," sa han. Men andre så løftet om sammenhengen mellom ergodisk teori og kombinatorikk. "En hel generasjon ergotiske teoretikere begynte på en måte å lade seg inn i kombinatorikk og løse alle disse problemene, og omvendt," sa Tao.
I løpet av de siste årene har fire matematikere - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter og Donald Robertson - har utviklet Furstenbergs teknikker for å finne ikke bare vilkårlig lange progresjoner innenfor ethvert sett som inneholder en positiv brøkdel av heltallene, men uendelige versjoner av strukturer kalt sumsett.
«Summer er mye mindre spesifikke enn progresjoner; de ser mye mindre spesielt ut, sier Robertson. "Men det er mer interessant og mer delikat, fordi sumsett er uendelige konfigurasjoner, mens progresjoner er endelige."
Hvis Furstenberg bygget en bro mellom ergodisk teori og kombinatorikk, har Kra, Moreira, Richter og Robertson utvidet den til "en seksfelts motorvei," sa Tao.
B + C conjecture
Szemerédis teorem ble først foreslått, men ikke bevist, i 1936 av to matematikere. En av dem var en ungarsk matematiker kjent for å komme med formodninger: Paul Erdős. I 2016, mens Moreira jobbet med doktorgradsavhandlingen sin ved Ohio State University, snublet han over en annen formodning som Erdős hadde kommet med om strukturene som kalles sumsett.
Et sumsett er laget av to andre sett; kall dem B og C. Sumsettet, skrevet som B + C, er bygget ved å legge sammen alle mulige tallpar, ta ett tall fra B og den andre fra C. Erdős antok det for ethvert sett A som inneholder en positiv brøkdel av heltall, finnes det andre uendelige sett B og C hvis summen er inneholdt i A. I avisen Moreira leste, hadde forfatterne bevist Erdős' formodning når A inneholder en stor brøkdel av heltallene. Men for mindre positive tetthetssett var resultatet fortsatt ukjent. "Så snart jeg leste uttalelsen, syntes jeg det var et veldig godt spørsmål, fordi det er så enkelt," sa Moreira. "Enten er det falskt, eller så burde det ikke være vanskelig. Noe som selvfølgelig var feil. Det var verken falskt eller lett.»
Moreira tok med seg Richter og Robertson, venner av ham fra forskerskolen, på prosjektet. Robertson, nå ved University of Manchester, hadde uteksaminert et år før Moreira, og Richter var et par år bak. Alle tre var godt bevandret i å anvende ergodiske teoriteknikker på kombinatorikk. Men dette problemet ga nye utfordringer.
"Det var praktisk talt ingen presedens for å finne uendelige summer i et sett med positiv tetthet," sa Daniel Glasscock, en matematiker ved University of Massachusetts, Lowell, som gikk på forskerskolen med Moreira, Richter og Robertson.
Kanskje av den grunn viste det seg at sumsetproblemet var vanskelig å løse. "Vi må på en måte tvinge den ergodiske teorien til å komme gjennom," sa Moreira. Deres innsats til slutt ga resultater, og i hva Marcin Sabok ved McGill University kalte en «forbløffende prestasjon», lyktes de i å bevise Erdős' formodning i 2018. Beviset deres ble senere publisert i Annaler for matematikk, en av matematikkens mest prestisjefylte tidsskrifter.
De nye bevisene
Den avisen la to store spørsmål åpne. En av disse var en annen sumsett formodning av Erdős kalt B + B + t formodninger.
Moreira, Richter og Robertson hadde også kommet opp med et eget spørsmål: Hvis du har et sett med positiv tetthet A, kan du finne tre uendelige sett — B, C og nå D - hvor B + C + D er inn i A? Hva med fire uendelige sett? Fem?
Etter at de stilte multisettversjonen, satt matematikerne fast en stund. Det virket som om teknikkene de hadde brukt for to-sett-formodningen hadde nådd sin grense.
"Vi kunne ikke finne en dynamisk omformulering av dette problemet," sa Richter. Tilnærmingen deres, sa han, "mislyktes bare helt i begynnelsen."
To år gikk før de så virkelig fremgang. På dette tidspunktet var Richter postdoktor ved Northwestern University, hvor Bryna Kra var professor. I 2020, forhindret fra å møtes personlig av Covid-19-pandemien, fant Kra og Richter seg i å diskutere sumsetproblemet over Zoom.
"Til slutt kom vi opp med noen andre varianter som vi forsto," sa Kra.
Kra og Richter begynte å snakke med Moreira og Robertson hver uke, og undersøkte 2018-beviset på nytt.
"Det vi måtte gjøre er å revurdere hvert trinn i beviset, og starte med oversettelsen til et dynamisk system," sa Kra.
Nyttig for deres sak var en 2019 papir av en fransk matematiker ved navn Bernard vert. Verten hadde på nytt bevist Moreira, Richter og Robertsons resultat og hadde funnet ut hvordan han skulle få den ergodiske teorien til å synge. Etter Moreiras mening så vert "hvordan vi skulle skrive beviset vårt slik det burde vært skrevet."
Med Hosts forbedringer i hånden, fortsatte Kra, Moreira, Richter og Robertson å finjustere bevisene sine, og prøvde å trekke ut det enkleste og mest elegante argumentet som er mulig. "Vi dissekere det, antar jeg, om og om igjen, for virkelig å se: Hva er kjernen i problemet?" sa Richter. "På slutten hadde vi et bevis som hadde svært liten likhet med det første beviset."
Beviset de endte opp med, i likhet med Furstenbergs, så på de uendelige settene med heltall som tidsstempler i et dynamisk system. Dette dynamiske systemet er imidlertid bedre sett for seg som punkter som hopper rundt i rommet.
Her er et grovt bilde av hvordan det fungerer: Begynn med å stå i et hjørne av et lukket rom, kall det hjørne 0. Du er utstyrt med en liste over tider A. Det settet, A, er et sett med heltall med positiv tetthet.
Du er også utstyrt med en regel for å bevege deg rundt i rommet. Hvert sekund flytter du til et nytt sted, basert på hvor du akkurat sto. Den nøyaktige regelen du følger vil bli utformet for å matche settet med tider A - når tidsstemplet er inne A, befinner du deg i et spesielt område av rommet.
Si for eksempel A består av alle tallene som er delbare med 4, og hvert sekund beveger du deg med klokken til neste hjørne av rommet. Etter ett sekund går du til hjørne 1; etter to sekunder, hjørne 2, og så videre. Deretter, hvert fjerde trinn - betyr for hver gang det er inne A - du vil ha returnert til det opprinnelige hjørnet 0.
Denne prosessen fortsetter for alltid. Når du reiser fra hjørne til hjørne i en sirkel med klokken, vil du besøke hvert hjørne uendelig mange ganger. Et punkt som du kommer nær et uendelig antall ganger kalles et akkumuleringspunkt.
Kra, Moreira, Richter og Robertson beviste at du smart kan velge en av disse stedene for å finne summen din B + C. I hjørneeksemplet tar du hjørne 1. Du kommer dit på tidspunktene 1, 5, 9 og 13 - tider som ser ut som 4n + 1 for et heltall n. La B være settet av disse tidene.
Tenk deg nå at i stedet for å starte på hjørne 0, begynner du på hjørne 1. Dette betyr at du til tider delelig med 4 vil finne deg selv tilbake på hjørne 1, og du kommer til hjørne 0 tre trinn senere: til tider 3, 7, 11 eller et hvilket som helst nummer av skjemaet 4n + 3. Ring settet med disse tidene C.
Start nå prosessen fra hjørne 0 igjen. Denne gangen, se på hva som skjer hvis du tar et tall fra B og et nummer fra C - si, 13 fra B og 3 fra C - og legge dem sammen.
Dette vil ta 13 + 3 = 16 sekunder. Siden 16 er et multiplum av 4, er det inne A. Men du kan også forutsi at 13 + 3 vil være delelig med 4, og dermed inn A, uten egentlig å legge 13 og 3 sammen. Bare følg hva som skjer i det dynamiske systemet når du venter 13 + 3 sekunder: Først går det 13 sekunder. På det tidspunktet befinner du deg i hjørne 1. Deretter, med start fra hjørne 1, flytter du tre trinn til, som tar deg tilbake til hjørne 0. Siden du startet fra hjørne 0 og endte opp der, må du ha ventet på en multiplum på fire sekunder, noe som betyr at den totale tiden var et tall i det originale settet A.
For å få denne argumentasjonen til å fungere, måtte gruppen forholde seg til mange kresne matematiske detaljer. For eksempel, i de fleste tilfeller har du et uendelig antall plasser tilgjengelig å flytte til, ikke bare fire hjørner. Det betyr at du faktisk ikke kommer tilbake til et sted uendelig mange ganger; du kommer bare i nærheten av det uendelig mange ganger. Det introduserte nye matematiske komplikasjoner til argumentet. Men når de først fant ut hvordan prosessen ville fungere, visste de at de ville være i stand til å takle de vanskeligere spørsmålene de var ute etter.
"Vi kom opp med dette beviset her, og det var umiddelbart klart hvordan vi skulle generalisere det," sa Richter, som nå er ved Swiss Federal Institute of Technology Lausanne. For å bevise flersettversjonen av formodningen, for eksempel, kunne forskerne bare legge til et akkumuleringspunkt til banen. Det generelle argumentet var det samme, bare med et nytt lag av komplikasjoner.
Å hamre ut alt det tekniske var ikke lett. Etter at de slo seg fast på sitt dynamiske oppsett, tok det Kra, Moreira, Richter og Robertson over et år å finne ut bevis på de vanskeligere formodningene. I juni i år la gruppen endelig ut to papirer. En beviste flersettversjonen av sumsettformodningen. Den andre beviste B + B + t versjon av formodningen, som krever at det andre settet C være lik det første settet B, forskjøvet av en konstant, t.
Neste trinn
Selv om juniavisene løser to spørsmål om sumsets, ser Kra, Moreira, Richter og Robertson for seg en lang fremtid for forskningslinjen deres. "Som med alt Erdős spurte om, vil han bare at vi skal sette foten innenfor døren," sa Moreira, nå ved University of Warwick. "Men nå må vi åpne døren og utforske hva annet som er der."
I sine nye artikler legger de fire matematikerne ut flere mulige utforskningsretninger, i form av ennå ubesvarte spørsmål. Man stoler på det faktum at, selv om enhver positiv tetthet sett A inneholder en uendelig summen B + C, inneholder den ikke nødvendigvis de to komponentene B og C. Når kan du insistere på det B og C må også være inne A? Forfatterne utfordrer også matematikere til å finne ut om de kan finne en uendelig sekvens av uendelige mengder hvis sumsett er inneholdt i A.
Et annet åpent spørsmål i feltet har allerede blitt besvart av Matt Bowen, en doktorgradsstudent ved Saboks ved McGill University. I oktober gjorde han postet et bevis på at hvis du tildeler hvert heltall en av noen få farger, kan du finne en sumsett B+C og et produkt av sett BC innenfor bare én av fargene.
Nøyaktig hvor ellers det nye verket fra Kra, Moreira, Richter og Robertson skal lede er fortsatt ukjent. Men Tao er i det minste optimistisk med tanke på de nye teknikkene gruppen har utviklet. Det de oppnår med metodene deres er "faktisk ganske utrolig," sa han. "Det er andre spørsmål som involverer uendelige sett som før ble ansett som håpløse, nå innen rekkevidde."
