Introduksjon
Tidligere i år bestemte en trio av matematikere seg for å lage sitroner til limonade - og endte opp med å lage stor fremgang på et problem som matematikere har tenkt på i århundrer.
De tre var akkurat i ferd med å fullføre et prosjekt og tenkte på de neste trinnene da to av dem sent i mars — Levent Alpöge fra Harvard University og Ari Shnidman ved det hebraiske universitetet i Jerusalem - fikk Covid-19, separat, men nesten samtidig. Mange mennesker ville tatt en pause under slike omstendigheter, men det tredje teammedlemmet, Manjul Bhargava fra Princeton University, foreslo det motsatte. Å øke de ukentlige Zoom-møtene deres til tre eller fire ganger i uken, foreslo han, kan distrahere hans syke samarbeidspartnere fra symptomene deres. Karantene, bestemte de tre, kunne være en mulighet til å tenke uforstyrret.
Under disse møtene vurderte de et av de eldste spørsmålene innen tallteori: Hvor mange heltall kan skrives som summen av to kuberte brøker, eller, som matematikere kaller dem, rasjonelle tall? Tallet 6 kan for eksempel skrives som (17/21)3 + (37/21)3, mens 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematikere har i flere tiår mistenkt at halvparten av alle heltall kan skrives på denne måten. Akkurat som med oddetall og partall, ser denne egenskapen ut til å dele hele tall i to like leire: de som er summen av to terninger, og de som ikke er det.
Men ingen var i stand til å bevise dette, eller til og med gi noen grense for andelen av hele tall som faller inn i hver leir. Så vidt matematikere visste, kan leiren som består av summer av rasjonelle terninger være forsvinnende liten - eller den kan inneholde nesten hvert helt tall. Matematikere har beregnet at hvis noe som kalles Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen er sant (som det er allment antatt), er omtrent 59 % av tallene opp til 10 millioner summen av to rasjonelle terninger. Men slike data kan i beste fall gi hint om hvordan resten av talllinjen kan oppføre seg.
I motsetning til oddetall og partall, "er disse to leirene subtile," sa Barry Mazur av Harvard. Det er ingen test for å avgjøre hvilke tall som hører hjemme i hvilken leir som er kjent for å fungere for alle tall. Matematikere har kommet opp med tester som er sterke kandidater, men foreløpig har hver av dem en ulempe - enten kan ikke matematikere bevise at testen alltid vil nå en konklusjon, eller så kan de ikke bevise at konklusjonen er riktig.
Vanskeligheten med å forstå summen av terninger, og kubikkligninger mer generelt, har vært "en tilbakevendende forlegenhet for tallteoretikere," sa Bhargava. Han vant Fields -medaljen i 2014 delvis for hans arbeid med rasjonelle løsninger til de kubiske ligningene kjent som elliptiske kurver, hvor summen av to terninger er et spesialtilfelle.
Nå i et papir lagt ut på nettet i slutten av oktober, har Alpöge, Bhargava og Shnidman vist at minst 2/21 (omtrent 9.5 %) og høyst 5/6 (omtrent 83 %) av hele tall kan skrives som summen av to kuberte brøker.
Spørsmålet om summen av terninger er ikke bare en kuriositet. Elliptiske kurver har en rikt intrikat struktur som har drevet dem til sentrum av mange områder av både ren og anvendt matematikk, spesielt som gjør det mulig for kryptografer å bygge kraftige chiffer. Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen, det sentrale spørsmålet i feltet, har en dusør på 1 million dollar på hodet som et av Clay Mathematics Institutes tusenårsprisproblemer.
Det nye arbeidet bygger på et sett med verktøy som Bhargava har utviklet de siste 20 årene, sammen med samarbeidspartnere, for å utforske hele familien av elliptiske kurver. Å forstå summen av to kuber betyr å analysere en mye mindre familie, og "jo mindre familie, jo vanskeligere er problemet," sa Peter Sarnak fra Institute for Advanced Study i Princeton.
Denne spesielle familien virket "vei utenfor rekkevidde," la Sarnak til. «Jeg ville ha sagt: 'Det ser for vanskelig ut, altfor vanskelig.'»
En faseovergang
I motsetning til summer av kuberte brøker, som ser ut til å være rikelig, er knapt noen heltall summen av to kvadratiske brøker. På begynnelsen av 1600-tallet hadde matematikerne Albert Girard og Pierre de Fermat funnet ut en enkel test for å bestemme hvilke hele tall som er summen av to kvadrater: Faktorer tallet ditt i primtall, og kontroller deretter eksponenten til hvert primtall som har en rest på 3 når du deler det på 4. Hvis alle disse eksponentene er partall, er tallet ditt summen av to kvadratiske brøker; ellers er det ikke det. For eksempel, 490 faktorer til 21 × 51 × 72. Den eneste av disse faktorene som har en rest på 3 når du deler på 4 er 7, og 7 har en jevn eksponent. Derfor er 490 summen av to kvadrater (for de nysgjerrige er det 72 + 212).
De aller fleste tallene stryker på partallseksponenttesten. Hvis du velger et helt tall tilfeldig, er sannsynligheten for at det er summen av to kvadratiske brøker i hovedsak null. Matematikere tror at det samme gjelder summen av to brøker hevet til fjerde potens, eller femte potens, eller enhver potens høyere enn tre. Det er bare med summen av kuber at det plutselig er overflod.
Matematikere er vant til at kubiske ligninger oppfører seg annerledes enn alle andre makter. Blant ligninger laget av to variabler (som summen av to terninger), har ligningene hvis høyeste eksponent er 1 eller 2 en tendens til å bli godt forstått - vanligvis har de enten ingen rasjonelle løsninger eller uendelig mange, og det er generelt enkelt å fortelle hvilken. I mellomtiden har ligningene hvis høyeste eksponent er 4 eller høyere generelt bare et begrenset dryss av rasjonelle løsninger.
Kubiske ligninger, derimot, kan ha uendelig mange løsninger, uendelig mange eller ingen i det hele tatt. Disse ligningene representerer en slags faseovergang mellom eksponentene under 3 og de over, og viser fenomener som aldri er sett i disse andre innstillingene. "Kuber er forskjellige på alle måter," sa Mazur.
I motsetning til ligninger med lavere eksponenter, er terninger oppsiktsvekkende vanskelig å forstå. Det er ingen overordnet metode for å finne eller til og med telle de rasjonelle løsningene på kubikk som har vist seg å alltid fungere.
"Selv med all datakraften vi har, hvis du gir meg en elliptisk kurve med veldig store koeffisienter, vet jeg ikke nødvendigvis hvor mange rasjonelle løsninger den har," sa Wei Ho, en tidligere student av Bhargava som er for tiden gjesteprofessor ved Institute for Advanced Study.
I sum-av-to-kuber-oppgaven kan brøkene som er involvert være enorme: Tallet 2,803, for eksempel, er summen av to kuberte brøker hvis nevnere hver har 40 sifre. Og når vi først ser på tall i millioner, sa Bhargava, ville mange av brøkene "innebære flere sifre enn det som kan passe på alt papiret i denne verden."
Kartlegging av matriser
Fordi elliptiske kurver er så ukontrollerbare, leter tallteoretikere etter måter å koble dem med mer håndterbare objekter. I april, mens Alpöge og Shnidman kjempet mot Covid, bygde de og Bhargava på arbeidet sistnevnte tidligere hadde gjort med Ho og fant ut at når en sum-av-kuber-ligning har rasjonelle løsninger, er det en måte å bygge minst en spesiell 2-er på. × 2 × 2 × 2 matrise - en firedimensjonal analog av den mer kjente todimensjonale matrisen. "Vi begynte å legge en plan for å telle disse 2 × 2 × 2 × 2-matrisene," skrev de tre.
For å gjøre det, trakk teamet på to klassiske emner som hver har blitt studert i mer enn et århundre. Den ene er "talls geometri", som involverer hvordan man teller gitterpunkter inne i forskjellige geometriske former. Dette emnet har fått en renessanse innen elliptiske kurver de siste 20 årene, mye på grunn av arbeidet til Bhargava og samarbeidspartnere.
Den andre teknikken, kjent som sirkelmetoden, oppsto i arbeidet til den legendariske indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan og hans mangeårige samarbeidspartner GH Hardy på begynnelsen av 20-tallet. "Dette er den første store anvendelsen av å kombinere sirkelmetoden med disse geometri-av-tall-teknikkene," sa Ho. "Den delen er veldig kul."
Ved å bruke disse metodene var trioen i stand til å vise at for minst 1/6 av alle hele tall, eksisterer det ingen 2 × 2 × 2 × 2 matrise. Det betyr at for disse tallene har summen av terninger-ligningen ingen rasjonelle løsninger. Så ikke mer enn 5/6 av heltall, eller omtrent 83 %, kan være summen av terninger av to brøker.
I motsatt retning fant de ut at minst 5/12 av alle hele tall har nøyaktig én matchende matrise. Det er fristende å konkludere med at disse tallene er summen av to terninger, men det følger ikke automatisk. Hvert tall som er summen av to terninger har en matrise, men det betyr ikke nødvendigvis at det motsatte er sant: at hvert tall med en matrise er summen av to terninger.
Alpöge, Bhargava og Shnidman trengte det elliptiske kurveforskere kaller et omvendt teorem - noe som tar informasjon om en kubikkligning og bruker den til å konstruere rasjonelle løsninger. Omvendte teoremer danner et blomstrende underfelt av teorien om elliptiske kurver, så trioen henvendte seg til to av underfeltets ekspertutøvere - Ashay Burungale ved University of Texas, Austin og Princeton. Burungale og Skinner var i stand til å vise at, i det minste noen ganger, hvis et helt tall har en enkelt assosiert matrise, så må tallet være summen av to rasjonelle terninger. Teoremet deres, som i hovedsak beviser en relevant del av Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen, vises i papiret som et tre-siders vedlegg, som Sarnak beskriver som fantastisk i seg selv.
Burungale og Skinner beviste ikke teoremet sitt for hvert heltall med nøyaktig én matrise - de måtte pålegge en teknisk betingelse som reduserte 5/12-delsettet til 2/21, eller omtrent 9.5 %, av alle hele tall. Men Bhargava er optimistisk på at Burungale og Skinner, eller andre forskere i deres område, vil nå resten av 5/12 (omtrent 41 % i alt) innen altfor lenge. "Teknikkene deres blir stadig sterkere," sa Bhargava.
Å bevise hele formodningen - at nøyaktig halvparten av alle heltall er summen av to terninger - vil kreve til slutt å takle settet med tall som har mer enn én tilknyttet matrise. Dette settet, som Bhargava kaller «veldig tåkete», inkluderer både tall som er summen av to terninger og tall som ikke er det. Å håndtere slike tall vil kreve helt nye ideer, sa han.
Foreløpig er forskere glade for å endelig ha avgjort spørsmålet for en betydelig andel av hele tall, og er ivrige etter å undersøke teknikkene i beviset videre. "Det er en av de vakre tingene: Du kan forklare resultatet veldig enkelt, men verktøyene er veldig, veldig i forkant av tallteori," sa Sarnak.
