Quantum Field Theory Pries Åpne matematisk puslespill

Forrige måned, Karen Vogtmann og Michael Borinsky la ut et bevis at det er en lastebillast med matematisk struktur i en hittil utilgjengelig matematisk verden kalt grafenes modulrom, som Vogtmann og en samarbeidspartner først beskrevet i midten av 1980s.

"Det er et veldig vanskelig problem. Det er utrolig at de klarte det, sier Dan Margalit, matematiker ved Georgia Institute of Technology.

Vogtmann og Borinsky startet med spørsmål som Vogtmann, en matematiker ved University of Warwick, hadde stilt seg selv i flere tiår. Paret reimagined deretter problemet på fysikkspråket, ved å bruke teknikker fra kvantefeltteori for å komme opp med resultatet.

Beviset viser at visse strukturer eksisterer i modulrommet, men det avslører ikke eksplisitt hva disse strukturene er. På den måten er det nye resultatet deres mer som en metalldetektor enn et kamera - det varsler dem om at noe interessant skjuler seg, selv om de ikke kan beskrive det fullt ut.

Du kan tenke på modulrommene til grafer som matematiske former med ekstra dekorasjon. Hvis du står på et hvilket som helst punkt på formen, vil du se en graf sveve over deg - en samling punkter, eller hjørner, forbundet med kanter. På forskjellige steder på et modulrom endres grafene, kantene krymper eller vokser, og noen ganger forsvinner de helt. På grunn av disse egenskapene beskriver Borinsky, en matematisk fysiker ved Swiss Federal Institute of Technology Zürich, modulrom som «et stort hav av grafer».

"Rakken" til en graf er antall løkker den har; for hver rangering av grafer finnes det et modulrom. Størrelsen på dette rommet vokser raskt — hvis du fikser lengdene på grafens kanter, er det tre grafer med rangering 2, 15 av rangering 3, 111 av rangering 4, og 2,314,204,852 av rangering 10. På modulrommet kan disse lengdene variere, og introdusere enda mer kompleksitet.

Formen på modulrommet for grafer av en gitt rangering bestemmes av forholdet mellom grafene. Når du går rundt i rommet, bør nærliggende grafer være like, og bør forvandles jevnt til hverandre. Men disse forholdene er kompliserte, og etterlater modulrommet med matematisk foruroligende funksjoner, for eksempel områder der tre vegger i modulrommet passerer gjennom hverandre.

Matematikere kan studere strukturen til et rom eller en form ved å bruke objekter kalt kohomologiklasser, som kan bidra til å avsløre hvordan et rom er satt sammen. Tenk for eksempel på en av matematikernes favorittformer, smultringen. På smultringen er kohomologitimer ganske enkelt løkker.

Man kan tegne flere forskjellige typer løkker på overflaten av smultringen: Sløyfe 1 omkranser smultringens sentrale hull; løkke 2 tråder gjennom hullet; den tredje "trivielle" løkken sitter på smultringens side.

Ikke alle kohomologiklasser er skapt like. En løkke som sitter på utsiden av smultringen - som den tredje løkken - kan alltid gli rundt eller krympe for å unngå å krysse en annen løkke. Det gjør det til en "triviell" kohomologitime.

Men løkker 1 og 2 sier mye mer om strukturen til smultringen - de eksisterer bare på grunn av hullet. For å matematisk skjelne forskjellen kan du bruke kryss, forklarte Margalit. Sløyfe 1 og 2 kan gli rundt på overflaten av smultringen, men med mindre du tvinger dem til å bryte helt bort fra overflaten, vil de alltid krysse hverandre. Fordi disse to løkkene kommer med partnere som de ikke kan la være å krysse, er de "ikke-trivielle" kohomologiklasser.

I motsetning til med en smultring, kan ikke matematikere finne kohomologiklasser på modulrommene til grafer bare ved å tegne et bilde. Med et så stort antall grafer er modulrom vanskelig å få grep om, sa Nathalie Wahl, matematiker ved Københavns Universitet. "Veldig raskt kan ikke datamaskinen hjelpe lenger," sa hun. Faktisk har bare én oddimensjonal ikke-triviell kohomologiklasse vært eksplisitt beregnet (i 11 dimensjoner), sammen med en håndfull jevne.

Det Vogtmann og Borinsky beviste er at det er et enormt antall kohomologiklasser som ligger innenfor modulrommet til grafer av en gitt rangering - selv om vi ikke kan finne dem. "Vi vet at det er tonnevis, og vi kjenner en," sa Wahl og kalte tingenes tilstand "latterlig."

I stedet for å jobbe med kohomologiklasser direkte, studerte Borinsky og Vogtmann et tall kalt Euler-karakteristikken. Dette tallet gir en type måling av modulrommet. Du kan modifisere modulrommet på visse måter uten å endre Euler-karakteristikken, noe som gjør Euler-karakteristikken mer tilgjengelig enn selve kohomologiklassene. Og det var det Borinsky og Vogtmann gjorde. I stedet for å jobbe med modulrommet til grafer direkte, studerte de "ryggraden" - i hovedsak et skjelett av det totale rommet. Ryggraden har samme Euler-karakteristikk som selve modulrommet og er lettere å jobbe med. Å beregne Euler-karakteristikken på ryggraden kom ned til å telle en stor samling av grafer.

Borinskys innsikt var å bruke teknikker for å telle Feynman-diagrammer, som er grafer som representerer måter kvantepartikler samhandler på. Når fysikere vil beregne, for eksempel, sjansene for at en kollisjon mellom et elektron og et positron vil produsere to fotoner, må de sum over alle mulige interaksjoner som fører til det resultatet. Det betyr et gjennomsnitt over mange Feynman-diagrammer, og motiverer smarte tellestrategier.

"Jeg innså at man kan formulere denne typen problem som et slags leketøys kvantefeltteoriunivers," forklarte Borinsky.

Borinsky forestilte seg at grafene representerte fysiske systemer i en enkel versjon av universet, en der det, blant andre antagelser, bare er én type partikkel. Rammeverket for kvantefeltteori trengte litt justering for at Borinsky og Vogtmann skulle få riktig telling. For eksempel, i kvantefeltteori, er to grafer som er speilbilder av hverandre, umulig å skille, sa Borinsky. Formler for å legge sammen Feynman-diagrammer inkluderer faktorer som sikrer at disse grafene ikke telles for mye. Men når det gjelder å beregne Euler-karakteristikken, anses disse grafene som forskjellige. "Vi må spille et lite spill med symmetriene til grafene," sa Borinsky.

Med litt programmeringshjelp fra fysikeren Jos Vermaseren, Borinsky og Vogtmann overvant til slutt denne vanskeligheten. I januaravisen deres beviste de at Euler-karakteristikken for modulrommet til grafer av rang n blir massivt negativ som n blir større. Dette innebærer at det er mange, mange ikke-trivielle kohomologiklasser som skal avdekkes innenfor hvert modulrom.

Selv om Borinsky og Vogtmanns artikkel ikke inneholder flere hint om disse kohomologitimene, er det et oppmuntrende resultat for forskere som søker å finne dem - og kanskje det øker spenningen ved jakten. Margalit fra kohomologiklassene sa: «Disse vi kjenner er bare disse edelstenene. Og hver gang vi finner en, er det denne vakre tingen.»