Wprowadzenie
Na początku tego roku trio matematyków postanowiło zrobić lemoniadę z cytryn – i skończyło się na tym duży postęp nad problemem, nad którym matematycy zastanawiali się od wieków.
Cała trójka właśnie kończyła projekt i myślała o kolejnych krokach, kiedy pod koniec marca dwóch z nich — Levent Alpöge Uniwersytetu Harvarda i Ari Sznidman z Uniwersytetu Hebrajskiego w Jerozolimie — zachorował na Covid-19, osobno, ale prawie jednocześnie. Wiele osób zrobiłoby sobie przerwę w takich okolicznościach, ale trzeci członek zespołu, Manjul Bhargawa z Princeton University zaproponował coś przeciwnego. Zasugerował, że zwiększenie ich cotygodniowych spotkań Zoom do trzech lub czterech razy w tygodniu może odwrócić uwagę jego chorych współpracowników od ich objawów. Kwarantanna, uznała ta trójka, może być okazją do niezakłóconego myślenia.
Podczas tych spotkań zastanawiali się nad jednym z najstarszych pytań w teorii liczb: ile liczb całkowitych można zapisać jako sumę dwóch ułamków sześciennych lub, jak nazywają to matematycy, liczb wymiernych? Na przykład liczbę 6 można zapisać jako (17/21)3 + (37/21)3, natomiast 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematycy od dziesięcioleci podejrzewali, że połowę wszystkich liczb całkowitych można zapisać w ten sposób. Podobnie jak w przypadku liczb parzystych i nieparzystych, ta właściwość wydaje się dzielić liczby całkowite na dwa równe obozy: te, które są sumą dwóch sześcianów, i te, które nie są.
Ale nikt nie był w stanie tego udowodnić ani nawet określić proporcji liczb całkowitych przypadających na każdy obóz. O ile wiedzieli matematycy, obóz składający się z sum wymiernych sześcianów może być znikomo mały — lub może zawierać prawie każdą liczbę całkowitą. Matematycy obliczyłem że jeśli coś, co nazywa się hipotezą Bircha i Swinnertona-Dyera, jest prawdziwe (jak się powszechnie uważa), około 59% liczb do 10 milionów jest sumą dwóch wymiernych sześcianów. Ale takie dane mogą w najlepszym wypadku dawać wskazówki, jak może zachowywać się reszta linii liczbowej.
W przeciwieństwie do liczb nieparzystych i parzystych „te dwa obozy są subtelne” – powiedział Barry Mazur z Harvardu. Nie ma testu określającego, które liczby należą do którego obozu, o którym wiadomo, że działa dla wszystkich liczb. Matematycy opracowali testy, które są dobrymi kandydatami, ale na razie każdy z nich ma pewną wadę — albo matematycy nie mogą udowodnić, że test zawsze prowadzi do konkluzji, albo nie mogą udowodnić, że wniosek jest poprawny.
Trudność w zrozumieniu sum sześcianów, a bardziej ogólnie równań sześciennych, była „powtarzającym się zakłopotaniem teoretyków liczb”, powiedział Bhargava. On zdobył Medal Fieldsa w 2014 roku częściowo za jego praca nad racjonalnymi rozwiązaniami do równań sześciennych znanych jako krzywe eliptyczne, których szczególnym przypadkiem są sumy dwóch sześcianów.
Teraz w papier opublikowanych w Internecie pod koniec października, Alpöge, Bhargava i Shnidman wykazali, że co najmniej 2/21 (około 9.5%) i co najwyżej 5/6 (około 83%) liczb całkowitych można zapisać jako sumę dwóch ułamków sześciennych.
Kwestia sum sześcianów nie jest tylko ciekawostką. Krzywe eliptyczne mają niezwykle skomplikowaną strukturę, która sprawiła, że znalazły się w centrum wielu dziedzin zarówno matematyki czystej, jak i stosowanej, umożliwiając w szczególności kryptografom budowanie potężnych szyfrów. Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera, centralne pytanie w tej dziedzinie, ma nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za głowę jako jeden z problemów nagrody milenijnej Clay Mathematics Institute.
Nowa praca opiera się na zestawie narzędzi, które Bhargava opracował w ciągu ostatnich 20 lat wraz ze współpracownikami, aby poznaj całą rodzinę krzywych eliptycznych. Zrozumienie sum dwóch sześcianów oznacza analizę znacznie mniejszej rodziny, a „im mniejsza rodzina, tym trudniejszy problem” – powiedział. Piotr Sarnak Instytutu Studiów Zaawansowanych w Princeton.
Ta konkretna rodzina wydawała się „poza zasięgiem” – dodał Sarnak. „Powiedziałbym:„ To wygląda na zbyt trudne, zdecydowanie zbyt trudne ”.
Przejście fazowe
W przeciwieństwie do sum ułamków sześciennych, które wydają się obfite, prawie żadna liczba całkowita nie jest sumą dwóch ułamków kwadratowych. Na początku XVII wieku matematycy Albert Girard i Pierre de Fermat opracowali prosty test określający, które liczby całkowite są sumą dwóch kwadratów: Rozłóż swoją liczbę na czynniki pierwsze, a następnie sprawdź wykładnik każdej liczby pierwszej, która ma resztę 1600 kiedy dzielisz przez 3. Jeśli wszystkie te wykładniki są parzyste, twoja liczba jest sumą dwóch ułamków do kwadratu; w przeciwnym razie nie. Na przykład 4 rozkłada się na 4901 × 51 × 72. Jedynym z tych czynników, który ma resztę 3 z dzielenia przez 4, jest 7, a 7 ma parzysty wykładnik. Zatem 490 to suma dwóch kwadratów (dla ciekawskich równa się 72 + 212).
Zdecydowana większość liczb nie zdaje testu parzystego wykładnika. Jeśli losowo wybierzesz liczbę całkowitą, prawdopodobieństwo, że jest to suma dwóch ułamków do kwadratu, wynosi zasadniczo zero. Matematycy uważają, że to samo dotyczy sum dwóch ułamków podniesionych do potęgi czwartej, piątej lub dowolnej potęgi wyższej niż trzy. Tylko z sumami kostek pojawia się nagle obfitość.
Matematycy są przyzwyczajeni do tego, że równania sześcienne zachowują się inaczej niż wszystkie inne potęgi. Wśród równań utworzonych z dwóch zmiennych (takich jak równania sumy dwóch sześcianów) równania, których najwyższym wykładnikiem jest 1 lub 2, są zwykle dobrze rozumiane — zazwyczaj nie mają racjonalnych rozwiązań lub nieskończenie wiele i generalnie łatwo jest je powiedz jakie. Tymczasem równania, których najwyższy wykładnik wynosi 4 lub więcej, na ogół mają tylko skończone zraszanie racjonalnych rozwiązań.
Z kolei równania sześcienne mogą mieć skończenie wiele rozwiązań, nieskończenie wiele lub żadnego. Te równania reprezentują rodzaj przejścia fazowego między wykładnikami poniżej 3 i wykładnikami powyżej, pokazując zjawiska, które nigdy nie są widoczne w tych innych ustawieniach. – Kostki są różne pod każdym względem – mówi Mazur.
W przeciwieństwie do równań z niższymi wykładnikami, sześciany są zaskakująco trudne do zgłębienia. Nie ma nadrzędnej metody znajdowania, a nawet liczenia racjonalnych rozwiązań sześciennych, która zawsze działa.
„Nawet przy całej mocy obliczeniowej, jaką mamy, jeśli dasz mi krzywą eliptyczną z bardzo dużymi współczynnikami, niekoniecznie wiem, ile ma ona racjonalnych rozwiązań”, powiedział Wei Ho, były uczeń Bhargavy, który jest obecnie profesor wizytujący w Instytucie Studiów Zaawansowanych.
W problemie sumy dwóch sześcianów ułamki, których to dotyczy, mogą być ogromne: na przykład liczba 2,803 jest sumą dwóch ułamków sześciennych, których mianowniki mają po 40 cyfr. A kiedy spojrzymy na liczby w milionach, powiedział Bhargava, wiele ułamków „zawierałoby więcej cyfr, niż zmieściłoby się na całym papierze na tym świecie”.
Matryce mapowania
Ponieważ krzywe eliptyczne są tak trudne do opanowania, teoretycy liczb szukają sposobów połączenia ich z łatwiejszymi do opanowania obiektami. W kwietniu, kiedy Alpöge i Shnidman walczyli z Covidem, oni i Bhargava pracowali nad pracą, którą ten ostatni wykonał wcześniej z Ho i doszli do wniosku, że ilekroć równanie sumy kostek ma racjonalne rozwiązania, istnieje sposób na zbudowanie co najmniej jednego specjalnego 2 Matryca × 2 × 2 × 2 — czterowymiarowy odpowiednik bardziej znanej macierzy dwuwymiarowej. „Zaczęliśmy układać plan policzenia tych macierzy 2 × 2 × 2 × 2” – napisała trójka.
W tym celu zespół oparł się na dwóch klasycznych tematach, z których każdy był badany przez ponad sto lat. Jednym z nich jest „geometria liczb”, która polega na liczeniu punktów siatki wewnątrz różnych kształtów geometrycznych. Temat ten przeżywa renesans w dziedzinie krzywych eliptycznych w ciągu ostatnich 20 lat, w dużej mierze dzięki pracy Bhargavy i współpracowników.
Druga technika, znana jako metoda koła, wywodzi się z prac legendarnego indyjskiego matematyka Srinivasy Ramanujana i jego długoletniego współpracownika GH Hardy'ego na początku XX wieku. „To pierwsze poważne zastosowanie połączenia metody koła z technikami geometrii liczb” – powiedział Ho. „Ta część jest bardzo fajna”.
Korzystając z tych metod, trio było w stanie wykazać, że dla co najmniej 1/6 wszystkich liczb całkowitych nie istnieje żadna macierz 2 × 2 × 2 × 2. Oznacza to, że dla tych liczb równanie sumy kostek nie ma racjonalnych rozwiązań. Tak więc nie więcej niż 5/6 liczb całkowitych, czyli około 83%, może być sumą sześcianów dwóch ułamków.
W odwrotnym kierunku odkryli, że co najmniej 5/12 wszystkich liczb całkowitych ma dokładnie jedną pasującą macierz. Kuszące jest stwierdzenie, że te liczby są sumą dwóch sześcianów, ale nie wynika to automatycznie. Każda liczba, która jest sumą dwóch sześcianów, ma macierz, ale to niekoniecznie oznacza, że odwrotność jest prawdziwa: każda liczba z macierzą jest sumą dwóch sześcianów.
Alpöge, Bhargava i Shnidman potrzebowali tego, co badacze zajmujący się krzywymi eliptycznymi nazywają twierdzeniem odwrotnym — czegoś, co pobiera informacje o równaniu sześciennym i wykorzystuje je do konstruowania racjonalnych rozwiązań. Twierdzenia odwrotne tworzą kwitnącą poddziedzinę teorii krzywych eliptycznych, więc trio zwróciło się do dwóch ekspertów-praktyków tej poddziedziny — Ashaya Burungale'a z University of Texas, Austin i Princeton. Burungale i Skinner byli w stanie wykazać, że przynajmniej przez pewien czas, jeśli liczba całkowita ma jedną powiązaną macierz, to liczba ta musi być sumą dwóch wymiernych sześcianów. Ich twierdzenie, które zasadniczo dowodzi odpowiedniej części hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera, pojawia się w artykule jako trzystronicowy dodatek, który Sarnak opisuje jako cudowny sam w sobie.
Burungale i Skinner nie udowodnili swojego twierdzenia dla każdej liczby całkowitej za pomocą dokładnie jednej macierzy — musieli narzucić warunek techniczny, który zmniejszył podzbiór 5/12 do 2/21, czyli około 9.5% wszystkich liczb całkowitych. Ale Bhargava jest optymistą, że Burungale i Skinner lub inni badacze w ich okolicy dotrą do reszty 5/12 (w sumie około 41%) wkrótce. „Ich techniki stają się coraz silniejsze” — powiedział Bhargava.
Udowodnienie pełnej hipotezy — że dokładnie połowa wszystkich liczb całkowitych jest sumą dwóch sześcianów — będzie ostatecznie wymagało zajęcia się zbiorem liczb, które mają więcej niż jedną powiązaną macierz. Ten zestaw, który Bhargava nazywa „bardzo mglistym”, zawiera zarówno liczby, które są sumą dwóch sześcianów, jak i te, które nie są. Powiedział, że radzenie sobie z takimi liczbami będzie wymagało zupełnie nowych pomysłów.
Na razie badacze są szczęśliwi, że w końcu rozwiązali kwestię znacznej części liczb całkowitych i są chętni do dalszego badania technik zawartych w dowodzie. "To jedna z tych pięknych rzeczy: możesz bardzo łatwo wyjaśnić wynik, ale narzędzia są bardzo, bardzo w czołówce teorii liczb" - powiedział Sarnak.
