Symetria, która ułatwia rozwiązywanie równań matematycznych

Pomyśl o melodii „Pop Goes the Weasel”. A teraz zaśpiewaj te słowa:

Negatywny b, plus lub minus
Pierwiastek kwadratowy z b do kwadratu
minus cztery a c
Wszystko! ponad dwa a

Ten dżingiel pomógł pokoleniom studentów algebry przypomnieć sobie formułę kwadratową, która rozwiązuje każde równanie postaci $latex ax^2+bx+c=0$. Formuła jest tak przydatna, jak prawdopodobnie pojawi się w słowniku pod hasłem „lęk przed matematyką”, a szybkie spojrzenie pokazuje, dlaczego:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Choć wygląda to onieśmielająco, ukrywanie się w środku jest prostym sekretem, który sprawia, że ​​rozwiązanie każdego równania kwadratowego jest łatwe: symetria. Przyjrzyjmy się, jak symetria sprawia, że ​​formuła kwadratowa działa i jak brak symetrii znacznie utrudnia rozwiązywanie równań sześciennych (w postaci $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$). W rzeczywistości było to o tyle trudniejsze, że kilku matematyków w XVI wieku spędziło życie uwikłane w zaciekłe publiczne waśnie, rywalizując o osiągnięcie sześciennych tego, co z łatwością można było osiągnąć w przypadku kwadratów.

Rozwiązywanie równań to podstawowa umiejętność na lekcjach matematyki — pomaga nam znaleźć maksymalne zyski, minimalne odległości, punkty przecięcia i wiele więcej. Jedno z najbardziej podstawowych równań, które uczymy się rozwiązywać, to $latex f(x)=0$. Biorąc pod uwagę funkcję $lateks f(x)$, to równanie pyta: Jakie dane wejściowe x zwrócić wynik 0? Z tego powodu rozwiązania tego równania są czasami nazywane „zerami” lub „pierwiastkami” funkcji.

Zanim znajdziemy pierwiastki każdej funkcji kwadratowej, zacznijmy od prostego: Jakie są pierwiastki funkcji $latex f(x)=x^2-9$? Aby je znaleźć, wystarczy rozwiązać równanie $lateks f(x)=0$.

$lateks f(x)=0$
$lateks x^2-9=0$
$lateks x^2=9$
$lateks x=pm3$

Pierwiastki te są łatwe do znalezienia, ponieważ to równanie jest łatwe do rozwiązania. Wszystko, co musisz zrobić, to odizolować się x. Zauważ, że potrzebujemy tego $latex pm$ w ostatnim wierszu, ponieważ zarówno 3, jak i -3 mają tę właściwość, że kiedy podniesiemy je do kwadratu, otrzymasz 9. Szybkie sprawdzenie, że $latex f(3)=f(-3)=0 $ sprawdza, czy rzeczywiście są to dane wejściowe, które sprawiają, że $latex f(x)$ daje wynik 0.

To $latex pm$ również wskazuje na symetrię właściwą tej sytuacji. Funkcja kwadratowa ma dwa pierwiastki, a jeśli wyobrazisz sobie te dwa pierwiastki na osi liczbowej, zobaczysz, że są one symetryczne względem $latex x = 0 $.

A kiedy pamiętasz, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, ma to sens. Każda parabola ma oś symetrii, która dzieli parabolę na dwie części w lustrzanym odbiciu. W przypadku $lateksu f(x)=x^2-9$ osią symetrii jest y-osi (linia $lateks x=0$). Gdy wykreślisz $lateks f(x)=x^2-9$ w zwykły sposób, przez traktowanie x jako zmienną niezależną i ustawiając $latex y=f(x)$, możesz zobaczyć jego korzenie na x-oś, w równej odległości od i po obu stronach y-oś.

W przypadku bardziej skomplikowanego kwadratu, takiego jak $lateks f(x)=x^2-8x-9$, znalezienie pierwiastków wymaga nieco więcej kopania.

$lateks f(x)=0$
$lateks x^2-8x-9=0$
$lateks x^2-8x=9$

Możemy ustawić $latex f(x)$ na 0 i przesunąć 9 na prawą stronę, tak jak to zrobiliśmy wcześniej, ale nie możemy wyliczyć pierwiastka kwadratowego z obu stron x. Ten inny termin z x w nim stoi na przeszkodzie. Ale ta funkcja, jak każda funkcja kwadratowa, jest symetryczna i możemy użyć tej symetrii do poruszania się po problemie. Potrzebujemy tylko trochę algebry, aby uczynić symetrię bardziej przejrzystą.

Przepiszmy funkcję $latex f(x)=x^2-8x-9$ jako $latex f(x)=x(x-8)-9$. Teraz skup się na części $latex x(x-8)$. To będzie równe 0 w dwóch sytuacjach — jeśli x = 0 lub jeśli x = 8 — a to gwarantuje, że $latex f(0)$ i $latex f(8)$ przyjmą tę samą wartość -9. To daje nam dwa symetryczne punkty na paraboli, a ponieważ oś symetrii musi dzielić $latex x=0$ i $latex x=8$ na środku, musi to być prosta $latex x=4$.

Teraz, gdy znaleźliśmy symetrię, nadszedł czas, aby ją wykorzystać. Przesuniemy naszą parabolę o cztery jednostki w lewo, tak aby jej oś symetrii przesunęła się z prostej $latex x=4$ do prostej $latex x=0$. Istnieje prosty sposób wykonania tego tłumaczenia algebraicznie: zamieniamy każdy x w x + 4.

Nazwijmy $latex g(x)$ nową funkcją kwadratową, którą otrzymujemy, gdy ją zamieniamy x w x+ 4. Innymi słowy, niech $lateks g(x)=f(x+4)$. Zobacz, co się stanie, gdy uprościmy $latex g(x)$:

$lateks g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$lateks g(x)=x^2-25$

Po kilkukrotnym zastosowaniu własności dystrybucyjnej i zebraniu podobnych terminów, x wyraz naszego nowego przetłumaczonego wyrażenia kwadratowego znika, a to sprawia, że ​​znalezienie pierwiastków $latex g(x)$ jest łatwe:

$lateks g(x)=0$
$lateks x^2-25=0$
$lateks x^2=25$
$lateks x=pm5$

Pierwiastki $latex g(x)$ to $latex x=pm5$, więc aby znaleźć pierwiastki $latex f(x)=x^2-8x-9$, po prostu przesuwamy pierwiastki $latex g( x)$ do tyłu o cztery jednostki w prawo. To nam daje pierwiastki $latex f(x)$: $latex 4pm5$, czyli 9 i -1, co możesz zweryfikować obliczając $latex f(9)=f(-1)=0$.

Sekretem rozwiązania tego nieco trudniejszego równania kwadratowego było przesunięcie go i przekształcenie w łatwiejsze równanie kwadratowe poprzez wyeliminowanie przeszkadzających x termin. To podejście będzie działać na dowolnej funkcji kwadratowej. Biorąc pod uwagę dowolny kwadratowy $latex f(x)=ax^2+bx+c$, zawsze możesz znaleźć jego oś symetrii za pomocą tego samego bitu faktoryzacji:

$lateks f(x)=ax^2+bx+c$
$lateks f(x)=x(ax+b)+c$

W tej postaci widać, że $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, co oznacza, że ​​oś symetrii jest w połowie drogi między $latex x=0$ a $latex x= -frac{b}{a}$. Innymi słowy, osią symetrii dowolnej funkcji kwadratowej $latex f(x)=ax^2+bx+c$ jest prosta $latex x=-frac{b}{2a}$. A to powinno wyglądać znajomo. Ukrywa się w formule kwadratowej!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Łatwiej będzie zobaczyć, jeśli przepiszesz to w ten sposób:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Formuła kwadratowa opiera się na fakcie, że pierwiastki kwadratu $latex f(x)=ax^2+bx+c$ są symetryczne względem $latex x=-frac{b}{2a}$. I tak jak zrobiliśmy powyżej, możesz użyć tej symetrii, aby je znaleźć: po prostu przetłumacz $latex f(x)$ na $latex -frac{b}{2a}$. Ma to wpływ na eliminację tzw x termin, który pozwala następnie łatwo wyizolować x i rozwiązać. Zrób to, a otrzymasz formułę kwadratową. (Zobacz ćwiczenia poniżej, aby uzyskać więcej informacji.) Nie jest to tak proste, jak nucenie dziecięcej melodii, ale pokazuje ważne połączenia algebraiczne i geometryczne, które sprawiają, że ta formuła działa.

Rozwiązywanie równań kwadratowych z potęgą symetrii może nas zachęcić do wypróbowania podobnej taktyki w przypadku równań sześciennych. Ale chociaż sześcienne mają symetrię, nie jest to rodzaj, który pomaga w rozwiązywaniu równań, takich jak $lateks f(x)=0$. Wykresy sześcienne mają „symetrię punktową”, co oznacza, że ​​na wykresie każdej funkcji sześciennej istnieje specjalny punkt, w którym prosta przechodząca przez ten punkt i przecinająca sześcienny gdziekolwiek indziej przecina wykres ponownie symetrycznie wokół tego punktu.

Jest to silny typ symetrii, ale nie pomaga w znalezieniu korzeni. To dlatego, że pierwiastki funkcji występują tam, gdzie jej wykres przecina poziomą linię $lateks y=0$ (tzw. x-oś) i ogólnie te przecięcia nie są symetryczne względem specjalnego punktu symetrii sześcianu.

W rzeczywistości sześcienny może mieć tylko pierwiastek. Nie ma tam symetrii.

Jednak jest coś z naszej wcześniejszej pracy z kwadratami, co może pomóc.

Jeśli mamy funkcję kwadratową $latex f(x)=ax^2+bx+c$ i wiemy, że jej pierwiastki to $latex r_1 $ i $latex r_2$, to zawsze możemy zapisać $latex f(x)$ w Forma „faktoryzowana”: $lateks f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Teraz, kiedy to pomnożymy i uprościmy, otrzymamy coś bardzo przydatnego do pracy.

$lateks f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Zwróć uwagę, jak współczynnik x termin zawiera sumę dwóch pierwiastków $latex r_1$ i $latex r_2$. Jest to związane z jedną z formuł Viety (które być może widziałeś pewnego razu or dwa razy wcześniej w tych kolumnach): Biorąc pod uwagę funkcję kwadratową $latex f(x)=ax^2+bx+c$, suma dwóch pierwiastków zawsze będzie wynosić $latex -frac{b}{a}$. Możesz to pokazać, ustawiając ogólną postać kwadratu równą jego postaci rozłożonej na czynniki $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ i obserwując, że jedynym sposobem, w jaki dwa wielomiany mogą faktycznie być takie same, jeśli odpowiadające im współczynniki są takie same. W tym przypadku oznacza to współczynniki x wyrazy po obu stronach równania muszą być równe, abyśmy mogli pisać

$lateks b=-a(r_1+r_2)$

a następnie podzielić:

$lateks r_1+r_2 = -frak{b}{a}$

Zauważ, że podzielenie obu stron tego równania przez 2 pokazuje interesujący fakt: średnia z dwóch pierwiastków funkcji kwadratowej jest równa x-wartość osi symetrii:

$$ frak{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Ma to sens, ponieważ oś symetrii musi znajdować się pośrodku dwóch pierwiastków, a średnia z dowolnych dwóch liczb to liczba dokładnie pośrodku.

Ale rozważ tę nową relację w kontekście naszego wcześniejszego tłumaczenia. Przesunięcie paraboli poprzez przesunięcie osi symetrii z $latex x = -frac{b}{2a}$ na $latex x=0$ również zmienia średnią dwóch pierwiastków z $latex -frac{b}{2a} $ do 0.

Ale jeśli średnia z pierwiastków wynosi 0, to suma pierwiastków również musi wynosić 0, a suma dwóch pierwiastków pojawia się w rozłożonej na czynniki postaci kwadratu:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Oznacza to, że przekształcenie kwadratu w taki sposób, że suma pierwiastków równa się 0, również powoduje, że x termin znika. To właśnie pomogło nam rozwiązać nasze wcześniejsze równanie kwadratowe i podobny wynik dotyczący pierwiastków odnosi się do funkcji sześciennych.

Mając ogólny sześcienny $lateks f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, możemy zrobić to samo, co zrobiliśmy z kwadratem. Jeśli sześcienny ma pierwiastki $latex r_1$, $latex r_2$ i $latex r_3$, możemy zapisać funkcję sześcienną w jej rozłożonej postaci $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ i pomnóż to. Daje nam to $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, którą następnie ustawiamy jako równą ogólnej postaci $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, a ponieważ odpowiednie współczynniki muszą być takie same, otrzymujemy wzór Viety na sumę pierwiastków sześciennych:

$$ r_1+r_2+r_3 = -ułamek{b}{a}$$

Zauważ, że możemy podzielić obie strony równania przez 3, aby otrzymać

$$ ułamek{r_1+r_2+r_3}{3} = -frak{b}{3a}$$

To mówi nam, że średni pierwiastek sześcienny to $latex -frac{b}{3a}$. Teraz, jeśli przełożymy sześcienny o tę wielkość, średni pierwiastek wyniesie 0, co sprawi, że suma pierwiastków będzie równa 0, co z kolei sprawi, że współczynnik $latex x^2$ w naszym przetłumaczonym sześciennym zniknie.

Krótko mówiąc, transformacja $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ daje coś, co jest znane jako „obniżony” sześcienny, co po prostu oznacza, że ​​nie ma składnika $latex x^2$ . Nasz przekształcony i przygnębiony sześcienny będzie wyglądał następująco:

$lateks g(x)=ax^3+mx+n$

Współczynniki m i n można wyrazić za pomocą a, b, c, i d z pierwotnego kubika. To, czemu są równe, jest mniej ważne niż fakt, że istnieją gwarantowane techniki znajdowania pierwiastków z zagłębionych sześciennych. W rzeczywistości taka technika leżała u podstaw legendarnego sporu między Gerolamo Cardano i Niccolò Tartaglia w XVI wieku, który dotyczył przyjaźni, zdrady i publicznych pojedynków matematycznych. To jest długa i fascynująca historia, z niezwykłym wnioskiem matematycznym: umiejętność zamiany dowolnego sześciennego na depresyjny sześcienny, wraz ze zdolnością do rozwiązania dowolnego depresyjnego sześciennego, pozwala nam rozwiązać każde równanie sześcienne. Wybacz mi, że pominąłem resztę szczegółów, ponieważ, cóż, po prostu łatwiej ci to pokazać.

Jest to wzór sześcienny, który podobnie jak wzór kwadratowy rozwiązuje każde równanie sześcienne. Ale w przeciwieństwie do kwadratowej formuły, nie ma chwytliwej melodii do śpiewania. Możesz spróbować napisać jeden, ale prawdopodobnie będzie to wymagało kilku zwrotek i refrenu lub dwóch.

ćwiczenia

1. Jeśli znasz jeden pierwiastek z sześciennego, z pewnością możesz znaleźć pozostałe. Dlaczego?

2. Pierwiastki kwadratu mogą być liczbami zespolonymi. Czy to nie wpływa na argument o symetrii?

3. Mając ogólny kwadrat kwadratowy $lateks f(x)=ax^2+bx+c$, rozwiąż przekształcony kwadrat kwadratowy $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$, aby wyprowadzić równanie kwadratowe.

4. Jaka jest średnia pierwiastków funkcji kwartalnej $lateks f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Za pomocą rachunku różniczkowego pokaż, że punkt przegięcia sześcianu jest jednocześnie jego punktem symetrii.