Teoria quântica de campos abre quebra-cabeças matemáticos

No mês passado, Karen Vogtmann e Michael Borinsky postou uma prova que existe um caminhão cheio de estrutura matemática dentro de um mundo matemático até então inacessível chamado espaço de módulos de grafos, que Vogtmann e um colaborador descrita pela primeira vez no meio do 1980.

“Esse é um problema muito difícil. É incrível que tenham conseguido”, disse Dan Margalit, matemático do Instituto de Tecnologia da Geórgia.

Vogtmann e Borinsky começaram com perguntas que Vogtmann, matemática da Universidade de Warwick, vinha se perguntando há décadas. A dupla então reinventou a questão na linguagem da física, usando técnicas da teoria quântica de campos para chegar ao resultado.

A prova demonstra que existem certas estruturas no espaço de módulos, mas não revela explicitamente quais são essas estruturas. Dessa forma, o novo resultado é mais parecido com um detector de metais do que com uma câmera – ele os alerta de que algo interessante está escondido, mesmo que eles não consigam descrevê-lo completamente.

Você pode pensar nos espaços de módulos dos gráficos como formas matemáticas com decoração adicional. Se você estiver em qualquer ponto da forma, verá um gráfico flutuando acima de você – uma coleção de pontos, ou vértices, conectados por arestas. Em diferentes locais de um espaço de módulos, os gráficos mudam, suas arestas diminuem ou aumentam e, às vezes, desaparecem completamente. Devido a estas características, Borinsky, físico matemático do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Zurique, descreve os espaços de módulos como “um grande mar de gráficos”.

A “classificação” de um gráfico é o número de loops que ele possui; para cada classificação de gráficos, existe um espaço de módulos. O tamanho deste espaço cresce rapidamente - se você fixar os comprimentos das arestas do gráfico, existem três gráficos de classificação 2, 15 de classificação 3, 111 de classificação 4 e 2,314,204,852 de classificação 10. No espaço de módulos, esses comprimentos podem variam, introduzindo ainda mais complexidade.

A forma do espaço de módulos para gráficos de uma determinada classificação é determinada pelas relações entre os gráficos. À medida que você caminha pelo espaço, os gráficos próximos devem ser semelhantes e se transformar suavemente um no outro. Mas estas relações são complicadas, deixando o espaço dos módulos com características matematicamente perturbadoras, como regiões onde três paredes do espaço dos módulos passam umas pelas outras.

Os matemáticos podem estudar a estrutura de um espaço ou forma usando objetos chamados classes de cohomologia, que podem ajudar a revelar como um espaço é montado. Por exemplo, considere uma das formas favoritas dos matemáticos, o donut. No donut, as classes de cohomologia são simplesmente loops.

Podem-se desenhar vários tipos diferentes de laços na superfície do donut: o laço 1 circunda o orifício central do donut; passe 2 fios pelo orifício; o terceiro laço “trivial” fica na lateral do donut.

No entanto, nem todas as classes de cohomologia são criadas iguais. Um laço colocado na parte externa do donut – como o terceiro laço – sempre pode deslizar ou encolher para evitar cruzar outro laço. Isso a torna uma aula de cohomologia “trivial”.

Mas os loops 1 e 2 dizem muito mais sobre a estrutura do donut – eles só existem por causa do buraco. Para discernir matematicamente a diferença, você pode usar interseções, explicou Margalit. Os laços 1 e 2 podem deslizar pela superfície do donut, mas, a menos que você os force a se separar completamente da superfície, eles sempre se cruzarão. Como esses dois ciclos vêm com parceiros que eles não podem deixar de cruzar, eles são classes de cohomologia “não triviais”.

Ao contrário de um donut, os matemáticos não conseguem encontrar classes de cohomologia nos espaços de módulos dos gráficos apenas desenhando uma imagem. Com um número tão grande de gráficos, é difícil entender os espaços de módulos, disse Nathalie Wahl, matemática da Universidade de Copenhague. “Muito rapidamente, o computador não consegue mais ajudar”, disse ela. Na verdade, apenas uma classe de cohomologia não trivial de dimensão ímpar foi computado explicitamente (em 11 dimensões), juntamente com um punhado de dimensões pares.

O que Vogtmann e Borinsky provaram é que há um enorme número de classes de cohomologia que se encontram dentro do espaço de módulos de grafos de uma determinada classificação – mesmo que não possamos encontrá-las. “Sabemos que há toneladas, e conhecemos uma”, disse Wahl, chamando a situação de “ridícula”.

Em vez de trabalhar diretamente com aulas de cohomologia, Borinsky e Vogtmann estudaram um número chamado característica de Euler. Este número fornece um tipo de medição do espaço de módulos. Você pode modificar o espaço de módulos de certas maneiras sem alterar sua característica de Euler, tornando a característica de Euler mais acessível do que as próprias classes de cohomologia. E foi isso que Borinsky e Vogtmann fizeram. Em vez de trabalhar diretamente com o espaço de módulos dos gráficos, eles estudaram a “espinha dorsal” – essencialmente um esqueleto do espaço geral. A coluna vertebral tem a mesma característica de Euler do próprio espaço de módulos e é mais fácil de trabalhar. O cálculo da característica de Euler na lombada se resumia à contagem de uma grande coleção de pares de gráficos.

A ideia de Borinsky foi usar técnicas para contar diagramas de Feynman, que são gráficos que representam as formas como as partículas quânticas interagem. Quando os físicos querem calcular, digamos, as chances de que uma colisão entre um elétron e um pósitron produza dois fótons, eles precisam somar todas as interações possíveis que levam a esse resultado. Isso significa calcular a média de muitos diagramas de Feynman, motivando estratégias de contagem inteligentes.

“Percebi que é possível formular esse tipo de problema como uma espécie de universo de teoria quântica de campos de brinquedo”, explicou Borinsky.

Borinsky imaginou os gráficos como representações de sistemas físicos em uma versão simples do universo, na qual, entre outras suposições, existe apenas um tipo de partícula. A estrutura da teoria quântica de campos precisava de alguns ajustes para que Borinsky e Vogtmann conseguissem a contagem correta. Por exemplo, na teoria quântica de campos, dois gráficos que são imagens espelhadas um do outro são indistinguíveis, disse Borinsky. As fórmulas para somar os diagramas de Feynman incluem fatores que garantem que esses gráficos não sejam contados em excesso. Mas quando se trata de calcular a característica de Euler, esses gráficos são considerados diferentes. “Temos que brincar um pouco com as simetrias dos gráficos”, disse Borinsky.

Com alguma ajuda de programação do físico Jos Vermaseren, Borinsky e Vogtmann finalmente superaram essa dificuldade. Em seu artigo de janeiro, eles provaram que a característica de Euler do espaço de módulos dos gráficos de classificação n fica massivamente negativo à medida que n fica maior. Isso implica que existem muitas classes de cohomologia não triviais a serem descobertas dentro de cada espaço de módulos.

Embora o artigo de Borinsky e Vogtmann não contenha mais pistas sobre estas classes de cohomologia, é um resultado encorajador para os investigadores que procuram encontrá-las – e talvez aumente a emoção da caça. Disse Margalit sobre as aulas de cohomologia: “Esses que conhecemos são apenas joias. E cada vez que encontramos um, é uma coisa linda.”