Introducere
În decembrie 1977, un revoluționar hârtie a apărut în liniște în Jurnalul de analiză matematică, un jurnal de specialitate de matematică. Autorul, Hillel Furstenberg, nu a pretins niciun rezultat palpitant – sau chiar nou. El oferise pur și simplu o dovadă a unei teoreme pe care un alt matematician, Endre Szemerédi, o dovedise deja cu doi ani în urmă.
În ciuda acestui fapt, lucrarea lui Furstenberg a lăsat o amprentă de durată asupra matematicii. Noul său argument conținea un sâmbure de perspectivă cu consecințe de anvergură: puteai reformula probleme precum cea pe care Szemerédi le rezolvase, despre seturi de numere întregi, în întrebări despre punctele care se mișcă în spațiu.
În anii de după, tehnicile lui Furstenberg au fost folosite din nou și din nou și, încetul cu încetul, au fost ajustate și îmbunătățite. La începutul acestui an, acestea au fost supraalimentate, apărând în două lucrări noi care descoperă modele infinite în seturi de numere întregi - progresând cu un pas peste teorema lui Szemerédi, acum veche de 47 de ani.
Dovada lui Furstenberg
Szemerédi a examinat seturi care conțin o „fracție pozitivă” a tuturor numerelor întregi. Luați, de exemplu, setul care conține toți multiplii lui 5. Pe măsură ce vă uitați la ramuri din ce în ce mai mari ale dreptei numerice, multiplii lui 5 continuă să apară în mod regulat. Matematicienii spun că mulțimea care conține toți multiplii lui 5 are fracția de o cincime din toate numerele întregi.
În schimb, deși există un număr infinit de numere prime, ele devin atât de rare pe măsură ce numerele devin mai mari încât mulțimea tuturor numerelor prime nu conține o fracțiune pozitivă a numerelor întregi sau, altfel spus, nu are o densitate pozitivă. . În schimb, se spune că numerele prime au densitate zero.
Szemerédi căuta exemple de așa-numitele progresii aritmetice sau lanțuri de numere uniform distanțate. De exemplu, imaginați-vă că aveți o succesiune infinită de numere, cum ar fi pătratele perfecte: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Pătratele perfecte au o progresie aritmetică de lungime trei ascunzându-se în primii câțiva termeni: {1, 25, 49}. Fiecare număr din această progresie este cu 24 mai mult decât predecesorul său.
Szemerédi a demonstrat că orice mulțime care cuprinde o fracțiune pozitivă a numerelor întregi trebuie să conțină progresii aritmetice arbitrar lungi. Rezultatul a fost un reper în subdomeniul matematicii numit combinatorie aditivă.
Dovada lui Szémeredi, deși strălucitoare, a fost aproape imposibil de urmat. „Până în ziua de azi, cred că există poate doar trei sau patru oameni care înțeleg cu adevărat dovada [Szemerédi]”, a spus Terence tao, un matematician la Universitatea din California, Los Angeles.
Deci argumentul mai inteligibil al lui Furstenberg a fost binevenit. Pentru a o scrie, Furstenberg s-a bazat pe metode din domeniul său propriu de matematică, sisteme dinamice. Un sistem dinamic este orice proces care se modifică în timp. Acesta ar putea fi ceva la fel de simplu ca o minge de biliard care se rostogolește în jurul unei mese de biliard. Tot ce aveți nevoie este o modalitate de a vă reprezenta matematic sistemul și o regulă pentru modul în care acesta evoluează. O minge, de exemplu, poate fi descrisă prin poziția și viteza sa. Acel sistem progresează într-un mod prescris în timp, urmând legile fizicii clasice.
Furstenberg era cel mai interesat de ceva numit teorie ergodică. În loc să se uite la starea unui sistem în orice moment dat, teoreticienii ergodici studiază statisticile pe perioade lungi. Pentru o minge de biliard, asta ar putea însemna să ne dai seama dacă mingea ajunge în unele locuri de pe masă mai mult decât în altele, din cauza modului în care tinde să sară de pe pereți.
Ideea cheie a lui Furstenberg a fost aceea de a vedea seturi de numere întregi nu ca obiecte fixe, ci ca stări momentane într-un sistem dinamic. Ar putea părea o mică schimbare de perspectivă, dar i-a permis să folosească instrumente din teoria ergodică pentru a dovedi rezultatele în combinatorie. La acea vreme, Furstenberg habar n-avea că ideile lui aveau să capete o viață proprie. „A fost doar că mi-a plăcut să am această altă dovadă”, a spus el. Dar alții au văzut promisiunea conexiunii dintre teoria ergodică și combinatorie. „O întreagă generație de teoreticieni ergodici a început să se încarce în combinatorie și să rezolve toate aceste probleme și invers”, a spus Tao.
În ultimii ani, patru matematicieni - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter și Donald Robertson — au dezvoltat tehnicile lui Furstenberg pentru a găsi nu doar progresii arbitrar lungi în cadrul oricărei mulțimi care conține o fracțiune pozitivă a numerelor întregi, ci și versiuni infinite de structuri numite sumsets.
„Sumset-urile sunt mult mai puțin specifice decât progresiile; au un aspect mult mai puțin special”, a spus Robertson. „Dar este mai interesant și mai delicat, deoarece sumset-urile sunt configurații infinite, în timp ce progresiile sunt finite.”
Dacă Furstenberg a construit o punte între teoria ergodică și combinatorie, Kra, Moreira, Richter și Robertson l-au extins într-o „autostradă cu șase benzi”, a spus Tao.
B + C Presupunere
Teorema lui Szemerédi a fost propusă pentru prima dată, dar nu demonstrată, în 1936 de doi matematicieni. Unul dintre ei a fost un matematician maghiar renumit pentru că a făcut presupuneri: Paul Erdős. În 2016, în timp ce Moreira lucra la teza sa de doctorat la Universitatea de Stat din Ohio, a dat peste cap o altă presupunere pe care o făcuse Erdős despre structurile numite sumsets.
O sumă este făcută din alte două seturi; chemați-i pe aceștia B și C. Sumset, scris ca B + C, este construit prin adunarea fiecărei perechi posibile de numere împreună, luând un număr din B iar celălalt din C. Erdős a presupus asta pentru orice set A care conține o fracție pozitivă de numere întregi, există și alte mulțimi infinite B și C a cărui sumă este cuprinsă în A. În lucrarea pe care Moreira o citea, autorii au dovedit conjectura lui Erdős când A conține o mare parte a numerelor întregi. Dar pentru seturi mai mici de densitate pozitivă, rezultatul era încă necunoscut. „De îndată ce am citit declarația, am crezut că este o întrebare foarte bună, pentru că este atât de simplă”, a spus Moreira. „Fie este fals, fie nu ar trebui să fie dificil. Ceea ce desigur a fost greșit. Nu a fost nici fals, nici ușor.”
Moreira i-a adus pe Richter și Robertson, prieteni de-ai săi de la liceu, în proiect. Robertson, acum la Universitatea din Manchester, absolvise cu un an înainte de Moreira, iar Richter era în urmă cu câțiva ani. Toți trei erau bine versați în aplicarea tehnicilor teoriei ergodice la combinatorie. Dar această problemă a pus noi provocări.
„Nu a existat practic niciun precedent pentru găsirea de sume infinite într-un set de densitate pozitivă”, a spus Daniel Glasscock, un matematician la Universitatea din Massachusetts, Lowell, care a urmat o școală absolventă cu Moreira, Richter și Robertson.
Poate din acest motiv, problema sumei s-a dovedit dificil de rezolvat. „Trebuie oarecum să forțăm, puțin, teoria ergodică să treacă prin aplicare”, a spus Moreira. Eforturile lor au dat roade în cele din urmă și în ce Marcin Sabok de la Universitatea McGill numită o „realizare uluitoare”, ei au reușit să demonstreze conjectura lui Erdős în 2018. Dovada lor a fost mai târziu publicată în Analele matematicii, una dintre cele mai prestigioase reviste de matematică.
Noile Dovezi
Lucrarea a lăsat deschise două mari întrebări. Una dintre acestea a fost o altă presupunere a lui Erdős numită B + B + t presupunere.
Moreira, Richter și Robertson au venit și ei cu o întrebare proprie: dacă aveți un set de densitate pozitivă A, poți găsi trei seturi infinite - B, C si acum D - Unde B + C + D este înăuntru A? Dar patru seturi infinite? Cinci?
După ce au pozat versiunea multi-set, matematicienii au rămas blocați o vreme. Se părea că tehnicile pe care le folosiseră pentru conjectura în două seturi atinseseră limita.
„Nu am putut găsi o reformulare dinamică a acestei probleme”, a spus Richter. Abordarea lor, a spus el, „a eșuat chiar de la început”.
Au trecut doi ani până când au văzut progrese reale. Până atunci, Richter era bursier postdoctoral la Universitatea Northwestern, unde Bryna Kra a fost profesor. În 2020, împiedicați să se întâlnească în persoană din cauza pandemiei de Covid-19, Kra și Richter s-au trezit discutând problema sumei de pe Zoom.
„În cele din urmă, am venit cu alte variante pe care le-am înțeles”, a spus Kra.
Kra și Richter au început să vorbească cu Moreira și Robertson în fiecare săptămână, reexaminând dovada din 2018.
„Ceea ce trebuia să facem este să regândim fiecare pas al dovezii, începând cu acea traducere într-un sistem dinamic”, a spus Kra.
Un 2019 a fost util pentru cauza lor hârtie de un matematician francez pe nume Bernard Gazdă. Host a dovedit din nou rezultatul lui Moreira, Richter și Robertson și își dăduse seama cum să facă să cânte teoria ergodică. În opinia lui Moreira, Host „a văzut cum să scriem dovada noastră așa cum ar fi trebuit să fie scrisă”.
Cu îmbunătățirile lui Host în mână, Kra, Moreira, Richter și Robertson au continuat să-și modifice dovezile, încercând să extragă cel mai simplu și mai elegant argument posibil. „Bănuiesc că o disecam din nou și din nou, pentru a vedea cu adevărat: care este miezul problemei?” spuse Richter. „La final, am avut o dovadă care semăna foarte puțin cu dovada inițială.”
Dovada cu care au ajuns, la fel ca și cea a lui Furstenberg, a văzut seturile infinite de numere întregi ca mărci de timp într-un sistem dinamic. Acest sistem dinamic, totuși, este mai bine imaginat ca puncte care sar în spațiu.
Iată o imagine aproximativă a modului în care funcționează: Începeți prin a sta într-un colț al unei încăperi închise, numiți-o Colțul 0. Sunteți echipat cu o listă de ori A. Acel set, A, este o mulțime de numere întregi cu densitate pozitivă.
De asemenea, ești echipat cu o regulă pentru deplasarea prin cameră. În fiecare secundă, te muți într-un loc nou, în funcție de locul în care te afli. Regula exactă pe care o urmați va fi concepută pentru a se potrivi cu setul dvs. de timpi A — ori de câte ori este introdusă marca temporală A, te vei regăsi într-o zonă specială a camerei.
De exemplu, să zicem A constă din toate numerele divizibile cu 4 și, în fiecare secundă, vă deplasați în sensul acelor de ceasornic în următorul colț al camerei. După o secundă, treci la Colțul 1; după două secunde, Colțul 2 și așa mai departe. Apoi, la fiecare patru pași - adică pentru fiecare dată când este în A - veți fi revenit la colțul original 0.
Acest proces continuă pentru totdeauna. Călătorind din colț în colț într-un cerc în sensul acelor de ceasornic, vei vizita fiecare colț de nenumărate ori. Un punct de care te apropii de un număr infinit de ori se numește punct de acumulare.
Kra, Moreira, Richter și Robertson au demonstrat că poți alege inteligent unul dintre aceste locuri pentru a-ți găsi vârful B + C. În exemplul de colț, luați Colțul 1. Ajungeți acolo la momentele 1, 5, 9 și 13 - ori care arată ca 4n + 1 pentru un număr întreg n. Lăsa B fi setul acelor vremuri.
Acum imaginați-vă că, în loc să începeți de la Colțul 0, începeți de la Colțul 1. Aceasta înseamnă că uneori, divizibil cu 4, vă veți găsi înapoi la Colțul 1 și veți ajunge la Colțul 0 trei pași mai târziu: uneori. 3, 7, 11 sau orice număr din formularul 4n + 3. Apelați setul acelor timpi C.
Acum, începeți din nou procesul din Colțul 0. De data aceasta, uită-te la ce se întâmplă dacă iei un număr de la B și un număr de la C — să zicem, 13 din B și 3 din C - și adună-le.
Acest lucru ar dura 13 + 3 = 16 secunde. Deoarece 16 este un multiplu al lui 4, este în A. Dar puteți, de asemenea, prezice că 13 + 3 va fi divizibil cu 4 și, astfel, în A, fără a adăuga efectiv 13 și 3 împreună. Urmăriți doar ce se întâmplă în sistemul dinamic când așteptați 13 + 3 secunde: În primul rând, trec 13 secunde. În acel moment, te afli în Colțul 1. Apoi, pornind de la Colțul 1, mai faci trei pași, ceea ce te duce înapoi la Colțul 0. Deoarece ai început din Colțul 0 și ai ajuns acolo înapoi, trebuie să fi așteptat un multiplu de patru secunde, ceea ce înseamnă că timpul total a fost un număr din setul original A.
Pentru ca acest argument să funcționeze, grupul a trebuit să se ocupe de multe detalii matematice capricioase. De exemplu, în cele mai multe cazuri, aveți un număr infinit de locuri disponibile pentru a vă deplasa, nu doar patru colțuri. Asta înseamnă că nu te vei întoarce într-un loc de nenumărate ori; te vei apropia de el doar de nenumărate ori. Asta a introdus noi complicații matematice argumentului. Dar odată ce și-au dat seama cum va funcționa procesul, au știut că vor fi capabili să abordeze întrebările mai grele pe care le urmăreau.
„Am venit cu această dovadă aici și a fost imediat clar cum să o generalizăm”, a spus Richter, care este acum la Institutul Federal Elvețian de Tehnologie Lausanne. Pentru a demonstra versiunea multi-set a conjecturii, de exemplu, cercetătorii ar putea adăuga doar un punct de acumulare la cale. Argumentul general a fost același, doar cu un nou strat de complicație.
Nu a fost ușor să scoți toate detaliile tehnice. După ce s-au hotărât asupra configurației lor dinamice, Kra, Moreira, Richter și Robertson au avut nevoie de peste un an pentru a găsi dovezi ale conjecturilor mai dificile. În iunie a acestui an, grupul a postat în sfârșit două lucrări. Unul a dovedit versiunea multi-set a conjecturii sumset. Celălalt a dovedit că B + B + t versiunea conjecturii, care cere ca al doilea set C fie egal cu primul set B, deplasat de o constantă, t.
Pasii urmatori
Deși lucrările din iunie rezolvă două întrebări despre sumset-uri, Kra, Moreira, Richter și Robertson își imaginează un viitor lung pentru linia lor de cercetare. „La fel ca în tot ceea ce a cerut Erdős, el vrea doar să punem piciorul în ușă”, a spus Moreira, acum la Universitatea din Warwick. „Dar acum trebuie să deschidem ușa și să cercetăm ce mai există.”
În noile lor lucrări, cei patru matematicieni prezintă mai multe direcții posibile de explorare, sub forma unor întrebări încă fără răspuns. Se bazează pe faptul că, deși orice set de densitate pozitivă A conține o sumă infinită B + C, nu conține neapărat cele două componente B și C. Când poți insista asta B și C trebuie să fie, de asemenea, conținut în interior A? Autorii provoacă, de asemenea, matematicienii să-și dea seama dacă pot găsi o succesiune infinită de mulțimi infinite ale căror sume sunt conținute în A.
O altă întrebare deschisă în domeniu a primit deja răspunsul Matt Bowen, un student absolvent al Sabok's la Universitatea McGill. În octombrie, el postat o dovadă că, dacă atribui fiecărui număr întreg una dintre câteva culori, puteți găsi o sumă B+C și un produs de seturi BC în doar una dintre culori.
Încă nu se știe exact unde va duce noua lucrare de la Kra, Moreira, Richter și Robertson. Dar Tao, cel puțin, este optimist cu privire la noile tehnici dezvoltate de grup. Ceea ce obțin cu metodele lor este „de fapt destul de uimitor”, a spus el. „Există și alte întrebări care implică seturi infinite care înainte erau considerate fără speranță, acum la îndemână.”
