Teoria câmpului cuantic Pries Puzzle matematic deschis

Ultima lună, Karen Vogtmann și Michael Borinsky a postat o dovadă că există o încărcătură de structură matematică într-o lume matematică inaccesibilă până acum numită spațiul modulilor de grafice, pe care Vogtmann și un colaborator pentru prima dată la mijlocul anilor 1980.

„Este o problemă foarte grea. Este uimitor că au reușit să facă”, a spus Dan Margalit, un matematician la Institutul de Tehnologie din Georgia.

Vogtmann și Borinsky au început cu întrebări pe care Vogtmann, un matematician de la Universitatea din Warwick, și le-a pus de zeci de ani. Perechea a reimaginat apoi problema în limbajul fizicii, folosind tehnici din teoria cuantică a câmpului pentru a veni cu rezultatul lor.

Dovada demonstrează că anumite structuri există în spațiul modulelor, dar nu dezvăluie în mod explicit care sunt acele structuri. În acest fel, noul lor rezultat seamănă mai mult cu un detector de metale decât cu o cameră - îi avertizează că se ascunde ceva interesant, chiar dacă nu îl pot descrie pe deplin.

Vă puteți gândi la spațiile de module ale graficelor ca forme matematice cu decor adăugat. Dacă stai în orice punct al formei, vei vedea un grafic plutind deasupra ta - o colecție de puncte, sau vârfuri, conectate prin muchii. În diferite locații dintr-un spațiu de moduli, graficele se schimbă, marginile lor se micșorează sau cresc și uneori dispărând cu totul. Din cauza acestor caracteristici, Borinsky, un fizician matematician la Institutul Federal Elvețian de Tehnologie din Zurich, descrie spațiile cu module ca „o mare mare de grafice”.

„Rangul” unui grafic este numărul de bucle pe care le are; pentru fiecare rang de grafice, există un spațiu de module. Mărimea acestui spațiu crește rapid - dacă fixați lungimile marginilor graficului, există trei grafice de rangul 2, 15 de rangul 3, 111 de rangul 4 și 2,314,204,852 de rangul 10. Pe spațiul de module, aceste lungimi pot variază, introducând și mai multă complexitate.

Forma spațiului de module pentru grafice de un rang dat este determinată de relațiile dintre grafice. Pe măsură ce vă plimbați prin spațiu, graficele din apropiere ar trebui să fie similare și ar trebui să se transforme fără probleme unele în altele. Dar aceste relații sunt complicate, lăsând spațiul modulelor cu caracteristici neliniștitoare din punct de vedere matematic, cum ar fi regiunile în care trei pereți ai spațiului modulelor trec unul prin altul.

Matematicienii pot studia structura unui spațiu sau a unei forme folosind obiecte numite clase de coomologie, care pot ajuta la dezvăluirea modului în care este asamblat un spațiu. De exemplu, luați în considerare una dintre formele preferate ale matematicienilor, gogoșia. Pe gogoașă, clasele de coomologie sunt pur și simplu bucle.

Se pot desena mai multe tipuri diferite de bucle pe suprafața gogoșii: Bucla 1 înconjoară gaura centrală a gogoșii; bucla 2 fire prin gaura; a treia buclă „trivială” se așează pe partea gogoșii.

Cu toate acestea, nu toate clasele de coomologie sunt create egale. O buclă așezată în exteriorul gogoșii - ca a treia buclă - poate întotdeauna aluneca sau micșora pentru a evita intersectarea unei alte bucle. Asta o face o clasă de coomologie „trivială”.

Dar buclele 1 și 2 spun mult mai multe despre structura gogoșii - ele există doar din cauza găurii. Pentru a discerne matematic diferența, puteți folosi intersecțiile, a explicat Margalit. Buclele 1 și 2 pot aluneca pe suprafața gogoșii, dar dacă nu le forțați să se desprindă complet de suprafață, se vor intersecta întotdeauna. Deoarece aceste două bucle vin cu parteneri pe care nu se pot abține să nu îi încrucișeze, ele sunt clase de coomologie „nontriviale”.

Spre deosebire de o gogoașă, matematicienii nu pot găsi clase de coomologie pe spațiile de module ale graficelor doar desenând o imagine. Cu un număr atât de mare de grafice, spațiile de module sunt greu de gestionat, a spus Nathalie Wahl, matematician la Universitatea din Copenhaga. „Foarte repede, computerul nu mai poate ajuta”, a spus ea. Într-adevăr, a existat o singură clasă de coomologie netrivială de dimensiuni impare calculate în mod explicit (în 11 dimensiuni), împreună cu o mână de unele egale.

Ceea ce au demonstrat Vogtmann și Borinsky este că există un număr enorm de clase de coomologie care se află în spațiul de module al graficelor de un anumit rang - chiar dacă nu le putem găsi. „Știm că există tone și cunoaștem una”, a spus Wahl, numind starea de lucruri „ridiculă”.

În loc să lucreze direct cu clasele de coomologie, Borinsky și Vogtmann au studiat un număr numit caracteristica Euler. Acest număr oferă un tip de măsurare a spațiului modulelor. Puteți modifica spațiul modulelor în anumite moduri fără a modifica caracteristica lui Euler, făcând caracteristica Euler mai accesibilă decât clasele de coomologie în sine. Și asta au făcut Borinsky și Vogtmann. În loc să lucreze direct cu spațiul de moduli al graficelor, ei au studiat „coloana vertebrală” – în esență un schelet al spațiului general. Coloana vertebrală are aceeași caracteristică Euler ca și spațiul modulului în sine și este mai ușor de lucrat. Calcularea caracteristicii lui Euler pe coloana vertebrală s-a rezumat la numărarea unei colecții mari de perechi de grafice.

Perspectiva lui Borinsky a fost aceea de a folosi tehnici de numărare a diagramelor Feynman, care sunt grafice care reprezintă moduri în care particulele cuantice interacționează. Când fizicienii doresc să calculeze, să zicem, șansele ca o coliziune între un electron și un pozitron să producă doi fotoni, trebuie să însumează toate interacțiunile posibile care duc la acel rezultat. Asta înseamnă să faceți o medie pe mai multe diagrame Feynman, motivând strategii inteligente de numărare.

„Mi-am dat seama că se poate formula acest tip de problemă ca un fel de univers al teoriei câmpurilor cuantice de jucărie”, a explicat Borinsky.

Borinsky și-a imaginat graficele ca reprezentând sisteme fizice într-o versiune simplă a universului, una în care, printre alte presupuneri, există un singur tip de particule. Cadrul teoriei cuantice a câmpului a avut nevoie de unele ajustări pentru ca Borinsky și Vogtmann să obțină numărul corect. De exemplu, în teoria câmpului cuantic, două grafice care sunt imagini în oglindă unul cu celălalt nu se pot distinge, a spus Borinsky. Formulele de adunare a diagramelor Feynman includ factori care asigură că aceste grafice nu sunt suprasolicitate. Dar când vine vorba de calcularea caracteristicii lui Euler, acele grafice sunt considerate diferite. „Trebuie să jucăm un mic joc cu simetriile graficelor”, a spus Borinsky.

Cu ceva ajutor de programare de la fizician Jos Vermaseren, Borinsky și Vogtmann au depășit în sfârșit această dificultate. În lucrarea lor din ianuarie, ei au demonstrat că caracteristica lui Euler a spațiului de module al graficelor de rang n devine masiv negativ ca n devine mai mare. Acest lucru implică faptul că există multe, multe clase de coomologie netriviale care trebuie descoperite în fiecare spațiu de module.

Deși lucrarea lui Borinsky și Vogtmann nu conține alte indicii despre aceste clase de coomologie, este un rezultat încurajator pentru cercetătorii care caută să le găsească - și poate că adaugă la fiorul vânătorii. Margalit a spus despre orele de coomologie: „Acestea pe care le știm că sunt doar aceste pietre prețioase. Și de fiecare dată când găsim unul, este acest lucru frumos.”