Simetria care ușurează rezolvarea ecuațiilor matematice

Gândiți-vă la melodia „Pop Goes the Weasel”. Acum cântă aceste versuri:

Negativ b, plus sau minus
Rădăcina pătrată a b pătrat
minus patru a c
Toate! peste doi a

Acest jingle a ajutat generații de studenți la algebră să-și amintească formula pătratică care rezolvă fiecare ecuație de forma $latex ax^2+bx+c=0$. Formula este la fel de utilă, pe cât ar putea apărea în dicționar sub „anxietate matematică”, iar o privire rapidă vă arată de ce:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Oricât de intimidant pare, ascunderea în interior este un secret simplu care face rezolvarea fiecărei ecuații pătratice ușoară: simetria. Să ne uităm la modul în care simetria face ca formula pătratică să funcționeze și cum o lipsă de simetrie face ca rezolvarea ecuațiilor cubice (de forma $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) să fie mult, mult mai dificilă. Cu atât mai greu, de fapt, încât câțiva matematicieni din anii 1500 și-au petrecut viața implicați în dispute publice amare concurând pentru a face pentru cubice ceea ce se făcea atât de ușor pentru pătratici.

Rezolvarea ecuațiilor este o abilitate de bază la ora de matematică - ne ajută să găsim profituri maxime, distanțe minime, puncte de intersecție și multe altele. Una dintre cele mai de bază ecuații pe care învățăm să le rezolvăm este $latex f(x)=0$. Având în vedere o funcție $latex f(x)$, această ecuație întreabă: Ce intrări x returnează o ieșire de 0? Din acest motiv, soluțiile acestei ecuații sunt uneori numite „zerourile” sau „rădăcinile” funcției.

Înainte de a găsi rădăcinile fiecărei funcții pătratice, să începem cu una ușoară: Care sunt rădăcinile lui $latex f(x)=x^2-9$? Pentru a le găsi, trebuie doar să rezolvați ecuația $latex f(x)=0$.

$latex f(x)=0$
$latex x^2-9=0$
$latex x^2=9$
$latex x=pm3$

Aceste rădăcini sunt ușor de găsit deoarece această ecuație este ușor de rezolvat. Tot ce trebuie să faci este să te izolezi x. Observați că avem nevoie de acel $latex pm$ în ultima linie, deoarece atât 3, cât și -3 au proprietatea că atunci când le pătrați obțineți 9. O verificare rapidă că $latex f(3)=f(-3)=0 $ verifică că acestea sunt într-adevăr intrările care fac ca $latex f(x)$ să iasă 0.

Acel $latex pm$ indică, de asemenea, simetria inerentă situației. Funcția pătratică are două rădăcini, iar dacă vă imaginați cele două rădăcini pe o dreaptă numerică, veți vedea că sunt simetrice față de $latex x=0$.

Și când vă amintiți că graficul unei funcții pătratice este o parabolă, acest lucru are foarte mult sens. Fiecare parabolă are o axă de simetrie care împarte parabola în două bucăți de imagine în oglindă. În cazul $latexului f(x)=x^2-9$, axa de simetrie este y-axa (linia $latex x=0$). Când graficați $latex f(x)=x^2-9$ în mod obișnuit, prin tratare x ca variabilă independentă și setând $latex y=f(x)$, îi puteți vedea rădăcinile pe x-axă, echidistantă de și de ambele părți ale y-axă.

Pentru un pătratic mai complicat, cum ar fi $latex f(x)=x^2-8x-9$, găsirea rădăcinilor necesită un pic mai mult săpat.

$latex f(x)=0$
$latex x^2-8x-9=0$
$latex x^2-8x=9$

Putem seta $latex f(x)$ egal cu 0 și mutam 9 în partea dreaptă așa cum am făcut înainte, dar nu putem lua rădăcina pătrată a ambelor laturi pentru a izola x. Celălalt termen cu x în ea stă în cale. Dar această funcție, ca orice pătratică, este simetrică și putem folosi acea simetrie pentru a naviga în jurul problemei. Avem nevoie doar de puțină algebră pentru a face simetria mai transparentă.

Să rescriem funcția $latex f(x)=x^2-8x-9$ ca $latex f(x)=x(x-8)-9$. Acum concentrați-vă pe partea $latex x(x-8)$. Acesta va fi la 0 în două situații — dacă x = 0 sau dacă x = 8 — și aceasta garantează că $latex f(0)$ și $latex f(8)$ vor lua aceeași valoare de -9. Acest lucru ne oferă două puncte simetrice pe parabolă și, din moment ce axa de simetrie trebuie să împartă $latex x=0$ și $latex x=8$ la mijloc, trebuie să fie linia $latex x=4$.

Acum că am găsit simetria, este timpul să o folosim. Vom muta parabola noastră patru unități la stânga, astfel încât axa ei de simetrie să se miște de la linia $latex x=4$ la linia $latex x=0$. Există o modalitate simplă de a efectua această traducere algebric: înlocuim fiecare x cu x + 4.

Să numim $latex g(x)$ noua funcție pătratică pe care o obținem când înlocuim x cu x+ 4. Cu alte cuvinte, fie $latex g(x)=f(x+4)$. Urmărește ce se întâmplă când simplificăm $latex g(x)$:

$latex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$latex g(x)=x^2-25$

După ce aplicăm proprietatea distributivă de câteva ori și colectăm termeni similari, the x termenul noului nostru pătratic tradus dispare, iar acest lucru facilitează găsirea rădăcinilor $latexului g(x)$:

$latex g(x)=0$
$latex x^2-25=0$
$latex x^2=25$
$latex x=pm5$

Rădăcinile lui $latex g(x)$ sunt $latex x=pm5$, așa că pentru a găsi rădăcinile $latexului f(x)=x^2-8x-9$, mutăm doar rădăcinile lui $latex g( x)$ înapoi patru unități la dreapta. Acest us ne oferă rădăcinile lui $latex f(x)$: $latex 4pm5$, sau 9 și -1, pe care le puteți verifica prin calculul $latex f(9)=f(-1)=0$.

Secretul pentru rezolvarea acestei ecuații pătratice puțin mai dificile a fost să o aluneci și să o transformi într-o ecuație pătratică mai ușoară, eliminând interferența. x termen. Această abordare va funcționa pe orice funcție pătratică. Având în vedere un $latex pătratic arbitrar f(x)=ax^2+bx+c$, puteți găsi întotdeauna axa sa de simetrie cu același bit de factoring:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

În această formă puteți vedea că $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, ceea ce înseamnă că axa de simetrie este la jumătatea distanței dintre $latex x=0$ și $latex x= -frac{b}{a}$. Cu alte cuvinte, axa de simetrie a oricărei funcții pătratice $latex f(x)=ax^2+bx+c$ este linia $latex x=-frac{b}{2a}$. Și asta ar trebui să pară familiar. Se ascunde în formula pătratică!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Este mai ușor să vezi dacă îl rescrii astfel:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Formula pătratică se bazează pe faptul că rădăcinile $latexului pătratic f(x)=ax^2+bx+c$ sunt simetrice în jurul $latexului x=-frac{b}{2a}$. Și așa cum am făcut mai sus, puteți folosi acea simetrie pentru a le găsi: Doar traduceți $latex f(x)$ cu $latex -frac{b}{2a}$. Acest lucru are ca efect eliminarea x termen, care vă permite apoi să vă izoleți cu ușurință x si rezolva. Faceți acest lucru și veți obține formula pătratică. (Vezi exercițiile de mai jos pentru mai multe detalii.) Acest lucru nu este la fel de ușor ca fredonarea unei melodii pentru copii, dar demonstrează conexiunile algebrice și geometrice importante care fac ca această formulă să funcționeze.

Rezolvarea pătraticii cu puterea simetriei ne-ar putea încuraja să încercăm o tactică similară pentru ecuațiile cubice. Dar, deși cubicurile au simetrie, nu este genul care ajută la rezolvarea ecuațiilor precum $latex f(x)=0$. Graficele cubice au „simetrie punctuală”, ceea ce înseamnă că există un punct special pe graficul fiecărei funcții cubice în care, dacă o linie trece prin acel punct și intersectează cubicul oriunde altundeva, ea intersectează din nou graficul simetric în jurul punctului respectiv.

Acesta este un tip puternic de simetrie, dar nu ajută la găsirea rădăcinilor. Asta pentru că rădăcinile unei funcții apar acolo unde graficul acesteia traversează linia orizontală $latex y=0$ ( x-axa) și, în general, acele intersecții nu sunt simetrice față de punctul special de simetrie al cubicului.

De fapt, un cubic ar putea avea doar rădăcină. Nu există simetrie acolo.

Cu toate acestea, există ceva din munca noastră anterioară cu pătratici care poate ajuta.

Dacă avem o funcție pătratică $latex f(x)=ax^2+bx+c$ și știm că rădăcinile ei sunt $latex r_1 $ și $latex r_2$, atunci putem scrie întotdeauna $latex f(x)$ în Forma „factorizată”: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Acum, când înmulțim acest lucru și simplificăm, obținem ceva foarte util cu care să lucrăm.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Observați cum coeficientul lui x termenul implică suma celor două rădăcini $latex r_1$ și $latex r_2$. Aceasta este legată de una dintre formulele lui Vieta (pe care poate ați văzut-o dată or de două ori înainte în aceste coloane): Având în vedere o funcție pătratică $latex f(x)=ax^2+bx+c$, suma celor două rădăcini va fi întotdeauna $latex -frac{b}{a}$. Puteți arăta acest lucru setând forma generală a pătraticii egală cu forma sa factorizată $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ și observând că singurul mod în care două polinoame pot de fapt fie același este dacă coeficienții lor corespunzători sunt aceiași. În acest caz, asta înseamnă coeficienții lui x termenii de pe ambele părți ale ecuației trebuie să fie egali, așa că putem scrie

$latex b=-a(r_1+r_2)$

si apoi imparti:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Observați că împărțirea ambelor părți ale acestei ecuații la 2 demonstrează un fapt interesant: media celor două rădăcini ale funcției pătratice este egală cu x-valoarea axei de simetrie:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Acest lucru are sens, deoarece axa de simetrie trebuie să fie în mijlocul celor două rădăcini, iar media oricăror două numere este numărul exact în mijlocul lor.

Dar luați în considerare această nouă relație în contextul traducerii noastre anterioare. Translarea parabolei prin mutarea axei de simetrie de la $latex x = -frac{b}{2a}$ la $latex x=0$ schimbă, de asemenea, media celor două rădăcini din $latex -frac{b}{2a} $ la 0.

Dar dacă media rădăcinilor este 0, atunci și suma rădăcinilor trebuie să fie 0, iar suma celor două rădăcini apare în forma factorizată a pătraticii:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Aceasta înseamnă că traducerea pătratică astfel încât suma rădăcinilor să devină 0 face de asemenea x termenul dispar. Acesta este ceea ce ne-a ajutat să rezolvăm ecuația pătratică anterioară și un rezultat similar despre rădăcini este valabil și pentru funcțiile cubice.

Având în vedere un $latex cubic general f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, putem face ceea ce am făcut cu pătratica. Dacă cubicul are rădăcini $latex r_1$, $latex r_2$ și $latex r_3$, putem scrie funcția cubică în forma sa factorizată $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ și înmulțiți-l. Acest lucru ne dă $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ pe care apoi îl setăm egal cu forma generală $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, iar din moment ce coeficienții corespunzători trebuie să fie aceiași, ajungem la formula lui Vieta pentru suma rădăcinilor unui cubic:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Observați că putem împărți ambele părți ale ecuației la 3 pentru a obține

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Aceasta ne spune că rădăcina medie a cubicului este $latex -frac{b}{3a}$. Acum, dacă traducem cubicul cu această sumă, rădăcina medie va fi 0, ceea ce va face ca suma rădăcinilor să fie egală cu 0, ceea ce la rândul său va face ca coeficientul $latexului x^2$ din cubul nostru translatat să dispară.

Pe scurt, transformarea $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ produce ceea ce este cunoscut sub numele de cubic „deprimat”, ceea ce înseamnă pur și simplu că nu are termen $latex x^2$ . Cubicul nostru transformat și deprimat va arăta astfel:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

Coeficienții m și n poate fi exprimat în termeni de a, b, c, și d din cubul original. Ceea ce sunt egali este mai puțin important decât faptul că există tehnici garantate pentru găsirea rădăcinilor cubicilor deprimați. De fapt, o astfel de tehnică a fost în centrul unei dispute legendare dintre Gerolamo Cardano și Niccolò Tartaglia în anii 1500, care a implicat prietenie, trădare și dueluri publice de matematică. E o poveste lungă și fascinantă, cu o concluzie matematică remarcabilă: Capacitatea de a transforma orice cubic într-un cubic deprimat, împreună cu capacitatea de a rezolva orice cubic deprimat, ne permite să rezolvăm fiecare ecuație cubică. Mă vei ierta că am omis restul detaliilor pentru că, ei bine, este mai ușor să îți arăt.

Aceasta este formula cubică, care, ca și formula pătratică, rezolvă fiecare ecuație cubică. Dar, spre deosebire de formula pătratică, nu are nicio melodie atrăgătoare pentru a cânta. Ești binevenit să încerci să scrii unul, dar probabil că va avea nevoie de câteva versuri și un refren sau două.

Exerciții

1. Dacă cunoști o rădăcină a unui cubic, cu siguranță le poți găsi pe celelalte. De ce?

2. Rădăcinile unui pătratic pot fi numere complexe. Asta nu afectează argumentul simetriei?

3. Având în vedere $latexul pătratic general f(x)=ax^2+bx+c$, rezolvați $latexul pătratic transformat g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}dreapta)$ pentru a obține formulă pătratică.

4. Care este media rădăcinilor funcţiei quartice $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Folosiți calculul pentru a arăta că punctul de inflexiune al unui cubic este și punctul său de simetrie.