Введение
В декабре 1977 года революционер бумаги незаметно появился в Журнал математического анализа, специальный математический журнал. Автор, Хиллель Фюрстенберг, не претендовал на какие-либо захватывающие или даже новые результаты. Он просто предложил доказательство теоремы, которую другой математик, Эндре Семереди, уже доказал за два года до этого.
Несмотря на это, работа Фюрстенберга оставила неизгладимый след в математике. В его новом аргументе содержалось ядро понимания с далеко идущими последствиями: вы могли бы переформулировать проблемы, подобные той, которую решил Семереди, о множествах целых чисел, в вопросы о точках, перемещающихся в пространстве.
С тех пор методы Фюрстенберга использовались снова и снова, и мало-помалу они корректировались и улучшались. Ранее в этом году они были усилены, появившись в двух новых статьях, которые раскрывают бесконечные закономерности в наборах целых чисел, стремительно продвигаясь вперед по сравнению с теоремой Семереди, которой уже 47 лет.
Доказательство Фюрстенберга
Семереди исследовал множества, содержащие «положительную дробь» всех целых чисел. Возьмем, к примеру, множество, содержащее все числа, кратные 5. По мере того как вы смотрите на все большие и большие участки числовой прямой, числа, кратные 5, продолжают регулярно появляться. Математики говорят, что множество, содержащее все числа, кратные 5, составляет пятую часть всех целых чисел.
Напротив, хотя существует бесконечное число простых чисел, они становятся настолько редкими по мере того, как числа становятся больше, что множество всех простых чисел не содержит положительной доли целых чисел или, другими словами, не имеет положительной плотности. . Вместо этого говорят, что простые числа имеют нулевую плотность.
Семереди искал примеры так называемых арифметических прогрессий или цепочек равномерно расположенных чисел. Например, представьте, что у вас есть бесконечная последовательность чисел, например идеальные квадраты: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Совершенные квадраты имеют арифметическую прогрессию длины три, скрывающуюся в первых нескольких членах: {1, 25, 49}. Каждое число в этой прогрессии на 24 больше предыдущего.
Семереди доказал, что любое множество, состоящее из положительной доли целых чисел, должно содержать сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Результатом стала веха в области математики, называемой аддитивной комбинаторикой.
Доказательство Семереди, хотя и блестящее, было почти невозможно проследить. «По сей день я думаю, что есть только три или четыре человека, которые действительно понимают доказательство [Семереди]», — сказал Теренс Тао, математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
Так что более понятный аргумент Фюрстенберга можно только приветствовать. Чтобы написать ее, Фюрстенберг опирался на методы из своей области математики, динамических систем. Динамическая система – это любой процесс, изменяющийся во времени. Это может быть что-то такое же простое, как бильярдный шар, катающийся по бильярдному столу. Все, что вам нужно, — это способ математического представления вашей системы и правило ее развития. Мяч, например, можно описать его положением и скоростью. Эта система развивается предписанным образом с течением времени, следуя законам классической физики.
Фюрстенберг больше всего интересовался так называемой эргодической теорией. Вместо того, чтобы смотреть на состояние системы в любой момент времени, теоретики эргодики изучают статистику за длительные периоды. Для бильярдного шара это может означать выяснение того, попадает ли шар в одни места на столе чаще, чем в другие, из-за того, что он имеет тенденцию отскакивать от стен.
Ключевая идея Фюрстенберга заключалась в том, чтобы рассматривать наборы целых чисел не как фиксированные объекты, а как мгновенные состояния в динамической системе. Это может показаться небольшим изменением точки зрения, но оно позволило ему использовать инструменты эргодической теории для доказательства результатов в комбинаторике. В то время Фюрстенберг понятия не имел, что его идеи обретут собственную жизнь. «Просто мне хотелось иметь еще одно доказательство», — сказал он. Но другие видели многообещающую связь между эргодической теорией и комбинаторикой. «Целое поколение теоретиков эргодики начало как бы заниматься комбинаторикой и решать все эти проблемы, и наоборот», — сказал Тао.
За последние несколько лет четыре математика — Брына Кра, Джоэл Морейра, Флориан Рихтер и Дональд Робертсон — разработали методы Фюрстенберга для нахождения не только произвольно длинных прогрессий в любом множестве, содержащем положительную часть целых чисел, но и бесконечных версий структур, называемых наборами сумм.
«Суммы гораздо менее конкретны, чем прогрессии; они гораздо менее особенные, — сказал Робертсон. «Но это более интересно и более деликатно, потому что суммы сумм — это бесконечные конфигурации, тогда как прогрессии конечны».
Если Фюрстенберг построил мост между эргодической теорией и комбинаторикой, Кра, Морейра, Рихтер и Робертсон расширили его до «шоссе с шестью полосами», сказал Тао.
B + C догадка
Теорема Семереди была впервые предложена, но не доказана в 1936 году двумя математиками. Одним из них был венгерский математик, известный своими предположениями: Пауль Эрдёш. В 2016 году, когда Морейра работал над докторской диссертацией в Университете штата Огайо, он наткнулся на еще одна догадка Эрдёша о структурах, называемых суммами.
Сумма состоит из двух других наборов; позвони тем B и C. Сумма, записанная как B + C, строится путем сложения каждой возможной пары чисел, взяв одно число из B а другой из C. Эрдёш предположил, что для любого множества A содержащий положительную часть целых чисел, существуют и другие бесконечные множества B и C сумма которых содержится внутри A. В статье, которую читал Морейра, авторы доказали гипотезу Эрдёша, когда A содержит большую часть целых чисел. Но для меньших наборов положительной плотности результат все еще был неизвестен. «Как только я прочитал заявление, я подумал, что это действительно хороший вопрос, потому что он такой простой», — сказал Морейра. — Либо это ложь, либо это не должно быть сложно. Что, конечно, было неправильно. Это не было ни фальшиво, ни легко».
Морейра привлек к проекту Рихтера и Робертсона, своих друзей по аспирантуре. Робертсон, работавший сейчас в Манчестерском университете, окончил его на год раньше Морейры, а Рихтер отстал на пару лет. Все трое хорошо разбирались в применении методов эргодической теории к комбинаторике. Но эта проблема породила новые вызовы.
«Практически не было прецедента нахождения бесконечных сумм внутри множества положительной плотности», — сказал Дэниел Гласскок, математик из Массачусетского университета в Лоуэлле, который учился в аспирантуре вместе с Морейрой, Рихтером и Робертсоном.
Возможно, по этой причине задачу о суммировании оказалось трудно решить. «Нам нужно немного усилить эргодическую теорию», — сказал Морейра. Их усилия в конце концов окупились, и в чем Марчин Сабок Университета Макгилла назвали «поразительным достижением», им удалось доказать гипотезу Эрдёша в 2018 году. Позднее их доказательство было опубликовано в Анналы математики, один из самых престижных математических журналов.
Новые доказательства
Эта статья оставила открытыми два больших вопроса. Одной из них была еще одна гипотеза Эрдёша, названная B + B + t Гипотеза.
Морейра, Рихтер и Робертсон также задали собственный вопрос: если у вас есть множество с положительной плотностью A, можете ли вы найти три бесконечных множества — B, C и сейчас D - в котором B + C + D это внутри A? Как насчет четырех бесконечных множеств? Пять?
После того, как они представили версию с несколькими множествами, математики на время застряли. Казалось, методы, которые они использовали для гипотезы о двух множествах, достигли своего предела.
«Мы не смогли найти динамической переформулировки этой проблемы», — сказал Рихтер. Их подход, по его словам, «просто провалился в самом начале».
Прошло два года, прежде чем они увидели реальный прогресс. К этому времени Рихтер был научным сотрудником в Северо-Западном университете, где Брына Кра был профессором. В 2020 году из-за пандемии Covid-19 Кра и Рихтер не смогли встретиться лично, и Кра и Рихтер начали обсуждать проблему суммирования в Zoom.
«В конце концов, мы придумали несколько других вариантов, которые мы поняли», — сказал Кра.
Кра и Рихтер начали разговаривать с Морейрой и Робертсоном каждую неделю, пересматривая доказательство 2018 года.
«Что нам нужно было сделать, так это переосмыслить каждый шаг доказательства, начиная с этого перевода в динамическую систему», — сказал Кра.
Полезным для их дела был 2019 бумаги французским математиком по имени Бернард Хост. Хост повторно доказал результат Морейры, Рихтера и Робертсона и выяснил, как заставить эргодическую теорию петь. По мнению Морейры, Хост «увидел, как написать наше доказательство так, как оно должно было быть написано».
Имея в руках усовершенствования Хоста, Кра, Морейра, Рихтер и Робертсон продолжали корректировать свое доказательство, пытаясь извлечь самый простой и элегантный из возможных аргументов. «Мы просто анализировали это, я думаю, снова и снова, чтобы действительно понять: в чем суть проблемы?» — сказал Рихтер. «В конце концов, у нас было доказательство, которое очень мало походило на исходное доказательство».
Доказательство, к которому они пришли, подобно доказательству Фюрстенберга, рассматривало бесконечные наборы целых чисел как отметки времени в динамической системе. Однако эту динамическую систему лучше представить в виде точек, прыгающих в пространстве.
Вот приблизительная картина того, как это работает: начните с того, что встаньте в один угол закрытой комнаты, назовите его Угол 0. У вас есть список временных интервалов. A. Этот набор, A, представляет собой набор целых чисел с положительной плотностью.
У вас также есть правило для передвижения по комнате. Каждую секунду вы перемещаетесь на новое место в зависимости от того, где вы только что стояли. Точное правило, которому вы следуете, будет разработано в соответствии с вашим набором времени. A - всякий раз, когда отметка времени находится в A, вы окажетесь в одной особой области комнаты.
Например, скажем A состоит из всех чисел, делящихся на 4, и каждую секунду вы перемещаетесь по часовой стрелке в следующий угол комнаты. Через одну секунду вы переходите к углу 1; через две секунды, Угловой 2 и так далее. Затем каждые четыре шага — то есть каждый раз, когда А - вы вернетесь к исходному углу 0.
Этот процесс продолжается вечно. Путешествуя из угла в угол по кругу по часовой стрелке, вы будете посещать каждый угол бесконечно много раз. Точка, к которой вы приближаетесь бесконечное число раз, называется точкой накопления.
Кра, Морейра, Рихтер и Робертсон доказали, что можно с умом выбрать одно из этих мест, чтобы найти свою сумму. B + C. В примере с углом возьмите Угол 1. Вы прибываете туда в моменты времени 1, 5, 9 и 13 — времена, которые выглядят как 4.n + 1 для некоторого целого числа n, Позволять B быть множество тех времен.
Теперь представьте, что вместо того, чтобы начинать с угла 0, вы начинаете с угла 1. Это означает, что в моменты времени, кратные 4, вы снова окажетесь в углу 1 и доберетесь до угла 0 тремя шагами позже: 3, 7, 11 или любое число в форме 4n + 3. Назовите множество тех времен C.
Теперь снова начните процесс с угла 0. На этот раз посмотрите, что произойдет, если вы возьмете число из B и номер из C — скажем, 13 от B и 3 из C - и добавить их.
Это займет 13 + 3 = 16 секунд. Поскольку 16 кратно 4, оно в A. Но вы также можете предсказать, что 13 + 3 будет делиться на 4, и, таким образом, в A, без фактического сложения 13 и 3 вместе. Просто посмотрите, что происходит в динамической системе, когда вы ждете 13 + 3 секунды: сначала проходит 13 секунд. В этот момент вы окажетесь в углу 1. Затем, начиная с угла 1, вы сделаете еще три шага, которые вернут вас обратно в угол 0. Поскольку вы начали с угла 0 и оказались там, вы, должно быть, дождались кратно четырем секундам, что означает, что общее количество времени было числом в исходном наборе A.
Чтобы заставить этот аргумент работать, группе пришлось иметь дело со многими привередливыми математическими деталями. Например, в большинстве случаев у вас есть бесконечное количество точек для перемещения, а не только четыре угла. Это означает, что вы на самом деле не будете возвращаться в одно и то же место бесконечно много раз; вы будете приближаться к нему бесконечно много раз. Это внесло в аргумент новые математические сложности. Но как только они выяснили, как будет работать этот процесс, они поняли, что смогут решить более сложные вопросы, которые им были нужны.
«Мы пришли к этому доказательству здесь, и сразу стало ясно, как его обобщить», — сказал Рихтер, который сейчас работает в Швейцарском федеральном технологическом институте в Лозанне. Например, чтобы доказать мультимножественную версию гипотезы, исследователи могут просто добавить к пути точку накопления. Общий аргумент был таким же, только с новым уровнем сложности.
Продумать все технические детали было непросто. После того как они остановились на своей динамической установке, Кра, Морейре, Рихтеру и Робертсону потребовалось больше года, чтобы разработать доказательства более сложных предположений. В июне этого года группа наконец опубликовала две статьи. Один доказал мультимножественная версия гипотезы о множестве сумм. Другой доказал B + B + t версия гипотезы, которая требует, чтобы второй набор C быть равным первому набору B, сдвинутый на некоторую константу, t.
Следующие шаги
Хотя июньские статьи решают два вопроса о суммах сумм, Кра, Морейра, Рихтер и Робертсон предвидят долгое будущее для своего направления исследований. «Как и во всем, о чем спрашивал Эрдёш, он просто хочет, чтобы мы открыли дверь», — сказал Морейра, который сейчас работает в Уорикском университете. «Но теперь нам нужно открыть дверь и пойти исследовать, что еще там есть».
В своих новых работах четыре математика излагают несколько возможных направлений исследований в виде вопросов, на которые пока нет ответов. Один опирается на тот факт, что, хотя любое множество с положительной плотностью A содержит бесконечную сумму B + C, он не обязательно содержит два компонента B и C. Когда вы можете настаивать на том, что B и C также должен содержаться внутри A? Авторы также ставят перед математиками задачу выяснить, могут ли они найти бесконечную последовательность бесконечных множеств, чьи суммы содержатся в A.
На другой открытый вопрос уже ответил Мэтт Боуэн, аспирант Сабока в Университете Макгилла. В октябре он размещены доказательство того, что если вы присвоите каждому целому числу один из нескольких цветов, вы можете найти набор суммы Б+С и произведение множеств BC только в одном из цветов.
Куда именно заведет новая работа Кра, Морейры, Рихтера и Робертсона, пока неизвестно. Но Тао, по крайней мере, с оптимизмом смотрит на новые техники, разработанные группой. То, чего они достигают с помощью своих методов, «на самом деле довольно удивительно», — сказал он. «Есть и другие вопросы, связанные с бесконечными множествами, которые раньше считались безнадежными, а теперь вполне достижимы».
