Odmevi elektromagnetizma v teoriji števil | Revija Quanta

Leta 2018, ko se je pripravljal na podelitev Fieldsove medalje, najvišjega matematičnega priznanja, je Akshay Venkatesh v žepu nosil kos papirja. Nanj je napisal tabelo matematičnih izrazov, ki so stoletja igrali ključno vlogo v teoriji števil.

Čeprav so bili izrazi v zadnjem desetletju zelo pomembni v Venkateshovih lastnih raziskavah, jih ni nosil s seboj kot spomin na to, kar je dosegel, ampak kot opomin na nekaj, česar še vedno ni razumel.

Stolpci tabele so bili napolnjeni s skrivnostnimi matematičnimi izrazi: na skrajni levi so bili predmeti, imenovani pike, na desni pa predmeti, imenovani L-funkcije, ki bi lahko bile ključ do odgovora na nekatera najpomembnejša vprašanja sodobne matematike. Tabela je nakazovala nekakšen odnos med obema. V knjigi iz leta 2012 z Yiannis Sakellaridis univerze Johns Hopkins, Venkatesh je izdelal eno smer tega: če so dobili obdobje, so lahko ugotovili, ali je povezano L- funkcija.

Vendar razmerja v obratni smeri še niso mogli razumeti. Nemogoče je bilo napovedati, ali bo dano L-funkcija je imela obdobje ujemanja. Ko so pogledali L-funkcije, so v veliki meri videli motnjo.

Zato je Venkatesh hranil papir v žepu. Upal je, da bo, če bo dovolj dolgo strmel v seznam, skupne lastnosti v tej na videz naključni zbirki L-funkcije bi mu postale jasne. Po enem letu premetavanja se niso.

"Nisem mogel razumeti, kakšno je načelo za to mizo," je dejal.

Leto 2018 je bilo za Venkatesh veliko na več načinov. Poleg tega, da je prejel Fieldsovo medaljo, se je tudi preselil z univerze Stanford, kjer je bil prejšnje desetletje, na Inštitut za napredne študije v Princetonu v New Jerseyju.

S Sakellaridisom sta se tudi začela pogovarjati z David Ben-Zvi, matematik na Univerzi v Teksasu v Austinu, ki je preživel semester na inštitutu. Ben-Zvi je svojo kariero zgradil na vzporednem področju matematike, pri čemer je raziskoval enaka vprašanja o številih, ki so jih zanimala Sakellaridis in Venkatesh, vendar z geometrijskega vidika. Ko je slišal Venkatesha govoriti o tej skrivnostni mizi, ki jo je povsod nosil s seboj, je Ben-Zvi skoraj takoj začel videti nov način ustvarjanja menstruacije in L-funkcije med seboj komunicirajo.

Ta trenutek priznanja je spodbudil večletno sodelovanje, ki se je uresničilo julija lani, ko so Ben-Zvi, Sakellaridis in Venkatesh objavili 451 strani dolg rokopis. Papir ustvarja dvosmerni prevod med obdobji in L-deluje s preoblikovanjem obdobij in L-funkcije v smislu para geometrijskih prostorov, ki se uporabljajo za preučevanje osnovnih vprašanj v fiziki.

S tem napreduje pri dolgoletnih sanjah v okviru obsežne raziskovalne pobude v matematiki, imenovane Langlandsov program. Matematiki, ki se ukvarjajo z vprašanji v programu, si prizadevajo zgraditi mostove med različnimi področji, da bi pokazali, kako je mogoče uporabiti napredne oblike računanja (od koder izvirajo pike) za odgovore na temeljna odprta vprašanja v teoriji števil (doma L-funkcije), ali kako lahko geometrijo uporabimo pri osnovnih vprašanjih aritmetike.

Upajo, da bo mogoče, ko bodo ti mostovi vzpostavljeni, tehnike prenesti iz enega področja matematike v drugo, da bi odgovorili na pomembna vprašanja, ki se zdijo nerešljiva znotraj njihovih domen.

Novi dokument je eden prvih, ki povezuje geometrijske in aritmetične strani programa, ki so desetletja napredovali v veliki meri ločeno drug od drugega. Z ustvarjanjem te povezave in učinkovitim povečanjem obsega Langlandsovega programa, kot je bil prvotno zasnovan, novi dokument zagotavlja enoten konceptualni okvir za množico matematičnih povezav.

"Združuje veliko prejšnjih pojavov, ki se razlikujejo po videzu, in to je za matematike vedno veselje," je dejal Minhyong Kim, direktor Mednarodnega centra za matematične znanosti v Edinburghu na Škotskem.

Samo Povežite se

Program Langlands je nastal na pobudo Robert Langlands, zdaj zaslužni profesor na Inštitutu za napredne študije. Začel se je leta 1967 kot 17-stranski ročno napisano pismo od Langlandsa, takrat mladega profesorja na univerzi Princeton, do Andrea Weila, ki je bil eden najbolj znanih matematikov na svetu. Langlands je predlagal, da bi moral obstajati način združevanja pomembnih predmetov iz računa, imenovanih avtomorfne oblike, s predmeti iz algebre, imenovanih Galoisove skupine. Avtomorfne oblike so posplošitev periodičnih funkcij, kot je sinus v trigonometriji, katerih izhodi se neskončno ponavljajo, ko vhodi rastejo. Galoisove skupine so matematični objekti, ki opisujejo, kako se entitete, imenovane polja (kot so realna ali racionalna števila), spremenijo, ko se razširijo z novimi elementi.

Podobne pare med avtomorfnimi oblikami in Galoisovimi skupinami imenujemo dvojnosti. Predlagajo, da se različni razredi predmetov zrcalijo drug v drugem, kar matematikom omogoča preučevanje enega v smislu drugega.

Generacije matematikov so si prizadevale dokazati obstoj Langlandsove domnevne dvojnosti. Čeprav so ga uspeli vzpostaviti le za omejene primere, so celo ti omejeni primeri pogosto prinesli spektakularne rezultate. Na primer, ko je leta 1994 Andrew Wiles pokazal, da Langlandsova predlagana dvojnost velja za določen razred primerov, je bil rezultat njegov dokaz Fermatovega zadnjega izreka, med najslavnejšimi rezultati v zgodovini matematike.

Ker so matematiki sledili Langlandsovemu programu, so ga tudi razširili v številne smeri.

Ena taka smer je bila preučevanje dvojnosti med aritmetičnimi objekti, ki so povezani s tistimi, ki so zanimali Langlandsa, vendar se razlikujejo od njih. Sakellaridis in Venkatesh sta v svoji knjigi iz leta 2012 proučevala dvojnost med obdobji, ki so tesno povezana z avtomorfnimi oblikami, in L-funkcije, ki so neskončne vsote, ki se vežejo na Galoisove skupine. Z matematičnega vidika so obdobja in L-funkcije so popolnoma različne vrste objektov brez očitnih skupnih lastnosti.

Obdobja so se pojavila kot predmeti matematičnega zanimanja v delu Ericha Heckeja v tridesetih letih prejšnjega stoletja.

L-funkcije so neskončne vsote, ki se uporabljajo od dela Leonharda Eulerja sredi 18. stoletja za raziskovanje osnovnih vprašanj o številih. Najbolj znan L-funkcija, Riemannova zeta funkcija, je v središču Riemannove hipoteze, na katero lahko gledamo kot na napoved o tem, kako so praštevila porazdeljena. The Riemannova hipoteza je nedvomno najpomembnejši nerešen problem v matematiki.

Langlands se je zavedal možnih povezav med L-funkcije in obdobja, vendar je nanje gledal kot na sekundarno zadevo v svoji shemi združevanja različnih področij matematike.

»V enem dokumentu je [Langlands] obravnaval to študijo obdobij in L- deluje kot nekaj, kar ni vredno preučevanja,« je dejal Sakellaridis.

Dobrodošli v Stroju

Čeprav Robert Langlands ni poudaril povezave med obdobji in L-funkcij sta Sakellaridis in Venkatesh nanje gledala kot na osrednjega pomena za širjenje in poglabljanje povezav med na videz oddaljenimi področji matematike, ki jih je predlagal Langlands.

V svoji knjigi iz leta 2012 sta razvila nekakšen stroj, ki je kot vhod vzel piko, izvedel dolgo računanje in izdal L- funkcija. Vsa obdobja ne dajejo ustreznih L-funkcij in glavni teoretični napredek njihove knjige je bil razumeti, katere delujejo. (To temelji na prejšnjem delu Atsushija Ichina in Tamotsuja Ikede na kjotski univerzi.)

Toda njihov pristop je imel dve omejitvi. Prvič, ni pojasnilo, zakaj dano obdobje daje dano L- funkcija. Stroj, ki je spreminjal eno v drugo, je bila črna skrinjica. Bilo je, kot da bi izdelali prodajni avtomat, ki je pogosto zanesljivo ponudil nekaj za pojesti vsakič, ko ste vložili denar, le da ni bilo mogoče vedeti, kaj bo vnaprej, ali če bo avtomat pojedel denar, ne da bi razdelil prigrizek.

V vsakem posameznem primeru bi vložili svoj denar – svojo menstruacijo – nato pa »pojdite in naredite dolg izračun in poglejte, kateri izmed živalskega vrta L- funkcije, ki jih imaš,« je rekel Venkatesh.

Druga stvar, ki jima v svoji knjigi ni uspelo doseči, je bila ugotovitev, katere L- funkcije imajo povezane periode. Nekateri to počnejo. Drugi ne. Niso mogli ugotoviti, zakaj.

Po izidu knjige so nadaljevali z delom in poskušali ugotoviti, zakaj je povezava delovala in kako zagnati stroj v obe smeri – ne le pridobiti L-funkcija iz obdobja, pa tudi obratno.

Z drugimi besedami, želeli so vedeti, da če dajo 1.50 $ v prodajni avtomat, to pomeni, da bodo dobili vrečko Cheetos. Poleg tega so želeli povedati, da če imajo v rokah vrečko Cheetos, to pomeni, da so v prodajni avtomat dali 1.50 $.

Ker povezujejo predmete, ki na prvi pogled nimajo nič skupnega, so dvojnosti močne. Lahko bi večno strmeli v niz matematičnih objektov in ne bi razumeli, kako L-funkcije in obdobja se ujemajo.

»Način, kako so opredeljeni in podani, to obdobje in L-funkcijo, ni očitne povezave,« je dejal Wee Teck Gan Nacionalne univerze v Singapurju.

Če želite prevajati med na videz nesorazmernimi stvarmi, morate najti skupno točko. Eden od načinov za to za predmete, kot je L-funkcij in period, ki izvirajo iz teorije števil, je povezovanje z geometrijskimi objekti.

Za primer igrače si predstavljajte, da imate trikotnik. Izmerite dolžino vsake stranice in izdelate lahko niz številk, ki vam pove, kako zapisati L- funkcija. Poglejte drug trikotnik in namesto dolžin poglejte tri notranje kote - s temi koti lahko določite obdobje. Torej namesto primerjave L- funkcije in obdobja neposredno, lahko primerjate njihove povezane trikotnike. Za trikotnike lahko rečemo, da "indeksirajo". L-funkcije in obdobja — če se obdobje ujema s trikotnikom z določenimi koti, potem se dolžine tega trikotnika ujemajo z ustreznim L- funkcija.

»To obdobje in L-funkcijo, ni očitne povezave med načinom, kako so vam jih dali. Bistvo pa je bilo, če bi lahko vsakega od njih razumeli drugače, na drugačen način … bi [lahko] ugotovili, da sta zelo primerljiva,” je dejal Gan.

V svoji knjigi iz leta 2012 sta Sakellaridis in Venkatesh dosegla del tega prevoda. Našli so zadovoljiv način za indeksiranje obdobij z uporabo določene vrste geometrijskega objekta. Vendar niso našli podobnega načina razmišljanja L-funkcije.

Ben-Zvi je mislil, da lahko.

Maxwellovo dvojno kladivo

Medtem ko je bilo Sakellaridisovo in Venkateshevo delo nekoliko ob strani Langlandsove vizije, je Ben-Zvi delal na področju matematike, ki je bilo v popolnoma drugačnem vesolju – geometrijski različici Langlandsovega programa.

Geometrični Langlandsov program se je začel v zgodnjih 1980-ih, ko sta Vladimir Drinfeld in Alexander Beilinson predlagala nekakšno dvojnost drugega reda. Drinfeld in Beilinson sta predlagala, da bi lahko Langlandsovo dvojnost med Galoisovimi skupinami in avtomorfnimi oblikami interpretirali kot analogno dvojnost med dvema vrstama geometrijskih objektov. Toda ko je Ben-Zvi začel delati v geometrijskem Langlandsovem programu kot podiplomski študent na Univerzi Harvard v devetdesetih letih, je bila povezava med geometrijskim in originalnim Langlandsovim programom nekoliko ambiciozna.

"Ko je bil geometrijski Langlands prvič predstavljen, je šlo za zaporedje psiholoških korakov, da bi prišli od [izvirnega] programa Langlands do te [geometrične] izjave, ki se je zdela drugačna zver," je dejal Ben-Zvi.

Do leta 2018, ko je imel Ben-Zvi dopustno leto na Inštitutu za napredne študije, sta se obe strani zbližali, predvsem v delu, ki ga je istega leta objavil Vincent Lafforgue, raziskovalec na Fourierjevem inštitutu v Grenoblu. Kljub temu je Ben-Zvi načrtoval, da bo svoj dopustni obisk IAS leta 2018 uporabil za raziskovanje neposredno na geometrijski strani programa Langlands. Njegov načrt je bil moten, ko je šel poslušat govor Venkatesha.

»Moj sin in Akshayeva hči sta bila prijatelja pri igri in sva bila družbena prijatelja, zato sem pomislil, da bi moral obiskati nekaj govorov, ki jih je imel Akshay na začetku semestra,« je dejal Ben-Zvi.

Na enem od teh zgodnjih pogovorov je Venkatesh razložil, da je treba najti vrsto geometrijskega objekta, ki bi lahko indeksiral tako obdobja kot L-funkcij in opisal nekaj svojega nedavnega napredka v tej smeri. Vključevalo je poskus uporabe geometrijskih prostorov s področja matematike, imenovanega Simplektična geometrija, ki ga je Ben-Zvi poznal iz svojega dela v geometrijskem programu Langlands.

"[Akshay in Yiannis] sta si prizadevala v smeri, kjer sta začela videti stvari v simplektični geometriji, in to mi je različno zvonilo," je dejal Ben-Zvi.

Naslednji korak je prišel iz fizike.

Desetletja so fiziki in matematiki uporabljali dualnosti, da bi prišli do novih opisov delovanja naravnih sil. Prvi in ​​najbolj znan primer izhaja iz Maxwellovih enačb, ki so bile prvič zapisane v poznem 19. stoletju in povezujejo električno in magnetno polje. Enačbe opisujejo, kako spreminjajoče se električno polje ustvari magnetno polje in kako spreminjajoče se magnetno polje nato ustvari električno polje. Skupaj jih lahko opišemo kot eno samo elektromagnetno polje. V vakuumu imajo "te enačbe to čudovito simetrijo," je dejal Ben-Zvi. Matematično lahko elektrika in magnetizem zamenjata mesti, ne da bi spremenila obnašanje skupnega elektromagnetnega polja.

Včasih se raziskovalci zgledujejo po fiziki, da bi dokazali čisto matematične rezultate. Na primer, v članku iz leta 2008 sta fizika Davide Gaiotto in Edward Witten pokazala, kako se geometrijski prostori, povezani s teorijami kvantnega polja elektromagnetizma, prilegajo geometrijskemu Langlandsovemu programu. Ti prostori so v parih, po eden za vsako stran elektromagnetne dualnosti: Hamiltonian G-prostori in njihov dual: Hamiltonian Ğ-presledki (izgovorjeni G-klobuk presledki).

Ben-Zvi je absorbiral članek Gaiotto-Witten, ko je izšel, in je uporabil fizikalni okvir, ki so ga zagotovili, da bi razmišljal o vprašanjih v geometrijskem Langlandsu. Toda to delo - kaj šele članek o fiziki, ki ga je pomagal motivirati - ni imelo nobene povezave z izvirnim Langlandsovim programom.

To je, dokler se Ben-Zvi ni znašel med občinstvom na IAS in poslušal Venkatesha. Slišal je razlago Venkatesha, da sta po njuni knjigi iz leta 2012 on in Sakellaridis prišla do prepričanja, da je pravilen geometrijski način razmišljanja o obdobjih v smislu Hamiltonian G- prostori. Toda Venkatesh je dovolil, da niso vedeli, s kakšnim geometrijskim predmetom bi se združili L-funkcije.

To je zazvonilo Ben-Zviju. Nekoč sta Sakellaridis in Venkatesh povezovala obdobja s Hamiltonijem G-prostori, je takoj postalo jasno, čemu služijo dvojni geometrijski objekti L-funkcije naj bodo: tiste Ğ-prostori, za katere sta Gaiotto in Witten rekla, da so dualni G- prostori. Za Ben-Zvija se je zdelo, da se vse te dvojnosti, med aritmetiko, geometrijo in fiziko, združujejo. Čeprav ni razumel celotne teorije števil, je bil prepričan, da je vse del "ene velike, lepe slike."

Da G ali Ne Ğ

Spomladi 2018 so se Ben-Zvi, Sakellaridis in Venkatesh redno srečevali v restavraciji v kampusu Inštituta za napredne študije; v nekaj mesecih so ugotovili, kako interpretirati podatke, pridobljene iz L- deluje kot recept za konstruiranje Hamiltoniana Ğ- prostori. Na sliki so ugotovili dvojnost med obdobji in L-funkcij prevede v geometrijsko dvojnost, ki je smiselna znotraj geometrijskega Langlandsovega programa in izvira iz dvojnosti med elektriko in magnetizmom. Fizika in aritmetika postaneta odmeva druga na drugo, na način, ki odmeva po Langlandsovem programu.

"Lahko bi rekli, da je prvotna Langlandsova nastavitev zdaj poseben primer tega novega okvira," je dejal Gan.

Z združevanjem različnih pojavov so trije matematiki del reda, ki je bistvenega pomena za razmerje med elektriko in magnetizmom, prenesli v razmerje med obdobji in L-funkcije.

»Fizikalna interpretacija geometrijske Langlandsove korespondence jo naredi veliko bolj naravno; prilega se tej splošni sliki dvojnosti,« je dejala Kim. "Na nek način je to, kar [to novo delo] počne, način za interpretacijo aritmetične korespondence z uporabo iste vrste jezika."

Delo ima omejitve. Predvsem trije matematiki dokazujejo dvojnost med obdobji in L-funkcije nad številskimi sistemi, ki se pojavljajo v geometriji, imenovani funkcijska polja, namesto nad številskimi polji - kot so realna števila - ki so pravi dom Langlandsovega programa.

»Osnovna slika je namenjena pregledovanju številskih polj. Mislim, da bo vse to sčasoma razvito za številska polja,« je dejal Venkatesh.

Tudi nad funkcijskimi področji delo vnaša red v razmerje med obdobji in L-funkcije. V mesecih, ko je Venkatesh v žepu nosil izpis, on in Sakellaridis nista vedela, zakaj ti L-funkcije naj bodo tiste, ki so povezane z obdobji. Zdaj je odnos smiseln v obe smeri. Po njem lahko prosto prevajajo z uporabo skupnega jezika.

»Poznal sem vsa ta obdobja in nenadoma sem se naučil, da lahko vsako obrnem in se spremeni v drugo, kar sem tudi poznal. To je zelo šokantno spoznanje,« je dejal Venkatesh.