Predstavitev
Decembra 1977 revolucionar papirja tiho pojavil v Journal d'Analyse Mathématique, specializirana matematična revija. Avtor, Hillel Furstenberg, ni zahteval nobenih vznemirljivih - ali celo novih - rezultatov. Preprosto je ponudil dokaz izreka, ki ga je drug matematik, Endre Szemerédi, že dokazal dve leti prej.
Kljub temu je Furstenbergov članek pustil trajen pečat v matematiki. Njegov novi argument je vseboval jedro vpogleda z daljnosežnimi posledicami: težave, kot jih je rešil Szemerédi, o množicah celih števil, bi lahko preoblikovali v vprašanja o točkah, ki se premikajo v prostoru.
V naslednjih letih so se Furstenbergove tehnike vedno znova uporabljale in postopoma so se prilagajale in izboljševale. V začetku tega leta so bili preobremenjeni in se pojavljajo v dveh novih dokumentih, ki odkrivata neskončne vzorce v nizih celih števil - napredujeta skokovito mimo Szemerédijevega zdaj 47 let starega izreka.
Furstenbergov dokaz
Szemerédi je preiskoval množice, ki vsebujejo "pozitiven ulomek" vseh celih števil. Vzemimo za primer niz, ki vsebuje vse večkratnike števila 5. Ko gledate vse večje in večje dele številske premice, se večkratniki števila 5 še vedno redno pojavljajo. Matematiki pravijo, da ima množica, ki vsebuje vse večkratnike števila 5, del petine vseh celih števil.
V nasprotju s tem, čeprav obstaja neskončno število praštevil, postanejo tako redka, ko so števila večja, da množica vseh praštevil ne vsebuje pozitivnega ulomka celih števil, ali drugače povedano, nima pozitivne gostote . Namesto tega naj bi imela praštevila gostoto nič.
Szemerédi je iskal primere tako imenovanih aritmetičnih progresij ali verig enakomerno razporejenih števil. Na primer, predstavljajte si, da imate neskončno zaporedje števil, kot so popolni kvadrati: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Popolni kvadrati imajo aritmetično progresijo dolžine tri, ki se skriva v prvih nekaj členih: {1, 25, 49}. Vsako število v tem napredovanju je 24 večje od svojega predhodnika.
Szemerédi je dokazal, da mora vsaka množica, ki obsega pozitiven ulomek celih števil, vsebovati poljubno dolge aritmetične progresije. Rezultat je bil mejnik na podpodročju matematike, imenovanem aditivna kombinatorika.
Čeprav je bil Szémeredijev dokaz sijajen, je bilo skoraj nemogoče slediti. "Do danes mislim, da morda le trije ali štirje ljudje resnično razumejo [Szemerédijev] dokaz," je dejal Terence tao, matematik na Kalifornijski univerzi v Los Angelesu.
Zato je bil Furstenbergov razumljivejši argument dobrodošel. Da bi ga napisal, se je Furstenberg oprl na metode s svojega področja matematike, dinamičnih sistemov. Dinamičen sistem je vsak proces, ki se s časom spreminja. To bi lahko bilo nekaj tako preprostega, kot je biljardna krogla, ki se kotali po mizi za biljard. Vse, kar potrebujete, je način, kako matematično predstaviti svoj sistem, in pravilo, kako se razvija. Žogo, na primer, lahko opišemo z njenim položajem in hitrostjo. Ta sistem sčasoma napreduje na predpisan način po zakonih klasične fizike.
Furstenberga je najbolj zanimalo nekaj, kar se imenuje ergodična teorija. Namesto da bi gledali na stanje sistema v katerem koli trenutku, ergodični teoretiki preučujejo statistiko v daljših obdobjih. Za biljardno kroglo bi to lahko pomenilo ugotavljanje, ali žoga konča na nekaterih mestih na mizi pogosteje kot na drugih zaradi načina, na katerega se nagiba k odbijanju od sten.
Furstenbergova ključna ideja je bila, da na nize celih števil ne gledamo kot na fiksne objekte, ampak kot trenutna stanja v dinamičnem sistemu. Morda se zdi majhna sprememba v perspektivi, vendar mu je omogočila uporabo orodij iz ergodične teorije za dokazovanje rezultatov v kombinatoriki. Takrat Furstenberg še ni slutil, da bodo njegove ideje zaživele svoje življenje. "Bilo je samo, rad sem imel ta drugi dokaz," je dejal. Toda drugi so videli obljubo povezave med ergodično teorijo in kombinatoriko. "Celotna generacija ergodičnih teoretikov se je začela nekako ukvarjati s kombinatoriko in reševati vse te probleme, in obratno," je dejal Tao.
V zadnjih nekaj letih so štirje matematiki — Bryna Kra, Joel Moreira, Florijan Rihter in Donald Robertson — so razvili Furstenbergove tehnike za iskanje ne le poljubno dolgih napredovanj znotraj katerega koli nabora, ki vsebuje pozitiven ulomek celih števil, temveč neskončne različice struktur, imenovane sumsets.
»Sumsets so veliko manj specifični kot progresije; so veliko manj posebnega videza,« je dejal Robertson. "Vendar je bolj zanimivo in bolj občutljivo, ker so seštevki neskončne konfiguracije, medtem ko so napredovanja končna."
Če je Furstenberg zgradil most med ergodično teorijo in kombinatoriko, so ga Kra, Moreira, Richter in Robertson razširili v "šestpasovno avtocesto", je dejal Tao.
B + C domneva
Szemerédijev izrek sta leta 1936 prvič predlagala, vendar nista dokazala dva matematika. Eden od njih je bil madžarski matematik, znan po domnevah: Paul Erdős. Leta 2016, ko je Moreira pripravljal svojo doktorsko disertacijo na univerzi Ohio State, je naletel na še ena Erdősova domneva o strukturah, imenovanih sumsets.
Seštevek je sestavljen iz dveh drugih nizov; pokliči tiste B in C. Seštevek, zapisan kot B + C, sestavi tako, da sešteje vse možne pare števil, pri čemer se vzame eno število B drugi pa od C. Erdős je domneval, da za kateri koli niz A ki vsebuje pozitiven ulomek celih števil, obstajajo še druge neskončne množice B in C katerega vsota je vsebovana znotraj A. V članku, ki ga je bral Moreira, so avtorji dokazali Erdősovo domnevo, ko A vsebuje velik del celih števil. Toda za manjše nize pozitivne gostote je bil rezultat še vedno neznan. "Takoj ko sem prebral izjavo, se mi je zdelo res dobro vprašanje, ker je tako preprosto," je dejal Moreira. »Ali je napačno ali pa ne bi smelo biti težko. Kar je bilo seveda narobe. Ni bilo ne lažno ne enostavno.”
Moreira je k projektu pritegnil Richterja in Robertsona, njegova prijatelja iz podiplomske šole. Robertson, ki je zdaj na univerzi v Manchestru, je diplomiral leto pred Moreiro, Richter pa je zaostal nekaj let. Vsi trije so bili dobro seznanjeni z uporabo tehnik ergodične teorije v kombinatoriki. Toda ta problem je postavil nove izzive.
"Prav tako ni bilo primera za iskanje neskončnih seštevkov znotraj niza pozitivne gostote," je dejal Daniel Glasscock, matematik na Univerzi v Massachusettsu, Lowell, ki je obiskoval podiplomsko šolo pri Moreiri, Richterju in Robertsonu.
Morda se je iz tega razloga izkazalo, da je težavo sumset težko rešiti. "Nekako moramo prisiliti ergodično teorijo, da pride skozi," je dejal Moreira. Njihov trud je bil na koncu poplačan, in to v čem Marcin Sabok Univerze McGill, imenovano "osupljiv dosežek", jim je leta 2018 uspelo dokazati Erdősovo domnevo. Njihov dokaz je bil pozneje objavljen v Anali matematike, ena najprestižnejših matematičnih revij.
Novi dokazi
Ta dokument je pustil odprti dve veliki vprašanji. Ena od teh je bila še ena Erdősova skupna domneva, imenovana B + B + t domneva.
Moreira, Richter in Robertson so prav tako postavili svoje vprašanje: Če imate niz pozitivne gostote A, ali lahko najdete tri neskončne množice — B, C in zdaj D - Kje B + C + D je v notranjosti A? Kaj pa štiri neskončne množice? Pet?
Ko so predstavili različico z več nizi, so se matematiki nekaj časa zataknili. Zdelo se je, da so tehnike, ki so jih uporabili za hipotezo dveh nizov, dosegle svojo mejo.
"Nismo mogli najti dinamične preoblikovanja tega problema," je dejal Richter. Njihov pristop, je dejal, "samo ni uspel na samem začetku."
Minili sta dve leti, preden so opazili pravi napredek. V tem času je bil Richter podoktorski sodelavec na univerzi Northwestern, kjer je Bryna Kra je bil profesor. Leta 2020, ko se zaradi pandemije Covid-19 nista osebno srečala, sta Kra in Richter razpravljala o problemu sumset preko Zooma.
"Sčasoma smo prišli do nekaterih drugih različic, ki smo jih razumeli," je dejal Kra.
Kra in Richter sta se vsak teden začela pogovarjati z Moreiro in Robertsonom ter ponovno preučevala dokaz iz leta 2018.
"Morali smo premisliti o vsakem koraku dokaza, začenši s tem prevodom v dinamičen sistem," je dejal Kra.
V pomoč jim je bil 2019 papirja francoskega matematika imenovanega Bernard Host. Host je ponovno dokazal rezultat Moreire, Richterja in Robertsona in ugotovil, kako narediti ergodično teorijo peto. Po mnenju Moreire je Host "videl, kako napisati naš dokaz tako, kot bi moral biti napisan."
Z Hostovimi izboljšavami so Kra, Moreira, Richter in Robertson nadaljevali s prilagajanjem svojih dokazov in poskušali izluščiti najenostavnejši in najelegantnejši možni argument. "Predvidevam, da smo to samo secirali znova in znova, da bi resnično videli: kaj je bistvo vprašanja?" je rekel Richter. "Na koncu smo imeli dokaz, ki je bil zelo malo podoben prvotnemu dokazu."
Dokaz, ki so ga dobili, je tako kot Furstenbergov na neskončne nize celih števil gledal kot na časovne žige v dinamičnem sistemu. Ta dinamični sistem pa si je bolje zamisliti kot točke, ki skačejo po prostoru.
Tukaj je groba slika, kako deluje: začnite tako, da stojite v enem kotu zaprte sobe, poimenujte ga kot 0. Opremljeni ste s seznamom časov A. Ta komplet, A, je nabor celih števil s pozitivno gostoto.
Opremljeni ste tudi s pravilom za premikanje po sobi. Vsako sekundo se premaknete na novo mesto, glede na to, kje ste pravkar stali. Natančno pravilo, ki mu sledite, bo oblikovano tako, da ustreza vašemu naboru časov A — kadar koli je vstavljen časovni žig A, se boste znašli v enem posebnem delu sobe.
Recimo na primer A je sestavljen iz vseh števil, deljivih s 4, in vsako sekundo se premaknete v smeri urinega kazalca v naslednji kotiček sobe. Po eni sekundi se premaknete v vogal 1; po dveh sekundah kotiček 2 itd. Nato vsake štiri korake — kar pomeni vsakič, ko je notri A - vrnili se boste na prvotni kot 0.
Ta proces traja večno. Če potujete od kota do kota v krogu v smeri urinega kazalca, boste vsak kotiček obiskali neskončno velikokrat. Točka, ki se ji približate neskončno velikokrat, se imenuje točka kopičenja.
Kra, Moreira, Richter in Robertson so dokazali, da lahko pametno izberete enega od teh točk, da najdete svoj vrh B + C. V primeru vogala vzemite vogal 1. Tja pridete ob časih 1, 5, 9 in 13 – časih, ki izgledajo kot 4n + 1 za neko celo število n. Pustiti B biti set tistih časov.
Zdaj pa si predstavljajte, da namesto v kotu 0 začnete v kotu 1. To pomeni, da se boste v časih, ki so deljivi s 4, znašli nazaj v kotu 1, do kota 0 pa boste prišli tri korake pozneje: 3, 7, 11 ali poljubno število v obliki 4n + 3. Pokličite nabor tistih časov C.
Zdaj znova začnite postopek od vogala 0. Tokrat poglejte, kaj se zgodi, če vzamete številko iz B in številko iz C — recimo 13 od B in 3 od C - in jih seštejte.
To bi trajalo 13 + 3 = 16 sekund. Ker je 16 večkratnik 4, je noter A. Predvidite pa lahko tudi, da bo 13 + 3 deljivo s 4 in torej in A, ne da bi dejansko sešteli 13 in 3. Samo sledite, kaj se zgodi v dinamičnem sistemu, ko čakate 13 + 3 sekunde: najprej mine 13 sekund. Na tej točki se znajdete v kotu 1. Nato se, začenši od kota 1, premaknete še za tri korake, kar vas pripelje nazaj v kot 0. Ker ste začeli iz kota 0 in končali nazaj, ste verjetno čakali na večkratnik štirih sekund, kar pomeni, da je bil skupni čas število v prvotnem nizu A.
Da bi ta argument deloval, se je morala skupina ukvarjati s številnimi zapletenimi matematičnimi podrobnostmi. Na primer, v večini primerov imate na voljo neskončno število točk, kamor se lahko premikate, ne le štiri vogale. To pomeni, da se dejansko ne boste vrnili na točko neskončno velikokrat; le neskončno velikokrat se mu boš približal. To je argumentu vneslo nove matematične zaplete. Ko pa so ugotovili, kako bo proces deloval, so vedeli, da se bodo lahko spopadli s težjimi vprašanji, ki so jih iskali.
"Tukaj smo prišli do tega dokaza in takoj je bilo jasno, kako ga posplošiti," je dejal Richter, ki je zdaj na švicarskem zveznem inštitutu za tehnologijo v Lausanni. Da bi na primer dokazali različico domneve z več nizi, bi lahko raziskovalci na pot samo dodali akumulacijsko točko. Splošni argument je bil enak, le z novo plastjo zapletov.
Izdelati vse tehnične podrobnosti ni bilo enostavno. Ko so se odločili za svojo dinamično postavitev, so Kra, Moreira, Richter in Robertson potrebovali več kot eno leto, da so izdelali dokaze za težje domneve. Junija letos je skupina končno objavila dva dokumenta. Eden se je izkazal različica domneve o seštevku z več nizi. Drugi dokazal B + B + t različico domneve, ki zahteva, da drugi niz C biti enak prvemu nizu B, premaknjeno za neko konstanto, t.
Naslednji koraki
Čeprav junijski dokumenti rešujejo dve vprašanji o vsotah, Kra, Moreira, Richter in Robertson predvidevajo dolgo prihodnost za svojo smer raziskovanja. "Kot pri vsem, kar je Erdős vprašal, želi samo, da se postavimo pred vrata," je dejal Moreira, zdaj na Univerzi v Warwicku. "Zdaj pa moramo odpreti vrata in iti raziskati, kaj je še tam."
V svojih novih člankih štirje matematiki navajajo več možnih smeri raziskovanja v obliki še neodgovorjenih vprašanj. Ena se zanaša na dejstvo, da čeprav kateri koli niz s pozitivno gostoto A vsebuje neskončno vsoto B + C, ni nujno, da vsebuje obe komponenti B in C. Kdaj lahko vztrajate pri tem B in C mora biti tudi v notranjosti A? Avtorji prav tako izzivajo matematike, da ugotovijo, ali lahko najdejo neskončno zaporedje neskončnih množic, katerih vsota je v A.
Na drugo odprto vprašanje na tem področju je že odgovoril Matt Bowen, podiplomski študent Sabokove univerze McGill. Oktobra je on objavljene dokaz, da če vsakemu celemu številu pripišete eno od nekaj barv, lahko najdete vsoto B+C in produkt množic BC znotraj samo ene od barv.
Kam točno bo novo delo Kraa, Moreire, Richterja in Robertsona še vodilo, še ni znano. Toda Tao je vsaj optimističen glede novih tehnik, ki jih je razvila skupina. Kar dosežejo s svojimi metodami, je "pravzaprav neverjetno," je dejal. "Obstajajo druga vprašanja, ki vključujejo neskončne sklope, ki so prej veljala za brezupna, zdaj pa so na dosegu roke."
