Kvantna teorija polja Pries Odpri matematično uganko

Prejšnji mesec Karen Vogtmann in Michael Borinsky objavil dokaz da obstaja tovornjak matematične strukture v doslej nedostopnem matematičnem svetu, imenovanem prostor modulov grafov, ki sta ga Vogtmann in sodelavec prvič opisano sredi 1980. let.

»To je super težak problem. Neverjetno, da jim je uspelo,« je povedal Dan Margalit, matematik na tehnološkem inštitutu Georgia.

Vogtmann in Borinsky sta začela z vprašanji, ki si jih je desetletja zastavljala Vogtmannova, matematik na Univerzi v Warwicku. Par je nato ponovno zamislil to vprašanje v jeziku fizike in uporabil tehnike kvantne teorije polja, da bi prišel do svojega rezultata.

Dokaz dokazuje, da določene strukture obstajajo v prostoru modulov, vendar ne razkriva eksplicitno, katere so te strukture. Na ta način je njihov novi rezultat bolj podoben detektorju kovin kot kameri - opozori jih, da se skriva nekaj zanimivega, čeprav tega ne morejo v celoti opisati.

Prostore modulov grafov si lahko predstavljate kot matematične oblike z dodanim okrasjem. Če stojite na kateri koli točki oblike, boste nad vami videli lebdeči graf – zbirko točk ali oglišč, povezanih z robovi. Na različnih lokacijah v prostoru modulov se grafi spreminjajo, njihovi robovi se krčijo ali povečujejo, včasih pa popolnoma izginejo. Zaradi teh lastnosti Borinsky, matematični fizik na švicarskem zveznem tehnološkem inštitutu v Zürichu, opisuje prostore modulov kot »veliko morje grafov«.

»Rang« grafa je število zank, ki jih ima; za vsak rang grafov obstaja prostor modulov. Velikost tega prostora hitro raste - če določite dolžine robov grafa, obstajajo trije grafi ranga 2, 15 ranga 3, 111 ranga 4 in 2,314,204,852 ranga 10. Na prostoru modulov lahko te dolžine spreminjajo in uvajajo še večjo kompleksnost.

Oblika prostora modulov za grafe danega ranga je določena z odnosi med grafi. Ko se sprehajate po prostoru, morajo biti bližnji grafi podobni in se morajo gladko spreminjati drug v drugega. Toda ta razmerja so zapletena, prostor modulov puščajo z matematično vznemirljivimi značilnostmi, kot so območja, kjer gredo tri stene prostora modulov druga skozi drugo.

Matematiki lahko preučujejo strukturo prostora ali oblike z uporabo predmetov, imenovanih kohomološki razredi, ki lahko pomagajo razkriti, kako je prostor sestavljen. Na primer, razmislite o eni izmed najljubših oblik matematikov, krofu. Na krofu so razredi kohomologije preprosto zanke.

Na površino krofa lahko narišemo več različnih vrst zank: zanka 1 obkroža osrednjo luknjo krofa; zanko 2 niti skozi luknjo; tretja "trivialna" zanka je na strani krofa.

Vendar niso vsi kohomološki razredi ustvarjeni enaki. Zanka, ki sedi na zunanji strani krofa – tako kot tretja zanka – lahko vedno zdrsne ali se skrči, da se izogne ​​sekanju druge zanke. Zaradi tega je "trivialen" kohomološki razred.

Toda zanki 1 in 2 povesta veliko več o strukturi krofa - obstajata samo zaradi luknje. Če želite matematično ugotoviti razliko, lahko uporabite presečišča, je pojasnil Margalit. Zanki 1 in 2 lahko drsita po površini krofa, vendar če ju ne prisilite, da se popolnoma odtrgata od površine, se bosta vedno sekali. Ker imata ti dve zanki partnerja, ki ju ne moreta drugače prečkati, sta »netrivialni« kohomološki razred.

Za razliko od krofa matematiki ne morejo najti kohomoloških razredov na prostorih modulov grafov samo z risanjem slike. S tako ogromnim številom grafov je prostore modulov težko obvladati, je dejala Nathalie Wahl, matematik na Univerzi v Kopenhagnu. "Zelo hitro računalnik ne more več pomagati," je rekla. Dejansko je obstajal le en lihodimenzionalni netrivialni kohomološki razred eksplicitno izračunana (v 11 dimenzijah), skupaj s peščico parnih.

Vogtmann in Borinsky sta dokazala, da obstaja ogromno število kohomoloških razredov, ki ležijo znotraj prostora modulov grafov danega ranga - čeprav jih ne moremo najti. "Vemo, da jih je na tone, in poznamo enega," je dejal Wahl in stanje označil za "smešno".

Namesto neposrednega dela s kohomološkimi razredi sta Borinsky in Vogtmann preučevala število, imenovano Eulerjeva značilnost. Ta številka zagotavlja vrsto meritve prostora modulov. Prostor modulov lahko spremenite na določene načine, ne da bi spremenili njegovo Eulerjevo karakteristiko, zaradi česar je Eulerjeva karakteristika bolj dostopna kot kohomološki razredi sami. In to sta storila Borinsky in Vogtmann. Namesto da bi neposredno delali s prostorom modulov grafov, so preučevali "hrbtenico" - v bistvu okostje celotnega prostora. Hrbtenica ima enako Eulerjevo značilnost kot sam prostor modulov in z njo je lažje delati. Izračun Eulerjeve karakteristike na hrbtenici se je zmanjšal na štetje velike zbirke parov grafov.

Borinskyjev vpogled je bil uporabiti tehnike za štetje Feynmanovih diagramov, ki so grafi, ki predstavljajo načine interakcije kvantnih delcev. Ko hočejo fiziki izračunati, na primer, možnosti, da bo trk med elektronom in pozitronom proizvedel dva fotona, morajo seštejemo vse možne interakcije ki vodijo do tega izida. To pomeni povprečje po številnih Feynmanovih diagramih, kar spodbuja pametne strategije štetja.

"Spoznal sem, da lahko to vrsto problema formuliramo kot nekakšno vesolje kvantne teorije polja igrače," je pojasnil Borinsky.

Borinsky si je zamislil grafe, kot da predstavljajo fizične sisteme v preprosti različici vesolja, v kateri med drugimi predpostavkami obstaja samo ena vrsta delcev. Okvir kvantne teorije polja je potreboval nekaj prilagoditev, da sta Borinsky in Vogtmann dobila pravo število. Na primer, v kvantni teoriji polja se dva grafa, ki sta zrcalni sliki drug drugega, ne razlikujeta, je dejal Borinsky. Formule za seštevanje Feynmanovih diagramov vključujejo dejavnike, ki zagotavljajo, da ti grafi niso prešteti. Ko pa gre za izračun Eulerjeve karakteristike, se ti grafi štejejo za drugačne. "Moramo se malo poigrati s simetrijami grafov," je dejal Borinsky.

Z nekaj programske pomoči fizika Jos Vermaseren, sta Borinsky in Vogtmann končno premagala to težavo. V svojem januarskem prispevku so dokazali, da je Eulerjeva značilnost prostora modulov grafov ranga n postane močno negativno kot n postane večji. To pomeni, da obstaja veliko, veliko netrivialnih kohomoloških razredov, ki jih je treba odkriti v vsakem prostoru modulov.

Čeprav članek Borinskega in Vogtmanna ne vsebuje nadaljnjih namigov o teh kohomoloških razredih, je to spodbuden rezultat za raziskovalce, ki jih želijo najti - in morda prispeva k vznemirjenju lova. Margalit iz razredov kohomologije je rekel: »Ti, ki jih poznamo, so samo ti dragulji. In vsakič, ko ga najdemo, je ta lepa stvar.”