Beskrivning
I december 1977, en revolutionär papper tyst dök upp i Journal d'Analyse Mathématique, en specialitetstidskrift för matematik. Författaren, Hillel Furstenberg, hävdade inte några spännande – eller ens nya – resultat. Han hade helt enkelt erbjudit ett bevis på en teorem som en annan matematiker, Endre Szemerédi, redan hade bevisat två år tidigare.
Trots det lämnade Furstenbergs papper ett bestående avtryck på matematiken. Hans nya argument innehöll en kärna av insikt med långtgående konsekvenser: Du kunde omformulera problem som det Szemerédi hade löst, om uppsättningar av heltal, till frågor om punkter som rör sig i rymden.
Under åren sedan har Furstenbergs tekniker använts om och om igen, och så småningom har de justerats och förbättrats. Tidigare i år var de överladdade och visades i två nya tidningar som avslöjar oändliga mönster i uppsättningar av heltal – som går framåt med stormsteg förbi Szemerédis nu 47 år gamla sats.
Furstenbergs bevis
Szemerédi hade undersökt mängder som innehåller en "positiv bråkdel" av alla heltal. Ta till exempel uppsättningen som innehåller alla multiplar av 5. När du tittar på större och större strängar av tallinjen, fortsätter multiplar av 5 att dyka upp regelbundet. Matematiker säger att mängden som innehåller alla multipler av 5 har bråkdelen av en femtedel av alla heltal.
Däremot, även om det finns ett oändligt antal primtal, blir de så sällsynta när talen blir större att mängden av alla primtal inte innehåller en positiv bråkdel av heltal, eller uttryckt på annat sätt, inte har en positiv täthet . Primtal sägs istället ha densitet noll.
Szemerédi letade efter exempel på så kallade aritmetiska progressioner, eller kedjor av jämnt fördelade tal. Föreställ dig till exempel att du har en oändlig talföljd som de perfekta kvadraterna: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. De perfekta kvadraterna har en aritmetisk progression med längd tre som gömmer sig i de första termerna: {1, 25, 49}. Varje nummer i denna serie är 24 fler än sin föregångare.
Szemerédi bevisade att varje uppsättning som omfattar en positiv bråkdel av heltal måste innehålla godtyckligt långa aritmetiska progressioner. Resultatet var ett landmärke inom det delområde av matematik som kallas additiv kombinatorik.
Szémeredis bevis, även om det var lysande, var nästan omöjligt att följa. "Till denna dag tror jag att det kanske bara är tre eller fyra personer som verkligen förstår [Szemerédis] bevis," sa Terence tao, en matematiker vid University of California, Los Angeles.
Så Furstenbergs mer begripliga argument var välkommet. För att skriva det förlitade sig Furstenberg på metoder från sitt eget matematiska område, dynamiska system. Ett dynamiskt system är varje process som förändras med tiden. Det här kan vara något så enkelt som en biljardboll som rullar runt ett biljardbord. Allt du behöver är ett sätt att matematiskt representera ditt system, och en regel för hur det utvecklas. En boll kan till exempel beskrivas med dess position och hastighet. Det systemet fortskrider på ett föreskrivet sätt över tiden, enligt den klassiska fysikens lagar.
Furstenberg var mest intresserad av något som kallas ergodisk teori. Istället för att titta på ett systems tillstånd vid en given tidpunkt, studerar ergodiska teoretiker statistik över långa perioder. För en biljardboll kan det innebära att man tar reda på om bollen hamnar på vissa ställen på bordet mer än andra på grund av hur den tenderar att studsa mot väggarna.
Furstenbergs nyckelidé var att se uppsättningar av heltal inte som fasta objekt, utan som momentana tillstånd i ett dynamiskt system. Det kan tyckas vara en liten förändring i perspektiv, men det gjorde det möjligt för honom att använda verktyg från ergodisk teori för att bevisa resultat i kombinatorik. Vid den tiden hade Furstenberg ingen aning om att hans idéer skulle få sitt eget liv. "Det var bara, jag gillade att ha det här andra beviset," sa han. Men andra såg löftet om sambandet mellan ergodisk teori och kombinatorik. "En hel generation ergotiska teoretiker började typ ladda in kombinatorik och lösa alla dessa problem, och vice versa," sa Tao.
Under de senaste åren har fyra matematiker - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter och Donald Robertson — har utvecklat Furstenbergs tekniker för att inte bara hitta godtyckligt långa progressioner inom en uppsättning som innehåller en positiv bråkdel av heltal, utan oändliga versioner av strukturer som kallas summängder.
”Summeringar är mycket mindre specifika än progressioner; de är mycket mindre speciella, säger Robertson. "Men det är mer intressant och mer känsligt, eftersom summamängder är oändliga konfigurationer, medan progressioner är ändliga."
Om Furstenberg byggde en bro mellan ergodisk teori och kombinatorik, har Kra, Moreira, Richter och Robertson utvidgat den till "en sexfilig motorväg", sa Tao.
B + C gissningar
Szemerédis teorem föreslogs först, men bevisades inte, 1936 av två matematiker. En av dem var en ungersk matematiker känd för att ha gjort gissningar: Paul Erdős. 2016, när Moreira arbetade med sin doktorsavhandling vid Ohio State University, snubblade han över en annan gissning som Erdős hade gjort om de strukturer som kallas sumsets.
En summa är gjord av två andra uppsättningar; kalla dem B och C. Summan, skriven som B + C, byggs genom att lägga till alla möjliga nummerpar, ta ett nummer från B och den andra från C. Erdős gissade det för vilken uppsättning som helst A som innehåller en positiv bråkdel av heltal, det finns andra oändliga mängder B och C vars summa finns inom A. I tidningen Moreira läste hade författarna bevisat Erdős gissning när A innehåller en stor del av heltalen. Men för mindre positiva densitetsuppsättningar var resultatet fortfarande okänt. "Så fort jag läste uttalandet tyckte jag att det var en riktigt bra fråga, eftersom det är så enkelt", sa Moreira. "Antingen är det falskt, eller så borde det inte vara svårt. Vilket naturligtvis var fel. Det var varken falskt eller lätt."
Moreira tog med sig Richter och Robertson, vänner till honom från forskarskolan, i projektet. Robertson, nu vid University of Manchester, hade tagit examen ett år före Moreira, och Richter var ett par år efter. Alla tre var väl bevandrade i att tillämpa ergodiska teoritekniker på kombinatorik. Men detta problem innebar nya utmaningar.
"Det fanns praktiskt taget inget prejudikat för att hitta oändliga summängder i en uppsättning av positiv densitet," sa Daniel Glasscock, en matematiker vid University of Massachusetts, Lowell som gick på forskarskola med Moreira, Richter och Robertson.
Kanske av den anledningen visade sig summasetproblemet vara svårt att åtgärda. "Vi måste liksom tvinga, lite, den ergodiska teorin för att komma igenom," sa Moreira. Deras ansträngningar gav så småningom resultat, och i vad Marcin Sabok vid McGill University kallade en "häpnadsväckande prestation", lyckades de bevisa Erdős gissning 2018. Deras bevis kom senare offentliggjordes i Annaler för matematik, en av matematikens mest prestigefyllda tidskrifter.
De nya bevisen
Den tidningen lämnade två stora frågor öppna. En av dessa var en annan sumset gissning av Erdős som kallas B + B + t gissa.
Moreira, Richter och Robertson hade också kommit på en egen fråga: Om du har en positiv densitetsuppsättning A, kan du hitta tre oändliga uppsättningar — B, C och nu D - var B + C + D är inuti A? Vad sägs om fyra oändliga uppsättningar? Fem?
Efter att de ställt upp versionen med flera uppsättningar satt matematikerna fast ett tag. Det verkade som om teknikerna de hade använt för gissningarna i två uppsättningar hade nått sin gräns.
"Vi kunde inte hitta en dynamisk omformulering av detta problem," sa Richter. Deras tillvägagångssätt, sa han, "misslyckades bara i början."
Två år gick innan de såg verkliga framsteg. Vid den här tiden var Richter postdoktor vid Northwestern University, där Bryna Kra var professor. År 2020, förhindrade från att träffas personligen av Covid-19-pandemin, fann Kra och Richter att de diskuterade summaproblemet kring Zoom.
"Så småningom kom vi på några andra varianter som vi förstod," sa Kra.
Kra och Richter började prata med Moreira och Robertson varje vecka och granskade 2018 års bevis på nytt.
"Vad vi var tvungna att göra är att tänka om varje steg av beviset, och börja med den översättningen till ett dynamiskt system," sa Kra.
Till hjälp för deras sak var ett 2019 papper av en fransk matematiker vid namn Bernard Host. Programledaren hade återbevisat Moreira, Richter och Robertsons resultat och hade kommit på hur man skulle få den ergodiska teorin att sjunga. Enligt Moreiras åsikt såg Host "hur man skriver vårt bevis som det borde ha skrivits."
Med Hosts förbättringar i hand fortsatte Kra, Moreira, Richter och Robertson att justera sina bevis och försökte få fram det enklaste och mest eleganta argumentet som möjligt. "Vi dissekerade det, antar jag, om och om igen, för att verkligen se: Vad är kärnan i frågan?" sa Richter. "I slutet hade vi ett bevis som hade mycket liten likhet med det ursprungliga beviset."
Beviset de slutade med, liksom Furstenbergs, såg de oändliga uppsättningarna av heltal som tidsstämplar i ett dynamiskt system. Detta dynamiska system är dock bättre tänkt som punkter som hoppar runt i rymden.
Här är en grov bild av hur det fungerar: Börja med att stå i ett hörn av ett stängt rum, kalla det Corner 0. Du är utrustad med en lista över tider A. Den där uppsättningen, A, är en uppsättning heltal med positiv densitet.
Du är också utrustad med en regel för att flytta runt i rummet. Varje sekund flyttar du till en ny plats, baserat på var du just stod. Den exakta regeln du följer kommer att utformas för att matcha dina tider A — närhelst tidsstämpeln är inne A, befinner du dig i en speciell del av rummet.
Säg till exempel A består av alla siffror som är delbara med 4, och varje sekund går du medurs till nästa hörn av rummet. Efter en sekund går du till hörn 1; efter två sekunder, hörn 2, och så vidare. Sedan vart fjärde steg – vilket betyder för varje gång det är inne A- du har återvänt till den ursprungliga Corner 0.
Denna process pågår för evigt. När du reser från hörn till hörn i en medurs cirkel kommer du att besöka varje hörn oändligt många gånger. En punkt som du kommer nära oändligt många gånger kallas en ackumuleringspunkt.
Kra, Moreira, Richter och Robertson bevisade att du smart kan välja en av dessa platser för att hitta din summa B + C. I hörnexemplet, ta hörn 1. Du kommer dit vid tidpunkterna 1, 5, 9 och 13 — tider som ser ut som 4n + 1 för något heltal n. Låta B vara uppsättningen av dessa tider.
Föreställ dig nu att du istället för att börja vid hörn 0 börjar vid hörn 1. Det betyder att du ibland är delbar med 4 kommer tillbaka till hörn 1, och du kommer till hörn 0 tre steg senare: ibland 3, 7, 11 eller valfritt antal av formuläret 4n + 3. Ring uppsättningen av dessa tider C.
Starta nu din process från hörn 0 igen. Den här gången, titta på vad som händer om du tar ett nummer från B och ett nummer från C — säg, 13 från B och 3 från C - och lägg ihop dem.
Detta skulle ta 13 + 3 = 16 sekunder. Eftersom 16 är en multipel av 4 är den inne A. Men du kan också förutsäga att 13 + 3 kommer att vara delbara med 4, och därmed in A, utan att faktiskt lägga till 13 och 3 tillsammans. Följ bara vad som händer i det dynamiska systemet när du väntar 13 + 3 sekunder: Först går det 13 sekunder. Vid det tillfället befinner du dig i hörn 1. Sedan, med start från hörn 1, flyttar du tre steg till, vilket tar dig tillbaka till hörn 0. Eftersom du började från hörn 0 och hamnade där bak, måste du ha väntat på en multipel på fyra sekunder, vilket betyder att den totala tiden var ett tal i den ursprungliga uppsättningen A.
För att få det här argumentet att fungera fick gruppen ta itu med många petiga matematiska detaljer. Till exempel, i de flesta fall har du ett oändligt antal platser tillgängliga att flytta till, inte bara fyra hörn. Det betyder att du faktiskt inte kommer att återvända till en plats oändligt många gånger; du kommer bara nära det oändligt många gånger. Det introducerade nya matematiska komplikationer till argumentet. Men när de väl kom på hur processen skulle fungera visste de att de skulle kunna ta itu med de svårare frågorna de var ute efter.
"Vi kom med det här beviset här, och det var omedelbart klart hur man generaliserar det", säger Richter, som nu är vid Swiss Federal Institute of Technology Lausanne. För att bevisa fleruppsättningsversionen av gissningen, till exempel, kunde forskarna bara lägga till en ackumuleringspunkt till vägen. Det övergripande argumentet var detsamma, bara med ett nytt lager av komplikationer.
Det var inte lätt att slå ut alla tekniska detaljer. Efter att de bestämt sig för sin dynamiska uppställning tog det Kra, Moreira, Richter och Robertson över ett år att arbeta fram bevis på de svårare gissningarna. I juni i år publicerade gruppen äntligen två tidningar. En bevisade multi-set-versionen av sumset-förmodan. Den andra bevisade B + B + t version av gissningen, som kräver att den andra uppsättningen C vara lika med den första uppsättningen B, förskjuten av någon konstant, t.
Nästa steg
Även om tidningarna i juni löser två frågor om sumsets, föreställer Kra, Moreira, Richter och Robertson en lång framtid för sin forskningslinje. "Som med allt Erdős bad om, vill han bara att vi sätter in foten inom dörren", sa Moreira, nu vid University of Warwick. "Men nu måste vi öppna dörren och gå och utforska vad mer som finns där."
I sina nya uppsatser anger de fyra matematikerna flera möjliga utforskningsriktningar, i form av ännu obesvarade frågor. Man förlitar sig på det faktum att, även om någon positiv-densitetsuppsättning A innehåller en oändlig summa B + C, den innehåller inte nödvändigtvis de två komponenterna B och C. När kan du insistera på det B och C måste också finnas inuti A? Författarna utmanar också matematiker att ta reda på om de kan hitta en oändlig sekvens av oändliga mängder vars summamängder ingår i A.
En annan öppen fråga inom området har redan besvarats av Matt Bowen, en doktorand vid Saboks vid McGill University. I oktober gjorde han posted ett bevis på att om du tilldelar varje heltal ett av ett fåtal färger, kan du hitta en summamängd B+C och en produkt av set BC inom endast en av färgerna.
Exakt vart annars det nya verket från Kra, Moreira, Richter och Robertson kommer att leda är fortfarande okänt. Men Tao är åtminstone optimistisk om de nya tekniker som gruppen har utvecklat. Vad de uppnår med sina metoder är "faktiskt ganska fantastiskt", sa han. "Det finns andra frågor som involverar oändliga uppsättningar som tidigare ansågs hopplösa, nu inom räckhåll."
