Beskrivning
Tidigare i år bestämde sig en trio matematiker för att göra citroner till lemonad - och det slutade med att stora framsteg på ett problem som matematiker har funderat på i århundraden.
De tre hade precis avslutat ett projekt och tänkte på nästa steg när två av dem sent i mars — Levent Alpöge från Harvard University och Ari Shnidman vid hebreiska universitetet i Jerusalem - drabbats av Covid-19, separat men nästan samtidigt. Många människor skulle ta en paus under sådana omständigheter, men den tredje teammedlemmen, Manjul Bhargava från Princeton University, föreslog motsatsen. Att öka deras veckovisa Zoom-möten till tre eller fyra gånger i veckan, föreslog han, kan distrahera hans sjuka medarbetare från deras symptom. Karantän, bestämde de tre, kunde vara ett tillfälle att tänka ostört.
Under dessa möten funderade de på en av de äldsta frågorna inom talteorin: Hur många heltal kan skrivas som summan av två kuberade bråk, eller, som matematiker kallar dem, rationella tal? Siffran 6 kan till exempel skrivas som (17/21)3 + (37/21)3, medan 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematiker har i årtionden misstänkt att hälften av alla heltal kan skrivas på detta sätt. Precis som med udda och jämna tal, verkar den här egenskapen dela upp heltal i två lika stora läger: de som är summan av två kuber och de som inte är det.
Men ingen kunde bevisa detta, eller ens ge någon gräns för andelen heltal som faller in i varje läger. Så vitt matematiker visste kan lägret som består av summor av rationella kuber vara försvinnande litet - eller så kan det innehålla nästan varje heltal. Matematiker har räknat att om något som kallas Birch och Swinnerton-Dyer-förmodan är sant (som man tror allmänt), är cirka 59 % av siffrorna upp till 10 miljoner summan av två rationella kuber. Men sådana data kan i bästa fall ge tips om hur resten av tallinjen kan bete sig.
Till skillnad från de udda och jämna siffrorna är "dessa två läger subtila", sa Barry Mazur från Harvard. Det finns inget test för att avgöra vilka nummer som hör hemma i vilket läger som är känt för att fungera för alla nummer. Matematiker har kommit med tester som är starka kandidater, men för närvarande har alla en nackdel - antingen kan matematiker inte bevisa att testet alltid kommer att nå en slutsats, eller så kan de inte bevisa att slutsatsen är korrekt.
Svårigheten att förstå summor av kuber, och kubikekvationer mer generellt, har varit "en återkommande pinsamhet för talteoretiker", sa Bhargava. han vann Fields -medaljen under 2014 delvis för hans arbete med rationella lösningar till de kubikekvationer som kallas elliptiska kurvor, av vilka summan av två kuber är ett specialfall.
Nu inne ett papper som publicerades på nätet i slutet av oktober, har Alpöge, Bhargava och Shnidman visat att minst 2/21 (cirka 9.5 %) och högst 5/6 (cirka 83 %) av heltal kan skrivas som summan av två kuberade bråk.
Frågan om summor av kuber är inte bara en kuriosa. Elliptiska kurvor har en rikt invecklad struktur som har drivit dem till mitten av många områden av både ren och tillämpad matematik, vilket särskilt gör det möjligt för kryptografer att bygga kraftfulla chiffer. Birch och Swinnerton-Dyers gissningar, den centrala frågan på området, har en belöning på 1 miljon dollar på huvudet som ett av Clay Mathematics Institutes Millennium Prize-problem.
Det nya verket bygger på en uppsättning verktyg som Bhargava har utvecklat under de senaste 20 åren, tillsammans med medarbetare, för att utforska hela familjen av elliptiska kurvor. Att förstå summor av två kuber innebär att man analyserar en mycket mindre familj, och "ju mindre familj, desto svårare är problemet," sa Peter Sarnak från Institutet för avancerade studier i Princeton.
Denna speciella familj verkade "väg utom räckhåll", tillade Sarnak. "Jag skulle ha sagt," Det ser för svårt ut, alldeles för svårt."
En fasövergång
I motsats till summor av kuberade bråk, som verkar vara rikliga, är knappast några heltal summan av två kvadratiska bråk. I början av 1600-talet hade matematikerna Albert Girard och Pierre de Fermat listat ut ett enkelt test för att bestämma vilka heltal som är summan av två kvadrater: Faktorisera ditt tal till primtal, kontrollera sedan exponenten för varje primtal som har en återstod av 3 när du dividerar det med 4. Om alla dessa exponenter är jämna, är ditt tal summan av två kvadratiska bråk; annars är det inte det. Till exempel, 490 faktorer till 21 × 51 × 72. Den enda av dessa faktorer som har en rest på 3 när du dividerar med 4 är 7, och 7 har en jämn exponent. Därför är 490 summan av två kvadrater (för den nyfikna är det lika med 72 + 212).
De allra flesta siffror klarar testet med jämn exponent. Om du väljer ett heltal slumpmässigt är sannolikheten att det är summan av två kvadratiska bråk i huvudsak noll. Matematiker tror att detsamma gäller för summor av två bråktal upphöjda till fjärde potensen, eller femte potensen, eller någon potens högre än tre. Det är bara med summor av kuber som det plötsligt finns ett överflöd.
Matematiker är vana vid att kubikekvationer beter sig annorlunda än alla andra makters. Bland ekvationer gjorda av två variabler (som summan av två-kubekvationer) tenderar ekvationerna vars högsta exponent är 1 eller 2 att vara väl förstådda - vanligtvis har de antingen inga rationella lösningar eller oändligt många, och det är i allmänhet enkelt att berätta vilken. Under tiden har de ekvationer vars högsta exponent är 4 eller högre i allmänhet endast ett ändligt strö av rationella lösningar.
Kubikekvationer, däremot, kan ha ändligt många lösningar, oändligt många eller inga alls. Dessa ekvationer representerar en slags fasövergång mellan exponenterna under 3 och de ovanför, och visar fenomen som aldrig ses i dessa andra inställningar. "Kuber är olika i alla avseenden," sa Mazur.
Till skillnad från ekvationer med lägre exponenter är kuber häpnadsväckande svåra att förstå. Det finns ingen övergripande metod för att hitta eller ens räkna de rationella lösningarna på kubik som har visat sig alltid fungera.
"Även med all beräkningskraft vi har, om du ger mig en elliptisk kurva med mycket stora koefficienter, så vet jag inte nödvändigtvis hur många rationella lösningar den har," sa Wei Ho, en före detta elev till Bhargava som är för närvarande gästprofessor vid Institutet för avancerade studier.
I summa-av-två-kuber-problemet kan bråken vara enorma: Antalet 2,803 40 är till exempel summan av två kuberade bråk vars nämnare har XNUMX siffror vardera. Och när vi väl tittar på siffror i miljoner, sa Bhargava, många av bråken "skulle involvera fler siffror än vad som kan rymmas på allt papper i den här världen."
Kartläggning av matriser
Eftersom elliptiska kurvor är så ohanterliga, letar talteoretiker efter sätt att länka dem med mer lätthanterliga föremål. I april, medan Alpöge och Shnidman kämpade mot Covid, byggde de och Bhargava på arbete som den senare tidigare hade gjort med Ho och kom på att närhelst en summa-av-kubekvation har rationella lösningar, så finns det ett sätt att bygga minst en speciell 2 × 2 × 2 × 2 matris — en fyrdimensionell analog till den mer välbekanta tvådimensionella matrisen. "Vi började lägga ut en plan för att räkna dessa 2 × 2 × 2 × 2 matriser," skrev de tre.
För att göra det utgick teamet från två klassiska ämnen som var och en har studerats i mer än ett sekel. Den ena är "talens geometri", som involverar hur man räknar gitterpunkter inuti olika geometriska former. Det här ämnet har fått en renässans inom elliptiska kurvor under de senaste 20 åren, till stor del på grund av Bhargavas och medarbetares arbete.
Den andra tekniken, känd som cirkelmetoden, har sitt ursprung i den legendariske indiske matematikern Srinivasa Ramanujans och hans mångårige medarbetare GH Hardys arbete i början av 20-talet. "Detta är den första stora tillämpningen av att kombinera cirkelmetoden med dessa geometri-av-tal-tekniker," sa Ho. "Den delen är väldigt cool."
Med hjälp av dessa metoder kunde trion visa att det inte finns någon 1 × 6 × 2 × 2-matris för minst 2/2 av alla heltal. Det betyder att för dessa siffror har summa-av-kubekvationen inga rationella lösningar. Så inte mer än 5/6 av heltal, eller cirka 83 %, kan vara summan av kuber av två bråk.
I motsatt riktning fann de att minst 5/12 av alla heltal har exakt en matchande matris. Det är frestande att dra slutsatsen att dessa siffror är summan av två kuber, men det följer inte automatiskt. Varje tal som är summan av två kuber har en matris, men det betyder inte nödvändigtvis att det omvända är sant: att varje tal med en matris är summan av två kuber.
Alpöge, Bhargava och Shnidman behövde det som forskare med elliptiska kurvor kallar en omvänd teorem - något som tar information om en kubikekvation och använder den för att konstruera rationella lösningar. Omvända satser bildar ett blomstrande delfält av teorin om elliptiska kurvor, så trion vände sig till två av delområdets expertutövare — Ashay Burungale vid University of Texas, Austin och Princeton. Burungale och Skinner kunde visa att åtminstone en del av tiden, om ett heltal har en enda associerad matris, måste det talet vara summan av två rationella kuber. Deras sats, som i huvudsak bevisar en relevant del av Birch och Swinnerton-Dyers gissningar, visas i tidningen som en tresidig bilaga, vilket Sarnak beskriver som fantastiskt i sig.
Burungale och Skinner bevisade inte sitt teorem för varje heltal med exakt en matris – de var tvungna att införa ett tekniskt villkor som minskade 5/12-delmängden till 2/21, eller cirka 9.5 %, av alla heltal. Men Bhargava är optimistisk att Burungale och Skinner, eller andra forskare i deras område, kommer att nå resten av 5/12 (cirka 41% totalt) inom alltför lång tid. "Deras tekniker blir stadigt starkare," sa Bhargava.
Att bevisa hela gissningen – att exakt hälften av alla heltal är summan av två kuber – kommer att kräva att man så småningom tar itu med uppsättningen av tal som har mer än en associerad matris. Denna uppsättning, som Bhargava kallar "mycket disig", innehåller både tal som är summan av två kuber och de som inte är det. Att hantera sådana siffror kommer att kräva helt nya idéer, sa han.
För närvarande är forskare glada över att äntligen ha löst frågan för en betydande del av heltal, och är ivriga att undersöka teknikerna i bevisningen ytterligare. "Det är en av de vackra sakerna: Du kan förklara resultatet väldigt enkelt, men verktygen är väldigt, väldigt mycket i framkanten av talteorin," sa Sarnak.
