Quantum Field Theory Pries Öppna matematiska pussel

Förra månaden, Karen Vogtmann och Michael Borinsky lagt upp ett bevis att det finns en lastbil med matematisk struktur inom en hittills otillgänglig matematisk värld som kallas grafernas modulrum, som Vogtmann och en medarbetare först beskrivna i mitten av 1980s.

"Det är ett supersvårt problem. Det är fantastiskt att de kunde”, säger Dan Margalit, matematiker vid Georgia Institute of Technology.

Vogtmann och Borinsky började med frågor som Vogtmann, en matematiker vid University of Warwick, hade ställt sig själv i decennier. Paret ombildade sedan frågan på fysikspråket, med hjälp av tekniker från kvantfältteorin för att komma fram till deras resultat.

Beviset visar att vissa strukturer finns i modulutrymmet, men det avslöjar inte explicit vad dessa strukturer är. På det sättet är deras nya resultat mer som en metalldetektor än en kamera - det varnar dem om att något intressant gömmer sig, även om de inte kan beskriva det fullt ut.

Du kan tänka på modulutrymmena i grafer som matematiska former med extra dekoration. Om du står vid någon punkt på formen kommer du att se en graf sväva ovanför dig - en samling punkter, eller hörn, förbundna med kanter. På olika platser på ett modulutrymme förändras graferna, deras kanter krymper eller växer, och ibland försvinner de helt. På grund av dessa egenskaper beskriver Borinsky, en matematisk fysiker vid det schweiziska federala tekniska institutet i Zürich, modulrum som "ett stort hav av grafer."

En grafs "rankning" är antalet loopar den har; för varje rankning av grafer finns det ett modulutrymme. Storleken på detta utrymme växer snabbt — om du fixar längderna på grafens kanter finns det tre grafer av rang 2, 15 av rang 3, 111 av rang 4 och 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX av rang XNUMX. På modulutrymmet kan dessa längder variera, vilket introducerar ännu mer komplexitet.

Formen på modulutrymmet för grafer av en given rang bestäms av relationerna mellan graferna. När du går runt i utrymmet bör närliggande grafer likna varandra och förvandlas smidigt till varandra. Men dessa relationer är komplicerade och lämnar modulutrymmet med matematiskt oroande egenskaper, såsom områden där tre väggar i modulutrymmet passerar genom varandra.

Matematiker kan studera strukturen av ett utrymme eller en form med hjälp av föremål som kallas kohomologiklasser, som kan hjälpa till att avslöja hur ett utrymme är sammansatt. Tänk till exempel på en av matematikernas favoritformer, munken. På munken är kohomologikurser helt enkelt loopar.

Man kan rita flera olika sorters öglor på ytan av munken: Slinga 1 omger munkens centrala hål; ögla 2 trådar genom hålet; den tredje "triviala" öglan sitter på munkens sida.

Alla kohomologiklasser är dock inte skapade lika. En ögla som sitter på utsidan av munken - som den tredje öglan - kan alltid glida runt eller krympa för att undvika att skära en annan slinga. Det gör det till en "trivial" kohomologikurs.

Men slingorna 1 och 2 säger mycket mer om munkens struktur - de existerar bara på grund av hålet. För att matematiskt urskilja skillnaden kan man använda korsningar, förklarade Margalit. Slingor 1 och 2 kan glida runt på ytan av munken, men om du inte tvingar dem att bryta sig loss från ytan helt och hållet, kommer de alltid att skära varandra. Eftersom dessa två loopar kommer med partners som de inte kan låta bli att korsa, är de "icke-triviala" kohomologiklasser.

Till skillnad från med en munk, kan matematiker inte hitta kohomologiklasser på modulutrymmen i grafer bara genom att rita en bild. Med ett så stort antal grafer är modulutrymmen svåra att få grepp om, sa Nathalie Wahl, matematiker vid Köpenhamns universitet. "Mycket snabbt kan datorn inte hjälpa längre," sa hon. Faktum är att bara en udda dimensionell icke-trivial kohomologiklass har varit uttryckligen beräknat (i 11 dimensioner), tillsammans med en handfull jämna.

Vad Vogtmann och Borinsky bevisade är att det finns ett enormt antal kohomologiklasser som ligger inom modulutrymmet för grafer av en given rang – även om vi inte kan hitta dem. "Vi vet att det finns massor, och vi vet en," sade Wahl och kallade sakernas tillstånd "löjligt."

Istället för att arbeta med kohomologiklasser direkt, studerade Borinsky och Vogtmann ett nummer som kallas Euler-egenskapen. Detta nummer ger en typ av mätning av modulutrymmet. Du kan modifiera modulutrymmet på vissa sätt utan att ändra dess Euler-karaktäristik, vilket gör Euler-karakteristiken mer tillgänglig än själva kohomologiklasserna. Och det var vad Borinsky och Vogtmann gjorde. Istället för att direkt arbeta med modulutrymmet i grafer, studerade de "ryggraden" - i huvudsak ett skelett av det totala utrymmet. Ryggraden har samma Euler-karakteristik som själva modulutrymmet och är lättare att arbeta med. Att beräkna Euler-karaktäristiken på ryggraden kom ner till att räkna en stor samling av grafpar.

Borinskys insikt var att använda tekniker för att räkna Feynman-diagram, som är grafer som representerar hur kvantpartiklar interagerar. När fysiker vill beräkna, säg, chanserna att en kollision mellan en elektron och en positron kommer att producera två fotoner, måste de summa över alla möjliga interaktioner som leder till det resultatet. Det innebär att man tar ett genomsnitt över många Feynman-diagram, vilket motiverar smarta räknestrategier.

"Jag insåg att man kan formulera den här typen av problem som ett slags leksakskvantumfältteoretiskt universum," förklarade Borinsky.

Borinsky föreställde sig graferna som representerande fysiska system i en enkel version av universum, en där, bland andra antaganden, det bara finns en typ av partikel. Ramverket för kvantfältteori behövde en viss justering för Borinsky och Vogtmann för att få rätt räkning. Till exempel, i kvantfältteori är två grafer som är spegelbilder av varandra omöjliga att skilja, sa Borinsky. Formler för att lägga ihop Feynman-diagram inkluderar faktorer som säkerställer att dessa grafer inte överräknas. Men när det gäller att beräkna Euler-karakteristiken anses dessa grafer vara olika. "Vi måste spela ett litet spel med symmetrierna i graferna," sa Borinsky.

Med lite programmeringshjälp från fysikern Jos Vermaseren, Borinsky och Vogtmann övervann slutligen denna svårighet. I sin januaritidning bevisade de att Euler-karakteristiken för modulutrymmet för grafer av rang n blir enormt negativ som n blir större. Detta innebär att det finns många, många icke-triviala kohomologiklasser som ska avslöjas inom varje modulrum.

Även om Borinsky och Vogtmanns papper inte innehåller några ytterligare tips om dessa kohomologiklasser, är det ett uppmuntrande resultat för forskare som försöker hitta dem - och kanske bidrar det till jaktens spänning. Margalit från kohomologiklasserna sa: "De här vi känner är bara dessa pärlor. Och varje gång vi hittar en så är det denna vackra sak.”