บทนำ
ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 1977 คณะปฏิวัติ กระดาษ ปรากฏตัวอย่างเงียบ ๆ ใน Journal d'Analyse Mathématique, วารสารคณิตศาสตร์เฉพาะทาง. ผู้เขียน Hillel Furstenberg ไม่ได้อ้างผลลัพธ์ที่น่าตื่นเต้นหรือแม้แต่ใหม่ เขาเพียงแค่เสนอข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่นักคณิตศาสตร์อีกคนหนึ่ง เอนเดร เซเมเรดี ได้พิสูจน์ไปแล้วเมื่อสองปีก่อน
อย่างไรก็ตาม บทความของ Furstenberg ได้ทิ้งร่องรอยทางคณิตศาสตร์ไว้อย่างยาวนาน ข้อโต้แย้งใหม่ของเขาประกอบด้วยแก่นของข้อมูลเชิงลึกที่มีผลตามมาอย่างกว้างไกล: คุณสามารถเปลี่ยนคำถามเกี่ยวกับชุดของจำนวนเต็มเช่นเดียวกับที่ Szemerédi ได้แก้ไขแล้วเป็นคำถามเกี่ยวกับจุดที่เคลื่อนที่ไปรอบๆ ในอวกาศ
ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา เทคนิคของ Furstenberg ถูกนำมาใช้ครั้งแล้วครั้งเล่า และได้รับการปรับและปรับปรุงทีละเล็กละน้อย เมื่อต้นปีที่ผ่านมา พวกมันถูกอัดมากเกินไป โดยปรากฏในเอกสารใหม่สองฉบับที่เปิดเผยรูปแบบที่ไม่มีที่สิ้นสุดในชุดของจำนวนเต็ม ซึ่งกำลังดำเนินไปอย่างก้าวกระโดดผ่านทฤษฎีบทอายุ 47 ปีของเซเมเรดีในปัจจุบัน
บทพิสูจน์ของ Furstenberg
Szemerédi ได้ตรวจสอบชุดที่มี "เศษส่วนบวก" ของจำนวนเต็มทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ชุดที่มีจำนวนทวีคูณของ 5 ทั้งหมด เมื่อคุณดูที่เส้นจำนวนที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ ผลคูณของ 5 จะยังคงปรากฏขึ้นอย่างสม่ำเสมอ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าเซตที่มีจำนวนคูณทั้งหมดของ 5 จะมีเศษของหนึ่งในห้าของจำนวนเต็มทั้งหมด
ในทางตรงกันข้าม แม้ว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ แต่หายากมากเมื่อจำนวนมีจำนวนมากขึ้นจนเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดไม่มีเศษส่วนบวกของจำนวนเต็ม หรืออีกนัยหนึ่งคือไม่มีความหนาแน่นเป็นบวก . จำนวนเฉพาะจะถูกกล่าวว่ามีความหนาแน่นเป็นศูนย์แทน
Szemerédi กำลังมองหาตัวอย่างของสิ่งที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิต หรือห่วงโซ่ของตัวเลขที่มีระยะห่างเท่าๆ กัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณมีลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด เช่น กำลังสองสมบูรณ์: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …} กำลังสองสมบูรณ์มีความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นความยาวสามซึ่งซ่อนอยู่ในหลายๆ พจน์แรก: {1, 25, 49} ตัวเลขแต่ละตัวในความก้าวหน้านี้มากกว่ารุ่นก่อนถึง 24 ตัว
เซเมเรดีพิสูจน์ว่าเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยเศษส่วนบวกของจำนวนเต็มจะต้องมีการก้าวหน้าทางเลขคณิตที่ยาวตามอำเภอใจ ผลที่ได้คือจุดสังเกตในสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สารผสมเชิงซ้อน
แม้ว่าข้อพิสูจน์ของเซเมเรดีจะยอดเยี่ยม แต่ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะปฏิบัติตาม “จนถึงวันนี้ ฉันคิดว่าอาจมีเพียงสามหรือสี่คนที่เข้าใจข้อพิสูจน์ของ [Szemerédi] จริงๆ” กล่าว เทอเรนซ์เต๋านักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแอนเจลิส
ดังนั้นจึงยินดีต้อนรับข้อโต้แย้งที่เข้าใจได้มากขึ้นของ Furstenberg ในการเขียน Furstenberg อาศัยวิธีการจากสาขาคณิตศาสตร์ของเขาเอง ระบบไดนามิก ระบบไดนามิกคือกระบวนการใด ๆ ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา นี่อาจเป็นสิ่งง่ายๆ เช่น ลูกบิลเลียดที่กลิ้งไปรอบๆ โต๊ะพูล สิ่งที่คุณต้องมีคือวิธีการแสดงระบบของคุณในทางคณิตศาสตร์ และกฎสำหรับวิวัฒนาการของระบบ ตัวอย่างเช่น ลูกบอลสามารถอธิบายได้ด้วยตำแหน่งและความเร็ว ระบบดังกล่าวดำเนินไปตามแนวทางที่กำหนดเมื่อเวลาผ่านไปตามกฎของฟิสิกส์คลาสสิก
Furstenberg สนใจสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีสรีรศาสตร์มากที่สุด แทนที่จะดูสถานะของระบบ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง นักทฤษฎีสรีรศาสตร์ศึกษาสถิติเป็นระยะเวลานาน สำหรับลูกบิลเลียด นั่นอาจหมายถึงการพิจารณาว่าลูกบอลจะไปลงที่จุดใดจุดหนึ่งบนโต๊ะมากกว่าจุดอื่นๆ หรือไม่ เนื่องจากลักษณะที่ลูกบิลเลียดมักจะกระเด็นออกจากผนัง
แนวคิดหลักของ Furstenberg คือการดูชุดของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่วัตถุคงที่ แต่เป็นสถานะชั่วขณะในระบบไดนามิก อาจดูเหมือนเป็นการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในมุมมอง แต่ทำให้เขาสามารถใช้เครื่องมือจากทฤษฎีสรีรศาสตร์เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ใน combinatorics ในเวลานั้น Furstenberg ไม่รู้ว่าความคิดของเขาจะส่งผลต่อชีวิตของพวกเขาเอง “มันก็แค่ ฉันชอบที่จะมีหลักฐานอื่น ๆ นี้” เขากล่าว แต่คนอื่น ๆ เห็นคำสัญญาของความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีสรีรศาสตร์และ combinatorics “นักทฤษฎีสรีรศาสตร์ทั้งรุ่นเริ่มคิดแบบผสมผสานและแก้ปัญหาเหล่านี้ทั้งหมด และในทางกลับกัน” เทากล่าว
ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์สี่คน— บรีน่าคร้า, โจเอล โมเรร่า, ฟลอเรียน ริกเตอร์ และ โดนัลด์ โรเบิร์ตสัน — ได้พัฒนาเทคนิคของ Furstenberg เพื่อค้นหาไม่เพียงแค่ความก้าวหน้าที่ยาวตามอำเภอใจภายในเซตใด ๆ ที่มีเศษส่วนบวกของจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโครงสร้างแบบไม่มีที่สิ้นสุดที่เรียกว่าผลรวมด้วย
“ผลรวมมีความเฉพาะเจาะจงน้อยกว่าความก้าวหน้า พวกเขาดูพิเศษน้อยกว่ามาก” โรเบิร์ตสันกล่าว “แต่มันน่าสนใจและละเอียดอ่อนกว่า เพราะผลรวมเป็นการกำหนดค่าที่ไม่สิ้นสุด ในขณะที่ความก้าวหน้ามีขอบเขตจำกัด”
หาก Furstenberg สร้างสะพานเชื่อมระหว่างทฤษฎีสรีรศาสตร์และคอมบินาทอริก Kra, Moreira, Richter และ Robertson ได้ขยายให้ใหญ่ขึ้นเป็น “ทางหลวงหกเลน” Tao กล่าว
B + C การคาดเดา
ทฤษฎีบทของเซเมเรดีถูกเสนอขึ้นเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 1936 โดยนักคณิตศาสตร์สองคน แต่ไม่มีการพิสูจน์ หนึ่งในนั้นคือนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีที่มีชื่อเสียงในด้านการคาดเดา: Paul Erdős ในปี 2016 ขณะที่ Moreira กำลังทำวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกที่ Ohio State University เขาก็บังเอิญเจอ การคาดเดาอื่นที่ Erdős สร้างขึ้น เกี่ยวกับโครงสร้างที่เรียกว่าผลรวม
ผลรวมทำจากอีกสองชุด เรียกสิ่งเหล่านั้น B และ C. ผลรวม เขียนเป็น B + C, ถูกสร้างขึ้นโดยการบวกเลขทุกคู่ที่เป็นไปได้เข้าด้วยกัน โดยเอาเลขหนึ่งมา B และอื่น ๆ จาก C. Erdős คาดเดาว่าสำหรับชุดใด ๆ A ที่มีเศษส่วนบวกของจำนวนเต็ม มีเซตอนันต์อื่นๆ อยู่ B และ C ซึ่งผลรวมของมันอยู่ภายใน A. ในบทความที่ Moreira กำลังอ่านอยู่ ผู้เขียนได้พิสูจน์การคาดเดาของ Erdős เมื่อ A มีเศษส่วนจำนวนมากของจำนวนเต็ม แต่สำหรับชุดความหนาแน่นบวกที่เล็กลง ยังไม่ทราบผลลัพธ์ “ทันทีที่ฉันอ่านแถลงการณ์ ฉันคิดว่ามันเป็นคำถามที่ดีจริงๆ เพราะมันง่ายมาก” โมเรร่ากล่าว “มันไม่จริงหรือไม่น่าจะยาก ซึ่งแน่นอนว่าผิด มันไม่ผิดพลาดหรือง่ายเลย”
Moreira นำ Richter และ Robertson เพื่อนของเขาจากบัณฑิตวิทยาลัยมาในโครงการ Robertson ซึ่งปัจจุบันอยู่ที่มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์ จบการศึกษาก่อน Moreira หนึ่งปี ส่วน Richter ช้ากว่านั้นสองสามปี ทั้งสามมีความเชี่ยวชาญในการใช้เทคนิคทฤษฎีสรีรศาสตร์กับ combinatorics แต่ปัญหานี้ก่อให้เกิดความท้าทายใหม่
"แทบไม่มีแบบอย่างใดมาก่อนสำหรับการค้นหาผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดภายในชุดของความหนาแน่นที่เป็นบวก" กล่าว แดเนียล กลาสค็อกโลเวลล์ นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยแมสซาชูเซตส์ ผู้ซึ่งเข้าเรียนระดับบัณฑิตศึกษากับโมเรรา ริชเตอร์ และโรเบิร์ตสัน
บางทีด้วยเหตุผลดังกล่าว ปัญหาส่วนรวมจึงพิสูจน์ได้ยาก “เราต้องฝืนทฤษฎีสรีรศาสตร์สักหน่อย” โมเรรากล่าว ในที่สุดความพยายามของพวกเขาก็ได้รับผลและในสิ่งที่ มาร์ซิน ซาบก แห่งมหาวิทยาลัย McGill เรียกว่า “ความสำเร็จที่น่าอัศจรรย์” พวกเขาประสบความสำเร็จในการพิสูจน์การคาดคะเนของ Erdős ในปี 2018 การพิสูจน์ของพวกเขาเกิดขึ้นในภายหลัง ตีพิมพ์ใน พงศาวดารของคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นหนึ่งในวารสารที่มีชื่อเสียงที่สุดของคณิตศาสตร์
บทพิสูจน์ใหม่
กระดาษแผ่นนั้นเปิดคำถามใหญ่ไว้สองข้อ หนึ่งในนั้นคือการคาดคะเนโดยรวมของเออร์โดสที่เรียกว่า B + B + t การคาดเดา
Moreira, Richter และ Robertson ก็เกิดคำถามของตนเองเช่นกัน: ถ้าคุณมีชุดความหนาแน่นเป็นบวก A, คุณสามารถหาเซตอนันต์สามชุดได้ไหม— B, C และตอนนี้ D - ที่ไหน B + C + D อยู่ข้างใน A? แล้วเซตอนันต์สี่เซตล่ะ? ห้า?
หลังจากวางรูปแบบหลายชุดแล้ว นักคณิตศาสตร์ก็ชะงักไปพักหนึ่ง ดูเหมือนว่าเทคนิคที่พวกเขาใช้สำหรับการคาดเดาสองชุดจะถึงขีดจำกัดแล้ว
“เราไม่พบการเปลี่ยนแปลงเชิงพลวัตของปัญหานี้” ริชเตอร์กล่าว เขากล่าวว่าวิธีการของพวกเขา “ล้มเหลวตั้งแต่เริ่มต้น”
สองปีผ่านไปก่อนที่พวกเขาจะเห็นความก้าวหน้าอย่างแท้จริง มาถึงตอนนี้ Richter เป็นเพื่อนร่วมงานหลังปริญญาเอกที่ Northwestern University ซึ่ง บรีน่าคร้า เป็นศาสตราจารย์ ในปี 2020 การแพร่ระบาดของโควิด-19 ขัดขวางไม่ให้พบกันต่อหน้า Kra และ Richter พบว่าตัวเองกำลังถกปัญหาโดยรวมผ่าน Zoom
“ในที่สุด เราก็พบรูปแบบอื่นๆ ที่เราเข้าใจ” ครากล่าว
Kra และ Richter เริ่มพูดคุยกับ Moreira และ Robertson ทุกสัปดาห์ ตรวจสอบหลักฐานปี 2018 อีกครั้ง
“สิ่งที่เราต้องทำคือคิดใหม่ทุกขั้นตอนของการพิสูจน์ โดยเริ่มจากการแปลให้เป็นระบบที่มีพลวัต” ครากล่าว
ที่เป็นประโยชน์สำหรับสาเหตุของพวกเขาคือ 2019 กระดาษ โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ เบอร์นาร์ดโฮสต์. เจ้าภาพได้พิสูจน์ผลลัพธ์ของ Moreira, Richter และ Robertson อีกครั้ง และได้ค้นพบวิธีทำให้ทฤษฎีสรีรศาสตร์ร้องเพลงได้ ในความเห็นของ Moreira Host "เห็นวิธีการเขียนหลักฐานของเราในแบบที่ควรเขียน"
ด้วยการปรับปรุงของ Host ในมือ Kra, Moreira, Richter และ Robertson ยังคงปรับแต่งข้อพิสูจน์ของพวกเขา โดยพยายามดึงข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุดและสง่างามที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ “เราแค่วิเคราะห์มันซ้ำแล้วซ้ำอีกเพื่อดูว่าอะไรคือประเด็นสำคัญของปัญหา” ริกเตอร์กล่าว “ในตอนท้าย เราได้ข้อพิสูจน์ที่มีความคล้ายคลึงกับข้อพิสูจน์เบื้องต้นน้อยมาก”
หลักฐานที่พวกเขาลงเอยด้วย เช่นของ Furstenberg มองว่าชุดจำนวนเต็มจำนวนไม่สิ้นสุดเป็นการประทับเวลาในระบบไดนามิก แม้ว่าระบบไดนามิกนี้จะมองเห็นได้ดีกว่าเมื่อมีจุดกระโดดไปมาในอวกาศ
ต่อไปนี้คือภาพรวมคร่าวๆ ของวิธีการทำงาน: เริ่มต้นด้วยการยืนอยู่ในมุมหนึ่งของห้องปิด เรียกว่ามุม 0 คุณมีรายการเวลา A. ชุดนั้น Aเป็นชุดความหนาแน่นบวกของจำนวนเต็ม
คุณยังมีกฎสำหรับการเดินไปรอบ ๆ ห้อง ทุกๆ วินาที คุณจะย้ายไปยังจุดใหม่ตามตำแหน่งที่คุณเพิ่งยืนอยู่ กฎที่แน่นอนที่คุณปฏิบัติตามจะได้รับการออกแบบให้ตรงกับเวลาที่คุณตั้งไว้ A — เมื่อใดก็ตามที่มีการประทับเวลา Aคุณจะพบว่าตัวเองอยู่ในพื้นที่พิเศษของห้อง
ตัวอย่างเช่นพูดว่า A ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่หารด้วย 4 ลงตัว และทุกๆ วินาที คุณจะเลื่อนตามเข็มนาฬิกาไปที่มุมถัดไปของห้อง หลังจากนั้นหนึ่งวินาที คุณจะย้ายไปที่มุมที่ 1 หลังจากนั้นสองวินาที มุมที่ 2 เป็นต้น จากนั้น ทุกๆ สี่ก้าว — หมายถึงทุกครั้งที่เข้ามา เอ— คุณจะกลับไปที่มุมเดิม 0
กระบวนการนี้ดำเนินไปตลอดกาล เดินทางจากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่งเป็นวงกลมตามเข็มนาฬิกา คุณจะไปแต่ละมุมไม่รู้กี่ครั้ง จุดที่คุณเข้าใกล้เป็นจำนวนนับไม่ถ้วนเรียกว่าจุดสะสม
Kra, Moreira, Richter และ Robertson พิสูจน์แล้วว่าคุณสามารถเลือกจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้อย่างชาญฉลาดเพื่อหาผลรวมของคุณ B + C. ในตัวอย่างมุม ใช้มุม 1 คุณมาถึงจุดนั้นในเวลา 1, 5, 9 และ 13 — เวลาที่ดูเหมือน 4n + 1 สำหรับจำนวนเต็ม n. ปล่อย B เป็นตัวกำหนดในกาลนั้น.
ทีนี้ลองนึกภาพว่าแทนที่จะเริ่มที่มุม 0 คุณจะเริ่มที่มุม 1 ซึ่งหมายความว่าเมื่อหารด้วย 4 ลงตัว คุณจะพบว่าตัวเองกลับมาที่มุม 1 และคุณจะไปที่มุม 0 ในภายหลังในสามขั้นตอน: ในบางครั้ง 3, 7, 11 หรือตัวเลขใดๆ ของแบบ 4n + 3. เรียกชุดของเวลาเหล่านั้น C.
ตอนนี้ เริ่มกระบวนการของคุณจากมุม 0 อีกครั้ง คราวนี้มาดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเอาตัวเลขจาก B และอีกจำนวนหนึ่งจาก C — พูด, 13 จาก B และ 3 จาก ค - และเพิ่มพวกเขา
ซึ่งจะใช้เวลา 13 + 3 = 16 วินาที เนื่องจาก 16 เป็นผลคูณของ 4 จึงอยู่ใน A. แต่คุณสามารถทำนายได้ว่า 13 + 3 จะหารด้วย 4 ลงตัว Aโดยไม่ต้องบวก 13 กับ 3 เข้าด้วยกัน เพียงทำตามสิ่งที่เกิดขึ้นในระบบไดนามิกเมื่อคุณรอ 13 + 3 วินาที: อันดับแรก 13 วินาทีผ่านไป เมื่อถึงจุดนั้น คุณจะพบว่าตัวเองอยู่ในมุมที่ 1 จากนั้น เริ่มจากมุมที่ 1 คุณเดินต่อไปอีกสามก้าว ซึ่งจะพาคุณกลับไปที่มุมที่ 0 เนื่องจากคุณเริ่มจากมุมที่ 0 และจบลงที่มุมนั้น คุณคงต้องรอสักครู่ ทวีคูณของสี่วินาที หมายความว่าเวลาทั้งหมดเป็นตัวเลขในชุดเดิม A.
เพื่อให้ข้อโต้แย้งนี้ได้ผล กลุ่มต้องจัดการกับรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ที่พิถีพิถันมากมาย ตัวอย่างเช่น ในกรณีส่วนใหญ่ คุณมีจุดที่สามารถย้ายไปได้ไม่จำกัดจำนวน ไม่ใช่แค่สี่มุมเท่านั้น นั่นหมายความว่าคุณจะไม่กลับไปที่จุดๆ หนึ่งซ้ำแล้วซ้ำเล่า คุณจะเข้าใกล้มันได้ไม่รู้จบหลายครั้ง ที่นำความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ใหม่มาสู่การโต้แย้ง แต่เมื่อพวกเขาทราบแล้วว่ากระบวนการจะทำงานอย่างไร พวกเขารู้ว่าจะสามารถจัดการกับคำถามที่ยากขึ้นได้
“เราพบข้อพิสูจน์นี้ที่นี่ และมันก็ชัดเจนทันทีว่าจะสรุปอย่างไร” ริชเตอร์ ซึ่งขณะนี้อยู่ที่สถาบันเทคโนโลยีแห่งชาติสวิสโลซานน์กล่าว เพื่อพิสูจน์การคาดเดาในรูปแบบหลายชุด ตัวอย่างเช่น นักวิจัยสามารถเพิ่มจุดสะสมลงในเส้นทางได้ อาร์กิวเมนต์โดยรวมยังเหมือนเดิม เพียงแต่มีความยุ่งยากซับซ้อนขึ้นใหม่
การนำเทคนิคทั้งหมดออกมาไม่ใช่เรื่องง่าย หลังจากที่พวกเขาตกลงกับการตั้งค่าไดนามิกแล้ว Kra, Moreira, Richter และ Robertson ใช้เวลากว่าหนึ่งปีในการหาข้อพิสูจน์ของการคาดเดาที่ยากขึ้น ในเดือนมิถุนายนของปีนี้ ในที่สุดกลุ่มก็ได้โพสต์เอกสารสองฉบับ หนึ่งพิสูจน์แล้ว รุ่นหลายชุดของการคาดเดาผลรวม อื่น ๆ พิสูจน์แล้วว่า B + B + t รุ่นของการคาดเดาซึ่งกำหนดให้ชุดที่สอง C ให้เท่ากับชุดแรก B, เลื่อนโดยค่าคงที่บางอย่าง, t.
ขั้นตอนถัดไป
แม้ว่าเอกสารฉบับเดือนมิถุนายนจะไขข้อสงสัยสองข้อเกี่ยวกับผลรวม แต่ Kra, Moreira, Richter และ Robertson มองเห็นอนาคตอันยาวไกลสำหรับสายงานวิจัยของพวกเขา “เช่นเดียวกับทุกสิ่งที่ Erdős ถาม เขาแค่ต้องการให้เราก้าวไปที่ประตู” Moreira ซึ่งขณะนี้อยู่ที่มหาวิทยาลัย Warwick กล่าว “แต่ตอนนี้เราต้องเปิดประตูและสำรวจว่ามีอะไรอีกบ้าง”
ในเอกสารฉบับใหม่ นักคณิตศาสตร์ทั้งสี่ได้ระบุทิศทางที่เป็นไปได้หลายประการในการสำรวจ ในรูปแบบของคำถามที่ยังไม่มีคำตอบ เราอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า แม้ว่าชุดค่าความหนาแน่นเป็นบวกใดๆ A มีผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด B + Cไม่จำเป็นต้องมีส่วนประกอบทั้งสองอย่าง B และ C. เมื่อไหร่ที่คุณยืนยันได้ว่า B และ C จะต้องบรรจุอยู่ภายในด้วย A? ผู้เขียนยังท้าทายนักคณิตศาสตร์ให้ค้นหาว่าพวกเขาสามารถหาลำดับอนันต์ของเซตอนันต์ที่ผลรวมอยู่ใน A.
Matt Bowen ซึ่งเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของ Sabok's ที่มหาวิทยาลัย McGill ได้ตอบคำถามอื่นในสาขานี้แล้ว ในเดือนตุลาคมเขา โพสต์ พิสูจน์ว่าถ้าคุณกำหนดจำนวนเต็มให้แต่ละสี คุณจะพบผลรวม บี + ซี และผลิตภัณฑ์ชุด BC ภายในสีเดียวเท่านั้น
งานใหม่จาก Kra, Moreira, Richter และ Robertson จะนำมาจากที่ใดนั้นยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่อย่างน้อยเทาก็มองโลกในแง่ดีเกี่ยวกับเทคนิคใหม่ที่กลุ่มได้พัฒนาขึ้น สิ่งที่พวกเขาได้รับจากวิธีการของพวกเขานั้น “น่าทึ่งจริงๆ” เขากล่าว “มีคำถามอื่น ๆ เกี่ยวกับเซตอนันต์ที่เมื่อก่อนถือว่าสิ้นหวัง ตอนนี้อยู่ใกล้แค่เอื้อมแล้ว”
