บทนำ
เมื่อต้นปีที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์สามคนตัดสินใจทำน้ำมะนาวให้เป็นน้ำมะนาว — และลงเอยด้วยการทำ ความคืบหน้าที่สำคัญ ในปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ครุ่นคิดมาหลายศตวรรษ
ทั้งสามคนเพิ่งเสร็จสิ้นโครงการและกำลังคิดเกี่ยวกับขั้นตอนต่อไป เมื่อช่วงปลายเดือนมีนาคม พวกเขาสองคน— เลเวนท์ อัลโปเก้ ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดและ อารีย์ ชนิดมาน แห่งมหาวิทยาลัยฮิบรูแห่งเยรูซาเล็ม — ติดเชื้อโควิด-19 แยกกันแต่เกือบพร้อมกัน หลายคนอาจหยุดพักภายใต้สถานการณ์เช่นนี้ แต่สมาชิกในทีมคนที่สาม มานจูล ภารคะวา ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันเสนอตรงกันข้าม เขาแนะนำว่าการเพิ่มการประชุมผ่าน Zoom ประจำสัปดาห์เป็นสามหรือสี่ครั้งต่อสัปดาห์อาจทำให้เพื่อนร่วมงานที่ป่วยของเขาเสียสมาธิจากอาการของพวกเขา การกักบริเวณ ทั้งสามตัดสินใจว่าอาจเป็นโอกาสที่จะได้คิดอย่างไม่ถูกรบกวน
ในระหว่างการประชุม พวกเขาพิจารณาหนึ่งในคำถามที่เก่าแก่ที่สุดในทฤษฎีจำนวน: จำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนกำลังสามได้กี่จำนวน หรือตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่า จำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เลข 6 สามารถเขียนเป็น (17/21)3 + (37/21)3ในขณะที่ 13 = (7/3)3+(2/3)3.
นักคณิตศาสตร์สงสัยมานานหลายทศวรรษว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ด้วยวิธีนี้ เช่นเดียวกับเลขคี่และเลขคู่ คุณสมบัตินี้ดูเหมือนจะแบ่งจำนวนเต็มออกเป็นสองค่าเท่าๆ กัน ได้แก่ จำนวนที่เป็นผลรวมของลูกบาศก์สองลูกบาศก์ และจำนวนที่ไม่เป็น
แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์เรื่องนี้ได้ หรือแม้กระทั่งระบุสัดส่วนของจำนวนเต็มในแต่ละค่าย เท่าที่นักคณิตศาสตร์รู้ ค่ายที่ประกอบด้วยผลรวมของลูกบาศก์ตรรกยะอาจมีจำนวนน้อยมาก — หรืออาจมีจำนวนเต็มเกือบทุกจำนวน นักคณิตศาสตร์ ได้คำนวณ หากสิ่งที่เรียกว่าการคาดคะเนของ Birch และ Swinnerton-Dyer เป็นจริง (ตามที่เชื่อกันอย่างกว้างขวาง) ประมาณ 59% ของตัวเลขสูงถึง 10 ล้านเป็นผลรวมของจำนวนตรรกยะสองลูกบาศก์ แต่อย่างดีที่สุด ข้อมูลดังกล่าวสามารถให้คำแนะนำว่าเส้นจำนวนที่เหลืออาจทำงานอย่างไร
ไม่เหมือนกับเลขคี่และเลขคู่ “ค่ายทั้งสองนี้บอบบาง” กล่าว แบร์รี่ มาซูร์ ของฮาร์วาร์ด. ไม่มีการทดสอบเพื่อพิจารณาว่าหมายเลขใดอยู่ในค่ายใดที่ทราบกันดีว่าใช้ได้กับหมายเลขทั้งหมด นักคณิตศาสตร์คิดแบบทดสอบที่มีผู้สมัครสอบได้สูง แต่สำหรับตอนนี้แต่ละคนก็มีข้อเสียอยู่บ้าง นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าแบบทดสอบจะได้ข้อสรุปเสมอ หรือไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อสรุปนั้นถูกต้อง
ความยากในการทำความเข้าใจผลรวมของลูกบาศก์และสมการกำลังสามโดยทั่วไปคือ เขา ได้รับรางวัล Fields Medal ในปี 2014 ในส่วนของ งานของเขาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาอย่างมีเหตุผล กับสมการลูกบาศก์ที่เรียกว่า เส้นโค้งวงรี ซึ่งผลรวมของสองลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษ
ขณะนี้ใน กระดาษ โพสต์ออนไลน์เมื่อปลายเดือนตุลาคม Alpöge, Bhargava และ Shnidman แสดงให้เห็นว่าอย่างน้อย 2/21 (ประมาณ 9.5%) และสูงสุด 5/6 (ประมาณ 83%) ของจำนวนทั้งหมดสามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนกำลังสองได้
คำถามเกี่ยวกับผลรวมของลูกบาศก์ไม่ใช่แค่ความอยากรู้อยากเห็นเท่านั้น เส้นโค้งวงรีมีโครงสร้างที่สลับซับซ้อนอย่างมากซึ่งขับเคลื่อนให้เป็นศูนย์กลางของหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ทั้งแบบบริสุทธิ์และแบบประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้นักเข้ารหัสลับสามารถสร้างรหัสที่ทรงพลังได้ การคาดเดาของ Birch และ Swinnerton-Dyer ซึ่งเป็นคำถามหลักในสาขานี้ มีค่าหัว 1 ล้านดอลลาร์ในฐานะหนึ่งในปัญหารางวัลสหัสวรรษของ Clay Mathematics Institute
งานใหม่นี้สร้างขึ้นจากชุดเครื่องมือที่ Bhargava ได้พัฒนาขึ้นในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา ร่วมกับผู้ทำงานร่วมกัน เพื่อ สำรวจครอบครัวเต็มรูปแบบ ของเส้นโค้งวงรี การทำความเข้าใจผลรวมของสองลูกบาศก์หมายถึงการวิเคราะห์ครอบครัวที่เล็กกว่ามาก และ "ยิ่งครอบครัวเล็ก ปัญหายิ่งยาก" กล่าว ปีเตอร์ สารนัก ของสถาบันการศึกษาขั้นสูงในพรินซ์ตัน
ครอบครัวนี้ดูเหมือน “ไกลเกินเอื้อม” Sarnak กล่าวเสริม “ฉันจะพูดว่า 'มันดูยากเกินไป ยากเกินไป'”
การเปลี่ยนเฟส
ตรงกันข้ามกับผลบวกของเศษส่วนกำลังสามซึ่งดูเหมือนจะมีอยู่มากมาย แทบไม่มีจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นผลบวกของเศษส่วนกำลังสอง ในช่วงต้นทศวรรษ 1600 นักคณิตศาสตร์ Albert Girard และ Pierre de Fermat ได้ค้นพบการทดสอบง่ายๆ เพื่อระบุว่าจำนวนเต็มใดที่เป็นผลรวมของกำลังสองกำลังสอง: แยกจำนวนของคุณออกเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นตรวจสอบเลขยกกำลังของแต่ละจำนวนเฉพาะที่มีเศษเหลือเป็น 3 เมื่อคุณหารมันด้วย 4 ถ้าเลขยกกำลังทั้งหมดเป็นเลขคู่ จำนวนของคุณคือผลบวกของเศษส่วนกำลังสอง มิฉะนั้นจะไม่ เช่น 490 ตัวประกอบเป็น 21 × 51 × 72. ปัจจัยเดียวที่มีเศษเหลือเป็น 3 เมื่อคุณหารด้วย 4 คือ 7 และ 7 มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ดังนั้น 490 จึงเป็นผลรวมของกำลังสอง (สำหรับคนอยากรู้ มันเท่ากับ 72 + 212).
ตัวเลขส่วนใหญ่ไม่ผ่านการทดสอบเลขชี้กำลังคู่ หากคุณเลือกจำนวนเต็มโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของเศษส่วนกำลังสองสองส่วนจะเป็นศูนย์ นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าผลบวกของเศษส่วนสองส่วนยกกำลังสี่หรือกำลังห้า หรือกำลังใดๆ ที่สูงกว่าสามก็เช่นเดียวกัน มีเพียงผลรวมของลูกบาศก์เท่านั้นที่มีความอุดมสมบูรณ์ในทันใด
นักคณิตศาสตร์คุ้นเคยกับสมการกำลังสามที่มีลักษณะแตกต่างจากสมการยกกำลังอื่นๆ ในบรรดาสมการที่ประกอบด้วยสองตัวแปร (เช่น สมการผลรวมของสองลูกบาศก์) สมการที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 1 หรือ 2 มักจะเป็นที่เข้าใจกันดี โดยทั่วไปแล้วสมการจะไม่มีคำตอบที่มีเหตุผลหรือจำนวนมากมายมหาศาล และโดยทั่วไปก็ตรงไปตรงมา บอกซึ่ง ในขณะเดียวกันสมการที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 4 หรือสูงกว่าโดยทั่วไปจะมี เพียงโรยจำกัด ของการแก้ปัญหาอย่างมีเหตุผล
ในทางกลับกัน สมการลูกบาศก์สามารถมีคำตอบได้มากมายไม่จำกัด หรือไม่มีเลยก็ได้ สมการเหล่านี้แสดงถึงการเปลี่ยนเฟสระหว่างเลขชี้กำลังด้านล่าง 3 และสมการด้านบน แสดงปรากฏการณ์ที่ไม่เคยเห็นในการตั้งค่าอื่นๆ เหล่านี้ “ลูกบาศก์มีความแตกต่างกันในทุกๆ ด้าน” มาซูร์กล่าว
ลูกบาศก์นั้นแตกต่างจากสมการที่มีเลขชี้กำลังต่ำกว่า ไม่มีวิธีการที่ครอบคลุมในการค้นหาหรือแม้แต่การนับผลเฉลยที่มีเหตุผลสำหรับลูกบาศก์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าใช้ได้ผลเสมอ
“แม้จะมีกำลังการประมวลผลทั้งหมดที่เรามี ถ้าคุณให้เส้นโค้งวงรีที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงมากแก่ฉัน ฉันก็ไม่จำเป็นต้องรู้ว่ามันมีคำตอบเชิงตรรกยะกี่ข้อ” กล่าว เว่ย โฮอดีตลูกศิษย์ของภรควาซึ่งเป็น ปัจจุบันเป็นศาสตราจารย์รับเชิญ ที่สถาบันการศึกษาขั้นสูง
ในปัญหาผลรวมของสองลูกบาศก์ เศษส่วนที่เกี่ยวข้องอาจมีจำนวนมหาศาล ตัวอย่างเช่น จำนวน 2,803 เป็นผลบวกของเศษส่วนกำลังสามสองส่วน ซึ่งตัวส่วนแต่ละส่วนมี 40 หลัก และเมื่อเราดูตัวเลขเป็นล้าน Bhargava กล่าวว่า เศษส่วนจำนวนมาก “จะเกี่ยวข้องกับตัวเลขมากกว่าที่จะใส่ลงในกระดาษทั้งหมดในโลกนี้ได้”
เมทริกซ์การทำแผนที่
เนื่องจากเส้นโค้งวงรีเป็นสิ่งที่ควบคุมไม่ได้ ดังนั้น นักทฤษฎีจำนวนจึงมองหาวิธีที่จะเชื่อมโยงเส้นโค้งเหล่านี้กับวัตถุที่ขยับได้ ในเดือนเมษายนนี้ ขณะที่ Alpöge และ Shnidman กำลังต่อสู้กับโควิด พวกเขาและ Bhargava ก็สานต่องานที่เคยทำร่วมกับ Ho และค้นพบว่าเมื่อใดก็ตามที่สมการผลรวมของลูกบาศก์มีคำตอบที่เป็นตรรกยะ มีวิธีสร้าง 2 พิเศษอย่างน้อยหนึ่งรายการ × 2 × 2 × 2 เมทริกซ์ — อะนาล็อกสี่มิติของเมทริกซ์สองมิติที่คุ้นเคยมากกว่า “เราเริ่มวางแผนนับเมทริกซ์ 2 × 2 × 2 × 2 เหล่านี้” ทั้งสามเขียน
ในการทำเช่นนั้น ทีมงานได้ดึงเอาวิชาคลาสสิก 20 วิชาที่แต่ละวิชาได้รับการศึกษามากว่าศตวรรษ หนึ่งคือ "เรขาคณิตของตัวเลข" ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการนับจุดขัดแตะภายในรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ หัวข้อนี้ได้รับความสนใจจากยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาในด้านเส้นโค้งวงรีในช่วง XNUMX ปีที่ผ่านมา เนื่องจากส่วนใหญ่มาจากงานของ Bhargava และผู้ทำงานร่วมกัน
เทคนิคอื่นที่เรียกว่าวิธีวงกลม มีต้นกำเนิดมาจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในตำนานอย่าง Srinivasa Ramanujan และผู้ทำงานร่วมกันที่รู้จักกันมานานของเขา GH Hardy ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 “นี่เป็นการประยุกต์ใช้หลักครั้งแรกในการรวมวิธีวงกลมเข้ากับเทคนิคเรขาคณิตของตัวเลขเหล่านี้” โฮกล่าว “ส่วนนั้นเจ๋งมาก”
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ ทั้งสามสามารถแสดงให้เห็นว่าอย่างน้อย 1/6 ของจำนวนเต็มทั้งหมด ไม่มีเมทริกซ์ 2 × 2 × 2 × 2 อยู่ นั่นหมายความว่าสำหรับตัวเลขเหล่านั้น สมการผลรวมของลูกบาศก์ไม่มีคำตอบที่เป็นตรรกยะ ดังนั้น ไม่เกิน 5/6 ของจำนวนเต็ม หรือประมาณ 83% จะเป็นผลรวมของลูกบาศก์ของเศษส่วนสองส่วนได้
ในทางกลับกัน พวกเขาพบว่าอย่างน้อย 5/12 ของจำนวนเต็มทั้งหมดมีเมทริกซ์ที่ตรงกันเพียงตัวเดียว เป็นการดึงดูดที่จะสรุปว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นผลรวมของสองลูกบาศก์ แต่นั่นไม่ได้เป็นไปตามโดยอัตโนมัติ ทุกๆ ตัวเลขที่เป็นผลรวมของสองลูกบาศก์จะมีเมทริกซ์ แต่นั่นไม่ได้แปลว่าผลบวกจะเป็นจริง นั่นคือทุกตัวเลขที่มีเมทริกซ์คือผลรวมของสองลูกบาศก์
Alpöge, Bhargava และ Shnidman ต้องการสิ่งที่นักวิจัยเส้นโค้งวงรีเรียกว่าทฤษฎีบทตรงกันข้าม ซึ่งเป็นสิ่งที่ใช้ข้อมูลเกี่ยวกับสมการลูกบาศก์และใช้มันเพื่อสร้างคำตอบที่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีบทคอนเวิร์สสร้างฟิลด์ย่อยที่เฟื่องฟูของทฤษฎีเส้นโค้งวงรี ดังนั้นทั้งสามคนจึงหันไปหาผู้เชี่ยวชาญสองคนในฟิลด์ย่อย — อาเชย์ บูรุงเกล ของมหาวิทยาลัยเทกซัส ออสติน และพรินซ์ตัน Burungale และ Skinner สามารถแสดงให้เห็นว่า อย่างน้อยในบางครั้ง ถ้าจำนวนเต็มมีเมทริกซ์ที่สัมพันธ์กันตัวเดียว จำนวนนั้นจะต้องเป็นผลรวมของลูกบาศก์ตรรกยะสองลูก ทฤษฎีบทของพวกเขาซึ่งโดยพื้นฐานแล้วพิสูจน์ส่วนที่เกี่ยวข้องของการคาดคะเนของ Birch และ Swinnerton-Dyer ปรากฏในกระดาษเป็นภาคผนวกสามหน้าซึ่ง Sarnak อธิบายว่าเป็นเรื่องมหัศจรรย์ในตัวเอง
Burungale และ Skinner ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของพวกเขาสำหรับทุกจำนวนเต็มด้วยเมทริกซ์เดียว — พวกเขาต้องกำหนดเงื่อนไขทางเทคนิคที่ตัดส่วนย่อย 5/12 ลงเหลือ 2/21 หรือประมาณ 9.5% ของจำนวนเต็มทั้งหมด แต่ Bhargava มองในแง่ดีว่า Burungale และ Skinner หรือนักวิจัยคนอื่นๆ ในพื้นที่ของพวกเขาจะไปถึงส่วนที่เหลือของ 5/12 (ประมาณ 41% ของทั้งหมด) ในไม่ช้า “เทคนิคของพวกเขาแข็งแกร่งขึ้นเรื่อย ๆ” Bhargava กล่าว
การพิสูจน์การคาดเดาทั้งหมด — ว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นผลรวมของสองลูกบาศก์ — จะต้องจัดการกับชุดของตัวเลขที่มีเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องมากกว่าหนึ่งตัวในที่สุด ชุดนี้ซึ่ง Bhargava เรียกว่า "หมอกมาก" มีทั้งตัวเลขที่เป็นผลรวมของสองลูกบาศก์และที่ไม่ใช่ การจัดการตัวเลขดังกล่าวจะต้องใช้ความคิดใหม่ทั้งหมด เขากล่าว
สำหรับตอนนี้ นักวิจัยมีความสุขที่ได้ตอบคำถามเกี่ยวกับสัดส่วนของจำนวนเต็ม และกระตือรือร้นที่จะตรวจสอบเทคนิคในการพิสูจน์เพิ่มเติม Sarnak กล่าวว่า "มันเป็นสิ่งที่สวยงามอย่างหนึ่ง คุณสามารถอธิบายผลลัพธ์ได้อย่างง่ายดาย แต่เครื่องมือต่างๆ
