ความสมมาตรที่ทำให้การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย

นึกถึงเพลง “Pop Goes the Weasel” ตอนนี้ร้องเพลงเหล่านี้:

เชิงลบ b, บวกหรือลบ
รากที่สองของ b ยกกำลังสอง
มิ-นุส โฟร์ a c
ทั้งหมด! มากกว่าสอง a

เสียงกริ๊งนี้ช่วยให้นักเรียนพีชคณิตรุ่นต่อรุ่นจำสูตรกำลังสองที่แก้สมการทุกรูปแบบ $latex ax^2+bx+c=0$ ได้ สูตรนี้มีประโยชน์พอๆ กับที่ปรากฏในพจนานุกรมภายใต้หัวข้อ "ความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์" และการดูอย่างรวดเร็วจะแสดงให้คุณเห็นว่าทำไม:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

แม้จะดูน่าเกรงขาม ความลับง่ายๆ ที่ซ่อนอยู่ภายในทำให้การแก้สมการกำลังสองทุกสมการเป็นเรื่องง่าย: สมมาตร มาดูกันว่าความสมมาตรทำให้สูตรกำลังสองทำงานอย่างไร และการขาดความสมมาตรทำให้การแก้สมการกำลังสาม (จากรูปแบบ $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) ยากขึ้นมากได้อย่างไร ยากกว่านั้นมาก อันที่จริง นักคณิตศาสตร์สองสามคนในทศวรรษที่ 1500 ใช้ชีวิตของพวกเขาพัวพันกับความบาดหมางอันขมขื่นในที่สาธารณะที่แข่งขันกันเพื่อให้ได้ลูกบาศก์ซึ่งทำได้ง่ายสำหรับกำลังสอง

การแก้สมการเป็นทักษะหลักในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ ซึ่งช่วยให้เราหากำไรสูงสุด ระยะทางต่ำสุด จุดตัด และอื่นๆ อีกมากมาย หนึ่งในสมการพื้นฐานที่เราเรียนรู้เพื่อแก้คือ $latex f(x)=0$ กำหนดฟังก์ชัน $latex f(x)$ สมการนี้ถามว่า: อินพุตอะไร x ส่งคืนผลลัพธ์เป็น 0? ด้วยเหตุนี้ บางครั้งคำตอบของสมการนี้จึงถูกเรียกว่า "ศูนย์" หรือ "ราก" ของฟังก์ชัน

ก่อนที่เราจะหารากของทุกฟังก์ชันกำลังสอง มาเริ่มกันที่ง่ายๆ ก่อน รากของ $latex f(x)=x^2-9$ คืออะไร หากต้องการค้นหา ให้แก้สมการ $latex f(x)=0$

$ยาง f(x)=0$
$ยาง x^2-9=0$
$ยาง x^2=9$
$ยาง x=pm3$

รากเหล่านี้หาได้ง่ายเพราะสมการนี้แก้ได้ง่าย สิ่งที่คุณต้องทำคือแยกตัวออกมา x. ขอให้สังเกตว่าเราต้องการ $latex pm$ ในบรรทัดสุดท้าย เพราะทั้ง 3 และ -3 มีคุณสมบัติที่เมื่อคุณยกกำลังสอง คุณจะได้ 9 ตรวจสอบอย่างรวดเร็วว่า $latex f(3)=f(-3)=0 $ ยืนยันว่าสิ่งเหล่านี้เป็นอินพุตที่ทำให้ $latex f(x)$ เอาต์พุตเป็น 0

$latex pm$ นั้นยังชี้ให้เห็นถึงความสมมาตรที่มีอยู่ในสถานการณ์ด้วย ฟังก์ชันกำลังสองมีสองราก และถ้าคุณจินตนาการว่ารากทั้งสองอยู่บนเส้นจำนวน คุณจะเห็นว่าพวกมันสมมาตรกันประมาณ $latex x=0$

และเมื่อคุณจำได้ว่ากราฟของฟังก์ชันกำลังสองเป็นพาราโบลา มันก็สมเหตุสมผลดี พาราโบลาทุกอันมีแกนสมมาตรที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนเหมือนภาพสะท้อนในกระจก ในกรณีของ $latex f(x)=x^2-9$ แกนสมมาตรคือ y-แกน (เส้น $latex x=0$) เมื่อคุณกราฟ $latex f(x)=x^2-9$ ด้วยวิธีปกติ โดยการรักษา x ในฐานะตัวแปรอิสระและการตั้งค่า $latex y=f(x)$ คุณสามารถดูรากของมันได้ที่ x-แกน ระยะเท่ากันจากและด้านใดด้านหนึ่งของ y-แกน.

สำหรับสมการกำลังสองที่ซับซ้อนกว่านั้น เช่น $latex f(x)=x^2-8x-9$ การค้นหารากต้องใช้การขุดลึกขึ้นอีกเล็กน้อย

$ยาง f(x)=0$
$ยาง x^2-8x-9=0$
$ยาง x^2-8x=9$

เราสามารถกำหนดให้ $latex f(x)$ เท่ากับ 0 และเลื่อน 9 ไปทางขวาเหมือนที่เคยทำมา แต่เราไม่สามารถนำสแควร์รูทของทั้งสองข้างมาแยกได้ x. คำอื่น ๆ ที่มี x มันยืนขวางทางอยู่ แต่ฟังก์ชันนี้ก็เหมือนกับกำลังสองทุกประการ คือสมมาตร และเราสามารถใช้สมมาตรนั้นเพื่อนำทางไปรอบๆ ปัญหาได้ เราแค่ต้องการพีชคณิตเล็กน้อยเพื่อทำให้สมมาตรโปร่งใสขึ้น

ลองเขียนฟังก์ชัน $latex f(x)=x^2-8x-9$ ใหม่เป็น $latex f(x)=x(x-8)-9$ ตอนนี้มุ่งเน้นไปที่ส่วน $latex x(x-8)$ นี่จะเป็น 0 ในสองสถานการณ์ — ถ้า x= 0 หรือถ้า x= 8 — และรับประกันได้ว่า $latex f(0)$ และ $latex f(8)$ จะมีค่าเท่ากับ -9 นี่ทำให้เรามีจุดสมมาตรสองจุดบนพาราโบลา และเนื่องจากแกนสมมาตรต้องแบ่ง $latex x=0$ และ $latex x=8$ ลงมาตรงกลาง มันจึงต้องเป็นเส้น $latex x=4$

ตอนนี้เราพบความสมมาตรแล้ว ก็ถึงเวลาใช้ประโยชน์จากมัน เราจะเลื่อนพาราโบลาไปทางซ้ายสี่หน่วยเพื่อให้แกนสมมาตรของมันย้ายจากเส้น $latex x=4$ ไปยังเส้น $latex x=0$ มีวิธีง่ายๆ ในการดำเนินการแปลนี้ในเชิงพีชคณิต: เราแทนที่ทุกๆ x กับ x + 4

ลองเรียก $latex g(x)$ ฟังก์ชันกำลังสองใหม่ที่เราได้รับเมื่อเราแทนที่ x กับ x+ 4. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้ $latex g(x)=f(x+4)$ ดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราลดความซับซ้อนของ $latex g(x)$:

$ยาง g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$ยาง g(x)=x^2-25$

หลังจากที่เราใช้คุณสมบัติการแจกแจงสองสามครั้งและรวบรวมเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้ว x เทอมของสมการกำลังสองที่แปลใหม่ของเราหายไป และทำให้การค้นหารากของ $latex g(x)$ ง่ายขึ้น:

$ยาง g(x)=0$
$ยาง x^2-25=0$
$ยาง x^2=25$
$ยาง x=pm5$

รากของ $latex g(x)$ คือ $latex x=pm5$ ดังนั้นในการหารากของ $latex f(x)=x^2-8x-9$ เราก็แค่ย้ายรากของ $latex g( x)$ ถอยหลังสี่หน่วยไปทางขวา us ทำให้เราได้รากของ $latex f(x)$: $latex 4pm5$ หรือ 9 และ -1 ซึ่งคุณสามารถยืนยันได้โดยการคำนวณ $latex f(9)=f(-1)=0$

เคล็ดลับในการแก้สมการกำลังสองที่ยากขึ้นเล็กน้อยนี้คือการเลื่อนสมการกำลังสองแล้วเปลี่ยนให้เป็นสมการกำลังสองที่ง่ายขึ้นโดยกำจัดสิ่งรบกวน x ภาคเรียน. วิธีนี้จะใช้ได้กับฟังก์ชันกำลังสองใดๆ เมื่อพิจารณา $latex กำลังสองโดยพลการ f(x)=ax^2+bx+c$ คุณจะหาแกนสมมาตรของมันได้โดยใช้แฟคตอริ่งบิตเดียวกันเสมอ:

$ยาง f(x)=ax^2+bx+c$
$ยาง f(x)=x(ax+b)+c$

ในรูปแบบนี้ คุณจะเห็นว่า $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$ ซึ่งหมายความว่าแกนสมมาตรอยู่กึ่งกลางระหว่าง $latex x=0$ และ $latex x= -frac{b}{a}$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง แกนสมมาตรของฟังก์ชันกำลังสอง $latex f(x)=ax^2+bx+c$ คือเส้นตรง $latex x=-frac{b}{2a}$ และสิ่งนี้ควรดูคุ้นเคย มันซ่อนอยู่ในสูตรกำลังสอง!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

ง่ายกว่าที่จะดูว่าคุณเขียนใหม่ดังนี้:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

สูตรกำลังสองอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ารากของ $latex f(x)=ax^2+bx+c$ กำลังสองมีความสมมาตรเกี่ยวกับ $latex x=-frac{b}{2a}$ และเช่นเดียวกับที่เราทำข้างต้น คุณสามารถใช้สมมาตรนั้นเพื่อค้นหา: เพียงแปล $latex f(x)$ โดย $latex -frac{b}{2a}$ นี้มีผลในการกำจัด x ซึ่งทำให้คุณสามารถแยกตัวได้ง่าย x และแก้ปัญหา ทำเช่นนี้และคุณจะได้สูตรกำลังสอง (ดูแบบฝึกหัดด้านล่างสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) สิ่งนี้ไม่ง่ายเหมือนการฮัมเพลงสำหรับเด็ก แต่แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงทางพีชคณิตและเรขาคณิตที่สำคัญที่ทำให้สูตรนี้ใช้งานได้

การแก้สมการกำลังสองด้วยพลังของสมมาตรอาจทำให้เรากล้าลองใช้กลวิธีที่คล้ายกันกับสมการลูกบาศก์ แต่ในขณะที่ลูกบาศก์มีสมมาตร มันไม่ใช่แบบที่ช่วยในการแก้สมการ เช่น $latex f(x)=0$ กราฟลูกบาศก์มี "จุดสมมาตร" ซึ่งหมายความว่ามีจุดพิเศษบนกราฟของทุกฟังก์ชันลูกบาศก์ ซึ่งถ้าเส้นผ่านจุดนั้นและตัดลูกบาศก์ที่อื่น เส้นนั้นจะตัดกราฟอีกครั้งอย่างสมมาตรเกี่ยวกับจุดนั้น

นี่เป็นรูปแบบสมมาตรที่แข็งแกร่ง แต่ก็ไม่ช่วยในการค้นหาราก นั่นเป็นเพราะรากของฟังก์ชันเกิดขึ้นเมื่อกราฟตัดเส้นแนวนอน $latex y=0$ (the x-axis) และโดยทั่วไปแล้ว จุดตัดเหล่านั้นไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุดสมมาตรพิเศษของลูกบาศก์

ในความเป็นจริง ลูกบาศก์อาจมีเพียงรากเท่านั้น ไม่มีความสมมาตรที่นั่น

ยังมีบางอย่างจากงานก่อนหน้าของเราเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่สามารถช่วยได้

ถ้าเรามีฟังก์ชันกำลังสอง $latex f(x)=ax^2+bx+c$ และเรารู้ว่ารากของมันคือ $latex r_1$ และ $latex r_2$ เราก็สามารถเขียน $latex f(x)$ ใน รูปแบบ “แฟกเตอร์”: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. ทีนี้ เมื่อเราคูณมันออกมาและลดความซับซ้อน เราจะได้สิ่งที่มีประโยชน์มากมาใช้งาน

$ยาง f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

สังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ x คำที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของสองราก $latex r_1$ และ $latex r_2$ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับหนึ่งในสูตรของ Vieta (ซึ่งคุณอาจเคยเห็น ครั้งเดียว or สองครั้ง ก่อนหน้าในคอลัมน์เหล่านี้): เมื่อกำหนดฟังก์ชันกำลังสอง $latex f(x)=ax^2+bx+c$ ผลรวมของรากทั้งสองจะเป็น $latex -frac{b}{a}$ เสมอ คุณสามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยตั้งค่ารูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองให้เท่ากับรูปแบบแยกตัวของมัน $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ และสังเกตว่าวิธีเดียวที่พหุนามสองชื่อจะทำได้ จะเหมือนกันคือถ้าค่าสัมประสิทธิ์ที่สัมพันธ์กันเท่ากัน ในกรณีนี้ นั่นหมายถึงค่าสัมประสิทธิ์ของ x พจน์ทั้งสองข้างของสมการต้องเท่ากัน เราจึงเขียนได้

$น้ำยาง b=-a(r_1+r_2)$

แล้วแบ่ง:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

ขอให้สังเกตว่าการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 แสดงให้เห็นข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ: ค่าเฉลี่ยของรากทั้งสองของฟังก์ชันกำลังสองเท่ากับ x- ค่าของแกนสมมาตร:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

สิ่งนี้สมเหตุสมผล เพราะแกนสมมาตรต้องอยู่ตรงกลางของรากสองตัว และค่าเฉลี่ยของตัวเลขสองตัวใดๆ ก็คือตัวเลขที่อยู่ตรงกลางพอดี

แต่พิจารณาความสัมพันธ์ใหม่นี้ในบริบทของการแปลครั้งก่อนของเรา การแปลพาราโบลาโดยการย้ายแกนสมมาตรจาก $latex x = -frac{b}{2a}$ เป็น $latex x=0$ จะเปลี่ยนค่าเฉลี่ยของรากทั้งสองจาก $latex -frac{b}{2a} $ ถึง 0

แต่ถ้าค่าเฉลี่ยของรากเป็น 0 ผลรวมของรากจะต้องเป็น 0 เช่นกัน และผลรวมของรากทั้งสองจะปรากฏในรูปแบบแฟคเตอร์ของสมการกำลังสอง:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

ซึ่งหมายความว่าการแปลกำลังสองเพื่อให้ผลรวมของรากกลายเป็น 0 ก็ทำให้ x ระยะหายไป นี่คือสิ่งที่ช่วยให้เราแก้สมการกำลังสองก่อนหน้านี้ และผลลัพธ์ที่คล้ายกันเกี่ยวกับรากที่ถือสำหรับฟังก์ชันลูกบาศก์

ให้ $latex ลูกบาศก์ทั่วไป f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ เราสามารถทำในสิ่งที่เราทำกับกำลังสองได้ ถ้าลูกบาศก์มีราก $latex r_1$, $latex r_2$ และ $latex r_3$ เราสามารถเขียนฟังก์ชันลูกบาศก์ในรูปแฟคเตอร์ $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ แล้วคูณมันออกมา เราจะได้ $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ ซึ่งเราจะตั้งค่าเท่ากับ $latex f ในรูปแบบทั่วไป (x)=ax^3+bx^2+cx+d$ และเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องจะต้องเท่ากัน เราจึงลงเอยด้วยสูตรของ Vieta สำหรับผลรวมของรากของลูกบาศก์:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

สังเกตว่าเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3 จะได้

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

สิ่งนี้บอกเราว่ารากเฉลี่ยของลูกบาศก์คือ $latex -frac{b}{3a}$ ทีนี้ ถ้าเราแปลลูกบาศก์ด้วยจำนวนนี้ รากเฉลี่ยจะเป็น 0 ซึ่งจะทำให้ผลรวมของรากเท่ากับ 0 ซึ่งจะทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ $latex x^2$ ในลูกบาศก์ที่แปลแล้วหายไป

กล่าวโดยย่อ การแปลง $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ จะให้ผลที่เรียกว่าคิวบิก "หดหู่" ซึ่งหมายความว่าไม่มีเทอม $latex x^2$ . ลูกบาศก์ที่เปลี่ยนไปและหดหู่ของเราจะมีลักษณะดังนี้:

$ยาง g(x)=ax^3+mx+n$

ค่าสัมประสิทธิ์ m และ n สามารถแสดงในรูปของ ก, ข, ค, และ d จากลูกบาศก์เดิม สิ่งที่พวกเขาเท่ากันมีความสำคัญน้อยกว่าความจริงที่ว่ามีเทคนิคที่รับประกันได้สำหรับการค้นหารากของลูกบาศก์ที่หดหู่ อันที่จริง เทคนิคดังกล่าวเป็นหัวใจสำคัญของข้อพิพาทในตำนานระหว่าง Gerolamo Cardano และ Niccolò Tartaglia ในช่วงทศวรรษที่ 1500 ซึ่งเกี่ยวข้องกับมิตรภาพ การหักหลัง และการดวลคณิตศาสตร์ในที่สาธารณะ มันคือ เรื่องราวที่ยาวนานและน่าสนใจด้วยข้อสรุปทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่ง: ความสามารถในการเปลี่ยนลูกบาศก์ใด ๆ ให้กลายเป็นลูกบาศก์ที่หดหู่ ร่วมกับความสามารถในการแก้สมการลูกบาศก์ที่หดหู่ ทำให้เราสามารถแก้สมการลูกบาศก์ทุกสมการได้ คุณจะยกโทษให้ฉันที่ทิ้งรายละเอียดที่เหลือไป เพราะงั้น มันง่ายกว่าที่จะแสดงให้คุณเห็น

นี่คือสูตรลูกบาศก์ ซึ่งเหมือนกับสูตรกำลังสอง แก้สมการกำลังสามทุกสมการ แต่ต่างจากสูตรสมการกำลังสองตรงที่ไม่มีเพลงเพราะๆ ให้ร้องตาม คุณสามารถลองเขียนได้ แต่อาจต้องใช้โคลงสองสามท่อนและคอรัสหนึ่งหรือสองท่อน

การออกกำลังกาย

1. ถ้าคุณรู้หนึ่งรูทของลูกบาศก์ คุณจะหารากที่เหลือได้อย่างแน่นอน ทำไม

2. รากของกำลังสองอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน นั่นไม่ส่งผลต่ออาร์กิวเมนต์สมมาตรใช่ไหม

3. กำหนด $latex กำลังสองทั่วไป f(x)=ax^2+bx+c$ ให้แก้ $latex กำลังสองที่แปลงแล้ว g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ เพื่อหาค่า สูตรกำลังสอง

4. ค่าเฉลี่ยของรากของฟังก์ชันควอร์ติก $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ คือเท่าใด

5. ใช้แคลคูลัสเพื่อแสดงว่าจุดเบี่ยงเบนของลูกบาศก์เป็นจุดสมมาตรด้วย