Giriş
Aralık 1977'de bir devrimci kâğıt sessizce ortaya çıktı Journal d'Analyse Mathématique, özel bir matematik dergisi. Yazar Hillel Furstenberg, heyecan verici - hatta yeni - sonuçlar iddia etmedi. Başka bir matematikçi olan Endre Szemerédi'nin iki yıl önce ispatlamış olduğu bir teoremin ispatını teklif etmişti.
Buna rağmen, Furstenberg'in makalesi matematik üzerinde kalıcı bir iz bıraktı. Yeni argümanı, geniş kapsamlı sonuçları olan bir içgörü çekirdeği içeriyordu: Szemerédi'nin tamsayı kümeleriyle ilgili çözdüğü gibi problemleri uzayda hareket eden noktalarla ilgili sorulara yeniden yazabilirsiniz.
O zamandan beri, Furstenberg'in teknikleri tekrar tekrar kullanıldı ve yavaş yavaş ayarlandı ve geliştirildi. Bu yılın başlarında, tamsayı kümelerindeki sonsuz örüntüleri ortaya çıkaran iki yeni makalede yer alarak süper şarj oldular - Szemerédi'nin şu anda 47 yaşında olan teoremini sıçrayarak ve sınırlayarak geçerek.
Furstenberg'in Kanıtı
Szemerédi, tüm tam sayıların "pozitif kesirlerini" içeren kümeleri inceliyordu. Örneğin, 5'in tüm katlarını içeren kümeyi ele alalım. Sayı doğrusunda daha büyük alanlara baktığınızda, 5'in katları düzenli olarak görünmeye devam eder. Matematikçiler, 5'in tüm katlarını içeren kümenin, tüm tam sayıların beşte birinin kesrine sahip olduğunu söylüyor.
Buna karşılık, sonsuz sayıda asal sayı varken, sayılar büyüdükçe o kadar nadir hale gelirler ki, tüm asal sayılar kümesi tam sayıların pozitif bir kısmını içermez veya başka bir deyişle, pozitif bir yoğunluğa sahip değildir. . Bunun yerine asalların sıfır yoğunluğa sahip olduğu söylenir.
Szemerédi, sözde aritmetik ilerlemelerin veya eşit aralıklı sayı zincirlerinin örneklerini arıyordu. Örneğin, tam kareler gibi sonsuz bir sayı diziniz olduğunu hayal edin: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Mükemmel kareler, ilk birkaç terimde gizlenen üç uzunlukta bir aritmetik ilerlemeye sahiptir: {1, 25, 49}. Bu dizideki her sayı bir öncekinden 24 fazladır.
Szemerédi, tam sayıların pozitif bir kesrini içeren herhangi bir kümenin keyfi olarak uzun aritmetik ilerlemeler içermesi gerektiğini kanıtladı. Sonuç, matematiğin toplamsal kombinatorik adı verilen alt alanında bir dönüm noktasıydı.
Szémeredi'nin kanıtını, parlak olmasına rağmen takip etmek neredeyse imkansızdı. "Bugüne kadar [Szemerédi'nin] kanıtını gerçekten anlayan belki sadece üç veya dört kişi olduğunu düşünüyorum" dedi. Terence tao, Los Angeles, California Üniversitesi'nde bir matematikçi.
Dolayısıyla Furstenberg'in daha anlaşılır argümanı memnuniyetle karşılandı. Bunu yazmak için Furstenberg, kendi matematik alanındaki dinamik sistemlerdeki yöntemlere güvendi. Dinamik bir sistem, zamanla değişen herhangi bir süreçtir. Bu, bilardo masasının etrafında dönen bir bilardo topu kadar basit bir şey olabilir. İhtiyacınız olan tek şey, sisteminizi matematiksel olarak temsil etmenin bir yolu ve nasıl geliştiğine dair bir kuraldır. Örneğin bir top, konumu ve hızı ile tanımlanabilir. Bu sistem, klasik fizik yasalarına göre zaman içinde önceden belirlenmiş bir şekilde ilerler.
Furstenberg en çok ergodik teori denen bir şeyle ilgileniyordu. Ergodik teorisyenler, herhangi bir zamanda bir sistemin durumuna bakmak yerine, uzun dönemler boyunca istatistikleri inceler. Bir bilardo topu için bu, topun duvarlardan sekme eğilimi nedeniyle masanın bazı noktalarında diğerlerinden daha fazla olup olmadığını anlamak anlamına gelebilir.
Furstenberg'in ana fikri, tamsayı kümelerini sabit nesneler olarak değil, dinamik bir sistemdeki anlık durumlar olarak görmekti. Perspektifte küçük bir değişiklik gibi görünebilir, ancak kombinatorikteki sonuçları kanıtlamak için ergodik teoriden araçlar kullanmasına izin verdi. O zamanlar Furstenberg'in fikirlerinin kendi başlarına bir yaşam süreceğine dair hiçbir fikri yoktu. "Sadece, bu diğer kanıta sahip olmak hoşuma gitti," dedi. Ancak diğerleri, ergodik teori ile kombinatorik arasındaki bağlantının vaadini gördü. Tao, "Bütün bir nesil ergodik teorisyenler, bir tür kombinatoriğe hücum etmeye ve tüm bu sorunları çözmeye başladı ve bunun tersi de geçerlidir" dedi.
Son birkaç yılda, dört matematikçi — Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter ve Donald Robertson - Furstenberg'in tekniklerini, tamsayıların pozitif bir kesirini içeren herhangi bir küme içinde keyfi olarak uzun ilerlemeleri değil, aynı zamanda toplam kümeler adı verilen sonsuz yapı versiyonlarını bulmak için geliştirdiler.
“Toplam kümeler, ilerlemelerden çok daha az spesifiktir; çok daha az özel görünüyorlar,” dedi Robertson. "Ama daha ilginç ve daha hassas, çünkü toplam kümeler sonsuz konfigürasyonlardır, halbuki ilerlemeler sonludur."
Tao, Furstenberg ergodik teori ile kombinatorik arasında bir köprü kurduysa, Kra, Moreira, Richter ve Robertson onu "altı şeritli bir otoyol" haline getirdi.
B + C varsayım
Szemerédi'nin teoremi ilk olarak 1936'da iki matematikçi tarafından önerildi, ancak kanıtlanamadı. Bunlardan biri, varsayımlarda bulunmasıyla ünlü bir Macar matematikçiydi: Paul Erdős. 2016'da Moreira, Ohio Eyalet Üniversitesi'nde doktora tezi üzerinde çalışırken bir rastlantıyla karşılaştı. Erdős'in yaptığı başka bir varsayım toplamlar adı verilen yapılar hakkında.
Diğer iki kümeden bir toplam yapılır; onları ara B ve C. toplamı, olarak yazılır B + C, mümkün olan her sayı çiftini toplayarak, bir sayı alarak oluşturulur. B ve diğeri C. Erdős, herhangi bir set için A tamsayıların pozitif bir kısmını içeren başka sonsuz kümeler de vardır. B ve C toplamı içinde bulunan A. Moreira'nın okuduğu makalede, yazarlar, A tam sayıların büyük bir kısmını içerdiğinde Erdős'in varsayımını kanıtlamışlardı. Ancak daha küçük pozitif yoğunluk kümeleri için sonuç hala bilinmiyordu. Moreira, "Açıklamayı okur okumaz bunun gerçekten iyi bir soru olduğunu düşündüm çünkü çok basit," dedi. "Ya yanlış, ya da zor olmamalı. Hangisi elbette yanlıştı. Ne yanlıştı ne de kolaydı.”
Moreira, lisansüstü okuldan arkadaşları olan Richter ve Robertson'ı projeye dahil etti. Şu anda Manchester Üniversitesi'nde olan Robertson, Moreira'dan bir yıl önce mezun olmuştu ve Richter birkaç yıl gerideydi. Üçü de ergodik teori tekniklerini kombinatoriklere uygulama konusunda çok bilgiliydi. Ancak bu sorun yeni zorluklar doğurdu.
"Bir dizi pozitif yoğunluk içinde sonsuz toplamlar bulmak için neredeyse hiçbir emsal yoktu" dedi. Daniel GlasscockMoreira, Richter ve Robertson ile yüksek lisans okuluna devam eden Lowell, Massachusetts Üniversitesi'nde bir matematikçi.
Belki de bu nedenle, toplama probleminin ele alınması zor oldu. Moreira, "Ergodik teoriyi biraz zorlamamız gerekiyor," dedi. Çabaları sonunda meyvesini verdi ve ne şekilde Marcin Sabok McGill Üniversitesi'nden doktorlar "şaşırtıcı bir başarı" olarak nitelendirdiler ve 2018'de Erdős'in varsayımını kanıtlamayı başardılar. yayımlanan Matematik Yıllıklarımatematiğin en prestijli dergilerinden biri.
Yeni Kanıtlar
O makale iki büyük soruyu cevapsız bıraktı. Bunlardan biri, Erdős'in bir başka özet varsayımıydı. B + B + t varsayım.
Moreira, Richter ve Robertson da kendilerine ait bir soru sormuşlardı: Pozitif yoğunluk kümeniz varsa A, üç sonsuz küme bulabilir misiniz — B, C ve şimdi D - nerede B + C + D içeride A? Peki ya dört sonsuz küme? Beş?
Çoklu küme versiyonunu oluşturduktan sonra matematikçiler bir süre takılıp kaldılar. İki küme varsayımı için kullandıkları tekniklerin sınırına ulaşmış gibi görünüyordu.
Richter, "Bu sorunun dinamik bir şekilde yeniden formüle edilmesini bulamadık" dedi. Yaklaşımları, dedi, "en başta başarısız oldu."
Gerçek bir ilerleme görmeden önce iki yıl geçti. Bu zamana kadar Richter, Northwestern Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacıydı. Bryna Kra bir profesördü. 2020'de, Covid-19 salgını nedeniyle yüz yüze görüşmeleri engellenen Kra ve Richter, kendilerini Zoom üzerinden gün batımı sorununu tartışırken buldular.
Kra, "Sonunda, anladığımız bazı başka varyasyonlar bulduk" dedi.
Kra ve Richter, 2018 kanıtını yeniden inceleyerek her hafta Moreira ve Robertson ile konuşmaya başladılar.
Kra, "Yapmamız gereken, dinamik bir sisteme çeviriden başlayarak ispatın her adımını yeniden düşünmekti" dedi.
Amaçlarına yardımcı olan bir 2019 idi kâğıt adlı bir Fransız matematikçi tarafından Bernard Ev sahibi. Sunucu, Moreira, Richter ve Robertson'ın sonucunu yeniden kanıtlamış ve ergodik teoriyi nasıl söyleteceğini bulmuştu. Moreira'nın görüşüne göre Host, "kanıtımızı yazılması gerektiği gibi nasıl yazacağımızı gördü."
Host'un iyileştirmeleri ellerindeyken, Kra, Moreira, Richter ve Robertson mümkün olan en basit, en zarif argümanı çıkarmaya çalışarak ispatlarını değiştirmeye devam ettiler. "Sanırım, gerçekten görmek için tekrar tekrar inceliyorduk: Sorunun özü nedir?" dedi Richter. "Sonunda, ilk kanıtla çok az benzerliği olan bir kanıtımız oldu."
Sonunda elde ettikleri kanıt, Furstenberg'inki gibi, sonsuz tamsayı kümelerini dinamik bir sistemdeki zaman damgaları olarak gördü. Ancak bu dinamik sistem, uzayda zıplayan noktalar olarak daha iyi tasavvur edilir.
İşte nasıl çalıştığına dair kabaca bir resim: Kapalı bir odanın bir köşesinde durarak başlayın, buna Köşe 0 deyin. A. Bu set, A, pozitif yoğunluklu tamsayılar kümesidir.
Ayrıca odanın içinde dolaşmak için bir kuralla donatılmışsın. Durduğunuz yere bağlı olarak her saniye yeni bir noktaya geçersiniz. Tam olarak izlediğiniz kural, zaman grubunuza uyacak şekilde tasarlanacaktır. A — zaman damgası bulunduğunda A, kendinizi odanın özel bir alanında bulacaksınız.
Örneğin, söyle A 4'e bölünebilen tüm sayılardan oluşur ve her saniye saat yönünde odanın bir sonraki köşesine geçersiniz. Bir saniye sonra 1. Köşeye geçersiniz; iki saniye sonra, 2. Köşe vb. Ardından, her dört adımda bir - yani her seferinde bir - orijinal Köşe 0'a dönmüş olacaksınız.
Bu süreç sonsuza kadar devam eder. Saat yönünde bir daire içinde köşeden köşeye seyahat ederek, her köşeyi sonsuz kez ziyaret edeceksiniz. Sonsuz sayıda yaklaştığınız bir noktaya birikim noktası denir.
Kra, Moreira, Richter ve Robertson, özet kümenizi bulmak için bu noktalardan birini akıllıca seçebileceğinizi kanıtladı. B + C. Köşe örneğinde, 1. Köşeyi ele alalım. Oraya 1, 5, 9 ve 13 zamanlarında varırsınız — zamanlar 4 gibi görünürn bazı tamsayılar için + 1 n. let B o zamanların seti olsun.
Şimdi 0. Köşeden başlamak yerine 1. Köşeden başladığınızı hayal edin. Bu, 4'e bölünebilen zamanlarda kendinizi 1. Köşede bulacağınız ve 0. Köşeye üç adım sonra ulaşacağınız anlamına gelir: bazen 3, 7, 11 veya 4 biçimindeki herhangi bir sayın + 3. O zamanların setini arayın C.
Şimdi işleminize tekrar Köşe 0'dan başlayın. Bu kez, bir sayı alırsanız ne olduğuna bir bakın. B ve gelen bir numara C — diyelim ki, 13'ten B ve 3 C - ve onları ekleyin.
Bu 13 + 3 = 16 saniye sürer. 16 sayısı 4'ün katı olduğu için A. Ancak 13 + 3'ün 4'e bölüneceğini de tahmin edebilirsiniz. A, aslında 13 ve 3'ü birbirine eklemeden. 13 + 3 saniye beklediğinizde dinamik sistemde ne olduğunu takip edin: Önce 13 saniye geçiyor. O noktada kendinizi 1. Köşede buluyorsunuz. Sonra 1. Köşeden başlayarak üç adım daha atıyorsunuz ve bu sizi 0. Köşeye götürüyor. dört saniyenin katları, yani toplam süre orijinal sette bir sayıydı A.
Bu argümanın işe yaraması için grubun pek çok hassas matematiksel ayrıntıyla uğraşması gerekiyordu. Örneğin, çoğu durumda sadece dört köşe değil, hareket edebileceğiniz sonsuz sayıda noktanız vardır. Bu, aslında bir noktaya sonsuz kez dönmeyeceğiniz anlamına gelir; ona yalnızca sonsuz kez yaklaşacaksın. Bu, argümana yeni matematiksel karmaşıklıklar getirdi. Ancak sürecin nasıl işleyeceğini anladıklarında, peşinde oldukları daha zor soruların üstesinden gelebileceklerini biliyorlardı.
Şu anda İsviçre Federal Teknoloji Enstitüsü Lozan'da bulunan Richter, "Burada bu kanıtı bulduk ve bunu nasıl genelleştireceğimiz hemen belli oldu" dedi. Örneğin, varsayımın çoklu küme versiyonunu kanıtlamak için, araştırmacılar yola bir birikim noktası ekleyebilirler. Genel argüman aynıydı, sadece yeni bir karmaşıklık katmanı vardı.
Tüm teknik ayrıntıları ortaya çıkarmak kolay değildi. Dinamik kurulumlarına karar verdikten sonra Kra, Moreira, Richter ve Robertson'ın daha zor varsayımların kanıtlarını bulması bir yıldan fazla sürdü. Bu yılın Haziran ayında, grup nihayet iki makale yayınladı. Biri kanıtladı toplam küme varsayımının çok kümeli versiyonu. Öteki kanıtladı B + B + t ikinci kümenin olmasını gerektiren varsayımın versiyonu C ilk kümeye eşit olmak B, bir sabit tarafından kaydırıldı, t.
Sonraki Adımlar
Haziran gazeteleri toplam kümelerle ilgili iki soruyu çözse de Kra, Moreira, Richter ve Robertson araştırmaları için uzun bir gelecek tasavvur ediyor. Artık Warwick Üniversitesi'nde olan Moreira, "Erdős'in sorduğu her şeyde olduğu gibi, sadece ayağımızı kapıya koymamızı istiyor," dedi. "Ama şimdi kapıyı açıp orada başka neler olduğunu keşfetmemiz gerekiyor."
Yeni makalelerinde, dört matematikçi, henüz cevaplanmamış sorular biçiminde, birkaç olası keşif yönünü ortaya koyuyor. Biri, herhangi bir pozitif yoğunluk kümesi olmasına rağmen, A sonsuz toplam içerir B + C, mutlaka iki bileşeni içermesi gerekmez B ve C. Bunun için ne zaman ısrar edebilirsin? B ve C içinde de yer almalı A? Yazarlar ayrıca matematikçilere, toplamları içinde bulunan sonsuz bir sonsuz küme dizisini bulup bulamayacaklarını anlamaları için meydan okuyor. A.
Bu alandaki başka bir açık soru, McGill Üniversitesi'nde Sabok'un yüksek lisans öğrencisi olan Matt Bowen tarafından zaten yanıtlandı. Ekim ayında o posted her tamsayıya birkaç renkten birini atarsanız, bir toplam küme bulabileceğinizin kanıtı B+C ve setlerin bir ürünü BC renklerden sadece biri içinde.
Kra, Moreira, Richter ve Robertson'ın yeni çalışmalarının tam olarak nereye varacağı hala bilinmiyor. Ama en azından Tao, grubun geliştirdiği yeni teknikler konusunda iyimser. Yöntemleriyle elde ettikleri şey "aslında oldukça şaşırtıcı" dedi. "Daha önce umutsuz olarak kabul edilen, şimdi erişilebilen sonsuz kümeleri içeren başka sorular da var."
