Giriş
Bu yılın başlarında, üç matematikçi limonları limonata yapmaya karar verdiler ve sonunda limonata yapmaya karar verdiler. büyük ilerleme matematikçilerin yüzyıllardır üzerinde düşündükleri bir problem üzerine.
Üçü bir projeyi yeni bitiriyor ve sonraki adımları düşünürken, Mart ayının sonlarında içlerinden ikisi — Levent Alpöge Harvard Üniversitesi ve Ari Shnidman Kudüs İbrani Üniversitesi'nden ayrı ayrı ama neredeyse aynı anda Covid-19'a yakalandı. Pek çok insan böyle durumlarda ara verirdi ama üçüncü takım üyesi, Manjul Bhargava Princeton Üniversitesi'nden, aksini önerdi. Haftalık Zoom toplantılarını haftada üç veya dört defaya çıkarmanın, hasta işbirlikçilerini semptomlardan uzaklaştırabileceğini öne sürdü. Üçü, karantinanın rahatsız edilmeden düşünmek için bir fırsat olabileceğine karar verdi.
Bu toplantılar sırasında sayı teorisindeki en eski sorulardan birini ele aldılar: İki küp kesrin toplamı olarak veya matematikçilerin dediği gibi rasyonel sayılar olarak kaç tam sayı yazılabilir? Örneğin 6 sayısı (17/21) şeklinde yazılabilir.3 + (37/21)3, 13 = (7/3) iken3+(2/3)3.
Matematikçiler on yıllardır tüm tam sayıların yarısının bu şekilde yazılabileceğinden şüpheleniyorlar. Tıpkı tek ve çift sayılarda olduğu gibi, bu özellik tam sayıları iki eşit kampa ayırıyor gibi görünüyor: iki küpün toplamı olanlar ve olmayanlar.
Ancak hiç kimse bunu kanıtlayamadı, hatta her kampa düşen tam sayıların oranı konusunda herhangi bir sınır bile koyamadı. Matematikçilerin bildiği kadarıyla, rasyonel küplerin toplamından oluşan grup yok denecek kadar küçük olabilir veya neredeyse her tam sayıyı içerebilir. matematikçiler hesaplamış Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı denen bir şey doğruysa (geniş çapta inanıldığı gibi), 59 milyona kadar olan sayıların yaklaşık %10'u iki rasyonel küpün toplamıdır. Ancak bu tür veriler, en iyi ihtimalle, sayı satırının geri kalanının nasıl davranabileceği hakkında ipuçları verebilir.
Tek ve çift sayıların aksine, "bu iki kamp incedir" dedi Barry Mazur Harvard'ın. Tüm sayılar için çalıştığı bilinen hangi sayıların hangi kampa ait olduğunu belirlemeye yönelik bir test yoktur. Matematikçiler güçlü adaylar olan testler buldular, ancak şimdilik her birinin bazı dezavantajları var - ya matematikçiler testin her zaman bir sonuca varacağını kanıtlayamazlar ya da sonucun doğru olduğunu kanıtlayamazlar.
Bhargava, küplerin toplamlarını ve daha genel olarak kübik denklemleri anlamanın zorluğu, "sayı teorisyenleri için yinelenen bir utanç" olmuştur, dedi. O Fields Madalyası kazandı 2014 yılında kısmen rasyonel çözümler konusundaki çalışmaları eliptik eğriler olarak bilinen ve iki küpün toplamlarının özel bir durum olduğu kübik denklemlere.
Şimdi de Kağıt Ekim sonunda internette yayınlanan Alpöge, Bhargava ve Shnidman, tam sayıların en az 2/21'inin (yaklaşık %9.5) ve en fazla 5/6'sının (yaklaşık %83) iki küp kesrin toplamı olarak yazılabileceğini göstermiştir.
Küplerin toplamı sorusu sadece bir merak konusu değildir. Eliptik eğriler, onları hem saf hem de uygulamalı matematiğin birçok alanının merkezine iten, özellikle kriptografların güçlü şifreler oluşturmasını sağlayan, zengin ve karmaşık bir yapıya sahiptir. Alanın ana sorusu olan Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı, Clay Matematik Enstitüsü'nün Milenyum Ödüllü Problemlerinden biri olarak başına 1 milyon dolarlık bir ödül koydu.
Yeni çalışma, Bhargava'nın son 20 yılda ortak çalışanlarla birlikte geliştirdiği bir dizi araç üzerine kuruludur. tüm aileyi keşfet eliptik eğrilerin. İki küpün toplamını anlamak, çok daha küçük bir aileyi analiz etmek anlamına gelir ve "aile ne kadar küçükse, problem o kadar zor olur" dedi. Peter Sarnak Princeton'daki İleri Araştırma Enstitüsü'nden Dr.
Sarnak, bu özel ailenin "ulaşılamayacak kadar uzak" göründüğünü de sözlerine ekledi. "'Bu çok zor görünüyor, çok zor' derdim."
Bir Faz Geçişi
Bol gibi görünen küplü kesirlerin toplamlarının aksine, neredeyse hiçbir tamsayı iki kare kesrin toplamı değildir. 1600'lerin başlarında, matematikçiler Albert Girard ve Pierre de Fermat, hangi tam sayıların iki karenin toplamı olduğunu belirlemek için basit bir test bulmuşlardı: Sayınızı asal sayılara ayırın, sonra kalanı 3 olan her asalın üssünü kontrol edin. 4'e böldüğünüzde. Bu üslerin hepsi çift ise, sayınız iki kare kesrin toplamıdır; Aksi takdirde, değil. Örneğin, 490'ye 2 faktör1 × 51 × 72. Bu çarpanlardan 3'e böldüğünüzde kalanı 4 olan tek çarpan 7'dir ve 7'nin üssü çifttir. Dolayısıyla 490 iki karenin toplamıdır (meraklısı için 7'ye eşittir)2 + 212).
Sayıların büyük çoğunluğu çift üs testinde başarısız olur. Rastgele bir tam sayı seçerseniz, bunun iki kareli kesrin toplamı olma olasılığı temelde sıfırdır. Matematikçiler, aynı şeyin, dördüncü kuvvete veya beşinci kuvvete veya üçten büyük herhangi bir kuvvete yükseltilmiş iki kesrin toplamları için de geçerli olduğuna inanırlar. Sadece küplerin toplamı ile aniden bir bolluk olur.
Matematikçiler, diğer tüm güçlerden farklı davranan kübik denklemlere alışkındır. İki değişkenden oluşan denklemler arasında (iki küpün toplamı denklemleri gibi), en yüksek üssü 1 veya 2 olan denklemler iyi anlaşılma eğilimindedir - tipik olarak bunların ya hiç rasyonel çözümü yoktur ya da sonsuz sayıdadır ve genellikle kolayca bulunur. hangisini söyle Bu arada, en büyük üssü 4 veya daha büyük olan denklemler genellikle sadece sonlu bir serpme rasyonel çözümlerden
Buna karşın, kübik denklemlerin sonlu sayıda çözümü olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir veya hiç olmayabilir. Bu denklemler, 3'ün altındaki üsler ile yukarıdaki üsler arasında bir tür faz geçişini temsil eder ve bu diğer ayarlarda hiç görülmeyen olayları gösterir. Mazur, "Küpler her açıdan farklıdır" dedi.
Daha düşük üslü denklemlerin aksine, küpleri kavramak şaşırtıcı derecede zordur. Her zaman işe yaradığı kanıtlanmış, kübiklere rasyonel çözümler bulmak ve hatta saymak için kapsayıcı bir yöntem yoktur.
"Sahip olduğumuz tüm bilgi işlem gücüne rağmen, bana çok büyük katsayılara sahip eliptik bir eğri verirseniz, bunun kaç tane rasyonel çözümü olduğunu mutlaka bilmiyorum" dedi. Wei Ho, Bhargava'nın eski bir öğrencisi olan şu anda misafir öğretim üyesi İleri Araştırma Enstitüsü'nde.
İki küpün toplamı probleminde, söz konusu kesirler çok büyük olabilir: Örneğin 2,803 sayısı, paydaları her biri 40 basamaklı olan iki küp kesrin toplamıdır. Bhargava, milyonlarla ifade edilen sayılara baktığımız zaman, kesirlerin birçoğunun "bu dünyadaki tüm kağıtlara sığamayacak kadar çok rakam içerdiğini" söyledi.
Eşleme Matrisleri
Eliptik eğriler çok kontrol edilemez olduğundan, sayı teorisyenleri onları daha izlenebilir nesnelerle ilişkilendirmenin yollarını ararlar. Bu Nisan ayında, Alpöge ve Shnidman Covid ile savaşırken, onlar ve Bhargava, ikincisinin daha önce Ho ile yaptığı çalışma üzerine inşa ettiler ve bir küpler toplamı denkleminin rasyonel çözümleri olduğunda, en az bir özel 2 oluşturmanın bir yolu olduğunu anladılar. × 2 × 2 × 2 matris — daha bilinen iki boyutlu matrisin dört boyutlu bir benzeri. Üçlü, "Bu 2 × 2 × 2 × 2 matrisleri saymak için bir plan yapmaya başladık” diye yazdı.
Bunu yapmak için ekip, her biri bir asırdan fazla süredir incelenen iki klasik konudan yararlandı. Biri, farklı geometrik şekiller içindeki kafes noktalarının nasıl sayılacağını içeren "sayıların geometrisi"dir. Bu konu, büyük ölçüde Bhargava ve işbirlikçilerinin çalışmaları nedeniyle son 20 yılda eliptik eğriler alanında bir rönesansın tadını çıkarıyor.
Çember yöntemi olarak bilinen diğer teknik, 20. yüzyılın başlarında efsanevi Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan ve uzun süredir birlikte çalıştığı GH Hardy'nin çalışmasından kaynaklanmıştır. Ho, "Bu, daire yöntemini bu sayıların geometrisi teknikleriyle birleştiren ilk büyük uygulamadır" dedi. "Bu kısım çok güzel."
Üçlü, bu yöntemleri kullanarak tüm tam sayıların en az 1/6'sı için 2 × 2 × 2 × 2 matrisinin bulunmadığını gösterebildi. Bu, bu sayılar için küplerin toplamı denkleminin rasyonel bir çözümü olmadığı anlamına gelir. Yani tam sayıların 5/6'sından fazlası veya yaklaşık %83'ü iki kesrin küplerinin toplamı olamaz.
Ters yönde, tüm tam sayıların en az 5/12'sinin tam olarak bir eşleşen matrise sahip olduğunu buldular. Bu sayıların iki küpün toplamı olduğu sonucuna varmak cazip gelebilir, ancak bu otomatik olarak takip etmez. İki küpün toplamı olan her sayının bir matrisi vardır, ancak bu, tersinin doğru olduğu anlamına gelmez: matrisi olan her sayı, iki küpün toplamıdır.
Alpöge, Bhargava ve Shnidman, eliptik eğri araştırmacılarının ters teorem olarak adlandırdıkları şeye ihtiyaç duyuyordu - kübik bir denklem hakkında bilgi alan ve bunu rasyonel çözümler oluşturmak için kullanan bir şey. Ters teoremler, eliptik eğriler teorisinin gelişen bir alt alanını oluşturur, bu nedenle üçlü, alt alanın uzman uygulayıcılarından ikisine döndü - Ashay Burungale Texas Üniversitesi, Austin ve Princeton. Burungale ve Skinner, en azından bazı zamanlarda, eğer bir tam sayının ilişkili tek bir matrisi varsa, bu sayının iki rasyonel küpün toplamı olması gerektiğini gösterebildiler. Temelde Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımının ilgili bir parçasını kanıtlayan teoremleri, makalede Sarnak'ın kendi içinde harika olarak tanımladığı üç sayfalık bir ek olarak görünüyor.
Burungale ve Skinner her tam sayı için teoremlerini tam olarak tek bir matrisle kanıtlamadılar - 5/12 altkümesini 2/21'e veya tüm tam sayıların yaklaşık %9.5'ine indiren bir teknik koşul uygulamak zorunda kaldılar. Ancak Bhargava, Burungale ve Skinner'ın veya kendi bölgelerindeki diğer araştırmacıların 5/12'nin geri kalanına (toplamda yaklaşık %41) çok geçmeden ulaşacakları konusunda iyimser. Bhargava, "Teknikleri giderek güçleniyor" dedi.
Tüm tamsayıların tam olarak yarısının iki küpün toplamı olduğu şeklindeki tam varsayımı kanıtlamak, eninde sonunda birden fazla ilişkili matrisi olan sayılar kümesiyle uğraşmayı gerektirecektir. Bhargava'nın "çok puslu" olarak adlandırdığı bu küme, hem iki küpün toplamı olan hem de olmayan sayıları içerir. Bu tür sayıları ele almak tamamen yeni fikirler gerektirecek dedi.
Şimdilik araştırmacılar, tam sayıların önemli bir oranı sorununu nihayet çözmüş olmaktan mutlular ve ispattaki teknikleri daha fazla incelemeye hevesliler. Sarnak, "Bu güzel şeylerden biri: Sonucu çok kolay bir şekilde açıklayabilirsiniz, ancak araçlar sayı teorisinin çok ama çok ilerisinde," dedi Sarnak.
