Matematikçiler 'Küresel Küpler' Yapma Görevini Tamamladı

Dördüncü yüzyılda Yunan matematikçi İskenderiyeli Pappus, arıları "geometrik öngörüleri" nedeniyle övmüştü. Peteklerinin altıgen yapısı, iki boyutlu uzayı eşit alana ve minimum çevreye sahip hücrelere bölmenin en uygun yolu gibi görünüyordu; böceklerin üretmeleri gereken balmumu miktarını azaltmalarına ve kendi yapılarını inşa etmek için daha az zaman ve enerji harcamalarına olanak tanıyordu. kovan.

Ya da Pappus ve diğerleri öyle varsaydılar. Binlerce yıl boyunca hiç kimse altıgenlerin optimal olduğunu kanıtlayamadı; ta ki 1999'da matematikçi Thomas Hales başka hiçbir şeklin bundan daha iyi olamayacağını gösterene kadar. Bugün matematikçiler hangi şekillerin üç veya daha fazla boyutu mümkün olan en küçük yüzey alanına yerleştirebileceğini hala bilmiyorlar.

Bu "köpük" probleminin geniş kapsamlı uygulamalara sahip olduğu ortaya çıktı - sabun köpüğünün (veya köpüklerin) davranışını inceleyen fizikçiler ve kristallerin yapısını analiz eden kimyacılar, küre paketleme düzenlemelerini araştıran matematikçiler ve etkili veri işleme teknikleri geliştiren istatistikçiler için. .

2000'li yılların ortalarında, köpük sorununun özel bir formülasyonu, teorik bilgisayar bilimcilerinin de dikkatini çekti ve onlar da bu sorunun kendi alanlarındaki önemli bir açık sorunla derinden bağlantılı olduğunu keşfettiler. Minimal yüzey alanına sahip yeni, yüksek boyutlu bir şekil bulmak için bu bağlantıyı kullanabildiler.

"Bu gidiş gelişi seviyorum" dedi Asaf Naor Princeton Üniversitesi'nden. “Bazı eski matematikler bilgisayar bilimleriyle alakalı hale geliyor; bilgisayar bilimi karşılığını verir ve matematikteki soruyu çözer. Bunun gerçekleşmesi çok güzel."

Ancak bu şekil, her ne kadar optimal olsa da, önemli bir şey eksikti: geometrik bir temel. Varlığı bilgisayar bilimi teknikleri kullanılarak kanıtlanmış olduğundan gerçek geometrisini kavramak zordu. Naor da öyle Oded RegevNew York Üniversitesi Courant Enstitüsü'nden bilgisayar bilimcisi, düzeltme yapmak için yola çıktı. geçen ay internette yayınlanan bir kanıt.

Regev, "Hikayenin çok güzel bir sonu" dedi.

Kübik Köpükler

Matematikçiler köpük probleminin diğer versiyonlarını da değerlendirdiler; uzayı yalnızca tamsayı kafesi denilen şeye göre bölmenize izin verilirse ne olacağı da buna dahil. Sorunun bu versiyonunda, eşit aralıklı noktalardan (her biri 1 birim aralıklı) oluşan kare bir dizi alırsınız ve bu noktaların her birini şeklin merkezi yaparsınız. "Kübik" köpük problemi, alanı bu şekilde döşemeniz gerektiğinde minimum yüzey alanının ne olacağını sorar.

Araştırmacılar başlangıçta manifold adı verilen topolojik uzayların özelliklerini anlamak için bu kısıtlamayı uygulamaya ilgi duyuyorlardı. Ancak soru kendi başına bir hayat kazandı ve veri analizi ve diğer uygulamalarla alakalı hale geldi.

Aynı zamanda geometrik olarak da ilgi çekicidir çünkü “optimum”un ne anlama gelebileceğini değiştirir. Örneğin iki boyutta, normal altıgenler, yalnızca yatay ve dikey yönlerde tam sayı miktarları kadar kaydırılabiliyorsa artık düzlemi döşeyemez. (Onları iki yönden birinde irrasyonel miktarlarda hareket ettirmeniz gerekir.)

Kareler yapabilir. Ama yapılabilecek en iyi şey bu mu? Matematikçi olarak Jaigyoung Choe 1989'da keşfedildiyse cevap hayır. Bunun yerine en uygun şekil, bir yönde sıkıştırılmış ve diğer yönde uzatılmış bir altıgendir. (Böyle bir altıgenin çevresi, alanı 3.86 olduğunda yaklaşık 1 olur; karenin çevresi 4'ü geride bırakır.)

Bu farklılıklar önemsiz görünebilir, ancak daha yüksek boyutlarda çok daha büyük hale gelirler.

Belirli bir hacmin tüm şekilleri arasında yüzey alanını en aza indiren küredir. Gibi nboyut sayısı arttıkça kürenin yüzey alanı kareköküyle orantılı olarak artar. n.

Ancak küreler boşluk bırakmadan bir alanı döşeyemezler. Öte yandan, bir nhacmin boyutlu küpü 1 kutu. İşin püf noktası yüzey alanının 2 olmasıdırnboyutuyla doğru orantılı olarak büyüyor. Hacim 10,000 olan 1 boyutlu bir küpün yüzey alanı 20,000'dir; bu, 400 boyutlu bir kürenin yaklaşık yüzey alanı olan 10,000'den çok daha büyüktür.

Ve böylece araştırmacılar bir "küresel küp", yani fayanslarla kaplanan bir şekil bulup bulamayacaklarını merak ettiler. nKüp gibi fakat yüzey alanı küreninki gibi yavaş büyüyen boyutlu uzay.

Pek olası görünmüyordu. "Kabarcınızın alanı tam olarak doldurmasını ve bu kübik ızgara üzerinde ortalanmasını istiyorsanız, kübik bir kabarcık dışında ne kullanacağınızı düşünmek zor" dedi. Ryan O'DonnellCarnegie Mellon Üniversitesi'nde teorik bilgisayar bilimcisi. "Gerçekten küpün en iyisi olması gerektiği anlaşılıyor."

Artık öyle olmadığını biliyoruz.

Zor Problemlerin Sertliği

Onlarca yıldır kübik köpük problemi yüksek boyutlarda nispeten keşfedilmemiş durumdaydı. Bu konuda ilerleme kaydeden ilk araştırmacılar geometri alanından değil, teorik bilgisayar biliminden geldi. Kendi alanlarındaki merkezi bir ifadeyi kanıtlamanın bir yolunu ararken tesadüfen karşılaştılar. benzersiz oyunlar varsayımı. Regev, "Benzersiz oyun varsayımı şu anda teorik bilgisayar bilimindeki en büyük açık soru olarak gördüğüm şey" dedi.

2002'da önerilen Subhash KhotO dönemde yüksek lisans öğrencisi olan bu varsayım, eğer bir ağın düğümlerine renk atamayı içeren belirli bir problem tam olarak çözülemiyorsa, yaklaşık bir çözüm bulmanın bile çok zor olduğunu öne sürüyor. Eğer doğruysa, bu varsayım araştırmacıların çok çeşitli diğer hesaplama görevlerinin karmaşıklığını tek bir hamlede anlamalarına olanak tanıyacak.

Bilgisayar bilimcileri genellikle görevleri etkili bir algoritmayla çözülüp çözülemeyeceğine veya bunun yerine "NP-zor" olup olmadığına (yani sorunun boyutu büyüdükçe, yaygın olarak inanılan bir çözüm olduğu sürece verimli bir şekilde çözülemeyecekleri anlamına gelir) göre sınıflandırırlar. ancak hesaplama karmaşıklığıyla ilgili kanıtlanmamış varsayım doğrudur). Örneğin, bir ağdaki her şehri yalnızca bir kez ziyaret etmek için gereken en kısa yolu soran gezici satış elemanı problemi NP-zordur. Bir grafiğin (kenarlarla birbirine bağlanan köşelerden oluşan bir koleksiyon) en fazla üç renkle etiketlenip etiketlenemeyeceğini, böylece bağlantılı herhangi iki köşenin farklı renklere sahip olup olmayacağını belirlemek de aynı şekildedir.

Bu görevlerin çoğuna yaklaşık bir çözüm bulmanın bile NP kadar zor olduğu ortaya çıktı. Diyelim ki bir grafiğin köşelerini, bazı kısıtlama listelerini karşılayacak şekilde farklı renklerle etiketlemek istiyorsunuz. Tüm bu kısıtlamaları karşılamak NP kadar zorsa, bunların yalnızca %90'ını, %75'ini veya %50'sini karşılamaya ne dersiniz? Belirli bir eşiğin altında etkili bir algoritma bulmak mümkün olabilir, ancak bu eşiğin üzerinde sorun NP-zor hale gelir.

Onlarca yıldır bilgisayar bilimcileri, ilgilendikleri farklı optimizasyon problemlerinin eşiklerini belirlemek için çalışıyorlar. Ancak bazı sorular bu tür tanımlamalardan kaçıyor. Bir algoritma en iyi çözümün %80'ini garanti edebilirken, en iyi çözümün %95'ini elde etmek NP-zor olabilir, bu da problemin tam olarak %80 ila %95'inin NP-zor bölgeye girdiği sorusunu yanıtsız bırakabilir.

Benzersiz oyun varsayımı veya UGC, cevabı anında belirlemenin bir yolunu sunuyor. İlk başta daha sınırlı görünen bir açıklama yapıyor: Belirli bir renklendirme kısıtlamaları kümesinin neredeyse tamamını (mesela %99'dan fazla) karşılayabileceğiniz bir grafik ile aşağıdakileri içeren bir grafik arasındaki farkı söylemenin NP kadar zor olduğu. ancak hiçbirini tatmin edemezsiniz (mesela %1'den az).

Ancak UGC'nin 2002'de önerilmesinden kısa bir süre sonra araştırmacılar, eğer varsayım doğruysa, herhangi bir kısıtlama tatmin problemi için sertlik eşiğini kolayca hesaplayabileceğinizi gösterdi. (Bunun nedeni, UGC'nin aynı zamanda bilinen bir algoritmanın tüm bu problemler için mümkün olan en iyi yaklaşımı elde ettiğini ima etmesidir.) O'Donnell, "Bu, tüm bu optimizasyon problemlerinin temel taşıydı" dedi.

Ve böylece teorik bilgisayar bilimcileri UGC'yi kanıtlamak için yola çıktılar; bu görev sonuçta bazılarının küresel küpleri keşfetmesine yol açtı.

Zor Sorunları Daha da Zor Hale Getirmek

2005 yılında O'Donnell Microsoft Research'te çalışıyordu. O ve iki meslektaşı - Uriel Feige, şu anda Weizmann Bilim Enstitüsü'nde ve Adam Kindler, şu anda Kudüs İbrani Üniversitesi'nde - UGC ile mücadele etmek için bir araya geldi.

Nasıl ilerlemek istediklerine dair belirsiz bir fikirleri vardı. UGC'ye çok benzeyen grafiklerle ilgili bir soruyla başlayacaklardı. Maksimum kesme ("maksimum kesme") problemi, bir grafik verildiğinde, bu kümeleri birleştiren kenarların sayısının mümkün olduğu kadar büyük olması için köşelerinin iki kümeye (veya renge) nasıl bölüneceğini sorar. (Maksimum kesimi, bir grafiği iki renkle renklendirmenin en iyi yolu hakkında bir soru olarak düşünebilirsiniz, böylece mümkün olduğunca az sayıda kenar aynı renkteki köşeleri birbirine bağlar.)

Eğer UGC doğruysa, bu, rastgele bir grafik verildiğinde, verimli bir yaklaşım algoritmasının o grafiğin gerçek maksimum kesiminin yalnızca yaklaşık %87'sine ulaşabileceği anlamına gelir. Daha iyisini yapmak NP açısından zor olacaktır.

Feige, Kindler ve O'Donnell bunun yerine ters yöne gitmek istediler: Maksimum kesmenin yaklaşık olarak tahmin edilmesinin zor olduğunu göstermeyi ve ardından bunu UGC'yi kanıtlamak için kullanmayı umuyorlardı. Planları paralel tekrar adı verilen bir tekniğin gücüne dayanıyordu; bu, zor problemleri daha da zorlaştıran akıllı bir stratejiydi.

Diyelim ki çözebileceğiniz bir problem ile çoğunlukla çözebileceğiniz bir problem arasında ayrım yapmanın NP kadar zor olduğunu biliyorsunuz. Paralel tekrarlama, çok daha güçlü bir sertlik sonucu elde etmek için bunu geliştirmenize olanak tanır: çözebileceğiniz bir sorun ile neredeyse hiç çözemediğiniz bir sorun arasında ayrım yapmak aynı zamanda NP-zordur. Naor, "Bu sezgisel olmayan, derin olgu, bugün birçok bilgisayar biliminin kalbinde yer alıyor" dedi.

Ama bir sorun var. Paralel tekrarlama, bir problemin sertliğini her zaman bilgisayar bilimcilerin istediği kadar artırmaz. Regev, özellikle maksimum kesim probleminin "paralel tekrar için büyük bir baş ağrısı yaratan" yönleri olduğunu söyledi.

Feige, Kindler ve O'Donnell, baş ağrısına rağmen paralel tekrarın işe yarayabileceğini göstermeye odaklandılar. "Bu analiz edilmesi gerçekten karmaşık bir şey" dedi Dana MoshkovitzAustin Texas Üniversitesi'nde teorik bilgisayar bilimcisi. “Fakat bu ümit verici derecede yakın görünüyordu. Paralel tekrarlama, maksimum kesmeden benzersiz oyunlara kadar bu bağlantıyı [yapmaya] yardımcı olacak gibi görünüyordu."

Bir ısınma çalışması olarak araştırmacılar, Moshkovitz'in "en aptalca maksimum kesme" dediği basit bir maksimum kesme durumu için paralel tekrarı anlamaya çalıştılar. Bir daire veya "tek döngü" oluşturmak için kenarlarla birbirine bağlanan tek sayıdaki köşeleri düşünün. Her köşeyi iki renkten biriyle etiketlemek istiyorsunuz, böylece hiçbir bitişik köşe çifti aynı renge sahip olmaz. Bu durumda bu imkansızdır: Bir kenar her zaman aynı renkteki köşeleri birleştirecektir. Grafiğinizin problemin kısıtlamasını karşılamasını sağlamak için tek döngüyü "kırarak" bu kenarı silmeniz gerekir. Sonuçta, grafiğinizi doğru şekilde renklendirmek için silmeniz gereken toplam kenar oranını en aza indirmek istiyorsunuz.

Paralel tekrarlama, bu sorunun yüksek boyutlu bir versiyonunu düşünmenize olanak tanır; ortaya çıkan tüm tuhaf döngüleri kırmanız gereken bir versiyon. Feige, Kindler ve O'Donnell'in, boyutların sayısı çok arttıkça tüm tek döngüleri kırmak için kenarların çok büyük bir kısmını silmeniz gerektiğini göstermeleri gerekiyordu. Eğer bu doğruysa, paralel tekrarın bu "aptal maksimum kesim" probleminin sertliğini etkili bir şekilde artırabileceği anlamına gelirdi.

İşte o zaman ekip ilginç bir tesadüf keşfetti: Paralel tekrarın umdukları şekilde çalışıp çalışmayacağını yorumlamanın geometrik bir yolu vardı. İşin sırrı kübik köpüklerin yüzey alanında yatıyordu.

Limondan Limonataya

Köpük diliyle yeniden yazılan problemleri, küresel küplerin var olamayacağını, yani yüksek boyutlu uzayı tamsayı kafesi boyunca küpünkinden çok daha küçük yüzey alanına sahip hücrelere bölmenin imkansız olduğunu göstermekten ibaretti. (Bilgisayar bilimcilerinin göstermeyi umduğu gibi, daha geniş bir yüzey alanı, tek döngüler grafiğinde daha fazla "kötü" kenarın silinmesi ihtiyacına karşılık gelir.)

"Ne tuhaf bir geometri problemi dedik ama bu muhtemelen doğru, değil mi?" O'Donnell dedi. “Gerçek cevabın bu olmasına gerçekten ihtiyacımız vardı.” Ama o, Feige ve Kindler bunu kanıtlayamadılar. Yani 2007'de, onlar bir makale yayınladı UGC'ye saldırmaya yardımcı olmak için bu sorunu nasıl kullanmayı planladıklarını özetliyor.

Çok geçmeden umutları suya düştü.

Raz koştuPrinceton'da paralel tekrarla ilgili birçok önemli sonucu zaten kanıtlamış teorik bilgisayar bilimcisi olan Dr. Kısmen Feige, Kindler ve O'Donnell'in ortaya çıkardığı geometri bağlantısı nedeniyle tek döngü problemi için paralel tekrarı analiz etmeye karar verdi.

Raz köpük sorunuyla başlamadı ancak sorunun bilgisayar bilimi versiyonuna doğrudan saldırdı. Bir grafikteki tüm tek döngüleri kırmak için çok daha az sayıda kenarı silmekten kurtulabileceğinizi gösterdi. Başka bir deyişle, paralel tekrarlama bu maksimum kesim probleminin sertliğini yeterince artıramaz. Moshkovitz, "Paralel tekrardan elde edilen parametreler tam olarak bunu vermekte yetersiz kalıyor" dedi.

O'Donnell, "Benzersiz oyunların sertliğini göstermek için paralel tekrarı kullanma planımız en basit durumda bile işe yaramadı" dedi. "Bu tüm planı bozdu."

Her ne kadar hayal kırıklığı yaratsa da, Raz'ın sonucu aynı zamanda küresel küplerin varlığına da işaret ediyordu: döşeme yapabilen şekiller nyüzey alanı kareköküyle orantılı olan boyutlu uzay n. O'Donnell, "Limonlardan limonata yapalım ve paralel tekrar ve ayrık grafiklerle ilgili bu hayal kırıklığı yaratan teknik sonucu alıp geometride düzgün, ilginç bir sonuca dönüştürelim" dedik.

O ve Kindler, bilgisayar bilimcileriyle işbirliği içinde Anup Rao ve Avi Wigderson, tekniklerini köpük problemine çevirecek kadar iyi öğrenene kadar Raz'ın kanıtını incelediler. 2008'de şunu gösterdiler küresel küpler gerçekten mümkün.

"Bu, sorun hakkında mantık yürütmenin güzel bir yolu" dedi Mark Braverman Princeton'lu. "Bu güzel."

Ve hikayenin geometri tarafında soruları gündeme getirdi. Kindler, O'Donnell, Rao ve Wigderson döşeme şekillerini oluşturmak için Raz'ın paralel tekrarlama çalışmasını kullandıkları için çirkin ve Frankenstein benzeri bir şey elde ettiler. Döşeme dağınıktı ve girintilerle doluydu. Matematiksel açıdan dışbükey değildi. Bu onların amaçları doğrultusunda işe yarasa da, küresel küp matematikçilerin tercih ettiği özelliklerden yoksundu; şekli daha somut hale getiren, tanımlanmasını ve incelenmesini daha kolay ve potansiyel uygulamalar için daha uygun hale getiren özellikler.

Regev, "İnşaatlarında çok tatmin edici olmayan bir şeyler var" dedi. “Bir amip gibi görünüyor. Beklediğiniz gibi görünmüyor, güzel bir döşeme gövdesi.

O ve Naor'un bulmaya çalıştığı şey buydu.

Kafesten Kurtulmak

Naor ve Regev en başından beri sıfırdan başlamaları gerektiğinin farkındaydı. "Kısmen dışbükey cisimler çok kısıtlayıcı olduğundan, önceki tekniklerin hiçbirinin çalışma şansı yoktu" dedi Dor MinzerMassachusetts Teknoloji Enstitüsü'nde teorik bilgisayar bilimcisi.

Aslında, dışbükeyliğin çok kısıtlayıcı olacağı, yani dışbükey küresel bir küpün var olmadığı tamamen makuldü.

Ancak geçen ay Naor ve Regev bölüştürülebileceğini kanıtladılar nyüzey alanı küreninkine oldukça yakın olan dışbükey bir şekle sahip tamsayı koordinatları boyunca boyutlu uzay. Ve bunu tamamen geometrik olarak yaptılar; problemi matematiksel köklerine döndürdüler.

İlk önce büyük bir engeli aşmaları gerekiyordu. Kübik köpük problemi, her döşemenin tamsayı koordinatlarda ortalanmasını gerektirir. Ancak tamsayı kafesinde bazı noktalar arasında çok kısa mesafeler vardır ve bu kısa mesafeler sorunlara neden olur.

İki boyutlu ızgarada bir nokta düşünün. Yatay ve düşeyde kendisine en yakın noktalardan 1 birim uzakta bulunur. Ancak çapraz yönde en yakın nokta $latex sqrt{2}$ birim uzaktadır; bu tutarsızlık daha büyük alanlarda daha da kötüleşir. İçinde n-boyutlu tamsayı kafesi, en yakın noktalar hala 1 birim uzaktadır, ancak bu "köşegen" noktalar artık $latex sqrt{n}$ birim uzaktadır. Diyelim ki 10,000 boyutta bu, yalnızca 100 birim uzakta olan 10,000 başka nokta (her yönde bir tane) olmasına rağmen, herhangi bir noktaya en yakın "köşegen" komşunun 1 birim uzakta olduğu anlamına gelir.

Diğer kafeslerde bu iki tür uzaklık birbiriyle orantılı olarak artar. Matematikçiler, bu tür kafeslerin minimum yüzey alanına sahip dışbükey şekillerle nasıl döşeneceğini onlarca yıldır biliyorlar.

Ancak tamsayı kafesinde, en kısa mesafeler her zaman 1'de sıkışıp kalacaktır. Bu, optimal yüzey alanına sahip hoş görünümlü bir döşeme oluşturmanın önünü keser. Regev, "Seni bir nevi bu kafese koydular" dedi. "Etrafındaki her şeyi çok sıkılaştırıyorlar."

Yani Naor ve Regev bunun yerine tam bir dilim almayı düşündüler. nboyutlu uzay. Bu altuzayı dikkatli bir şekilde seçtiler, böylece tamsayı noktaları açısından hala zengin olacaktı, ancak bu noktaların hiçbiri birbirine çok yakın olmayacaktı.

Başka bir deyişle, elde ettikleri altuzay tam da matematikçilerin zaten en iyi şekilde nasıl döşeneceğini bildiği türdendi.

Ancak bu işin yalnızca yarısıydı. Naor ve Regev'in alanın sadece bir kısmını değil, tamamını bölmeleri gerekiyordu. Bir almak için n-boyutlu küresel küp, verimli döşemelerini kalan alandan bir döşemeyle çarpmaları gerekiyordu (üç boyutlu bir küp elde etmek için iki boyutlu bir kareyi tek boyutlu bir çizgi parçasıyla çarpmanıza benzer). Bunu yapmak, yapılarını orijinal uzaya geri döndürecek, ancak aynı zamanda yüzey alanını da arttıracaktır.

Çift, kalan alandaki o kadar da uygun olmayan döşemenin yüzey alanına çok fazla bir şey eklemediğini göstermek zorundaydı. Bunu yaptıklarında inşaatları tamamlandı. (Son şekillerinin yüzey alanı, dışbükey olmayan küresel küpten biraz daha büyük oldu, ancak dışbükey olmayan muadili kadar verimli bir dışbükey döşeme bulmanın mümkün olabileceğine inanıyorlar.)

Matematikçi, "Onların kanıtı, küresel küpler üzerine yapılan önceki çalışmalardan tamamen farklı" dedi. Noga Alon. “Ve geriye dönüp baktığımızda bu belki daha doğal bir kanıt olabilir. Belki birisinin başlangıçta denemesi gereken şey buydu.”

Raz, "İşler farklı yapıldığında bazen ilginç ek çıkarımlar buluyorsunuz" diye ekledi.

Umut Yeniden Alevlendi

Bu sonuçların ne olabileceği henüz belli değil; ancak çalışma, tamsayı kafeslerinin kriptografi ve diğer uygulamalardaki potansiyel kullanımına değiniyor. Alon, bu sorunun diğer alanlarla ne kadar bağlantılı olduğu göz önüne alındığında, "başka şeylere yol açması muhtemel" dedi.

Şu anda bilgisayar bilimcileri dışbükey sonucu paralel tekrarlama ve UGC dilinde yorumlamanın bir yolunu görmüyorlar. Ancak köpük problemini varsayımı kanıtlamak için kullanmaya yönelik orijinal plandan tamamen vazgeçmediler. Kindler, "Karşılaştığımız bariz engelleri ortadan kaldırmaya çalışabileceğiniz çeşitli yollar var" dedi.

Braverman ve Minzer böyle bir yolu denediler. 2020'de köpükleri yeniden ziyaret ettik. Döşeme şeklinin dışbükey olmasını şart koşmak yerine, belirli simetrilere uymasını istediler, böylece koordinatlarını ne kadar çevirirseniz çevirin aynı görünüyor. (2B'de kare işe yarar, ancak dikdörtgen işe yaramaz; bugüne kadar açıklanan yüksek boyutlu küresel küpler de işe yaramaz.) Bu yeni kısıtlama altında ikili, Kindler ve diğerlerinin 15 yıl önce umduklarını göstermeyi başardı: sonuçta küpün yüzey alanından daha iyisini yapamazsınız.

Bu, farklı türde bir paralel tekrara karşılık geliyordu; bu, maksimum kesmenin en basit durumunu olması gerektiği kadar zorlaştırıyordu. Sonuç, bu araştırma dizisi için bir miktar umut sunsa da, paralel tekrarın bu versiyonunun tüm maksimum kesme problemleri için işe yarayıp yaramayacağı açık değil. Braverman, "Bu, işin bittiği anlamına gelmiyor" dedi. "Bu sadece işe geri döndüğün anlamına geliyor."

Minzer, "Geometride çok fazla potansiyel var" dedi. “Sadece onu yeterince iyi anlamıyoruz.”