Kuantum Alan Teorisi Matematik Bulmacasını Açıyor

Geçen ay, Karen Vogtmann ve Michael Borinsky bir kanıt yayınladı Vogtmann ve bir ortak çalışanın çizdiği, grafiklerin modül uzayı adı verilen, şimdiye kadar erişilemeyen matematiksel bir dünyada bir kamyon dolusu matematiksel yapı olduğu. Önce tarif edilen ortalarında 1980s içinde.

"Bu çok zor bir problem. Georgia Institute of Technology'de matematikçi olan Dan Margalit, "Yapabilmeleri inanılmaz," dedi.

Vogtmann ve Borinsky, Warwick Üniversitesi'nde matematikçi olan Vogtmann'ın onlarca yıldır kendi kendine sorduğu sorularla başladı. İkili daha sonra sonuca ulaşmak için kuantum alan teorisinden teknikler kullanarak sorunu fizik dilinde yeniden tasavvur ettiler.

Kanıt, modül uzayında belirli yapıların var olduğunu gösterir, ancak bu yapıların ne olduğunu açıkça ortaya koymaz. Bu şekilde, yeni sonuçları bir kameradan çok bir metal dedektörü gibidir - tam olarak tanımlayamasalar bile ilginç bir şeyin saklandığı konusunda onları uyarır.

Grafiklerin modül uzaylarını, dekorasyon eklenmiş matematiksel şekiller olarak düşünebilirsiniz. Şeklin herhangi bir noktasında durursanız, üstünüzde yüzen bir grafik görürsünüz - kenarlarla birbirine bağlı noktalar veya tepe noktaları koleksiyonu. Bir modül uzayındaki farklı konumlarda, grafikler değişir, kenarları küçülür veya büyür ve bazen tamamen kaybolur. Zürih İsviçre Federal Teknoloji Enstitüsü'nde matematiksel fizikçi olan Borinsky, bu özelliklerinden dolayı modül uzaylarını "büyük bir grafik denizi" olarak tanımlıyor.

Bir grafiğin "sıralaması", sahip olduğu döngülerin sayısıdır; her grafik sırası için bir modül uzayı vardır. Bu alanın boyutu hızla büyür — grafiğin kenarlarının uzunluklarını sabitlerseniz, 2. dereceden üç grafik, 15. dereceden 3, 111. dereceden 4 ve 2,314,204,852. dereceden 10 grafik vardır. değişerek daha da karmaşık hale getirir.

Belirli bir sıradaki grafikler için modül uzayının şekli, grafikler arasındaki ilişkiler tarafından belirlenir. Uzayda dolaşırken, yakındaki grafikler benzer olmalı ve yumuşak bir şekilde birbirine dönüşmelidir. Ancak bu ilişkiler karmaşıktır ve modül uzayını, modül uzayının üç duvarının birbirinin içinden geçtiği bölgeler gibi matematiksel olarak sarsıcı özelliklerle bırakır.

Matematikçiler, kohomoloji sınıfları adı verilen nesneleri kullanarak bir alanın veya şeklin yapısını inceleyebilir ve bu, bir alanın nasıl bir araya getirildiğini ortaya çıkarmaya yardımcı olabilir. Örneğin, matematikçilerin en sevdiği şekillerden biri olan halkayı düşünün. Çörek üzerinde, kohomoloji sınıfları basitçe döngülerdir.

Halkanın yüzeyine birkaç farklı türde halka çizilebilir: Halka 1, halkanın merkezi deliğini çevreler; 2 ipliği delikten geçirin; üçüncü "önemsiz" döngü, çörek tarafında oturur.

Bununla birlikte, tüm kohomoloji sınıfları eşit yaratılmamıştır. Çöreğin dışında oturan bir ilmek - üçüncü ilmek gibi - başka bir ilmekle kesişmekten kaçınmak için her zaman etrafında kayabilir veya küçülebilir. Bu, onu "önemsiz" bir kohomoloji sınıfı yapar.

Ancak 1. ve 2. döngüler, halkanın yapısı hakkında çok daha fazlasını söyler - yalnızca delik nedeniyle var olurlar. Margalit, farkı matematiksel olarak ayırt etmek için kesişim noktalarını kullanabileceğinizi açıkladı. 1. ve 2. halkalar çörek yüzeyinde kayabilir, ancak onları yüzeyden tamamen ayrılmaya zorlamazsanız, her zaman birbirleriyle kesişirler. Bu iki döngü, içinden çıkamadıkları eşlerle birlikte geldiklerinden, bunlar "önemsiz olmayan" kohomoloji dersleridir.

Bir çörekten farklı olarak, matematikçiler sadece bir resim çizerek grafiklerin modül uzaylarında kohomoloji sınıfları bulamazlar. Kopenhag Üniversitesi'nden bir matematikçi olan Nathalie Wahl, bu kadar çok sayıda grafikle, modül uzaylarını ele almanın zor olduğunu söyledi. "Çok çabuk, bilgisayar artık yardımcı olamaz," dedi. Gerçekten de, yalnızca bir tek boyutlu önemsiz olmayan kohomoloji sınıfı açıkça hesaplanmış (11 boyutta), bir avuç çift ile birlikte.

Vogtmann ve Borinsky'nin kanıtladığı şey, biz bulamasak da, belirli bir sıradaki grafiklerin modül uzayında yer alan muazzam sayıda kohomoloji sınıfı olduğudur. Wahl, durumu "gülünç" olarak nitelendirerek, "Tonlarca olduğunu biliyoruz ve bir tane biliyoruz" dedi.

Doğrudan kohomoloji sınıflarıyla çalışmak yerine Borinsky ve Vogtmann, Euler karakteristiği adı verilen bir sayı üzerinde çalıştı. Bu sayı, modül uzayının bir tür ölçümünü sağlar. Modül uzayını, Euler karakteristiğini değiştirmeden, Euler karakteristiğini kohomoloji sınıflarının kendisinden daha erişilebilir hale getirerek belirli şekillerde değiştirebilirsiniz. Borinsky ve Vogtmann'ın yaptığı da buydu. Doğrudan grafiklerin modül uzayıyla çalışmak yerine, esas olarak tüm uzayın bir iskeleti olan "omurgayı" incelediler. Sırt, moduli uzayının kendisiyle aynı Euler karakteristiğine sahiptir ve onunla çalışmak daha kolaydır. Omurgadaki Euler karakteristiğini hesaplamak, geniş bir grafik çifti koleksiyonunu saymaya geldi.

Borinsky'nin içgörüsü, kuantum parçacıklarının etkileşim biçimlerini temsil eden grafikler olan Feynman diyagramlarını saymak için teknikler kullanmaktı. Fizikçiler, diyelim ki, bir elektron ile bir pozitron arasındaki çarpışmanın iki foton üretme olasılığını hesaplamak istediklerinde, olası tüm etkileşimlerin toplamı bu sonuca götüren şey. Bu, akıllı sayma stratejilerini motive eden birçok Feynman diyagramının ortalamasını almak anlamına gelir.

Borinsky, "Bu tür bir problemin bir tür oyuncak kuantum alan teorisi evreni olarak formüle edilebileceğini fark ettim" dedi.

Borinsky, grafiklerin, diğer varsayımların yanı sıra, yalnızca bir tür parçacığın olduğu, evrenin basit bir versiyonundaki fiziksel sistemleri temsil ettiğini hayal etti. Borinsky ve Vogtmann'ın doğru sayıyı elde etmesi için kuantum alan teorisi çerçevesinin biraz ayarlanması gerekiyordu. Borinsky, örneğin kuantum alan teorisinde birbirinin ayna görüntüsü olan iki grafiğin ayırt edilemez olduğunu söyledi. Feynman diyagramlarını toplamaya yönelik formüller, bu grafiklerin fazla sayılmamasını sağlayan faktörleri içerir. Ancak Euler karakteristiğinin hesaplanması söz konusu olduğunda, bu grafikler farklı kabul edilir. Borinsky, "Grafiklerin simetrileriyle küçük bir oyun oynamalıyız" dedi.

Fizikçiden bazı programlama yardımı ile jos vermaseren, Borinsky ve Vogtmann sonunda bu zorluğun üstesinden geldi. Ocak makalelerinde, sıra grafiklerinin modül uzayının Euler karakteristiğinin olduğunu kanıtladılar. n olarak kitlesel olarak olumsuz olur n büyür. Bu, her modül uzayında ortaya çıkarılacak pek çok önemsiz olmayan kohomoloji sınıfı olduğu anlamına gelir.

Borinsky ve Vogtmann'ın makalesi bu kohomoloji sınıfları hakkında daha fazla ipucu içermese de, onları bulmaya çalışan araştırmacılar için cesaret verici bir sonuç ve belki de avın heyecanını artırıyor. Kohomoloji derslerinden Margalit şunları söyledi: "Bunlar bizim bildiklerimiz sadece bu taşlar. Ve ne zaman bir tane bulsak, bu çok güzel bir şey.”