Giriş
1980'lerin ortalarında, Walkman kaset çalarlar ve batik gömlekler gibi, Mandelbrot setinin böceğe benzer silueti her yerdeydi.
Öğrenciler bunu dünyanın her yerindeki yurt odalarının duvarlarına sıvadılar. Matematikçiler setin çıktıları için istekli isteklerle dolu yüzlerce mektup aldılar. (Cevap olarak, bazıları fiyat listeleriyle dolu kataloglar hazırladı; diğerleri ise bunun en çarpıcı özelliklerini kitaplar halinde derledi.) Daha teknoloji meraklısı hayranlar, derginin Ağustos 1985 sayısına bakabilir. Scientific American. Kapağında Mandelbrot seti ateşli dallar halinde açılmış, kenarları alevler içindeydi; içinde okuyucuların ikonik görüntüyü kendileri için nasıl oluşturabileceklerini ayrıntılarıyla anlatan dikkatli programlama talimatları vardı.
O zamana kadar bu dallar, erişim alanlarını matematiğin çok ötesine, günlük yaşamın görünürde ilgisiz köşelerine kadar genişletmişti. Önümüzdeki birkaç yıl içinde Mandelbrot seti, David Hockney'in en yeni resimlerine ve birçok müzisyenin en yeni kompozisyonlarına - Bach tarzında füg benzeri parçalara - ilham verecek. John Updike'ın kurgu sayfalarında yer alacak ve edebiyat eleştirmeni Hugh Kenner'ın Ezra Pound'un şiirini nasıl analiz ettiğine rehberlik edecek. Bu, psychedelic halüsinasyonların ve bilimkurgu büyük Arthur C. Clarke'ın anlattığı popüler bir belgeselin konusu olacaktı.
Mandelbrot kümesi fraktal hatları olan özel bir şekildir. Setin pürüzlü sınırlarını yakınlaştırmak için bir bilgisayar kullanın; denizatı vadileri ve fil geçitleriyle, sarmal galaksilerle ve nöron benzeri filamentlerle karşılaşacaksınız. Ne kadar derin araştırırsanız araştırın, her zaman orijinal setin neredeyse kopyalarını göreceksiniz; sonsuz, baş döndürücü bir kendi kendine benzerlik çağlayanı.
Bu kendine benzerlik James Gleick'in çok satan kitabının temel unsuruydu. KaosMandelbrot setinin popüler kültürdeki yerini sağlamlaştırdı. Gleick, "Bir fikir evreni barındırıyordu" diye yazdı. "Modern bir sanat felsefesi, matematikte deney yapmanın yeni rolünün gerekçelendirilmesi, karmaşık sistemleri geniş bir kitlenin önüne getirmenin bir yolu."
Mandelbrot kümesi bir sembol haline gelmişti. Çevremizdeki dünyanın fraktal doğasını tanımlamanın daha iyi bir yolu olan yeni bir matematik diline olan ihtiyacı temsil ediyordu. Tıpkı hayatın kendisi gibi, en basit kurallardan bile ne kadar derin bir karmaşıklığın ortaya çıkabileceğini gösterdi. (“Dolayısıyla bu gerçek bir umut mesajıdır,” John HubbardKümeyi inceleyen ilk matematikçilerden biri olan 1989 tarihli bir videoda şöyle demişti: "Muhtemelen biyoloji de bu resimlerin anlaşıldığı şekilde anlaşılabilir.") Mandelbrot kümesinde düzen ve kaos uyum içinde yaşıyordu; Determinizm ve özgür irade uzlaştırılabilir. Bir matematikçi, gençliğinde sete rastladığını ve bunu gerçek ile yalan arasındaki karmaşık sınırın bir metaforu olarak gördüğünü hatırladı.
Giriş
Mandelbrot kümesi her yerdeydi, ta ki öyle olmayana kadar.
On yıl içinde ortadan kaybolmuş gibiydi. Matematikçiler başka konulara, halk da başka sembollere yöneldi. Bugün, keşfinden sadece 40 yıl sonra, fraktal bir klişe, sınırda bir kitsch haline geldi.
Ancak bir avuç matematikçi buna izin vermeyi reddetti. Hayatlarını Mandelbrot setinin sırlarını açığa çıkarmaya adadılar. Artık bunu gerçekten anlamanın eşiğinde olduklarını düşünüyorlar.
Onların hikayesi bir keşif, deney ve teknolojinin düşünce şeklimizi ve dünya hakkında sorduğumuz soruları nasıl şekillendirdiğiyle ilgili.
Ödül Avcıları
Ekim 2023'te, dünyanın dört bir yanından 20 matematikçi, bir zamanlar Danimarka askeri araştırma üssü olan yerdeki alçak tuğla binada toplandı. 1800'lerin sonlarında ormanın ortasında inşa edilen üs, Danimarka'nın en kalabalık adasının kuzeybatı kıyısındaki bir fiyordun üzerinde yer alıyordu. Girişi eski bir torpido koruyordu. Üniformalı donanma subaylarını, rıhtımda sıralanan tekneleri ve devam eden denizaltı testlerini gösteren siyah beyaz fotoğraflar duvarları süsledi. Şiddetli bir rüzgar pencerelerin dışındaki suyu köpüren beyaz köpüklere dönüştürürken, grup üç gün boyunca çoğu New York'taki Stony Brook Üniversitesi'nden iki matematikçi tarafından yapılan bir dizi konuşma gerçekleştirdi: Misha Lyubich ve Dima Dudko.
Atölye çalışmasının izleyicileri arasında Mandelbrot ailesinin en cesur kaşiflerinden bazıları vardı. Ön tarafa yakın oturdu Mitsuhiro Şişikura 1990'larda setin sınırlarının olabildiğince karmaşık olduğunu kanıtlayan Kyoto Üniversitesi'nden. Birkaç koltuk ötedeydi Hiroyuki InouShishikura ile birlikte Mandelbrot kümesinin özellikle yüksek profilli bir bölgesini incelemek için önemli teknikler geliştirdi. Son sıradaydı Kurt JungMandelbrot kümesini etkileşimli olarak araştırmak için matematikçilerin başvurduğu yazılım olan Mandel'in yaratıcısı. Ayrıca mevcuttu Arnaud Chéritat Toulouse Üniversitesi'nden, Carsten Petersen Roskilde Üniversitesi'nden (atölyeyi düzenleyen) ve matematikçilerin Mandelbrot kümesini anlamalarına büyük katkılarda bulunan diğer birkaç kişi.
Giriş
Ve beyaz tahtada, konuyla ilgili dünyanın en önde gelen uzmanı Lyubich ve onun en yakın çalışma arkadaşlarından biri olan Dudko duruyordu. Matematikçilerle birlikte Jeremy Kahn ve Alex KapiambaMandelbrot kümesinin geometrik yapısı hakkında uzun süredir devam eden bir varsayımı kanıtlamak için çalışıyorlar. MLC olarak bilinen bu varsayım, fraktalı karakterize etmek ve onun karmaşık doğasını evcilleştirmek için onlarca yıldır süren arayıştaki son engeldir.
Matematikçiler, güçlü bir alet seti inşa edip keskinleştirerek, "Mandelbrot kümesindeki hemen hemen her şeyin" geometrisinin kontrolünü ele geçirdiler. Caroline Davis Indiana Üniversitesi'nden - kalan birkaç vaka hariç. "Misha, Dima, Jeremy ve Alex, bu sonuncuların izini sürmeye çalışan ödül avcıları gibiler."
Lyubich ve Dudko, diğer matematikçilere MLC'yi kanıtlamaya yönelik son gelişmeler ve bunu yapmak için geliştirdikleri teknikler hakkında bilgi vermek üzere Danimarka'daydı. Geçtiğimiz 20 yıl boyunca araştırmacılar, Mandelbrot kümesini oluşturmak için kullanılan sayı ve fonksiyon türlerinin matematiksel çalışması olan karmaşık analiz alanındaki sonuçları ve yöntemleri açıklamaya adanmış atölye çalışmaları için burada bir araya geldi.
Alışılmadık bir düzenlemeydi: Matematikçiler bütün yemeklerini birlikte yiyorlardı ve sabahın erken saatlerine kadar bira içerken konuşup gülüyorlardı. Nihayet uyumaya karar verdiklerinde tesisin ikinci katında paylaştıkları küçük odalardaki ranzalara veya bebek karyolalarına çekildiler. (Varışta bize bir yığının içinden çarşaf ve yastık kılıflarını alıp yataklarımızı yapmak için üst kata çıkarmamız söylendi.) Bazı yıllarda, konferansa katılanlar soğuk suda yüzmeye cesaret ederler; daha sık olarak ormanda dolaşırlar. Ama çoğunlukla matematikten başka yapacak bir şey yok.
Katılımcılardan biri bana atölyenin genellikle çok sayıda genç matematikçinin ilgisini çektiğini söyledi. Ancak bu sefer durum böyle değildi; belki de dönem ortası olduğundan ya da kendisinin tahmin ettiği gibi, konunun ne kadar zor olduğundan. O anda, alanın bu kadar büyüklerinin önünde konuşma yapma ihtimalinden biraz korktuğunu itiraf etti.
Giriş
Ancak karmaşık analizin daha geniş alanındaki çoğu matematikçinin artık doğrudan Mandelbrot kümesi üzerinde çalışmadığı göz önüne alındığında, neden bir çalıştayın tamamını MLC'ye adayalım?
Mandelbrot kümesi bir fraktaldan daha fazlasıdır ve yalnızca mecazi anlamda değildir. Bir noktanın basit bir kurala göre uzayda hareket edebileceği tüm farklı yollar gibi dinamik sistemlerin bir tür ana kataloğu olarak hizmet eder. Bu ana kataloğu anlamak için birçok farklı matematiksel manzarayı geçmek gerekir. Mandelbrot kümesi sadece dinamikle değil aynı zamanda sayı teorisi, topoloji, cebirsel geometri, grup teorisi ve hatta fizikle de derinden ilişkilidir. "Matematiğin geri kalanıyla güzel bir şekilde etkileşime giriyor" dedi Sabyasachi Mukherjee Hindistan'daki Tata Temel Araştırma Enstitüsü'nden Dr.
MLC'de ilerleme kaydetmek için matematikçiler, Chéritat'ın "güçlü bir felsefe" dediği karmaşık bir dizi teknik geliştirmek zorunda kaldı. Bu araçlar büyük ilgi gördü. Günümüzde dinamik sistemlerin daha geniş kapsamlı incelenmesinde merkezi bir dayanak oluşturmaktadırlar. Bunların Mandelbrot kümesiyle hiçbir ilgisi olmayan bir dizi başka problemin çözümü için hayati önem taşıdığı ortaya çıktı. Ve MLC'yi niş bir sorudan alanın en derin ve en önemli açık varsayımlarından birine dönüştürdüler.
Bu "felsefeyi" şu anki biçimine sokmaktan tartışmasız en sorumlu matematikçi Lyubich, dimdik ve dik duruyor ve sessizce konuşuyor. Atölyedeki diğer matematikçiler bir kavramı tartışmak ya da bir soru sormak için ona yaklaştığında gözlerini kapatıyor ve kalın kaşlarını çatarak dikkatle dinliyor. Dikkatli bir şekilde Rus aksanıyla cevap veriyor.
Giriş
Ama aynı zamanda yüksek sesle, sıcak kahkahalar atmakta ve alaycı şakalar yapmakta da hızlıdır. Zamanı ve tavsiyeleri konusunda cömerttir. Lyubich'in eski doktora sonrası araştırmacılarından biri ve sık sık birlikte çalıştığı Mukherjee, onun "gerçekten birkaç nesil matematikçi yetiştirdiğini" söyledi. Onun anlattığına göre, karmaşık dinamikleri incelemekle ilgilenen herkes Stony Brook'ta Lyubich'ten bir şeyler öğrenmek için biraz zaman harcıyor. Mukherjee, "Misha'nın belirli bir projede nasıl ilerlememiz gerektiğine veya bundan sonra neye bakacağımıza dair bir vizyonu var" dedi. “Zihninde bu büyük resim var. Ve bunu insanlarla paylaşmaktan mutluluk duyuyor.”
Lyubich ilk kez bu büyük resmi bütünüyle görebildiğini hissediyor.
Ödül Savaşçıları
Mandelbrot seti bir ödülle başladı.
1915'te, fonksiyonlar çalışmasındaki son gelişmelerden ilham alan Fransız Bilimler Akademisi bir yarışma duyurdu: Üç yıl içinde, yineleme süreci üzerine yapılan çalışmalara 3,000 franklık büyük bir ödül verilecekti. daha sonra Mandelbrot kümesini oluşturun.
Yineleme, bir kuralın tekrar tekrar uygulanmasıdır. Bir sayıyı bir fonksiyona takın, ardından çıktıyı bir sonraki girişiniz olarak kullanın. Bunu yapmaya devam edin ve zamanla neler olacağını gözlemleyin. Fonksiyonunuzu yinelemeye devam ettikçe elde ettiğiniz sayılar hızla sonsuza doğru artabilir. Ya da demir talaşlarının mıknatısa doğru hareket etmesi gibi, belirli bir sayıya doğru çekilebilirler. Veya asla kaçamayacakları sabit bir yörüngede aynı iki, üç veya bin sayı arasında gidip gelirler. Veya kaotik, öngörülemeyen bir yol izleyerek, kafiye veya sebep olmadan bir sayıdan diğerine atlayın.
Giriş
Fransız Akademisinin ve daha genel olarak matematikçilerin yinelemeyle ilgilenmek için başka bir nedeni daha vardı. Süreç, dinamik sistemlerin (gezegenlerin güneş etrafında dönmesi veya çalkantılı bir akıntının akışı gibi sistemler) incelenmesinde önemli bir rol oynadı; belirli kurallara göre zamanla değişen sistemler.
Ödül, iki matematikçiye tamamen yeni bir çalışma alanı geliştirme konusunda ilham verdi.
Bunlardan ilki, sağlığı kötü olmasaydı, başka bir hayatında denizci (bir aile geleneği) olabilecek olan Pierre Fatou'ydu. Bunun yerine matematik ve astronomi alanında kariyer yapmaya başladı ve 1915'e gelindiğinde analizde birçok önemli sonucu zaten kanıtlamıştı. Bir de, Fransız işgali altındaki Cezayir'de doğmuş, gelecek vaat eden genç matematikçi Gaston Julia vardı; çalışmaları Birinci Dünya Savaşı ve Fransız ordusuna askere alınması nedeniyle kesintiye uğradı. 22 yaşındayken, hizmetine başladıktan kısa bir süre sonra ciddi bir yaralanma geçirdikten sonra (doktorların bu hasarı onaramaması nedeniyle hayatının geri kalanında yüzüne deri bir kayış takacaktı) matematiğe geri döndü ve bazı matematik işlemleriyle uğraştı. Akademi ödülü için hastane yatağından sunacağı çalışma.
Ödül, hem Fatou'yu hem de Julia'yı, işlevleri yinelediğinizde ne olacağını araştırmaya motive etti. Bağımsız çalıştılar ama sonuçta çok benzer keşifler yaptılar. Sonuçlarında o kadar çok örtüşme vardı ki, şimdi bile nasıl kredi tahsis edileceği her zaman net değil. (Julia daha dışa dönüktü ve bu nedenle daha fazla ilgi gördü. Sonunda ödülü kazandı; Fatou başvuruda bile bulunmadı.) Bu çalışma sayesinde ikili artık karmaşık dinamikler alanının kurucuları olarak kabul ediliyor.
"Karmaşık" çünkü Fatou ve Julia karmaşık sayıların fonksiyonlarını yinelediler; bunlar tanıdık bir gerçek sayıyı sözde sanal sayıyla (bir sayının katı) birleştiren sayılardı. i, matematikçilerin -1) karekökünü belirtmek için kullandıkları sembol. Gerçek sayılar bir doğru üzerindeki noktalar olarak yerleştirilebilirken, karmaşık sayılar bir düzlem üzerindeki noktalar olarak görselleştirilir:
Giriş
Fatou ve Julia, basit karmaşık fonksiyonları yinelemenin bile (matematik alanında bir paradoks değil!) başlangıç noktanıza bağlı olarak zengin ve karmaşık davranışlara yol açabileceğini buldu. Bu davranışları belgelemeye ve geometrik olarak temsil etmeye başladılar.
Ancak daha sonra çalışmaları yarım yüzyıl boyunca belirsizliğe gömüldü. “İnsanlar ne arayacaklarını bile bilmiyorlardı. Soracakları sorular konusunda bile sınırlıydılar" dedi. artur Avila, Zürih Üniversitesi'nde profesör.
1970'lerde bilgisayar grafikleri reşit olduğunda bu durum değişti.
O zamana kadar matematikçi Benoît Mandelbrot akademik amatör olarak ün kazanmıştı. IBM'in New York şehrinin kuzeyindeki araştırma merkezinde çalışırken, ekonomiden astronomiye kadar pek çok farklı alanla ilgilenmişti. 1974'te IBM üyesi olarak atandığında, bağımsız projeler yürütme konusunda daha da fazla özgürlüğe sahip oldu. Karmaşık dinamikleri kış uykusundan çıkarmak için merkezin hatırı sayılır bilgi işlem gücünü uygulamaya karar verdi.
İlk başta Mandelbrot, Fatou ve Julia'nın üzerinde çalıştığı şekilleri oluşturmak için bilgisayarları kullandı. Görüntüler, bir başlangıç noktasının ne zaman tekrarlandığında sonsuza kaçacağı ve ne zaman başka bir modelde sıkışıp kalacağı hakkındaki bilgileri kodluyordu. Fatou ve Julia'nın 60 yıl önceki çizimleri daire ve üçgen kümelerine benziyordu; ancak Mandelbrot'un yaptığı bilgisayarda oluşturulan görüntüler ejderhalara, kelebeklere, tavşanlara, katedrallere ve karnabahar kafalarına, hatta bazen birbirinden kopuk toz bulutlarına benziyordu. O zamana kadar Mandelbrot, farklı ölçeklerde benzer görünen şekiller için "fraktal" kelimesini çoktan icat etmişti; bu kelime yeni bir tür geometri kavramını çağrıştırıyordu; parçalanmış, kesirli veya kırık bir şey.
Bilgisayar ekranında görünen ve bugün Julia kümeleri olarak bilinen görüntüler, Mandelbrot'un şimdiye kadar gördüğü en güzel ve karmaşık fraktal örneklerinden bazılarıydı.
Giriş
Fatou ve Julia'nın çalışması, bu kümelerin her birinin (ve bunlara karşılık gelen işlevlerin) geometrisine ve dinamiğine ayrı ayrı odaklanmıştı. Ancak bilgisayarlar Mandelbrot'a tüm işlevler ailesi hakkında aynı anda düşünme olanağı sağladı. Hepsini kendi adını taşıyacak görüntüye kodlayabilirdi, ancak bunu gerçekten ilk keşfedenin kendisi olup olmadığı tartışma konusu olmaya devam ediyor.
Mandelbrot kümesi, yinelendiğinde hala ilginç bir şeyler yapan en basit denklemlerle ilgilenir. Bunlar formun ikinci dereceden fonksiyonlarıdır f(z) = z2 + c. Bir değeri düzeltin c — herhangi bir karmaşık sayı olabilir. ile başlayan denklemi yinelerseniz z = 0 ve ürettiğiniz sayıların küçük (veya matematikçilerin dediği gibi sınırlı) kaldığını bulun, o zaman c Mandelbrot kümesindedir. Öte yandan, yinelerseniz ve sonunda sayılarınızın sonsuza doğru büyümeye başladığını görürseniz, o zaman c Mandelbrot kümesinde değildir.
değerlerini göstermek basittir. c sıfıra yakın olanlar settedir. Büyük değerlerin olduğunu göstermek de benzer şekilde basittir. c değil. Ancak karmaşık sayılar ismine yakışır: Kümenin sınırları son derece karmaşıktır. Değişmesinin belirgin bir nedeni yok c Çok küçük miktarlar sınırı aşmanıza neden olmalı, ancak yakınlaştırdıkça sonsuz miktarda ayrıntı ortaya çıkıyor.
Dahası Mandelbrot kümesi Julia kümelerinin haritası gibi davranır. Değerleri c Mandelbrot kümesindeki bağlı Julia kümelerine karşılık gelir. Ancak Mandelbrot kümesinden ayrılırsanız, karşılık gelen Julia kümesinin bağlantısı kesilecektir.
Giriş
Kümenin ilk yayınlanan resmi, sadece birkaç yüz yıldız işaretinden oluşan kaba bir çizim, 1978'de grup teorisi ve hiperbolik geometride görünüşte alakasız bir soru üzerinde çalışan matematikçiler Robert Brooks ve J. Peter Matelski'nin bir makalesinde ortaya çıktı.
Seti tanıyan ve popülerleştiren Mandelbrot'du. Yüzlerce Julia kümesinin grafiğini çıkarmak için IBM'in bilgisayarlarını kullandıktan sonra hepsini aynı anda temsil etmeye çalıştı. 1980'de Brooks ve Matelski'den çok daha gelişmiş bilgi işlem gücüyle donanmış olarak, sonunda Mandelbrot kümesinin çok daha iyi bir versiyonunu üretmeyi başardı (her ne kadar günümüz standartlarına göre hâlâ kaba olsa da). Hemen aşık oldu ve fraktalı mümkün olduğunca halka açık bir görüntü haline getirmeye karar verdi. Bu nedenle sete onun adı verilmiştir. (Mandelbrot'un kendisi, derin sonuçları kanıtlamadan bir konudan diğerine atlama alışkanlığı nedeniyle ve Mandelbrot kümesi gibi keşiflerden pay alma arayışında çoğu zaman sert davrandığı için matematikçiler arasında pek sevilmiyordu.)
Bilgisayar görüntüleri, matematiğin en derin düşünürlerinden bazılarının hemen dikkatini çekti. Şu anda Brown Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacı olan Kapiamba, "Neler olup bittiğini gerçekten görebildiğimizde herkes çok ilgilenmeye başladı" dedi.
Giriş
İkinci dereceden denklemler dünyasının bu kadar zengin olabileceğini kimse tahmin etmemişti. "Basit görünümlü bir taş olan bir jeodezi açtığınızda içinde tüm bu kristalleri, bu inanılmaz karmaşık yapıyı bulmanız gibi bir şey" dedi. Anna Benini İtalya'daki Parma Üniversitesi'nden.
Avila, "Matematikçiler daha önce hayal etmedikleri şeyleri gördüler" dedi. “Bugünlerde hepimiz bu keşiflere çok şey borçluyuz.”
Sadece birkaç yıl içinde Hubbard ve matematikçi Adrien Douady, hem Mandelbrot kümesi hem de onun temsil ettiği Julia kümeleri hakkında çok sayıda sonucu kanıtladılar. Ancak Hubbard, kanıtlarının el yazısıyla yazıldığını ve "çoğunlukla yalnızca Douady ve benim için anlaşılabileceğini" yazdı. Ve böylece 1983'te Douady bu ilk sonuçları açıklamak için bir dizi konferans yazıp verdi. Daha sonra derslerinden aldığı materyali Orsay notları adı verilen tek bir belgede topladı. Yaklaşık 200 sayfa uzunluğundaki bu kitap kısa sürede alanın kutsal kitabı haline geldi.
Orsay notlarında Douady ve Hubbard, gördükleri bilgisayar görüntülerinin motive ettiği birkaç önemli teoremi kanıtladılar. Mandelbrot kümesinin bağlantılı olduğunu, kümedeki herhangi bir noktadan diğerine kaleminizi kaldırmadan bir çizgi çizebileceğinizi gösterdiler. Mandelbrot başlangıçta bunun tersinden şüphelenmişti: Setin ilk görüntüleri, etrafındaki denizde yüzen birçok küçük şeyin olduğu büyük bir adaya benziyordu. Ancak daha sonra, yüksek çözünürlüklü resimleri gördükten sonra Mandelbrot tahminini değiştirdi; bunlar arasında denklemlerin setin dışında ne kadar hızlı sonsuza uçtuğunu göstermek için renk kullanılanlar da vardı. Bu küçük adaların hepsinin çok ince dallarla birbirine bağlı olduğu ortaya çıktı. Rengin tanıtılması "çok sıradan bir şey ama önemli" dedi Søren Eilers Kopenhag Üniversitesi'nden.
Douady'nin Mandelbrot setine olan ilgisi bulaşıcıydı. Dairesinde özenle hazırlanmış yemeklere, partilere ve konserlere ev sahipliği yapıyordu ve Fransa'da ders verdiği üniversitelerin koridorlarında çıplak ayakla yürüdüğü ve herkesin önünde yüksek sesle şarkı söylediği biliniyordu. (Genellikle sokak çalgıcısı sanılırdı.) Daha sonraki yıllarında hiç matematik ödevi okumadı; bunun yerine yazarlarını ziyaret etmeye ve çalışmayı doğrudan kendisine açıklamaya davet etti.
Giriş
"Onu, çevrelerinde bir mürit okulu bulunan Rönesans ressamlarıyla karşılaştırırdım" dedi Xavier TakviyesiToulouse Üniversitesi'nde matematikçi ve Douady'nin eski doktora öğrencilerinden biri. “Çok heyecan vericiydi.”
Orsay notlarının önemli bir kısmı, yakında Mandelbrot kümesiyle ilgili en önemli soru haline gelecek olan mütevazı bir ifadeydi: MLC varsayımı.
MLC, Mandelbrot kümesinin yalnızca bağlantılı olmadığını öne sürüyor; yerel olarak bağlantılıdır; Mandelbrot setini ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, her zaman bağlantılı tek bir parça gibi görünecektir. Örneğin bir daire yerel olarak bağlantılıdır. Öte yandan son derece ince dişli bir tarak öyle değildir. Şeklin tamamı bağlantılı olmasına rağmen, şaftın üzerinden atlayıp bunun yerine bazı dişlerin uçlarına yakınlaştırırsanız, yalnızca bir grup ayrı çizgi parçası göreceksiniz.
Giriş
Mandelbrot kümesinin geometrisi hakkında basit bir ifade olmasına rağmen, MLC hızla inanılmaz derecede sert olduğu için ün kazandı. Birçok matematikçi bunun üzerinde çalışmaktan çekiniyordu. Çok teknik ve zaman alıcı görünüyordu; insanın gözünü dikmesi riskli bir sorundu. Birden fazla matematikçi bu yüzden matematiği bıraktı. Avila, öğrencilerini ilerlemek için gereken tüm matematiği öğrenmeye zamanları olana kadar aktif olarak MLC'den ve ilgili araştırma alanlarından uzaklaştırıyor. "Alıntı yaparım Aslan Kral ve 'Bakın, bütün dinamikler var' diyorlar. Görebildiğiniz tek şey etki alanınızdır. Ama keşfetmemeniz gereken karanlık bir köşe var... Çünkü bu kısmı keşfederseniz tuzağa düşersiniz ve asla çıkamazsınız'' dedi. "Bu işe girmek için öğrenmen gereken çok şey var."
Ancak bazı matematikçiler direnemedi.
Sadece Bağlan
Misha Lyubich, 1960'larda Ukrayna'nın ikinci büyük şehri Kharkiv'de büyüdü. Stalin ölmüştü; Nikita Kruşçev kısa bir süre iktidarda kaldı, ancak kısa süre sonra yerini Leonid Brejnev aldı. Sovyet ekonomisi gelişti, ancak on yıl ilerledikçe durgunlaştı. Batı ile gerilim tüm zamanların en yüksek seviyesindeydi.
Lyubich'in babası Kharkiv Üniversitesi'nde matematik profesörü, annesi ise programcıydı; gençliğinde evine başka matematikçilerin geldiğini, matematiğin her zaman gündemde olduğunu, sık sık konuşulduğunu hatırlıyor. “Çevremdeki hayat matematikten ibaretti” dedi.
Lyubich, "Yahudilerin çeşitli alanlarda aktif olarak yer almasını engelleyen devlet politikalarının olduğu" Sovyetler Birliği'nde bir Yahudi olarak en iyi üniversitelere girmekte zorluk yaşadığını söyledi. Moskova Devlet Üniversitesi'ne başvurdu ancak reddedildi. Sovyetler Birliği'nin prestijli Matematik Olimpiyatları yarışmalarında en iyi öğrencilerden ve en üst düzey katılımcılardan biri olmasına rağmen, kendisine sözlü sınavını geçemediği söylendi. Sınav görevlileri ona nerede hata yaptığını söylemeyi reddettiler.
Giriş
Yahudi öğrencileri liyakate göre kabul eden en iyi lisans kurumlarından biri olan Kharkiv Üniversitesi'ne gitti. Babası, öğrencilerin genellikle yalnızca Moskova üniversitelerinde bulabilecekleri konuları öğretiyordu. (Moskova, Sovyetler Birliği'nde matematiksel ilerlemenin merkeziydi.) Lyubich, "Bu, o zamanlar babamın sağladığı eşsiz bir fırsattı... matematik konusunda daha geniş bir vizyon elde etmek için" dedi. Özellikle babası onu, Sovyetler Birliği'nde hiç ilgi görmeyen bir alan olan karmaşık dinamiklerdeki sorunlar hakkında düşünmeye teşvik etti. Lyubich, "O zamanlar bu bölgede çalışan kimseyi görmedik" dedi. Çabucak bağımlısı oldu: İşte o üniversite yıllarında matematik hakkında "esasen aralıksız" düşünmeye başladı.
Sınıfı ikincilikle bitirmesine rağmen yüksek lisans programlarına girmekte zorlandı. Kendini 2,000 milden fazla uzakta, babasının meslektaşlarının bulunduğu Özbekistan'daki Taşkent Devlet Üniversitesi'nde buldu. Douady ve Hubbard'ın Fransa'da yaptığı çalışmalardan izole olarak ve bunlardan habersiz olarak karmaşık dinamikleri incelemeye devam etti. "Biraz yalnızdım" dedi. “Oldukça yalnızdı.”
Üniversite öğrencilerinin sonbahar aylarında tarım işçiliği yapması gerekiyordu. Lyubich, "Üniversiteler esasen Ekim ve Kasım aylarında boşaldı" dedi. Ve böylece kendini Taşkent'in dışındaki tarlalarda pamuk toplarken buldu (Özbekistan o zamanlar Sovyetler Birliği'nin ana pamuk tedarikçisiydi). Gün doğumundan gün batımına kadar, 90 derecelik sıcaklıkta, yalnızca birkaç metre yüksekliğindeki bitkilerin üzerine eğildi. Yine de kendini şanslı görüyordu. Lisans öğrencilerinin bir kotayı karşılaması gerekiyordu - "beceri gerektirecek kadar yüksek" ve "benim için yapması mümkün olmayan" yıpratıcı bir işe dönüştü dedi. Lisansüstü öğrencilerinin buna ihtiyacı yoktu.
Lyubich, "Pamuk tarlalarında dolaşıp matematik hakkında düşünüyordum" dedi. Özellikle karmaşık ikinci dereceden denklemlerin parametre uzayı hakkında düşünmeye başladı.
Batı'da ilk bilgisayar görüntüleri ortaya çıkmış olmasına rağmen Lyubich'in bunlara erişimi yoktu. Bunun yerine, Mandelbrot kümesinin temel özellikleri zihninde şekillendi; fraktalın ana kardioid olarak adlandırılan kalp şeklindeki merkezi bölgesi ve kümenin omurgasının, şekli yatay olarak ikiye bölen yönleri. x-eksen. “Sadece zihnimde bir resim oluşturdum ve onu anlamaya çalıştım” dedi. "Bu resmin içinde saklı soruların ne kadar derin olduğu hakkında hiçbir fikrim yoktu."
Mart 1982'de -Lyubich hâlâ yüksek lisans öğrencisiyken- John MilnorKendi kuşağının en seçkin Amerikalı matematikçilerinden biri olan (o zamanlar İleri Araştırmalar Enstitüsü'nde profesör olan) bir konuşma yapmak için Moskova'yı ziyaret etti. Üniversite, Lyubich'in zamanını nerede geçireceği konusunda esnek olduğundan, sınavlarını ve tezini (aynı zamanda pamuk toplama görevlerini de) tamamladığı sürece, seminerlere katılmak ve orada çalışan matematikçilerle tanışmak için sık sık Moskova'ya gidiyordu. Milnor ziyaret ettiğinde o da oradaydı. Milnor konuşmasını bitirdikten sonra o ve Lyubich bir süre konuştular.
Giriş
Dil engeli nedeniyle ya bir şeyler yazdılar ya da Lyubich'in meslektaşlarından birinin çeviriye yardım etmesini sağladılar. Lyubich, Demir Perde'nin diğer tarafında da ilgili çalışmaların yapıldığını anladı. "Bu, Batı matematiğiyle bu yönde ilk temasımdı" dedi.
Eve döndükten sonra Milnor, Lyubich'in bazı araştırmalarıyla ilgili haberi yaydı. Lyubich, "İletişim çok zayıftı ama Milnor'la tanışmam benim için iyi bir şanstı" dedi. Ve daha sonra Douady, Lyubich'e Orsay notlarının bir kopyasını gönderdi; Lyubich, MLC problemini ilk kez burada öğrendi.
Ancak Lyubich birkaç yıl daha MLC'yi gerçekten düşünmeye başlamayacaktı. Başka problemler üzerinde çalışıyordu ve 1984 yılında doktorasını tamamladıktan sonra kendisi ve kendisi de matematikçi olan eşi, Yahudi olduğu için bir kez daha akademik işlerden men edildiği Leningrad'a (şimdiki St. Petersburg) taşındı. Sonraki beş yıl boyunca lise öğretmeni olarak çalıştı, "yarı araştırma enstitüsü" olarak adlandırdığı (tıbbi teknolojilere odaklanan) bir yerde programcı olarak ve son olarak tıbbi teknolojiler üzerine kapsamlı çalışmalar yapan bir bilimsel enstitüde modelci olarak çalıştı. Arktik ve Antarktika. Her yeni işte, dinamik sistemlere yönelik matematiksel ilgilerine odaklanmaya daha da yaklaşıyordu.
Bu yıllar boyunca matematik problemleri üzerinde çalışmaya devam etti. Seminerlere katıldı, diğer matematikçilerle buluştu ve sonuç üretmeye devam etti. Lyubich, "Hiç durmadım" dedi. “Görüyorsunuz, eğer durursanız toparlanmanız çok zor. Durmamalısın.”
Tükeniyordu. Lyubich, bütün gün lise öğrencilerine ders verdikten sonra kendisini özellikle yorgun hissettiğini, ancak daha sonra kendini akşamın geri kalanını matematik üzerinde çalışarak geçirmeye zorladığını hatırlıyor. "Kendimi tamamen matematiğe adayamadığım için hayal kırıklığına uğradım ki yapmak istediğim de buydu" dedi. Ama "Ne olursa olsun matematik yapmaya kendim karar verdim."
"Perestroyka geldiği ve gitmeme izin verildiği için şanslıydım" diye ekledi. "Bunu daha ne kadar sürdürebileceğimi bilmiyorum." 1989'da kendisi ve eşi, Sovyetler Birliği'nden mülteci olarak ayrılmalarına izin veren bir vize aldılar. Ceplerinde sadece birkaç yüz dolarla önce Viyana'ya, ardından İtalya'ya giderek burada Amerika'ya taşınmak için başvuruda bulundular. İtalya'daki bir mülteci kampında birkaç ay geçirdikten ve evrak işlerinin yapılmasını bekledikten sonra Lyubich, bu süre zarfında yerel üniversitelerde misafir dersler vererek ekstra gelir elde etti - o ve karısı nihayet New York'a geldi. Orada Lyubich'in onu bekleyen bir işi vardı: Milnor (Lyubich'in iletişimini sürdürdüğü kişi) onu Stony Brook Üniversitesi'nde kurmaya başladığı yeni Matematik Bilimleri Enstitüsü'nde çalışmaya davet etmişti.
Giriş
Lyubich, İtalya'dayken ilk kez e-postaya erişim sağladı ve orada Douady'den bir e-posta aldı. (Douady, matematiksel tartışmalar ve işbirlikleri için e-posta kullanımının ilk savunucularından biriydi. Eski yüksek lisans öğrencilerinden biri olan Pierre Lavaurs, "Uzaklardaki işbirlikçileriyle fikir alışverişinde bulunmak için çok çalıştı, bu 80'lerde yeni bir şeydi" dedi.)
E-posta, Lyubich ve bu alandaki diğer matematikçilere, Jean-Christophe Yoccoz'un Mandelbrot kümesindeki hemen hemen tüm noktalarda yerel bağlantıyı kanıtladığı bilgisini verdi: MLC, c tam setin daha küçük, kendine benzer kopyalarından oluşan sonsuz bir yuvanın içinde yer almıyordu. (Yoccoz daha sonra kısmen bu çalışması nedeniyle matematiğin en büyük onuru olarak kabul edilen Fields Madalyası ile ödüllendirilecekti.)
Giriş
E-postada Douady, MLC'ye yönelik tam çözümün çok yakında olduğunu söyledi. İyimser hisseden tek kişi o değildi. "Mandelbrot setinin yerel bağlantısını yalnızca birkaç yıl içinde halledebileceklerini düşünen insanlar vardı" dedi Davud Cheraghi Imperial College London'dan.
Bunun yerine onlarca yıllık çalışma kaldı. MLC'nin, yalnızca bir avuç matematikçinin üzerinde çalışmaya devam edebildiği, neredeyse imkansız derecede zor, çok incelikli bir problem olduğu ortaya çıktı. Bu, matematiğin her alanından araçlar ve karmaşık dinamikler alanını sonsuza dek değiştirecek yeni bir teorinin geliştirilmesini gerektirecektir.
Başından beri matematik yolculuğunun bir parçası olan kararlılıkla donanmış olan Lyubich, yolu açan kişiydi.
Şehir İçinde Şehir
Matematiği bilimlerin en safı olarak düşünme eğilimindeyiz - onu bir bilim olarak düşündüğümüzde. Konu soyut, bağımsız, güzellik ve mantıkla yönlendirilen bir üne sahiptir. Ellerini kirletmez veya “uygulamalar” gibi somut hiçbir şeyle ilgilenmez. (İsminde bile var: Biz "saf matematik"i "uygulamalı matematik"ten ayırıyoruz.) Matematik makalelerinin yazılma şeklinin bir faydası yok: Genellikle yalnızca nihai ispatlar ve teoremler yayınlanır, onlara yol açan dolambaçlı süreç değil.
Ancak bu, 19. yüzyılın sonlarında sağlamlaşmaya başlayan modern bir matematik anlayışıdır. Bu, matematikçiler tanımlarını daha katı hale getirmeye çalıştıkça ve resmi ispatlar yazmak onlar için iş bulmanın ve kariyer kurmanın tek yolu haline geldikçe büyüyen bir kavramdır. 1930'larda güçlü ve gizli bir matematikçi grubunun ortak çalışmalarını yayınlamaya başlamasıyla bu durum daha da güçlendi. takma adı Nicolas Bourbaki. Disiplini temellerine kadar söküp mümkün olduğu kadar resmi hale getirme niyetiyle, onların ahlak değerleri matematiksel düşünceye hakim oldu.
Giriş
Ancak bundan çok önce matematikçiler - tıpkı fizikçiler, biyologlar veya kimyagerler gibi - yeni fenomenleri keşfetmek ve kanıtlamak için deneylere güveniyorlardı. Tahminlerde bulundular, hipotezleri bir kenara attılar, deneme yanılma yoluyla kalıplar aradılar. Hesaplamalar yaptılar, gözlemler yaptılar, veri topladılar. Beklenmedik yerlerde ortaya çıkan belirli sayıların veya dizilerin benzerliklerini not ettiler.
18. ve 19. yüzyıl matematiğinin devleri - Euler, Gauss, Riemann - zahmetli bir şekilde elle yapılan devasa miktardaki hesaplamalara dayanan deneycilerdi. Gauss, asal sayı teoremini (asal sayıların tam sayılar arasında nasıl dağıldığını açıklayan çok önemli bir formül) gerçekte kanıtlanmasından bir yüzyıl önce tahmin etmişti. Bunun nedeni, gençliğinde asal sayı tablolarını dikkatle incelemesi ve bin sayıdan oluşan bloklar halinde, bir milyona kadar asal sayılardan kaç tane olduğunu saymaya karar vermesiydi. (Hiç şüphe yok ki Gauss günümüz bilgisayarları için minnettar olurdu.) Benzer şekilde Riemann da sayfalarca hesaplama yaptıktan sonra matematiğin en büyük açık problemi olan kendi adını taşıyan hipotezini ortaya attı. Bu sayfalar onlarca yıldır keşfedilmedi; O zamana kadar pek çok matematikçi Riemann hipotezini "yalnızca saf düşünce" ile neler başarılabileceğinin bir örneği olarak müjdeliyordu.
Böyle bir şey yok. Matematiksel olsun ya da olmasın tüm düşünme, etrafımızdaki dünyadan, zamanımızın teknolojilerinden, felsefi hareketlerinden ve estetiğinden etkilenir.
Bu bağlamda, Bourbaki'nin felsefesi - tam bir titizlik gerekliliği ve somut örnekler yerine genel ifadelere vurgu - bir tür dolambaçlı yolu temsil ediyordu. Matematikçilerin Bourbaki'ye bakış açısı bölünmüş durumda. Bazıları bunun belirli alanlara titizliğe doğru çok ihtiyaç duyulan itici gücü sağladığını iddia ediyor. Diğerleri bunun sınırlayıcı, dar görüşlü ve matematiği diğer ilham kaynaklarından ayıran bir şey olduğunu söylüyor.
Giriş
1970'lerden beri sarkaç, matematikçilere tamamen yeni deney ve oyun yolları sunan modern bilgisayarlar tarafından itilerek geriye doğru sallanmaya başladı. Eilers, "Sanırım insanlar genel olarak Bourbaki olayının bir tür hata olduğu konusunda hemfikir" dedi. "Bu çok soyut görüş, o kadar da insan dostu değil... bu alanın gelişmesi gereken yol bu değil."
Matematikçiler, Gauss ve Riemann'ın deneysel ruhuna uygun olarak, günümüzün en ünlü açık problemlerinden biri olan Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı, çözülürse 1 milyon dolarlık ödülle gelecek olan eliptik eğrilerle ilgili bir soru - ancak bir bilgisayar kullandıktan sonra ortaya çıktılar. dağlar kadar veri üretin. Diğer birçok sorun da benzer şekillerde ortaya çıktı. "Sosis böyle yapılır" dedi Roland Roeder Indiana Üniversitesi-Purdue Üniversitesi Indianapolis. "Olması gerektiği kadar reklamı yapılmadı."
Matematikçiler bilgisayarları hem yerleşik varsayımlara hem de yeni ortaya çıkan hipotezlere karşı örnekler aramak için kullandılar. Bunları eski kanıtlardaki hataları bulmak ve düzeltmek için kullandılar. Farklı alanlar arasında yeni bağlantılar kurmak için onlara yöneldiler. Ve birçok alanda matematikçiler, temel hesaplamaları yapmak ve matematiksel argümanın kendisindeki diğer adımları gerçekleştirmek için bilgisayarlara güvenmeye başladı.
Mandelbrot seti örneğinde bilgisayarlar tüm alanın hızlı bir şekilde başlatılmasına yardımcı oldu.
Matematikçilerin söylediğine göre, bilgisayarlar Mandelbrot kümesini bir şehir, keşfedilecek fiziksel bir alan gibi ele almalarına olanak tanıdı. Mahallelerini, sokaklarını dolaşarak, kaybolarak, araziye alışarak saatler, günler, yıllar geçirdiler. Brezilya'daki Ulusal Temel ve Uygulamalı Matematik Enstitüsü'nden Luna Lomonaco, "Giderek daha fazlasını anlamaya başlıyorsunuz ve her geri döndüğünüzde sanki eve dönüyormuşsunuz gibi oluyor" dedi. “Gerçekten senin bir parçan oluyor.”
Giriş
Bu alandaki matematikçilerle konuştuğunuzda bu aşinalık açıkça görülür. Farklı özellikleri göstermek için belirli noktaları yakınlaştırarak farklı bilgisayar programlarında kolaylıkla gezinirler. Dudko bu görüntüleri "karmaşık dinamiklerdeki bir dil gibi" olarak tanımlıyor. Buff, belirli dalların ve filizlerin nasıl göründüğüne bağlı olarak, setin küçük bir kopyasının görünür hale gelmeden önce tam olarak nerede ortaya çıkacağını tahmin edebiliyor. Bir keresinde Chéritat'tan Mandelbrot setinin derinliklerindeki bir bölgenin onlarca yıllık bir posterini herhangi bir ek bilgi olmadan yeniden üretmesi istenmişti ve o da bunu yaptı. Görünüşe göre Douady bir Julia setine bakabilir ve hangi değere sahip olduğunu bilebilir. c Mandelbrot kümesinden geldi. Hubbard hâlâ Julia setlerinden "eski dostlar" olarak söz ediyor.
"Mandelbrot kümesini incelemek gerçekten de matematiğin deneysel bir alanı gibi geliyor. Kapiamba, "Saf bir matematik alanı yerine neredeyse uygulamalı bir matematik alanı gibi geliyor" dedi. "Sadece orada olan bir şeyi alıyorsunuz ve sonra onu parçalara ayırmaya ve analiz etmeye çalışıyorsunuz; bana öyle geliyor ki, sanki ortaya çıkarmaya çalıştığınız doğal bir fenomen varmış gibi geliyor."
“Bu sizin yarattığınız bir şey değil. Bu, orada olan ve sizin keşfedebileceğiniz bir şey," diye ekledi Buff. “Bilgisayarımda açıkça var. Mandelbrot setini ziyaret ediyorum. Ve belki de Mandelbrot kümesinde henüz keşfedemediğim yerler vardır.”
Bu çalışma alanı bu tür keşiflerle doludur. Setin kendi içinde daha küçük kopyaları ve antenlerinin, saçlarının ve diğer süslemelerinin görünümünde belirli desenler keşfedildi. Sette kodlanan Fibonacci dizisinin yanı sıra $latex pi$'nin yaklaşık değeri de keşfedildi. Kübik denklemlerin sayısal çözümlerinin araştırılmasında olduğu gibi tamamen başka bağlamlarda da Mandelbrot kümelerinin keşfi yapıldı.
"Bilgisayarlar bize heyecan verici, birisinin gelip bunu açıklaması için haykıran şeyler gösteriyor" dedi Kevin Hacı Indiana Üniversitesi Bloomington'dan. Bu da cevapları olmasa da doğru soruları motive eder.
Giriş
Bilgisayarlar Mandelbrot kümesinin tüm bu küçük kopyalarını kendi içinde ortaya çıkardığında Douady ve Hubbard onların varlığını açıklamak istedi. Fizikçilerin kuantum alan teorileri çalışmalarında sonsuzlukları dizginlemek ve faz geçişleri çalışmalarında farklı ölçekleri birbirine bağlamak için kullandıkları bir teknik olan, renormalizasyon teorisi olarak bilinen şeye yöneldiler. Daha önce matematikçilerin pek ilgisini çekmiyordu; onların standartlarına göre katı bile değildi.
Ancak 1970'lerde fizikçi Mitchell Feigenbaum, gerçek sayılar kullanarak ikinci dereceden denklemleri yinelediğinizde ortaya çıkan kendine benzer belirli bir modeli açıklamanın bir yolu olarak kullanarak, yeniden normalleştirme teorisini dinamikler dünyasına getirdi.
Douady ve Hubbard, bilgisayar ekranlarında gördükleri daha karmaşık, kendine benzeyen kalıpları açıklamak için tam olarak ihtiyaç duydukları şeyin yeniden normalleştirme olduğunu fark ettiler. Ve böylece renormalizasyon teorisini karmaşık dinamiklere nasıl uygulayacaklarını buldular.
O zamandan bu yana, Lyubich ve meslektaşlarının MLC üzerinde yaptığı çalışmalar, bu teoriyi herkesin mümkün olduğunu düşündüğünden daha ileri götürdü.
Her Noktaya Bir İsim
Lyubich, Moskova'dan ayrıldıktan aylar sonra, Şubat 1990'da New York'a vardığında, Douady'nin e-postasında heyecanla yazdığı çalışmalar hakkında daha fazla bilgi edinme şansı buldu.
Başlangıçta Lyubich'i büyüleyen MLC sonucu değil, Yoccoz'un bunu kanıtlamak için geliştirdiği tekniklerdi. "Bir şekilde bana çok iyi geldi" dedi. Gerçek dinamiklerle ve Feigenbaum'un yeniden normalleştirme çalışmasına dayalı olarak ortaya çıkan soruları yanıtlamakla ilgileniyordu. 1990'ların çoğunda Lyubich, bu açık sorunlara çözüm bulmak için Yoccoz'un yöntemlerini daha da geliştirmeye odaklandı. On yılın sonuna gelindiğinde, "bu mekanizmayı kullanarak esas itibarıyla dinamiklerin tam tanımını gerçek anlamda elde ettiğini" hissetti.
Bu çalışmanın doğal bir sonucu olarak Lyubich, Yoccoz'un sonucunun kapsamadığı vakaların hepsi olmasa da çoğu için MLC'yi kanıtlamayı başardı.
Giriş
Bu pek de sürpriz olmazdı. Yoccoz'un kanıtı, "sonsuzca yeniden normalleştirilebilir" parametreler olarak bilinenler (sonsuzca iç içe geçmiş bebek Mandelbrot kopyalarının içinde yaşayan noktalar) dışında, Mandelbrot kümesindeki tüm noktalar için MLC'yi gösterdi. Onun sonucu, MLC'yi anında yeniden normalleştirme teorisiyle yakından bağlantılı bir soruna dönüştürdü.
Bu bağlantı heyecan vericiydi. Görünüşte MLC sahanın tamamen farklı bir köşesine aitmiş gibi görünüyordu. Lyubich, "Renormalizasyon teorisi tamamen bağımsız olarak gelişti" dedi. “Ve sonra her şey aynı hikayenin parçası oldu.”
Ve böylece Lyubich'in MLC sorununu çözmeye de ilgisi arttı.
Yeniden normalleşme tartışmaya girmeden önce bile, MLC'nin daha derin yankı uyandıran bir sorun olduğuna dair işaretler zaten mevcuttu.
Orsay notlarında Douady ve Hubbard, eğer MLC doğruysa, bunun Mandelbrot kümesinin iç özelliklerine de etkileri olduğunu gösterdi. Kümenin içindeki her nokta aynı şekilde davranmaz. Ana kardioiddeki noktalar, sıfır başlangıç değerinden iterasyon yapıldığında tek bir sayıya yakınsayan fonksiyonlara karşılık gelir. Diğer loblardaki noktalar, belirli sayıda farklı değerler arasında salınan işlevlere karşılık gelir. Örneğin ana kardioidin üstündeki en büyük lob, üç değer arasında salınan fonksiyonları temsil eder. Ancak dikkatlice seçilmiş noktalar için bir fonksiyon sınırlı kalan ancak asla salınmayan diziler üretebilir; bunlar yeni, farklı değerler arasında atlamayı sürdürürler.
Ancak MLC doğruysa Douady ve Hubbard, bu tür salınımlı olmayan dizilerin nadir olması gerektiğini gösterdi; matematikçilerin üzerinde çalıştıkları herhangi bir dinamik sistem için kanıtlamak veya çürütmek istedikleri, "hiperboliklik yoğunluğu" adı verilen bir özellik. Lomonaco, "Bu sadece karmaşık dinamikler değil, temel olarak dinamiklerdeki en önemli sorudur" dedi.
Giriş
Abartılılığın yoğunluğu Mandelbrot kümesinin içiyle ilgilidir. Ancak MLC aynı zamanda matematikçilerin kümenin sınırındaki her noktaya bir adres atamasına da olanak tanıyacak. “Her noktaya bir isim veriyor. Ve sonra, Mandelbrot kümesinin sınırındaki her noktayı adlandırabildiğinizde, onu gerçekten tamamen anlamayı umabilirsiniz" dedi Hubbard.
Bu şekilde MLC, matematikçilere setin ellerindeki resimde hiçbir şeyin eksik olmadığını söyler. Ancak bir kanıt olmadan, bu sonsuz karmaşık manzaranın en derin köşelerinde gizlenmiş, henüz bilgisayar ekranlarında görünmeyen ve temelde farklı şekillerde davranan bazı bölgeler hâlâ olabilir. Bu, matematikçilerin hâlâ hikayenin bir kısmını kaçırdığı anlamına gelir.
Basit Şeyler Hakkında Derinlemesine Düşünün
Jeremy Kahn, 1970'lerde New York'ta bir sosyal hizmet uzmanı ve bir bilim yazarının oğlu olarak büyüdü. Çocukken bir matematik dehası olduğunu kısa sürede kanıtladı. Konuda yıllar ilerisini atladı. Altıncı sınıftayken SAT'ın matematik bölümünden 790 puan aldı. Ve çeşitli matematiksel kavramları daha derinlemesine araştırmak için kendi bilgisayar programlarını yazdı. 13 yaşındayken ABD'nin Uluslararası Matematik Olimpiyatları takımında yer kazanan (o sırada) en genç kişi oldu. Lise hayatı boyunca yarışmalara katılarak iki gümüş ve iki altın madalya kazandı. Bu süre zarfında Columbia Üniversitesi'nde matematik dersleri de almaya başladı ve yatak odasında tuttuğu bir tahtada birkaç teoremi (kanıtlandığını bilmeden) yeniden kanıtladı.
Liseden mezun olduktan sonra Harvard Üniversitesi'ne matematik okumak üzere gitti. Orada Mandelbrot setinin büyüsüne kapıldı. Son sınıftayken tüm enerjisini bunu anlamaya adamıştı. O zamanlar Harvard'da hiç kimse bu konu üzerinde çalışmadığından, bisikletle Boston Üniversitesi'ne gidip oradaki bir matematikçiden fraktallar ve dinamik sistemler hakkında bilgi alacaktı. Mezun olduktan ve Berkeley'deki Kaliforniya Üniversitesi'nde bir doktora programına kaydolduktan sonra, hiperbolik geometriye odaklandı; bu alan, Mandelbrot kümesinin ilk kez popüler olmaya başladığı dönemde matematikçilerin karmaşık dinamiklerle ilişkilendirdiği bir alandı.
Giriş
Kahn bu bağı güçlendirmek istiyordu. Yüksek lisans öğrencisiyken, matematikçiler tarafından yapılan ufuk açıcı çalışmalara dayanarak Yoccoz'un ünlü MLC sonucunu yeniden kanıtladı. Dennis Sullivan ve Curt McMullen. Ayrıca hiperbolik geometriden renormalizasyona kadar fikirlerin nasıl uygulanacağını düşünmeye başladı.
Kahn'ın sınıf arkadaşı Kevin Hacı Devasa kağıt sayfalarını eğriler ve halkalar, yozlaşan ve bozulan geometrik nesnelerin çizimleriyle doldurduğunu gördüğünü hatırlıyor. Pilgrim, "Bunlar hakkında çok ama çok derin düşünmeye başladı" dedi. “Ve 'derinden' dediğimde, 15 yılı kastediyorum.”
"Jeremy'nin bir şey hakkında gerçekten derinlemesine düşünme konusundaki kararlılığı oldukça şaşırtıcı" diye ekledi.
Kahn özellikle yeniden normalleştirme konusunda çok düşündü. Lyubich'in ve Douady ile Hubbard'ın çalışmalarını inceledi.
Tüm bu bağlamlarda yeniden normalleştirme, dinamik bir sistemin farklı ölçeklerini birbiriyle ilişkilendirmenin bir yoludur. İkinci dereceden bir denklemin dinamiklerini düşünün. Noktalar karmaşık düzlemin etrafında belirli şekillerde sıçrayacaktır. Yeniden normalleştirme, tüm bu noktaların dinamiklerini, bunların yalnızca küçük bir alt kümesine odaklanarak tanımlamanıza olanak tanır.
"Yeniden normalleştirme, en derin seviyedeki yapıları anlamanıza olanak tanıyan süper güçlü bir mikroskop gibi davranıyor" dedi. Romain Dujardin Fransa'daki Sorbonne Üniversitesi'nden.
Bunu ne ölçüde yapabileceğiniz yinelediğiniz denkleme bağlıdır. Bazen dinamiklerini sistemin daha küçük bir kısmı açısından tanımlayamazsınız. Veya daha küçük ölçekler hakkında artık anlamlı hiçbir şey söyleyemeyeceğiniz bir noktaya ulaşmadan önce, şeyleri bir, iki veya 10 kat büyütmek için yeniden normalleştirme mikroskobunu kullanabilirsiniz.
Ancak sonsuz sayıda yeniden normalleştirilebilen parametrelerle ilişkili işlevler için, yeniden normalleştirmeyi sonsuza kadar uygulamaya devam etmek mümkündür.
Bu hassas bir prosedür. Lyubich, "Bu rastgele bir şekilde yapılamaz" dedi. Çok fazla hassasiyet kaybetmeden bir ölçekten diğerine geçebileceğinizi titizlikle göstermelisiniz.
Bunu yapmanın ilk adımı, farklı ölçeklerin geometrisi üzerinde kabaca bir kontrol elde etmeyi içerir. Daha sonra belirli bir değer için MLC'yi göstermek için kullanılabilen bu adımdır. c Mandelbrot kümesinde.
Giriş
Kahn yüksek lisans öğrencisiyken hiperbolik geometri bilgisini probleme nasıl uygulayacağını düşünüyordu. Araştırması dikkat çekti ve yüksek lisans eğitiminin üçüncü yılında Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü'nde kadrolu bir işi kabul etti.
Her şey mükemmel bir şekilde sıralanmış gibi görünüyordu.
Ve sonra dondu.
Caltech'te yazamıyordu. Lisansüstü eğitiminde geçirdiği zamanın sonuçları vardı ama bilgisayar başına her oturduğunda sahip olduğu tüm irade gücünü kaybediyordu. "Yazma konusunda iyi değildim" dedi. “Yazmak için oturmakta bile iyi değildim. Bu yüzden yazılanları yazmıyordum. (O zamandan bu yana pek çok makale yayınlamış olmasına rağmen, bu ilk çalışmalarından bazılarını ancak yakın zamanda yayınlanmak üzere sunmuştur.)
Matematiksel dikkatini de odaklayamadı. “Bazen MLC veya P'ye karşı NP gibi gerçekten harika teoremleri kanıtlama isteğinin aşırı uçlarında kendimi kaybediyordum. Daha sonra gerçekliğe geri döneceğim” dedi. "Kaybolmuştum ve mutsuzdum."
Kahn, Caltech'te geçirdiği dört yıl boyunca tek bir makale bile yazmadı. İşini kaybetti.
Ve böylece, 1998 sonbaharında, 30 yaşının biraz altındayken, bir zamanlar gelecek vaat eden kariyeri paramparçayken, Kahn, New York'a, "Bir nevi evime geri döndüm" dedi.
Tavsiye almak için Milnor'u aradı. Milnor onu, Kahn'ın yüksek lisansta birkaç kez tanıştığı Lyubich'le yeniden temasa geçirmesini sağladı. Kahn, "Az önce Stony Brook'a geldim" dedi. “Misha inanılmaz derecede misafirperverdi.” İkili saatlerce matematik tartışırdı. Kahn, her zaman Lyubich'in evine gittiğini, ailesiyle akşam yemeği yediğini hatırlıyor; o sırada Lyubich ve karısının bir kızı olmuştu; daha sonra bir saniye daha geçireceklerdi ve çok geçmeden arkadaş olacaklardı. Kahn, "Beni gerçekten içine aldı" dedi. "O dünyaca ünlü bir matematikçiydi ve bana kayıp bir çocuk gibi değil, eşit biri gibi davrandı."
"Neredeyse benim için ikinci bir baba oldu" diye ekledi.
Lyubich, Kahn için Stony Brook'ta öğretmenlik görevi olmayan geçici bir pozisyon buldu. Lyubich, 1990'ların sonlarından 2000'lerin ortalarına kadar genç matematikçiye yardım etti. Lyubich Toronto Üniversitesi'nde bir yıl çalıştığında Kahn'a bir yer buldu; Stony Brook'a döndüğünde de aynısını yaptı. Kahn bir yıl boyunca bir hedge fonunda çalışmak üzere akademiyi bırakıp da bunun kendisine göre olmadığına karar verdiğinde, Lyubich ona bir kez daha yardım etti. Kahn'ın babasına kanser teşhisi konduğunda ve daha sonra öldüğünde Kahn çalışamaz hale geldi. Ama sonunda Lyubich'e geri döndü ve Lyubich onu memnuniyetle karşıladı.
Giriş
Lyubich'in bunu anlattığını duyunca Kahn'ın çok ilginç, bazen de parlak fikirleri olduğunu fark etti. Lyubich, "Aşması gereken bir psikolojik engeli vardı" dedi. “Bu yüzden onu mümkün olduğunca desteklemeye devam ettim.”
Her ne kadar Kahn bu yıllarda kendini hâlâ sık sık kaybolmuş hissetse de, o ve Lyubich, Kahn'ın "oldukça yoğun bir işbirliği" dediği şeyi geliştirdiler. Bu onu ayakta tuttu. İki matematikçi, renormalizasyona yönelik yaklaşımlarını birleştirdi ve bu da onların daha birçok parametre için MLC'yi kanıtlamalarına olanak sağladı.
Kahn, "Kariyerimin çöküşü bana Misha'yı takip etme ve bu işi halletme fırsatı verdi" dedi. "Bu, kasıtlı olarak değil, aslında bu teoremleri kanıtlamak adına yaşamın pek çok unsurunu ertelemekteydi."
Kahn ve Lyubich'in çalışması, renormalizasyon teorisinde ve MLC'de büyük bir atılımı işaret ediyordu. Ancak Lyubich, "Mandelbrot kümesi son derece aldatıcıdır" dedi, çünkü tam olarak kendine benzer değil ve farklı türden kendine benzerlikler sergiliyor. Avila'nın belirttiği gibi, "içinde hareket ettikçe farklı kişiliklere sahip oluyor." Bu farklı öz-benzerlik türleri çok farklı dinamiklere karşılık gelir ve bu nedenle bir ölçeği diğeriyle ilişkilendirmek için farklı türde yeniden normalleştirme gerektirir.
Kahn ve Lyubich bir tür geliştirmişlerdi ama tekniklerini ellerinden geldiğince ileri götürmüşlerdi. Mukherjee, "Duvara çarptılar ve duvara çarpacaklarını biliyorlardı" dedi.
Mandelbrot kümesinin diğer bölümleri için MLC'yi kanıtlamak için, benzer türde bir geometrik kontrol elde etmeleri, ancak başka türde veya türde yeniden normalleştirme kullanmaları gerekir.
Kahn ve Lyubich ise en iyi nasıl ilerlenecekleri konusunda anlaşamadılar.
İlerleme durdu.
Giriş
Her biri başka sorunlar üzerinde çalışmaya başladı. Kahn hiperbolik geometriye geri döndü. Lyubich, MLC çalışmasını karmaşık dinamiğin diğer bölümlerine (ve hatta fizikteki sorulara) uygulayabilmenin yollarını düşündü.
2004 yılında Stony Brook Matematik Bilimleri Enstitüsü'nün müdürü olan Lyubich, "İşte bu nedenle, bir bakıma asla sıkışıp kalmıyorsunuz" dedi. “Yarın birisi tüm durumlarda MLC'nin tek satırlık bir kanıtını bulursa, bu daha önce yaptığımız her şeyi yok eder mi? Hayır. Bu tekniğe dayanan pek çok sorun var.”
MLC cephesinde işler bu kadar sorunsuz ilerlemiyor gibi göründüğünde asla hayal kırıklığına uğramamasının nedenlerinden biri de bu. "MLC'deki her adım diğer birçok soruna kapı açıyor" dedi.
Bu arada Kahn hiperbolik geometride önemli ilerlemeler kaydetti. Görev süresi teklifleri gelmeye başladı. Yeni bir başlangıç yapma umuduyla 2011 yılında Brown Üniversitesi'nde profesörlük yapmak üzere Providence, Rhode Island'a taşındı.
Ne Lyubich ne de Kahn MLC'yi düşünmeyi bıraktılar ama kendi sorumluluklarıyla meşgul olarak birbirlerinden ayrıldılar.
Karmaşık dinamikler üzerinde çalışan diğer matematikçiler, Mandelbrot kümesinden daha karmaşık parametre uzaylarına ve karmaşık dinamikler ile sayılar teorisi arasındaki bağlantıya odaklanarak farklı yönlerde ilerlemeye başladılar.
Ancak son yıllarda Lyubich ve Kahn'ın her biri çırak aldılar ve MLC'yi kanıtlama çabalarını yenilediler.
Meydan Okumak
Yaklaşık on yıl önce Lyubich, Dima Dudko ile çalışmaya başladı.
Dudko, 1980'lerde Belarus'ta büyüdü; burada matematik yeteneği, etrafındakiler tarafından hızla fark edildi. (Kahn yaşlandıktan 15 yıl sonra Uluslararası Matematik Olimpiyatlarında Belarus'u temsil etti. Kahn gibi o da altın madalya kazandı.) Daha sonra, Almanya'da yüksek lisans öğrencisiyken danışmanı, Dudko'nun kendi projesi için hangi problem üzerinde çalışması gerektiği konusunda Lyubich'e danıştı. tez. Mandelbrot kümesiyle ilgili Dudko'nun yanıtlamasını beklemedikleri bir soruya karar verdiler. Açıklama MLC'den otomatik olarak gelecektir; MLC'nin ona yardımı olmadan bu konuda en iyi ihtimalle kısmi ilerleme kaydedebileceğini düşündüler.
Dudko, MLC'yi aşmanın bir yolunu buldu ve sorunu tamamen çözdü.
Giriş
2012 yılında yüksek lisans programını tamamladıktan sonra Almanya'da doktora sonrası araştırmacı olarak çalışmaya devam etti ve aynı zamanda Lyubich ile işbirliği yapmaya da başladı. Üçüncü bir matematikçiyle, Nikita Selinger Birmingham Alabama Üniversitesi'nden yeni bir yeniden normalleştirme teorisi geliştirdiler. Lyubich ve Dudko daha sonra bunu, MLC'nin Mandelbrot kümesindeki en zor, sonsuz şekilde yeniden normalleştirilebilir parametrelerden bazıları için geçerli olduğunu göstermek için kullandılar; bunlar tam olarak Lyubich ve Kahn'ın yöntemlerinin uygulanamadığı parametrelerdi. (Lyubich'in eski öğrencisi Davoud Cheraghi ve Kyoto Üniversitesi'nden Mitsuhiro Shishikura da bu olağanüstü vakalardan bazılarını ele alacak teknikler geliştiriyorlar.)
Lyubich, "Bu dava o kadar farklı ki birkaç on yıl daha sürdü" dedi. Aynı zamanda bazı orijinal düşünceler de gerektirdi. Danimarka'da Lyubich ile birlikte son MLC seminerine liderlik eden Dudko, bölgede bir yıldız olarak görülüyor ve olaylara ilgi çekici bir bakış açısına sahip. Bu belki de en iyi şekilde, Mandelbrot kümesini çoğu matematikçinin çizme eğiliminde olduğu dairelerden ziyade bir grup kare şeklinde çizmesiyle açıklanabilir.
Lyubich, "Bu sorunları çözmenin mümkün olması beni şaşırttı" dedi. "Son zamanlarda yaptığımız şey, daha önce yaptığım her şeyin ötesine geçiyor."
Tüm bu sonuçları tek bir yerde toplamak amacıyla Lyubich, Mandelbrot kümesi, MLC ve karmaşık dinamiklerle ilgili çalışmalar hakkında bir dizi ders kitabı yazıyor. Şu ana kadar planlanan dört ciltten ikisine bölünmüş 700'den fazla sayfa üretti. "Umarım 4. cildi bitirdiğimde MLC orada olur" dedi.
Lyubich gibi Kahn da daha genç bir himaye bulmuştur. Alex Kapiamba'yı işe alma fikri Kahn'a ilk kez bir rüyada geldi. 2019'da bir konferanstaydı. Birkaç aydır o, Lyubich ve Dudko, MLC'deki ilerlemeyi tartışmak için düzenli olarak buluşuyorlardı; bu, üçünün otobüste olduğu rüyaya anında yansıyan bir şeydi. Kahn, "Sonra dördüncü kişinin otobüse bindiğini görüyorum ve aslında tüm rüya da bu," dedi. "Sonra uyandım ve sanki Alex Kapiamba bu dördüncü kişiymiş gibi hissediyorum."
Ertesi gün araştırmasını tartışmak için Kapiamba ile bir buluşma ayarladı. Kapiamba şu anda Brown'da doktora sonrası araştırmacı olarak Kahn'ın yanında çalışıyor ve sonbaharda Harvard'a taşınacak.
Geçen yıl Kapiamba'yla tanıştığımda kolu askıdaydı; birkaç gün önce Ultimate Frizbi oynarken omzunu çıkarmıştı. (Lisansüstü eğitiminde Detroit Mechanix'te yarı profesyonel olarak oynadı ve kulüp liginde oynamaya devam ediyor.) MLC çabalarına ne kadar katkıda bulunabileceğini düşündüğü konusunda mütevazı davrandı. "Bu biraz korkutucu" dedi. “Kesinlikle sahtekarlık sendromu hissediyorum.”
"Sadece içeri girip çok geç olmadan biraz şey yapmak istiyorum" diye ekledi.
Giriş
Kapiamba matematik okumak için yola çıkmamıştı. Ohio'daki Oberlin College'da lisans öğrencisiyken biyokimya bölümü olarak başladı; Matematiğe olan ilgisi ancak üçüncü sınıfın sonunda topoloji dersi aldıktan sonra başladı. Kapiamba, "Biyokimyada gerçekten sevdiğim şey şeylerin yapısını anlamaktı" dedi. “Ve matematik aslında yapıyı en yalın haliyle incelemeye çalışıyor. Gerçekten keyif aldığım biyoloji veya kimya bölümlerinin saf bir forma dönüştürüldüğünü hissettim. Sadece o kısmı yapabilirim.
2014 yılında mezun olduktan sonra ne yapmak istediğinden emin değildi. Ailesine yakın olmak için Washington DC'ye taşındı ve bir fırında ve öğretmen olarak iş buldu. Bu süre zarfında matematik alanında kariyer yapmayı düşünmeye başladı. Kısa süre sonra aşçılık işini bıraktı ve sonraki iki yıl boyunca, kendi zamanında yüksek düzey matematik çalışırken ders vermeye devam etti; lisans yıllarında öğrendiği materyalleri gözden geçirerek (“farklı bir bakış açısı elde etmek için,” dedi) ve çevrimiçi kurslar alıyor. "Kendimi çok hazırlıklı hissetmek istedim" dedi. 2016 yılında Michigan Üniversitesi'nde yüksek lisans programına kaydoldu.
Bir yüksek lisans öğrencisi olarak, sığ bir vadiden bir fil geçidinin yürüdüğü ana kardiyoitin zirvesine yakın bir yerde bulunan Mandelbrot'un geometrisiyle ilgili bir soru üzerinde çalışmaya başladı. Vadiye yaklaştıkça filler birbirine yaklaşıyor gibi görünüyor. Vadinin en derin noktasına yaklaştıkça filler arasındaki mesafenin sıfıra ineceği tahmin ediliyor. Kapiamba, benim görmem için filleri yakınlaştırdığı bilgisayar ekranını işaret ederek, "Açıkçası şöyleydim" dedi. Gerçekten dokunuyormuş gibi görünüyorlardı.
Argümanının önemli bir kısmı eski bir doktora tezi makalesinde yapılan hazırlıksız bir açıklamaya dayanıyordu. Tamamen Fransızca yazılan 73 sayfalık tez 1989'da tamamlandı ancak hiçbir zaman yayınlanmadı. Yazarı, çözmeyi umduğu problem olan MLC ile ilgili hayal kırıklığına uğrayıp hayal kırıklığına uğradıktan sonra sadece bir yıl sonra matematiği bırakmıştı.
Giriş
Kapiamba, liseden tanıdığı Fransızcaya ve Google Çeviri'ye güvenerek, saatin gece yarısını çoktan geçtiğini fark etmeden çoğu zaman sayfaların içinde kaybolarak metni taradı. Fransızca konuşacak şekilde yetiştirilmediğinden yakınıyordu. Hem Demokratik Kongo Cumhuriyeti'nden olan babası hem de Barış Gönüllüleri'nde görev yaparken onunla orada tanışan annesi dili akıcı bir şekilde konuşuyordu. Ancak çift, Kapiamba'nın doğmasından kısa bir süre önce Maryland'e taşınmıştı ve babasının mümkün olduğu kadar çabuk İngilizce öğrenmesine yardımcı olmak amacıyla evde yalnızca İngilizce konuşuyorlardı.
Sonunda Kapiamba tez makalesinin mantığındaki bazı adımları kavramakta başarısız olmadığını fark etti. Yazarı bir hata yapmıştı. İddiası muhtemelen doğruydu ancak arkasındaki mantık geçerli değildi. Ve böylece Kapiamba, hatayı düzeltmeye odaklandı.
Ekmeğin kabarmasını beklediği gibi her şeyin kaynamasına izin verdi. (Hala zihnini odaklamak için yemek pişiriyor. Elleriyle bir şeyler yapma fırsatının ona verdiği fırsatın tadını çıkarıyor.) Sonraki birkaç yıl içinde nihayet kanıtı buldu. Bunu yapabilmek için, Yoccoz'un orijinal MLC kanıtında kullandığı, fillerin büyüklüğüne ilişkin bir teoremi güçlendirmek zorundaydı.
Çalışma, karmaşık dinamikler topluluğunu tamamen şaşırttı. Bilgisayar görüntüleri, Mandelbrot kümesinin belirli bölgelerinin Yoccoz'un teoreminin önerdiğinden çok daha hızlı küçüldüğünü gösteriyordu, bu da onun ifadesinin güçlendirilebileceği anlamına geliyordu. Kapiamba, "Eğer sadece birkaç resim çizip onlara bakarsanız, Yoccoz'un bize verdiği sınırlamanın çok ama çok kötü olduğunu görebilirsiniz" dedi. Ancak hiç kimse bunu iyileştirmeyi başaramadı.
Kapiamba'ya kadar. Çalışmaları yalnızca Mandelbrot kümesindeki belirli bölgeler için geçerliydi; matematikçiler Yoccoz'un ifadesinin daha güçlü versiyonunun tüm set için gösterilebileceğini umuyorlar. Benini buna rağmen "insanlar gerçekten heyecanlandı" dedi. “Bunun üzerinde çalışan herkes bunun doğru olması gerektiğini biliyor; sadece bunu nasıl kanıtlayacaklarını bilmiyorlardı.”
Lomonaco ve diğer matematikçiler Kapiamba'nın sonucunu kendi teoremlerini kanıtlamak için zaten kullandılar. Ancak aynı zamanda MLC'nin gelecekteki kanıtlarında potansiyel bir temel taşı olarak da görülüyor.
Bir Laboratuvar ve Bir Kılavuz
Geçen yılki konferans, matematikçilerin Danimarka'daki eski askeri üste toplanacağı son seferdi. Atölye serisine sponsor olan Roskilde Üniversitesi bu yıl mekânın kira sözleşmesinden vazgeçti.
Lyubich, Kahn, Dudko ve Kapiamba, MLC'yi nihayet kanıtlamak için farklı yaklaşımlarını birleştirebilirse, bu başka bir dönemin sonuna işaret edecek; Mandelbrot, Hubbard ve Douady'nin fraktalın bilgisayar ekranlarında göründüğünü ilk kez görmesiyle başlayan bir dönem.
Giriş
Mandelbrot kümesinin son yarım yüzyıldaki keşfi, bilgisayar grafiklerinin gelişmesiyle mümkün oldu. Fraktalı oluşturan matematik basittir: Gerçekten yalnızca nasıl toplanıp çarpılacağını bilmeniz yeterlidir. Ancak seti meşhur eden çizimler elle yapılmış olamazdı. Bu kolay hesaplamaları milyonlarca kez gerçekleştirmeye güvendiler; bu, bilgisayarlar olmadan mümkün olmayan bir şeydi.
Prensip olarak ileri görüşlü bir matematikçi yüzlerce yıl önce setin anlık görüntüsünü aklında tutmuş olabilir. Ancak tarihin gelişimi sırasında, deha bazen ufukta görünse de, teknoloji hayal edilebilecek şeyleri değiştirmiştir. Buff, örneğin Fatou'nun "Mandelbrot kümesini görmeden varsayımlar formüle edebildiğini" söyledi. Ancak Fatou ancak bu kadar ileri gidebildi. Hayal gücü ne kadar güçlü olursa olsun, Mandelbrot setinin altında onun için erişilemez olan, ancak bugün ortalama bir insanın kolayca görebildiği bir zenginlik dünyası var.
Lyubich işlerinde bilgisayar kullanma eğiliminde değil. "Düşünme tarzım oldukça görsel" dedi. “Çok geometrik. Ben resimler açısından düşünüyorum; ama elle veya aklımda az çok ilkel resimler çiziyorum. Bilgisayarları asla önemli bir şekilde kullanmıyorum. (Belki de göç etmeden önce Leningrad'da kısa bir süre yürüttüğü programlama işinin suç olduğunu söyleyerek şaka yapıyor. "Beni tiksindirdi" dedi.) Yine de hesaplamalarla dolu bir dünyada yaşıyor. Özbekistan'ın pamuk tarlalarında o da ancak hayal gücünün çılgına dönmesine izin vererek bu kadar ileri gidebildi. 1980'lerde mevcut bilgisayarları kullanarak, "Bir sonraki derinlik seviyesini görenler Douady ve Hubbard'dı" dedi. O zamandan beri Lyubich, işbirlikçilerinin bilgisayarları bir laboratuvar ve bir rehber olarak kullandığını gördü. Milnor'la ortak makalesinde, Milnor'un kanıtlarını doğru yöne yönlendirmeye yardımcı olmak için çeşitli bilgisayar deneyleri yaptığını hatırlıyor. Ve Dudko, Lyubich'le çalışırken tekrar tekrar bilgisayara dönüyor. Lyubich, "Gördüklerini yorumlamada, bu resimleri matematiksel dile çevirmede ve çok derin varsayımlar formüle etmede çok başarılı" dedi.
Galileo, Jüpiter'in uydularını yalnızca gördüklerini anlamlandıracak doğru teoriyi geliştirdiği için değil, aynı zamanda bir teleskopa sahip olduğu için keşfetti. Benzer şekilde, matematiksel evrenin, teknolojik değişim onları görünür hale getirene kadar gizli kalan geniş bir alanı vardır. Jüpiter'in uydularının gözlerinizi kısarak ayırt edilememesi gibi, onlar da artık saf düşünceyle keşfedilemez.
Eğer 1970'li ve 80'li yılların hesaplamalı devrimi Mandelbrot kıtasını keşiflere açtıysa, bugün matematikçiler buna benzer başka bir dönüm noktasının eşiğinde olabilirler. Yapay zeka, temel varsayımları formüle etmek ve önemli matematiksel sonuçları kanıtlamak için henüz yeni kullanılmaya başlıyor. Potansiyelini güvenle ölçmek zor, belki de imkansızdır. (“Mandelbrot kümesinin etrafında yakınlaşmak için bir sinir ağını eğitmeye çalışmalıyız,” diye şaka yaptı Kapiamba.) Ancak Mandelbrot kümesinin hikayesi matematikçilerin teknolojinin açtığı bir manzarayı araştırmak için saf düşünceyi nasıl kullanabileceğinden biriyse , bir sonraki bölümün yazılması gerekiyor.
Mandelbrot bir keresinde şöyle demişti: "Hayal gücümün tüm bu olağanüstü şeyleri icat edecek kadar zengin olduğu hissine hiç kapılmadım." "Daha önce kimse onları görmemiş olsa da oradaydılar."
- SEO Destekli İçerik ve Halkla İlişkiler Dağıtımı. Bugün Gücünüzü Artırın.
- PlatoData.Network Dikey Üretken Yapay Zeka. Kendine güç ver. Buradan Erişin.
- PlatoAiStream. Web3 Zekası. Bilgi Genişletildi. Buradan Erişin.
- PlatoESG. karbon, temiz teknoloji, Enerji, Çevre, Güneş, Atık Yönetimi. Buradan Erişin.
- PlatoSağlık. Biyoteknoloji ve Klinik Araştırmalar Zekası. Buradan Erişin.
- Kaynak: https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/
- :vardır
- :dır-dir
- :olumsuzluk
- :Neresi
- ][P
- $ 1 milyon
- $UP
- 000
- 10
- 13
- 15 yıl
- İNDİRİM
- 1985
- 1998
- 19th
- 20
- 20 yıl
- 200
- 2011
- 2012
- 2014
- 2016
- 2019
- 2023
- 22
- 30
- 40
- 60
- 700
- a
- Yapabilmek
- Hakkımızda
- ÖZET
- AC
- Akademi
- akademik
- Akademi
- kabul edilen
- erişim
- Göre
- elde
- karşısında
- aktif
- eylemler
- aslında
- eklemek
- katma
- Ek
- Ek Bilgi
- adres
- adresleme
- ileri
- gelişmeler
- tavsiye
- danışman
- savunucu
- Sonra
- tekrar
- yaş
- yaşlı
- önce
- tarım
- önde
- HAVA
- alabama
- alex
- Türkiye
- izin
- veriyor
- neredeyse
- tek başına
- boyunca
- yanında
- zaten
- Ayrıca
- her zaman
- şaşırtıcı
- Amerikan
- arasında
- tutarları
- an
- analiz
- çözümlemek
- analiz
- ve
- açıkladı
- Başka
- cevap
- yanıtlama
- cevaplar
- beklenen
- herhangi
- kimse
- bir şey
- ayrı
- Daire
- görünmek
- çıktı
- görünen
- Uygulama
- uygulamalı
- Tamam
- Uygulanması
- döşenmiş
- yaklaşım
- yaklaşımlar
- Arktik
- ARE
- ALAN
- alanlar
- tartışmasız
- tartışma
- yükselme
- ARM
- silahlı
- ordu
- etrafında
- düzenlenmiş
- varış
- geldi
- Sanat
- Arthur
- yapay
- yapay zeka
- AS
- sormak
- sordu
- soran
- yönleri
- ilişkili
- astronomi
- At
- katılmak
- katılımcılar
- katılıyor
- Dikkat
- çeker
- izleyici
- Ağustos
- yazar
- Yazarlar
- otomatik olarak
- mevcut
- ortalama
- layık
- uzakta
- Bebek
- Arka
- Omurga
- Kötü
- fırınlama
- bariyer
- baz
- merkezli
- temel
- temel olarak
- BE
- Ayı
- güzel
- Güzellik
- oldu
- Çünkü
- müşterimiz
- olur
- olma
- olmuştur
- önce
- başladı
- Başlangıç
- başladı
- davranmak
- davranış
- davranışları
- arkasında
- olmak
- Belarus
- Berkeley
- İYİ
- en iyi satış
- Daha iyi
- arasında
- Ötesinde
- Büyük
- Biggest
- Biyoloji
- Birmingham
- Bit
- Engellemek
- Blokları
- bolstered
- kitap
- Kitaplar
- sınır
- doğmuş
- boston
- Boston Üniversitesi
- her ikisi de
- Sıçrama
- bağlı
- ikramiye
- dalları
- cesur
- Brezilya
- Ekmek
- mola
- buluş
- kısaca
- parlak
- Bringing
- Daha geniş
- geniş
- Kırık
- getirdi
- kahverengi
- Brown Üniversitesi
- devetüyü rengi
- inşa etmek
- bina
- yapılı
- Demet
- otobüs
- meşgul
- fakat
- by
- hesaplamalar
- Kaliforniya
- denilen
- aramalar
- geldi
- Kamp
- CAN
- Kanser
- yapamam
- Yakalanan
- Kariyer
- kariyer
- dikkatli
- dikkatlice
- taşıma
- şelaleler
- dava
- durumlarda
- katalog
- kataloglar
- Sebeb olmak
- çimentolu
- Merkez
- merkezi
- Yüzyıl
- belli
- şans
- değişiklik
- değişmiş
- değiştirme
- Kaos
- bölüm
- nitelendirmek
- kimya
- Kimyagerin
- çocuk
- seçilmiş
- Daire
- çevreler
- Şehir
- iddia
- sınıf
- açık
- Açıkça
- saat
- Kapanış
- yakın
- Kapatır
- En yakın
- kulüp
- Sahil
- icat
- işbirliği
- işbirliği
- işbirliği
- işbirlikçiler
- Çöküş
- arkadaşları
- Kolej
- renk
- Columbia
- birleştirmek
- nasıl
- geliyor
- gelecek
- Yakın İletişim
- topluluk
- karşılaştırmak
- rekabet
- Yarışmalar
- derlenmiş
- tamamlamak
- Tamamlandı
- tamamen
- tamamladıktan
- karmaşık
- karmaşık
- kapsamlı
- hesaplama
- bilişimsel
- hesaplamalar
- bilgisayar
- bilgisayar grafikleri
- bilgisayar ekranı
- bilgisayar tarafından oluşturulan
- bilgisayarlar
- bilgisayar
- işlem gücü
- kavram
- gebe kalma
- kavramlar
- İlgilendirmek
- konserler
- beton
- Konferans
- güven
- Kongo
- varsayım
- Sosyal medya
- bağlı
- bağ
- Bağlantılar
- Bağlantı
- sonuç
- Düşünmek
- önemli
- kabul
- oluşturmak
- UAF ile
- bağlamlar
- kıta
- devam etmek
- devam
- devam ediyor
- katkıda bulunmak
- katkıları
- kontrol
- yakınsamak
- konuşma
- Kopenhag
- kopyalar
- çekirdek
- Cornell
- Köşe
- köşeleri
- kolordu
- doğru
- uyan
- olabilir
- saymak
- Çift
- kurs
- dersler
- kapak
- kaplı
- yaratmak
- yaratıcı
- kredi
- geçit
- çok önemli
- ham
- ağlayan
- Kültür
- akım
- Şu anda
- perde
- doruk
- kesim
- DC
- hasar
- Danimarkalı
- karanlık
- veri
- David
- gün
- Günler
- ölü
- anlaşma
- Fırsatlar
- tartışma
- onyıl
- yıl
- karar vermek
- karar
- adanmış
- adanmış
- derin
- derin
- en derin
- derinden
- kesinlikle
- tanımları
- teslim edilen
- demokratik
- Danimarka
- bağlı
- bağlıdır
- resmeden
- derinlik
- tanımlamak
- açıklar
- tanım
- Rağmen
- ayrıntı
- detaylandırma
- geliştirmek
- gelişmiş
- gelişen
- gelişme
- DID
- öldü
- farklı
- zor
- akşam yemeği
- yön
- direkt olarak
- yönetmen
- kaybolmak
- disiplin
- bağlantısız
- keşfetmek
- keşfetti
- keşif
- tartışmak
- tartışmalar
- çılgınlık
- mesafe
- farklı
- ayırmak
- seçkin
- dağıtıldı
- bölünmüş
- Baş döndürücü
- do
- dok
- Doktorlar
- belge
- belgesel
- yok
- Değil
- yapıyor
- dolar
- domain
- hükmetmek
- yapılmış
- Dont
- yurt
- DOT
- şüphe
- aşağı
- çekmek
- Çizimler
- rüya
- tahrik
- dublajlı
- gereken
- sırasında
- Toz
- dinamik
- her
- istekli
- Daha erken
- Erken
- kolaylaştırmak
- kolay
- ekonomi bilimi
- ekonomisini
- Efekt
- çaba
- çabaları
- ya
- ayrıntılı
- eleman
- elemanları
- gidermek
- Eliptik
- E-posta
- çıkmak
- ortaya
- ortaya
- vurgu
- etkinleştirmek
- karşılaşma
- teşvik
- son
- sona erdi
- Sonsuz
- enerji
- İngilizce
- zevk
- yeterli
- Çalışmaya dahil edilen
- girdi
- Tüm
- Baştan sona
- giriş
- eşit
- denklemler
- çağ
- hata
- kaçış
- esasen
- kurulmuş
- Ethos
- Hatta
- akşam
- sonunda
- hİÇ
- Her
- her gün
- her şey
- her yerde
- gelişmek
- kesinlikle
- sınav
- örnek
- örnekler
- Dışında
- değiş tokuş
- uyarılmış
- heyecan verici
- örneklenen
- sergileyen
- beklemek
- deneme
- deneysel
- deneyler
- uzman
- Açıklamak
- keşif
- keşfetmek
- Kaşifler
- genişletilmiş
- kapsam
- ekstra
- olağanüstü
- son derece
- aşırı
- göz
- Gözler
- Ezra
- Yüz
- Tesis
- başarısız
- Düşmek
- ünlü
- tanıdık
- Aşinalık
- aile
- ünlü
- fanlar
- uzak
- Daha hızlı
- mümkün
- Özellikler
- Şubat
- hissetmek
- duygu
- hissediyor
- Ayaklar
- adam
- hata
- az
- Fibonacci
- Kurgu
- alan
- Alanlar
- sert
- Figürlü
- eğe talaşı
- doldurmak
- son
- Nihayet
- bulmak
- bitiş
- Ad
- ilk temas
- ilk kez
- beş
- sabit
- esnek
- yüzer
- Kat
- akış
- odak
- odaklanmış
- odaklanma
- takip et
- takip etme
- İçin
- Zorla
- başta
- sonsuza dek
- demirhane
- Airdrop Formu
- resmi
- Eski
- formül
- şanslı
- bulundu
- Temeller
- Kurucuları
- dört
- Dördüncü
- kesirli
- parçalanmış
- Fransa
- Ücretsiz
- Özgür irade
- Freedom
- Fransızca
- sık
- taze
- arkadaşlar
- itibaren
- ön
- hayal kırıklığına uğramış
- tam
- tamamen
- işlev
- fonksiyonlar
- fon
- temel
- esasen
- daha fazla
- gelecek
- kazandı
- kazanma
- Galaksiler
- topladı
- toplamak
- toplanmış
- ölçü
- verdi
- genel
- genellikle
- oluşturmak
- üretir
- üreten
- nesil
- nesiller
- cömert
- deha
- Jeot
- geometri
- Almanya
- almak
- alma
- devleri
- Vermek
- verilmiş
- verir
- Verilmesi
- belirti
- Go
- Goes
- gidiş
- Altın
- gitmiş
- Tercih Etmenizin
- google Çevir
- var
- kapmak
- sınıf
- mezun
- büyük
- grafik
- grafik
- kavramak
- harika
- büyük
- büyüdü
- topraklı
- grup
- Büyüyen
- Konuk
- rehberlik
- alışkanlık
- vardı
- Yarım
- el
- avuç
- Eller
- olmak
- olmuş
- olay
- olur
- mutlu
- Zor
- Uyum
- Harvard
- Harvard Üniversitesi
- Var
- sahip olan
- he
- kafalar
- Sağlık
- duymak
- çit
- Fon korunmak
- Held
- yardım et
- yardım
- okuyun
- kararsız
- Gizli
- Yüksek
- yüksek profilli
- en yüksek
- onu
- kendisi
- onun
- tarih
- vurmak
- ambar
- tutar
- Ana Sayfa
- onur
- umut
- umut
- ufuk
- Hastane
- ev sahibi
- SAAT
- ev
- Ne kadar
- Nasıl Yapılır
- Ancak
- HTML
- http
- HTTPS
- Kocaman
- alçakgönüllü
- yüz
- Yüzlerce
- i
- IBM
- ikonik
- Fikir
- fikirler
- if
- örneklemek
- görüntü
- görüntüleri
- hayali
- hayal gücü
- resim
- hayal
- hemen
- imparatorluk
- Imperial College
- Imperial College London
- etkileri
- önemli
- imkânsız
- iyileştirmek
- in
- Diğer
- erişilemez
- Dahil olmak üzere
- Gelir
- inanılmaz
- bağımsız
- bağımsız
- Hindistan
- Indiana
- belirtilen
- Bireysel olarak
- Sonsuzluk
- etkilenmiş
- bilgi
- bilgi
- başlangıçta
- hasar
- giriş
- içeride
- ilham
- ilham vermek
- ilham
- örnek
- anında
- yerine
- Enstitü
- kurumları
- talimatlar
- İstihbarat
- niyet
- etkileşime
- faiz
- ilgili
- ilginç
- ilgi alanları
- iç
- Uluslararası
- kesilmiş
- yakından
- içine
- karmaşık
- ilgi çekici
- Giriş
- soruşturma
- davet
- ilgili
- içerir
- ada
- Ada
- yalıtılmış
- konu
- IT
- İtalya
- tekrarlama
- ONUN
- kendisi
- james
- Yahudi
- İş
- Mesleki Öğretiler
- John
- ortak
- seyahat
- julia
- Jüpiter
- sadece
- sadece bir
- tutmak
- tuttu
- anahtar
- Nezaket.
- Bilmek
- bilme
- bilgi
- bilinen
- bilir
- emek
- laboratuvar
- manzara
- manzara
- dil
- büyük
- büyük
- Soyad
- Geçen yıl
- Geç
- sonra
- öncülük etmek
- Lig
- ÖĞRENİN
- öğrendim
- öğrenme
- Ayrılmak
- ayrılma
- dersler
- Led
- sol
- az
- izin
- icar
- seviye
- yalan
- hayat
- kaldırma
- sevmek
- Muhtemelen
- Sınırlı
- dingil çivisi
- çizgi
- astarlı
- astar
- LINK
- aslan
- dinler
- Listeler
- edebi
- küçük
- yaşamak
- Yaşıyor
- yaşayan
- yerel
- lokal olarak
- yer
- mantık
- London
- Uzun
- sürüncemede kalan
- uzun
- Bakın
- gibi görünmek
- baktı
- bakıyor
- kaybetmek
- kaybetme
- kayıp
- Çok
- bir sürü
- yüksek sesle
- Aşk
- şans
- Luna
- makinalar
- yapılmış
- dergi
- Ana
- büyük
- yapmak
- YAPAR
- Yapımı
- adam
- çok
- harita
- Mart
- işaret
- işaretlenmiş
- Maryland
- masif
- usta
- yüksek lisans
- malzeme
- matematik
- matematiksel
- matematik
- Mesele
- olabilir
- me
- yemek
- ortalama
- anlam
- anlamlı
- mekanik
- Madalya
- tıbbi
- Neden
- toplantı
- Fazilet
- mesaj
- araya geldi
- yöntemleri
- Michigan
- Mikroskop
- Orta
- gece yarısı
- olabilir
- Askeri
- milyon
- milyonlarca
- akla
- eksik
- hata
- hataları
- Modern
- mütevazi
- an
- ay
- Moons
- Daha
- Moskova
- çoğu
- anne
- motive
- hareket
- taşındı
- hareketler
- hareketli
- çok
- çok ihtiyaç duyulan
- Mukherjee
- çoklu
- şart
- my
- kendim
- isim
- adlı
- anlatımlı
- oluşmaya başlayan
- ulusal
- Doğal (Madenden)
- Tabiat
- Gezin
- yakın
- neredeyse
- gerek
- gerekli
- Nest
- ağ
- sinirsel
- sinir ağı
- asla
- yine de
- yeni
- New York
- new york city
- en yeni
- sonraki
- niş
- nicolas
- yok hayır
- ne de
- Kuzey
- notlar
- notlar
- hiçbir şey değil
- kavram
- Kasım
- şimdi
- numara
- sayılar
- sayısal
- nesneler
- gözlemler
- gözlemek
- engel
- elde
- Açık
- Ekim
- of
- kapalı
- teklif
- sunulan
- Teklifler
- subay
- sık sık
- oh
- Ohio
- Eski
- on
- bir Zamanlar
- ONE
- olanlar
- Online
- bir tek
- üstüne
- açık
- açıldı
- açma
- Fırsat
- karşı
- karşısında
- Iyimser
- or
- sözlü
- delicesine aşık
- sipariş
- Düzenlenmiş
- orijinal
- Diğer
- Diğer
- aksi takdirde
- bizim
- dışarı
- taslak
- çıktı
- dışında
- ödenmemiş
- tekrar
- Üstesinden gelmek
- kendi
- sayfaları
- resimler
- kâğıt
- kâğıtlar
- evrak
- Paradoks
- parametre
- parametreler
- Bölüm
- Katılımcılar
- katıldı
- belirli
- özellikle
- partiler
- parçalar
- geçti
- geçmiş
- yol
- model
- desen
- barış
- İnsanlar
- kusursuzca
- yapmak
- yapılan
- belki
- sebat
- kişi
- Kişilikler
- perspektif
- Peter
- PETERSBURG
- faz
- fenomen
- felsefe
- Fotoğraflar
- fiziksel
- Fizik
- toplama
- resim
- Fotoğraf Galerisi
- parça
- parçalar
- Pierre
- Pillar
- yer
- Yerler
- düzlem
- Gezegenler
- planlanmış
- bitkiler
- Platon
- Plato Veri Zekası
- PlatoVeri
- OYNA
- oynandı
- oyuncular
- oynama
- arsa
- fiş
- cepler
- şiir
- Nokta
- noktaları
- politikaları
- yoksul
- pop
- Popüler
- ortaya
- pozisyon
- mümkün
- belki
- postdoc'lar
- afiş
- potansiyel
- pound
- güç kelimesini seçerim
- güçlü
- pratikte
- tam
- Hassas
- tahmin
- hazırlanmış
- varlık
- mevcut
- prestijli
- güzel
- Önceden
- fiyat
- asal
- ilkel
- prensip
- ödül
- Sorun
- sorunlar
- prosedür
- devam etmek
- süreç
- işlenmiş
- üretmek
- Üretilmiş
- profesör
- derin
- Programı
- Programcı
- Programlama
- Programlar
- Ilerleme
- ilerleyen
- proje
- Projeler
- umut verici
- kanıt
- ispatları
- özellikleri
- özellik
- olasılık
- Kanıtlamak
- kanıtladı
- sağlama
- kanıtlama
- kahramanlık
- psikolojik
- halka açık
- Yayın
- yayınlamak
- yayınlanan
- takip etmek
- takip
- Itmek
- itti
- koymak
- koymak
- ikinci dereceden
- Quanta dergisi
- Kuantum
- arayışı
- soru
- Sorular
- Hızlı
- hızla
- sessizce
- oldukça
- alıntı yapmak
- yükseltilmiş
- rasgele
- hızla
- NADİR
- daha doğrusu
- ulaşmak
- uzanarak almak
- Okumak
- okuyucular
- kolayca
- gerçek
- Gerçeklik
- fark
- fark
- Gerçekten mi
- alan
- neden
- Alınan
- son
- geçenlerde
- tanınan
- Kurtarmak
- askere alma
- ifade eder
- yansıtılan
- mülteci
- mülteciler
- saymak
- bölge
- bölgeler
- düzenli
- Reddedilmiş..
- ilgili
- güvenmek
- güvenerek
- kalmak
- kalmıştır
- kalan
- kalıntılar
- Rönesans
- yenilenmiş
- onarım
- tekrarlanan
- yerine
- temsil etmek
- temsil
- temsil
- cumhuriyet
- ün
- isteklerinizi
- gerektirir
- gereklidir
- gereklilik
- araştırma
- Araştırmacılar
- yanıt
- sorumlulukları
- sorumlu
- DİNLENME
- sonuç
- Sonuçlar
- dönen
- İade
- Açığa
- gözden
- Devrim
- Ödüllendirmek
- Zengin
- delik deşik
- krallar gibi yaşamaya
- titiz
- Yükselmek
- Riskli
- ROBERT
- Rol
- oda
- Odalar
- kök
- SIRA
- Kural
- kurallar
- koşmak
- Rusça
- s
- Adı geçen
- uğruna
- aynı
- testere
- söylemek
- ölçek
- terazi
- Okul
- bilimkurgu
- Bilim
- BİLİMLERİ
- bilimsel
- Ekran
- ekranlar
- DENİZ
- Ara
- İkinci
- ikinci en büyük
- ketum
- sırları
- Bölüm
- görmek
- görme
- görünmek
- gibiydi
- görünüşte
- görünüyor
- görüldü
- Gördükleri
- segmentler
- seminer
- kıdemli
- duyu
- gönderdi
- ayrı
- Dizi
- Dizi
- vermektedir
- hizmet
- servis
- set
- Setleri
- kurulum
- birkaç
- şiddetli
- sığ
- Shape
- şekiller
- paylaş
- Paylaşılan
- yaprak
- kısaca
- meli
- şov
- gösterdi
- gösterilen
- yan
- Sights
- önemli
- İşaretler
- Gümüş
- benzer
- benzerlikler
- benzer şekilde
- Basit
- sadece
- aynı anda
- beri
- tek
- Oturan
- altıncı
- beden
- beceri
- uyku
- küçük
- daha küçük
- düzgünce
- Enstantane fotoğraf
- So
- şu ana kadar
- Sosyal Medya
- Yazılım
- sağlamlaştırmak
- çözüm
- Çözümler
- ÇÖZMEK
- Çözme
- biraz
- Birisi
- bir şey
- bazen
- ama
- Yakında
- sofistike
- aranan
- kaynaklar
- Sovyet
- uzay
- alanlarda
- konuşmak
- Konuştu
- özel
- özel
- Belirtilen
- geçirmek
- Harcama
- harcanmış
- ruh
- bölmek
- Sponsorlar
- Spot
- noktalar
- yayılma
- kare
- kareler
- st
- Petersburg
- kararlı
- standartlar
- standları
- Star
- başlama
- başladı
- XNUMX dakika içinde!
- Eyalet
- Açıklama
- ifadeleri
- Devletler
- yönlendirmek
- adım
- Basamaklar
- Yine
- TAŞ
- durdu
- dur
- durdu
- Öykü
- düz
- basit
- dere
- sokaklarda
- Güçlendirmek
- güçlendirilmiş
- soyunma
- güçlü
- yapı
- yapılar
- Öğrenci
- Öğrenciler
- okudu
- çalışmalar
- Ders çalışma
- Ders çalışıyor
- tökezleyerek
- stil
- konu
- sunmak
- gönderilen
- önemli
- böyle
- acı
- güneş
- gün batımı
- harika
- satıcı
- Destek
- yüzey
- sürpriz
- Anket
- şüpheli
- salıncak
- sembol
- sistem
- Sistemler
- Bizi daha iyi tanımak için
- alınan
- alma
- Konuşmak
- Görüşmeler
- kışkırtıcı
- öğretilen
- öğretmen
- Öğretim
- takım
- Teknik
- teknik
- teknikleri
- teknolojik
- Teknolojileri
- Teknoloji
- genç
- teleskop
- söylemek
- anlatır
- geçici
- gerginlikler
- şartlar
- arazi
- testleri
- metin
- göre
- müteşekkir
- o
- The
- Alan
- Sebat
- Batı
- Dünya
- ve bazı Asya
- Onları
- kendilerini
- sonra
- teori
- Orada.
- bu nedenle
- Bunlar
- tez
- onlar
- şey
- işler
- Düşünmek
- düşünürler
- Düşünme
- Düşünüyor
- Üçüncü
- Re-Tweet
- Bu yıl
- Bu
- gerçi?
- düşünce
- bin
- üç
- İçinden
- boyunca
- zaman
- zaman tükeniyor
- zamanlar
- Boşaltma
- Devrilme noktası
- ipuçları
- için
- bugün
- bugünkü
- birlikte
- söyledi
- yarın
- çok
- aldı
- araçlar
- üst
- konu
- toronto
- Toplam
- bütünlük
- dokunma
- dokunaklı
- karşı
- iz
- gelenek
- Tren
- transforme
- geçişler
- çevirmek
- tuzağa
- çapraz
- tedavi etmek
- tedavi
- müthiş
- deneme
- denenmiş
- sorun
- gerçek
- gerçekten
- Hakikat
- denemek
- çalışıyor
- çalkantılı
- DÖNÜŞ
- Dönük
- Dönüş
- Iki kere
- iki
- tip
- türleri
- tipik
- Ukrayna
- nihai
- aciz
- ortaya çıkarmak
- altında
- 30 sırasında
- anlamak
- anlaşılabilir
- anlayış
- anladım
- Beklenmedik
- unfolding
- birleşik
- sendikasının
- benzersiz
- Birleşik
- USA
- Evren
- Üniversiteler
- üniversite
- California Üniversitesi
- Michigan Üniversitesi
- Ambalajın açılması
- öngörülemeyen
- kadar
- olağandışı
- Güncelleme
- üzerine
- üst katta
- us
- kullanım
- Kullanılmış
- kullanma
- genellikle
- Özbekistan
- Vadi
- vadiler
- değer
- Değerler
- stratejik nokta
- çeşitli
- eşiğinde
- versiyon
- Karşı
- çok
- Video
- Görüntüle
- izlendi
- Visa
- gözle görülür
- vizyonumuz
- düşsel
- Türkiye Dental Sosyal Medya Hesaplarından bizi takip edebilirsiniz.
- ziyaret
- görsel
- hacim
- hacimleri
- Bekleyen
- bekler
- Wake
- Uyanmak
- yürümek
- yürüyüş
- Duvar
- istemek
- aranan
- eksik
- savaş
- sıcak
- oldu
- washington
- Su
- Yol..
- yolları
- we
- webp
- memnuniyetle
- welcoming
- İYİ
- Kimler
- vardı
- Batısında
- batı
- Ne
- ne zaman
- her ne zaman
- olup olmadığını
- hangi
- süre
- DSÖ
- bütün
- kime
- kimin
- neden
- eş
- Vahşi
- irade
- kazanmak
- rüzgar
- pencereler
- kazanan
- ile
- içinde
- olmadan
- won
- Orman
- Word
- İş
- işlenmiş
- işçi
- çalışma
- çalışır
- atölye
- Atölyeler
- Dünya
- Dünyanın en
- olur
- yazmak
- yazar
- yazı yazıyor
- yazılı
- Yanlış
- yazdı
- yıl
- yıl
- henüz
- york
- sen
- genç
- küçük
- genç
- zefirnet
- sıfır
- yakınlaştırma
- zoom yapma
- Zürih