Вступ
У грудні 1977 революц папір тихо з'явився в Journal d'Analyse Mathématique, фаховий математичний журнал. Автор, Гілель Фюрстенберг, не претендував на якісь захоплюючі — чи навіть нові — результати. Він просто запропонував доказ теореми, яку інший математик, Ендре Семереді, вже довів два роки тому.
Незважаючи на це, робота Фюрстенберга залишила незабутній слід у математиці. Його новий аргумент містив ядро розуміння з далекосяжними наслідками: ви можете переформулювати проблеми, подібні до тієї, яку розв’язав Семереді, про набори цілих чисел, у питання про рух точок у просторі.
З тих пір методики Фюрстенберга використовувалися знову і знову, і потроху вони коригувалися та вдосконалювалися. На початку цього року вони були посилені, з’явившись у двох нових статтях, які розкривають нескінченні закономірності в наборах цілих чисел — семимильними кроками просуваючись позаду теореми Семереді, якій тепер 47 років.
Доказ Фюрстенберга
Семереді досліджував множини, які містять «позитивну частку» всіх цілих чисел. Візьмемо, наприклад, набір, що містить усі числа, кратні 5. Коли ви дивитеся на все більші й більші ділянки числової прямої, кратні 5 продовжують з’являтися регулярно. Математики кажуть, що множина, яка містить усі кратні 5, становить частку п’ятої від усіх цілих чисел.
Навпаки, незважаючи на те, що існує нескінченна кількість простих чисел, вони стають настільки рідкісними, що число стає більшим, що набір усіх простих чисел не містить додатної частки цілих чисел, або, іншими словами, не має додатної щільності . Натомість кажуть, що прості числа мають нульову густину.
Семереді шукав приклади так званих арифметичних прогресій, або ланцюжків рівномірно розташованих чисел. Наприклад, уявіть, що у вас є нескінченна послідовність чисел, наприклад ідеальні квадрати: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Ідеальні квадрати мають арифметичну прогресію довжини три, що ховається в перших кількох членах: {1, 25, 49}. Кожне число в цій прогресії на 24 більше, ніж його попередник.
Семереді довів, що будь-яка множина, що складається з додатної частки цілих чисел, повинна містити як завгодно довгі арифметичні прогресії. Результатом стала віха в підгалузі математики, яка називається адитивною комбінаторикою.
Доказ Семереді, хоч і блискучий, був майже неможливим. «На сьогоднішній день я думаю, що лише три-чотири людини справді розуміють доказ [Семереді]», — сказав Теренс Дао, математик Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі.
Тож більш зрозумілий аргумент Фюрстенберга вітався. Щоб написати його, Фюрстенберг покладався на методи зі своєї власної галузі математики, динамічних систем. Динамічна система - це будь-який процес, який змінюється з часом. Це може бути щось таке просте, як більярдна куля, що котиться навколо більярдного столу. Усе, що вам потрібно, це спосіб математичного представлення вашої системи та правило її розвитку. М'яч, наприклад, можна описати його положенням і швидкістю. Ця система з часом розвивається встановленим шляхом, дотримуючись законів класичної фізики.
Фюрстенберг найбільше цікавився так званою ергодичною теорією. Замість того, щоб розглядати стан системи в будь-який момент часу, ергодичні теоретики вивчають статистику протягом тривалого періоду часу. Для більярдної кулі це може означати визначення того, чи потрапляє куля в деякі місця на столі частіше, ніж в інші, через те, як вона має тенденцію відскакувати від стін.
Ключовою ідеєю Фюрстенберга було розглядати набори цілих чисел не як фіксовані об’єкти, а як миттєві стани в динамічній системі. Це може здатися невеликою зміною в перспективі, але це дозволило йому використовувати інструменти з ергодичної теорії для доведення результатів у комбінаториці. У той час Фюрстенберг не підозрював, що його ідеї оживуть власним життям. «Просто мені хотілося мати ще один доказ», — сказав він. Але інші бачили перспективу зв’язку між ергодичною теорією та комбінаторикою. «Ціле покоління теоретиків ергодики почало начебто займатися комбінаторикою та розв’язувати всі ці проблеми, і навпаки», — сказав Тао.
За останні кілька років четверо математиків — Брина Кра, Джоел Морейра, Флоріан Ріхтер та Дональд Робертсон — розробили техніку Фюрстенберга для знаходження не просто довільно довгих прогресій у будь-якій множині, що містить додатну частку цілих чисел, а нескінченних версій структур, які називаються сумами.
«Сумсети набагато менш специфічні, ніж прогресії; вони набагато менш особливі на вигляд, — сказав Робертсон. «Але це цікавіше і делікатніше, тому що суми є нескінченними конфігураціями, тоді як прогресії скінченні».
Якщо Фюрстенберг побудував міст між ергодичною теорією та комбінаторикою, то Кра, Морейра, Ріхтер і Робертсон розширили його до «шестисмугового шосе», сказав Тао.
B + C Здогадка
Теорема Семереді була вперше запропонована, але не доведена, у 1936 році двома математиками. Одним із них був угорський математик, відомий своїми припущеннями: Пауль Ердеш. У 2016 році, коли Морейра працював над своєю докторською дисертацією в Університеті штату Огайо, він натрапив на ще одна гіпотеза Ердеша про структури, які називаються сумами.
Сума складається з двох інших множин; називати тих B та C. Сума, записана як B + C, будується додаванням усіх можливих пар чисел разом, беручи одне число з B а інший від C. Ердеш припустив, що для будь-якої множини A яка містить додатну частку цілих чисел, існують інші нескінченні множини B та C сума якого міститься всередині A. У статті, яку читав Морейра, автори довели гіпотезу Ердеша, коли A містить велику частку цілих чисел. Але для менших наборів позитивної щільності результат все ще був невідомий. «Як тільки я прочитав заяву, я подумав, що це справді гарне запитання, тому що воно таке просте», — сказав Морейра. «Це або неправда, або це не повинно бути важко. Що, звичайно, було неправильним. Це не було ні фальшивим, ні легким».
Морейра залучив до проекту Ріхтера та Робертсона, своїх друзів з аспірантури. Робертсон, який зараз навчається в Манчестерському університеті, закінчив навчання на рік раніше за Морейру, а Ріхтер відстав на пару років. Усі троє були добре обізнані у застосуванні методів ергодичної теорії до комбінаторики. Але ця проблема поставила нові виклики.
«Не було практично жодного прецеденту для знаходження нескінченних сукупностей всередині набору позитивної щільності», — сказав Деніел Гласскок, математик з Університету Массачусетса, Лоуелл, який навчався в аспірантурі з Морейра, Ріхтером і Робертсоном.
Можливо, з цієї причини проблему підсумкового заходу виявилося важко вирішити. «Ми маємо трохи змусити ергодичну теорію пройти», — сказав Морейра. Їхні зусилля врешті-решт окупилися, та ще й чим Марчін Сабок Університету Макгілла назвали «дивовижним досягненням», їм вдалося довести гіпотезу Ердеша в 2018 році. Пізніше їх доказ було опубліковано в Аннали математики, один із найпрестижніших математичних журналів.
Нові докази
Цей документ залишив відкритими два великих питання. Однією з них була ще одна підсумкова гіпотеза Ердеша під назвою B + B + t здогадка.
Морейра, Ріхтер і Робертсон також поставили власне запитання: якщо у вас є набір позитивної щільності A, чи можете ви знайти три нескінченні множини — B, C а зараз D - де B + C + D знаходиться всередині A? А як щодо чотирьох нескінченних наборів? П'ять?
Після того, як вони представили версію з кількома наборами, математики на деякий час застрягли. Здавалося, методи, які вони використовували для гіпотези двох наборів, досягли своєї межі.
«Ми не змогли знайти динамічного переформулювання цієї проблеми», — сказав Ріхтер. За його словами, їхній підхід «провалився на самому початку».
Минуло два роки, перш ніж вони побачили реальний прогрес. До цього часу Ріхтер був доктором Північно-Західного університету, де Брина Кра був професором. У 2020 році Кра та Ріхтер не змогли зустрітися особисто через пандемію Covid-19, і вони почали обговорювати проблему sumset через Zoom.
«Згодом ми придумали інші варіації, які ми зрозуміли», — сказав Кра.
Кра та Ріхтер почали щотижня спілкуватися з Морейрою та Робертсоном, переглядаючи докази 2018 року.
«Нам потрібно було переосмислити кожен крок доказу, починаючи з перекладу в динамічну систему», — сказав Кра.
Допоможним для їхньої справи став 2019 рік папір французьким математиком ім Бернард Хост. Хост повторно довів результат Морейри, Ріхтера та Робертсона і зрозумів, як змусити ергодичну теорію співати. На думку Морейри, Хост «побачив, як написати наше доказування так, як воно мало бути написано».
Маючи на руках удосконалення Хоста, Кра, Морейра, Ріхтер і Робертсон продовжували налаштовувати свій доказ, намагаючись отримати найпростіший і найелегантніший аргумент. «Ми просто аналізували це, я думаю, знову і знову, щоб справді побачити: у чому суть проблеми?» сказав Ріхтер. «Зрештою ми отримали доказ, який мало схожий на початковий».
Доказ, який вони отримали, як і доказ Фюрстенберга, розглядав нескінченні набори цілих чисел як позначки часу в динамічній системі. Однак цю динамічну систему краще уявити як точки, що стрибають у просторі.
Ось приблизне зображення того, як це працює: почніть із того, що встанете в одному кутку закритої кімнати, назвіть його кут 0. Ви маєте список часів A. Цей набір, A, є набором цілих чисел позитивної щільності.
Ви також оснащені правилом пересування по кімнаті. Кожну секунду ви переходите на нове місце залежно від того, де ви щойно стояли. Точне правило, якого ви дотримуєтесь, буде розроблено відповідно до вашого набору часу A — щоразу, коли є мітка часу A, ви опинитеся в одній особливій зоні кімнати.
Наприклад, скажімо A складається з усіх чисел, які діляться на 4, і кожну секунду ви рухаєтеся за годинниковою стрілкою до наступного кута кімнати. Через одну секунду ви переходите до кута 1; через дві секунди кут 2 і так далі. Потім, кожні чотири кроки, що означає кожен раз, коли ви входите A - ви повернетеся до початкового кута 0.
Цей процес триває вічно. Подорожуючи від кутка до кутка по колу за годинниковою стрілкою, ви відвідаєте кожен куток нескінченно багато разів. Точка, до якої ви наближаєтеся нескінченну кількість разів, називається точкою накопичення.
Кра, Морейра, Ріхтер і Робертсон довели, що ви можете вміло вибрати одне з цих місць, щоб знайти свою вершину B + C. У прикладі з кутом візьміть кут 1. Ви прибуваєте туди в моменти часу 1, 5, 9 і 13 — часи, які виглядають як 4n + 1 для деякого цілого числа n. Дозволяє B бути набором тих часів.
А тепер уявіть, що замість кута 0 ви починаєте з кута 1. Це означає, що часи, які діляться на 4, ви знову опинитеся в куті 1, а до кута 0 ви дійдете через три кроки: 3, 7, 11 або будь-яке число виду 4n + 3. Назвіть безліч тих часів C.
Тепер знову почніть процес із кута 0. Цього разу подивіться, що станеться, якщо взяти число з B і число від C — скажімо, 13 від B і 3 XNUMX від C - і складіть їх.
Це займе 13 + 3 = 16 секунд. Оскільки 16 кратне 4, воно входить A. Але ви також можете передбачити, що 13 + 3 ділиться на 4, отже, в A, фактично не додаючи 13 і 3 разом. Просто прослідкуйте, що відбувається в динамічній системі, коли ви чекаєте 13 + 3 секунди: спочатку минає 13 секунд. У цей момент ви опиняєтесь у куті 1. Потім, починаючи з кута 1, ви переходите ще на три кроки, які повертають вас до кута 0. Оскільки ви почали з кута 0 і опинилися там, ви, мабуть, чекали кратне чотирьом секундам, тобто загальний час був числом у вихідному наборі A.
Щоб цей аргумент спрацював, групі довелося мати справу з багатьма вибагливими математичними деталями. Наприклад, у більшості випадків у вас є нескінченна кількість доступних місць для переміщення, а не лише чотири кути. Це означає, що ви насправді не повертатиметеся до місця нескінченно багато разів; ви наближатиметеся до нього нескінченно багато разів. Це додало до аргументу нових математичних ускладнень. Але коли вони зрозуміли, як працюватиме цей процес, вони зрозуміли, що зможуть вирішити складніші питання, які їх чекали.
«Ми знайшли цей доказ тут, і одразу стало зрозуміло, як його узагальнити», — сказав Ріхтер, який зараз працює у Швейцарському федеральному технологічному інституті Лозанни. Наприклад, щоб підтвердити версію гіпотези з кількома множинами, дослідники могли просто додати точку накопичення до шляху. Загальний аргумент був тим самим, тільки з новим шаром ускладнень.
Розробити всі технічні моменти було нелегко. Після того, як вони зупинилися на своїй динамічній установці, Кра, Морейрі, Ріхтеру та Робертсону знадобилося понад рік, щоб розробити докази складніших припущень. У червні цього року група нарешті опублікувала дві статті. Один довів багатомножинна версія гіпотези сумарної множини. Інший довів B + B + t версія гіпотези, яка вимагає, щоб другий набір C дорівнює першому набору B, зсунутий на деяку константу, t.
Наступні кроки
Хоча червневі документи вирішують два питання про суми, Кра, Морейра, Ріхтер і Робертсон передбачають довге майбутнє для свого напрямку досліджень. «Як і у випадку з усім, про що просив Ердеш, він просто хоче, щоб ми поставили свою ногу в двері», — сказав Морейра, який зараз працює в Університеті Ворвіка. «Але тепер нам потрібно відкрити двері й піти досліджувати, що там ще є».
У своїх нових роботах четверо математиків викладають кілька можливих напрямків дослідження у формі запитань, на які ще немає відповіді. Один спирається на той факт, що хоча будь-який набір позитивної щільності A містить нескінченну суму B + C, він не обов’язково містить два компоненти B та C. Коли ви можете наполягати на цьому B та C також повинні міститися всередині A? Автори також закликають математиків з’ясувати, чи зможуть вони знайти нескінченну послідовність нескінченних множин, суми яких містяться в A.
На ще одне відкрите питання в цій галузі вже відповів Мет Боуен, аспірант Сабока в Університеті Макгілла. У жовтні він розміщені доказ того, що якщо кожному числу присвоїти один із кількох кольорів, можна знайти суму B + C і добуток множин BC тільки в одному з кольорів.
Куди саме ще приведе нова робота від Кра, Морейри, Ріхтера і Робертсона, поки невідомо. Але Тао, принаймні, оптимістично дивиться на нові методи, розроблені групою. Те, чого вони досягають за допомогою своїх методів, «насправді вражає», — сказав він. «Є інші питання, пов’язані з нескінченними множинами, які раніше вважалися безнадійними, тепер доступні».
