Квантова теорія поля Прайз Відкрийте математичну головоломку

Минулого місяця, Карен Фогтманн та Михайло Боринський опублікував доказ що існує вантажівка математичної структури в недоступному досі математичному світі, який називається простором модулів графів, який Фогтман і його співробітник вперше описано в середині 1980.

«Це надважка проблема. Дивно, що вони змогли», — сказав Ден Маргаліт, математик із Технологічного інституту Джорджії.

Фогтманн і Борінскі почали з питань, які Фогтманн, математик з Університету Ворвіка, ставила собі десятиліттями. Потім пара переосмислила проблему мовою фізики, використовуючи прийоми квантової теорії поля, щоб отримати свій результат.

Доведення демонструє, що певні структури існують у просторі модулів, але воно явно не розкриває, що це за структури. Таким чином, їхній новий результат більше схожий на металошукач, ніж на камеру — він попереджає їх про те, що приховується щось цікаве, навіть якщо вони не можуть це повністю описати.

Ви можете думати про простори модулів графів як про математичні фігури з додатковим декором. Якщо ви станете в будь-якій точці фігури, ви побачите графік, що плаває над вами — сукупність точок або вершин, з’єднаних ребрами. У різних місцях простору модулів графіки змінюються, їх ребра звужуються або збільшуються, а іноді й зовсім зникають. Через ці особливості Боринський, фізик-математик зі Швейцарського федерального технологічного інституту Цюріха, описує простори модулів як «велике море графів».

«Ранг» графа — це кількість циклів, які він має; для кожного рангу графів існує простір модулів. Розмір цього простору швидко зростає — якщо зафіксувати довжину ребер графа, буде три графи рангу 2, 15 рангу 3, 111 рангу 4 і 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX рангу XNUMX. У просторі модулів ці довжини можуть змінюватися, вносячи ще більше складності.

Форма простору модулів для графів заданого рангу визначається зв’язками між графами. Коли ви ходите по простору, сусідні графіки мають бути схожими та плавно переходити один в інший. Але ці зв’язки є складними, залишаючи простір модулів з математично тривожними особливостями, такими як області, де три стіни простору модулів проходять одна через одну.

Математики можуть вивчати структуру простору або форми за допомогою об’єктів, які називаються когомологічними класами, які можуть допомогти виявити, як простір зібрано разом. Для прикладу розглянемо одну з улюблених фігур математиків — пончик. На пончику когомологічні класи — це просто цикли.

На поверхні пончика можна намалювати кілька різних видів петель: Петля 1 оточує центральний отвір пончика; через отвір протягнути 2 нитки; третя «тривіальна» петля сидить з боку бублика.

Однак не всі когомологічні класи однакові. Петля, розташована на зовнішній стороні бублика, як і третя петля, завжди може ковзати або стискатися, щоб уникнути перетину іншої петлі. Це робить його «тривіальним» когомологічним класом.

Але петлі 1 і 2 говорять набагато більше про структуру бублика — вони існують лише завдяки отвору. Щоб математично помітити різницю, ви можете використовувати перетини, пояснив Маргаліт. Петлі 1 і 2 можуть ковзати по поверхні пончика, але якщо ви не змусите їх повністю відірватися від поверхні, вони завжди перетинатимуться. Оскільки ці два цикли мають партнерів, яких вони не можуть не перетинати, вони є «нетривіальними» когомологічними класами.

На відміну від бублика, математики не можуть знайти когомологічні класи на просторах модулів графів, просто намалювавши малюнок. З такою величезною кількістю графів важко розібратися з просторами модулів, сказала Наталі Вал, математик з Копенгагенського університету. «Дуже швидко комп’ютер уже не може допомогти», — сказала вона. Дійсно, був лише один непарномірний нетривіальний клас когомологій явно обчислюється (в 11 вимірах), разом із кількома парними.

Фогтманн і Боринський довели, що існує величезна кількість когомологічних класів, які лежать у просторі модулів графів даного рангу — навіть якщо ми не можемо їх знайти. «Ми знаємо, що їх багато, і ми знаємо один», — сказав Вал, назвавши ситуацію «смішною».

Замість того, щоб безпосередньо працювати з когомологічними класами, Боринський і Фогтман вивчали число, яке називається характеристикою Ейлера. Це число забезпечує тип вимірювання простору модулів. Ви можете змінювати простір модулів певним чином, не змінюючи його характеристику Ейлера, роблячи характеристику Ейлера більш доступною, ніж самі когомологічні класи. І це зробили Боринський і Фогтманн. Замість того, щоб працювати безпосередньо з простором модулів графів, вони вивчали «хребет» — по суті, скелет загального простору. Хребет має ту саму характеристику Ейлера, що й сам простір модулів, і з ним легше працювати. Розрахунок характеристики Ейлера на хребті зводився до підрахунку великої колекції пар графіків.

Ідея Боринського полягала в тому, щоб використати методи підрахунку діаграм Фейнмана, які є графіками, які представляють способи взаємодії квантових частинок. Коли фізики хочуть обчислити, скажімо, ймовірність того, що зіткнення між електроном і позитроном призведе до утворення двох фотонів, їм потрібно підсумувати всі можливі взаємодії які призводять до такого результату. Це означає усереднення за багатьма діаграмами Фейнмана, мотивуючи розумні стратегії підрахунку.

«Я зрозумів, що можна сформулювати таку проблему як щось на зразок іграшкового всесвіту квантової теорії поля», — пояснив Боринський.

Боринський уявляв, що графіки представляють фізичні системи в простій версії Всесвіту, в якій, серед інших припущень, існує лише один тип частинок. Концепція квантової теорії поля потребувала певного коригування, щоб Боринський і Фогтманн отримали правильний підрахунок. Наприклад, у квантовій теорії поля два графіки, які є дзеркальним відображенням один одного, неможливо розрізнити, сказав Боринський. Формули для додавання діаграм Фейнмана включають фактори, які гарантують, що ці графіки не перераховуються. Але коли мова йде про обчислення характеристики Ейлера, ці графіки вважаються різними. «Ми повинні пограти в невелику гру із симетрією графіків», — сказав Боринський.

За допомогою програмування від фізика Йос Вермасерен, Боринський і Фогтманн нарешті подолали цю складність. У своїй січневій статті вони довели, що ейлерова характеристика простору модулів графів рангу n стає масово негативним, оскільки n стає більшим. Це означає, що існує багато, багато нетривіальних когомологічних класів, які потрібно розкрити в кожному просторі модулів.

Хоча стаття Борінського та Фогтманна не містить жодних натяків на ці когомологічні класи, це обнадійливий результат для дослідників, які прагнуть їх знайти — і, можливо, це додає гостроти від полювання. Маргаліт із когомологічних класів сказав: «Ці, які ми знаємо, — це лише ці перлини. І кожного разу, коли ми знаходимо один, це така прекрасна річ».