Симетрія, яка полегшує розв’язування математичних рівнянь

Згадайте мелодію до пісні «Pop Goes the Weasel». А тепер заспівайте ці слова:

Негативний b, плюс-мінус
Квадратний корінь b у квадраті
мін-нус чотири a c
все! більше двох a

Цей джингл допоміг поколінням студентів алгебри пригадати квадратичну формулу, яка розв’язує кожне рівняння виду $latex ax^2+bx+c=0$. Формула настільки ж корисна, наскільки ймовірно, що вона з’явиться в словнику під «математичною тривогою», і швидкий огляд покаже вам, чому:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Як би страшно це не виглядало, але всередині ховається простий секрет, який полегшує вирішення будь-якого квадратного рівняння: симетрія. Давайте подивимося, як симетрія змушує квадратичну формулу працювати і як відсутність симетрії робить розв’язування кубічних рівнянь (форми $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) набагато, набагато складнішим. Насправді набагато складніше, що кілька математиків у 1500-х роках провели своє життя, втягнувшись у запеклі публічні чвари, змагаючись, щоб зробити для кубів те, що так легко було зробити для квадратичних.

Розв’язування рівнянь є основною навичкою на уроці математики — воно допомагає нам знаходити максимальні прибутки, мінімальні відстані, точки перетину та багато іншого. Одне з найпростіших рівнянь, які ми вчимося розв’язувати, це $latex f(x)=0$. Дано функцію $latex f(x)$, це рівняння запитує: які вхідні дані x повернути результат 0? З цієї причини розв’язки цього рівняння іноді називають «нулями» або «коренями» функції.

Перш ніж знайти корені кожної квадратичної функції, давайте почнемо з легкого: які корені $latex f(x)=x^2-9$? Щоб знайти їх, просто розв’яжіть рівняння $latex f(x)=0$.

$латекс f(x)=0$
$латекс x^2-9=0$
$латекс x^2=9$
$латекс x=pm3$

Ці корені легко знайти, оскільки це рівняння легко розв’язати. Все, що вам потрібно зробити, це ізолюватися x. Зауважте, що нам потрібен $latex pm$ в останньому рядку, тому що як 3, так і -3 мають властивість, коли їх звести в квадрат, ви отримаєте 9. Швидко перевірте, що $latex f(3)=f(-3)=0 $ перевіряє, що це справді вхідні дані, які роблять вихід $latex f(x)$ 0.

Цей $latex pm$ також вказує на симетрію, властиву ситуації. Квадратична функція має два корені, і якщо ви уявите два корені на числовій прямій, ви побачите, що вони симетричні відносно $latex x=0$.

І коли ви пам’ятаєте, що графіком квадратичної функції є парабола, це має великий сенс. Кожна парабола має вісь симетрії, яка розділяє параболу на дві дзеркальні частини. У випадку $latex f(x)=x^2-9$ віссю симетрії є y-вісь (лінія $latex x=0$). Коли ви будуєте графік $latex f(x)=x^2-9$ звичайним способом, шляхом обробки x як незалежну змінну та встановивши $latex y=f(x)$, ви можете побачити її корені на x-осі, рівновіддалені від і по обидві сторони від y-аксіс.

Для складнішого квадратичного виразу, як-от $latex f(x)=x^2-8x-9$, пошук коренів вимагає трохи більше копання.

$латекс f(x)=0$
$латекс x^2-8x-9=0$
$латекс x^2-8x=9$

Ми можемо встановити $latex f(x)$ рівним 0 і перемістити 9 у праву сторону, як ми робили раніше, але ми не можемо взяти квадратний корінь з обох сторін, щоб ізолювати x. Цей інший термін з x в ньому стоїть на заваді. Але ця функція, як і будь-яке квадратичне, є симетричною, і ми можемо використовувати цю симетрію, щоб орієнтуватися в проблемі. Нам просто потрібно трохи алгебри, щоб зробити симетрію більш прозорою.

Давайте перепишемо функцію $latex f(x)=x^2-8x-9$ у вигляді $latex f(x)=x(x-8)-9$. Тепер зосередьтеся на частині $latex x(x-8)$. Це буде до 0 у двох ситуаціях — якщо х = 0 або якщо х = 8 — і це гарантує, що $latex f(0)$ і $latex f(8)$ матимуть однакове значення -9. Це дає нам дві симетричні точки на параболі, і оскільки вісь симетрії має розділяти $latex x=0$ і $latex x=8$ посередині, це має бути лінія $latex x=4$.

Тепер, коли ми знайшли симетрію, настав час використовувати її. Ми змістимо нашу параболу на чотири одиниці вліво так, щоб її вісь симетрії переміщувалася від прямої $latex x=4$ до прямої $latex x=0$. Існує простий спосіб виконати цей переклад алгебраїчно: ми замінюємо кожен x з x + 4.

Давайте назвемо $latex g(x)$ нову квадратичну функцію, яку ми отримаємо після заміни x з x+ 4. Іншими словами, нехай $latex g(x)=f(x+4)$. Подивіться, що відбувається, коли ми спрощуємо $latex g(x)$:

$латекс g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$латекс g(x)=x^2-25$

Після того, як ми кілька разів застосуємо властивість розподілу та зберемо подібні терміни, x член нашого нового перекладеного квадратичного виразу дорівнює нулю, і це полегшує пошук коренів $latex g(x)$:

$латекс g(x)=0$
$латекс x^2-25=0$
$латекс x^2=25$
$латекс x=pm5$

Корені $latex g(x)$ є $latex x=pm5$, отже, щоб знайти корені $latex f(x)=x^2-8x-9$, ми просто перемістимо корені $latex g( x)$ назад на чотири одиниці вправо. Це дає нам корені $latex f(x)$: $latex 4pm5$ або 9 і -1, які ви можете перевірити, обчисливши $latex f(9)=f(-1)=0$.

Секрет розв’язування цього дещо складнішого квадратного рівняння полягав у тому, щоб пересунути його та перетворити на легше квадратне рівняння, усунувши перешкоди x термін. Цей підхід працюватиме з будь-якою квадратичною функцією. Дано довільний квадратичний $latex f(x)=ax^2+bx+c$, ви завжди можете знайти його вісь симетрії з тим самим розкладанням на множники:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$латекс f(x)=x(ax+b)+c$

У цій формі ви можете побачити, що $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, що означає, що вісь симетрії знаходиться посередині між $latex x=0$ і $latex x= -frac{b}{a}$. Іншими словами, віссю симетрії будь-якої квадратичної функції $latex f(x)=ax^2+bx+c$ є пряма $latex x=-frac{b}{2a}$. І це має виглядати знайомим. Це ховається у квадратичній формулі!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Це легше побачити, якщо ви перепишете це так:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Квадратична формула ґрунтується на тому факті, що корені квадратичного $latex f(x)=ax^2+bx+c$ є симетричними відносно $latex x=-frac{b}{2a}$. І як ми робили вище, ви можете використовувати цю симетрію, щоб знайти їх: просто перекладіть $latex f(x)$ на $latex -frac{b}{2a}$. Це призводить до усунення x термін, що дозволяє потім легко ізолювати x і розв'язати. Зробіть це, і ви отримаєте квадратичну формулу. (Додаткову інформацію див. у вправах нижче.) Це не так просто, як наспівувати дитячу мелодію, але воно демонструє важливі алгебраїчні та геометричні зв’язки, завдяки яким ця формула працює.

Розв’язування квадратичних рівнянь із силою симетрії може надихнути нас спробувати подібну тактику на кубічних рівняннях. Але хоча кубики мають симетрію, вона не допомагає розв’язувати рівняння на зразок $latex f(x)=0$. Кубічні графіки мають «точкову симетрію», що означає, що на графіку кожної кубічної функції є особлива точка, де, якщо пряма проходить через цю точку та перетинає кубік у будь-якому іншому місці, вона знову перетинає графік симетрично відносно цієї точки.

Це сильний тип симетрії, але він не допомагає знаходити корені. Це тому, що корені функції виникають там, де її графік перетинає горизонтальну лінію $latex y=0$ ( x-вісь), і загалом ці перетини не є симетричними відносно спеціальної точки симетрії кубічної форми.

Насправді кубічний може мати лише корінь. Там немає симетрії.

Проте є дещо з нашої попередньої роботи з квадратичними величинами, що може допомогти.

Якщо у нас є квадратична функція $latex f(x)=ax^2+bx+c$ і ми знаємо, що її корені $latex r_1 $ і $latex r_2$, тоді ми завжди можемо записати $latex f(x)$ у “розкладена” форма: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Тепер, коли ми це помножимо і спростимо, ми отримаємо щось дуже корисне для роботи.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Зверніть увагу, як коефіцієнт при x Термін містить суму двох коренів $latex r_1$ і $latex r_2$. Це пов’язано з однією з формул Вієти (яку ви, можливо, бачили один раз or двічі перед у цих стовпцях): задано квадратичну функцію $latex f(x)=ax^2+bx+c$, сума двох коренів завжди буде $latex -frac{b}{a}$. Ви можете показати це, встановивши загальну форму квадратичного числа рівною його розкладеній на множники $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ і зауваживши, що єдиний спосіб, яким два поліноми можуть насправді бути однаковими, якщо їхні відповідні коефіцієнти однакові. У цьому випадку це означає коефіцієнти x члени з обох сторін рівняння повинні бути рівними, тому ми можемо записати

$латекс b=-a(r_1+r_2)$

а потім розділити:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Зауважте, що ділення обох частин цього рівняння на 2 демонструє цікавий факт: середнє значення двох коренів квадратичної функції дорівнює x- значення осі симетрії:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Це має сенс, тому що вісь симетрії має бути посередині двох коренів, а середнє будь-яких двох чисел є числом, що знаходиться точно посередині цих двох коренів.

Але розглянемо це нове співвідношення в контексті нашого попереднього перекладу. Перенесення параболи шляхом переміщення осі симетрії від $latex x = -frac{b}{2a}$ до $latex x=0$ також змінює середнє значення двох коренів від $latex -frac{b}{2a} $ до 0.

Але якщо середнє значення коренів дорівнює 0, то сума коренів також має дорівнювати 0, і сума двох коренів відображається у розкладеній на множники формі квадратного числа:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Це означає, що перенесення квадратичного так, щоб сума коренів стала 0, також дає x термін зникає. Саме це допомогло нам розв’язати наше попереднє квадратне рівняння, і подібний результат щодо коренів справедливий для кубічних функцій.

Враховуючи загальний кубічний $латекс f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ми можемо зробити те, що ми зробили з квадратичним. Якщо кубічний має корені $latex r_1$, $latex r_2$ і $latex r_3$, ми можемо записати кубічну функцію в розкладеній на множники формі $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ і помножте його. Це дає нам $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, який ми потім прирівнюємо до загальної форми $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, і оскільки відповідні коефіцієнти мають бути однаковими, ми отримуємо формулу Вієта для суми коренів кубічного числа:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Зауважте, що ми можемо поділити обидві частини рівняння на 3, щоб отримати

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Це говорить нам, що середній корінь із кубічної дорівнює $latex -frac{b}{3a}$. Тепер, якщо ми перекладемо куб на цю величину, середній корінь дорівнюватиме 0, що зробить суму коренів рівною 0, що, у свою чергу, призведе до того, що коефіцієнт $latex x^2$ у нашому перекладеному кубіку дорівнюватиме нулю.

Коротше кажучи, перетворення $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ дає те, що відомо як «депресований» куб, що просто означає, що він не має члена $latex x^2$ . Наш трансформований і вдавлений куб буде виглядати так:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

Коефіцієнти m та n можна виразити через а, б, в, та d від оригінального куб. Те, чому вони дорівнюють, менш важливо, ніж той факт, що існують гарантовані методи знаходження коренів кубічних кубів з депресією. Фактично, така техніка була в основі легендарної суперечки між Джероламо Кардано та Нікколо Тарталья в 1500-х роках, яка включала дружбу, зраду та публічні математичні дуелі. Це довга і захоплива історія, з чудовим математичним висновком: здатність перетворити будь-яку кубіку на кубіку зі зниженим тиском разом зі здатністю розв’язувати будь-яку кубіку з поглибленням дозволяє нам розв’язувати кожне кубічне рівняння. Ви вибачте мене, що я не згадую решту деталей, тому що так легше показати вам.

Це кубічна формула, яка, як і квадратна формула, розв’язує кожне кубічне рівняння. Але, на відміну від квадратичної формули, у ній немає привабливої ​​мелодії, під яку можна було б підспівувати. Ви можете спробувати написати один, але, ймовірно, для цього знадобиться кілька куплетів і приспів або два.

Вправи

1. Якщо ви знаєте один кубічний корінь, ви точно зможете знайти інші. чому

2. Корені квадратного числа можуть бути комплексними числами. Хіба це не впливає на аргумент про симетрію?

3. Дано загальний квадратичний $latex f(x)=ax^2+bx+c$, розв’яжіть трансформований квадратичний $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$, щоб отримати квадратична формула.

4. Чому дорівнює середнє коренів квартальної функції $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Використовуйте обчислення, щоб показати, що точка перегину куба також є його точкою симетрії.