سسٹمز ان موشن سے، لامحدود نمونے ظاہر ہوتے ہیں۔

دسمبر 1977 میں ایک انقلابی… کاغذ میں خاموشی سے نمودار ہوا۔ جرنل ڈی تجزیہ ریاضی، ایک خاص ریاضی کا جریدہ. مصنف، ہلیل فرسٹنبرگ نے کسی بھی سنسنی خیز - یا یہاں تک کہ نئے - نتائج کا دعوی نہیں کیا۔ اس نے محض ایک تھیوریم کا ثبوت پیش کیا تھا جسے ایک اور ریاضی دان اینڈری زیمیریڈی نے دو سال پہلے ہی ثابت کر دیا تھا۔

اس کے باوجود، فرسٹنبرگ کے مقالے نے ریاضی پر ایک دیرپا نقوش چھوڑے۔ اس کے نئے استدلال میں دور رس نتائج کے ساتھ بصیرت کا ایک دانا تھا: آپ ان مسائل کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں جیسے Szemerédi نے حل کیا تھا، عدد کے سیٹ کے بارے میں، خلا میں گھومنے والے پوائنٹس کے بارے میں سوالات میں۔

اس کے بعد کے سالوں میں، فرسٹنبرگ کی تکنیکوں کو بار بار استعمال کیا گیا ہے، اور آہستہ آہستہ ان کو ایڈجسٹ اور بہتر کیا گیا ہے۔ اس سال کے شروع میں، وہ دو نئے پیپرز میں نمودار ہوئے جو کہ عدد کے مجموعوں میں لامحدود نمونوں کا انکشاف کرتے ہیں — جو کہ Szemerédi کے اب 47 سال پرانے تھیوریم کو چھلانگ لگا کر آگے بڑھتے ہیں۔

فرسٹنبرگ کا ثبوت

Szemerédi ان سیٹوں کی جانچ کر رہا تھا جس میں تمام عدد کا ایک "مثبت حصہ" ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، 5 کے تمام ضربوں پر مشتمل سیٹ کو لے لیں۔ جب آپ عددی لکیر کے بڑے اور بڑے حصوں کو دیکھتے ہیں، 5 کے ضرب باقاعدگی سے ظاہر ہوتے رہتے ہیں۔ ریاضی دان کہتے ہیں کہ 5 کے تمام ضربوں پر مشتمل سیٹ میں تمام عدد کے پانچویں حصے کا حصہ ہوتا ہے۔

اس کے برعکس، جب کہ پرائم نمبرز کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، وہ اتنے نایاب ہو جاتے ہیں کہ نمبرز بڑے ہوتے جاتے ہیں کہ تمام پرائمز کے سیٹ میں انٹیجرز کا مثبت حصہ نہیں ہوتا، یا دوسرے طریقے سے دیکھا جائے تو مثبت کثافت نہیں ہوتی۔ . اس کے بجائے کہا جاتا ہے کہ پرائمز کی کثافت صفر ہے۔

Szemerédi نام نہاد ریاضی کی ترقی، یا یکساں فاصلہ والے نمبروں کی زنجیروں کی مثالیں تلاش کر رہا تھا۔ مثال کے طور پر، تصور کریں کہ آپ کے پاس اعداد کی ایک لامحدود ترتیب ہے جیسے کامل مربع: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}۔ کامل مربعوں میں پہلے کئی اصطلاحات میں چھپنے والی لمبائی تین کی ریاضی کی ترقی ہوتی ہے: {1, 25, 49}۔ اس پیشرفت میں ہر ایک نمبر اپنے پیشرو سے 24 زیادہ ہے۔

Szemerédi نے ثابت کیا کہ عدد کے مثبت حصے پر مشتمل کسی بھی سیٹ میں من مانی طور پر طویل ریاضی کی ترقی ہونی چاہیے۔ نتیجہ ریاضی کے ذیلی فیلڈ میں ایک سنگ میل تھا جسے additive combinatorics کہتے ہیں۔

Szémeredi کا ثبوت، اگرچہ شاندار تھا، اس کی پیروی کرنا تقریباً ناممکن تھا۔ "آج تک، مجھے لگتا ہے کہ شاید صرف تین یا چار لوگ ہیں جو واقعی [Szemerédi کے] ثبوت کو سمجھتے ہیں،" کہا Terence تاؤکیلیفورنیا یونیورسٹی، لاس اینجلس میں ایک ریاضی دان۔

لہذا فرسٹنبرگ کی زیادہ قابل فہم دلیل کا خیرمقدم کیا گیا۔ اسے لکھنے کے لیے، فرسٹن برگ نے ریاضی کے اپنے شعبے، متحرک نظام کے طریقوں پر انحصار کیا۔ ایک متحرک نظام کوئی بھی عمل ہے جو وقت کے ساتھ تبدیل ہوتا ہے۔ یہ پول ٹیبل کے گرد گھومنے والی بلئرڈ گیند کی طرح آسان چیز ہوسکتی ہے۔ آپ کو صرف اپنے سسٹم کی ریاضی کی نمائندگی کرنے کا ایک طریقہ، اور اس کے ارتقاء کے لیے ایک اصول کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر ایک گیند کو اس کی پوزیشن اور رفتار سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ نظام کلاسیکی طبیعیات کے قوانین کی پیروی کرتے ہوئے وقت کے ساتھ ایک مقررہ انداز میں ترقی کرتا ہے۔

فرسٹن برگ کسی چیز میں سب سے زیادہ دلچسپی رکھتے تھے جسے ایرگوڈک تھیوری کہتے ہیں۔ وقت کے کسی بھی موڑ پر نظام کی حالت کو دیکھنے کے بجائے، ایرگوڈک تھیوریسٹ طویل عرصے تک اعداد و شمار کا مطالعہ کرتے ہیں۔ بلئرڈ گیند کے لیے، اس کا مطلب یہ معلوم کرنا ہو سکتا ہے کہ آیا گیند میز پر کچھ جگہوں پر دوسروں کے مقابلے میں زیادہ ختم ہو جاتی ہے کیونکہ اس کے دیواروں سے اچھالنے کا رجحان ہوتا ہے۔

فرسٹن برگ کا کلیدی خیال یہ تھا کہ عدد کے سیٹوں کو فکسڈ اشیاء کے طور پر نہیں بلکہ ایک متحرک نظام میں لمحاتی حالتوں کے طور پر دیکھنا تھا۔ یہ نقطہ نظر میں ایک چھوٹی سی تبدیلی کی طرح لگ سکتا ہے، لیکن اس نے اسے ergodic تھیوری سے ٹولز استعمال کرنے کی اجازت دی تاکہ combinatorics میں نتائج ثابت ہوں۔ اس وقت، فرسٹن برگ کو اندازہ نہیں تھا کہ اس کے خیالات ان کی اپنی زندگی لے جائیں گے۔ "یہ صرف تھا، مجھے یہ دوسرا ثبوت حاصل کرنا پسند تھا،" انہوں نے کہا۔ لیکن دوسروں نے ergodic تھیوری اور combinatorics کے درمیان تعلق کا وعدہ دیکھا۔ تاؤ نے کہا، "ارگوڈک تھیوریسٹوں کی ایک پوری نسل نے امتزاج میں چارج کرنا اور ان تمام مسائل کو حل کرنا شروع کر دیا، اور اس کے برعکس،" تاؤ نے کہا۔

پچھلے کچھ سالوں میں، چار ریاضی دان - برائنا کرا۔, جوئل موریرا, فلورین ریکٹر اور ڈونلڈ رابرٹسن — نے فرسٹن برگ کی تکنیک تیار کی ہے تاکہ انٹیجرز کے مثبت حصے پر مشتمل کسی بھی سیٹ کے اندر نہ صرف من مانی طور پر طویل پیش رفت تلاش کی جا سکے، بلکہ ڈھانچے کے لامحدود ورژن جنہیں سمیٹس کہتے ہیں۔

"Sumsets ترقی کے مقابلے میں بہت کم مخصوص ہیں؛ وہ بہت کم خاص نظر آتے ہیں،" رابرٹسن نے کہا۔ "لیکن یہ زیادہ دلچسپ اور زیادہ نازک ہے، کیونکہ سمیٹس لامحدود کنفیگریشنز ہیں، جبکہ ترقی محدود ہے۔"

اگر فرسٹن برگ نے ایرگوڈک تھیوری اور امتزاج کے درمیان ایک پل بنایا ہے، تو کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن نے اسے "چھ لین والی شاہراہ" میں بڑھا دیا ہے، تاؤ نے کہا۔

B + C قیاس

Szemerédi کا نظریہ سب سے پہلے 1936 میں دو ریاضی دانوں نے تجویز کیا تھا، لیکن ثابت نہیں ہوا۔ ان میں سے ایک ہنگری کا ریاضی دان تھا جو قیاس آرائیوں کے لیے مشہور تھا: پال ایرڈس۔ 2016 میں، جب موریرا اوہائیو اسٹیٹ یونیورسٹی میں اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے پر کام کر رہی تھی، وہ ٹھوکر کھا گیا۔ ایک اور قیاس جو اردس نے لگایا تھا۔ sumsets کہلانے والے ڈھانچے کے بارے میں۔

ایک sumset دو دیگر سیٹوں سے بنایا گیا ہے۔ ان کو کال کریں B اور C. خلاصہ، کے طور پر لکھا گیا B + C, نمبروں کے ہر ممکنہ جوڑے کو ایک ساتھ جوڑ کر، ایک نمبر لے کر بنایا جاتا ہے۔ B اور دوسرے سے C. Erdős نے کسی بھی سیٹ کے لیے اس کا اندازہ لگایا A جس میں عدد کا ایک مثبت حصہ ہوتا ہے، دوسرے لامحدود سیٹ بھی موجود ہوتے ہیں۔ B اور C جس کا خلاصہ اندر موجود ہے۔ A. موریرا جو مقالہ پڑھ رہا تھا اس میں مصنفین نے ایرڈس کے قیاس کو ثابت کیا تھا جب A میں عدد کا ایک بڑا حصہ ہوتا ہے۔ لیکن چھوٹے مثبت کثافت کے سیٹوں کے لیے، نتیجہ ابھی تک معلوم نہیں تھا۔ "جیسے ہی میں نے بیان پڑھا، میں نے سوچا کہ یہ واقعی ایک اچھا سوال ہے، کیونکہ یہ بہت آسان ہے،" موریرا نے کہا۔ "یہ یا تو غلط ہے، یا یہ مشکل نہیں ہونا چاہیے۔ جو یقیناً غلط تھا۔ یہ نہ تو جھوٹا تھا اور نہ ہی آسان۔‘‘

موریرا نے ریکٹر اور رابرٹسن کو، جو اس کے گریجویٹ اسکول سے دوست تھے، کو اس پروجیکٹ میں شامل کیا۔ رابرٹسن، جو اب مانچسٹر یونیورسٹی میں ہیں، موریرا سے ایک سال پہلے گریجویشن کر چکے تھے، اور ریکٹر اس سے چند سال پیچھے تھے۔ تینوں کو کمبینیٹرکس پر ایرگوڈک تھیوری تکنیکوں کو لاگو کرنے میں مہارت حاصل تھی۔ لیکن اس مسئلے نے نئے چیلنجز کو جنم دیا۔

"مثبت کثافت کے ایک سیٹ کے اندر لامحدود سمیٹ تلاش کرنے کی عملی طور پر کوئی نظیر نہیں تھی،" نے کہا۔ ڈینیئل گلاسکاک، میساچوسٹس یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان، لوئیل جس نے موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن کے ساتھ گریجویٹ اسکول میں تعلیم حاصل کی۔

شاید اسی وجہ سے، سم سیٹ کا مسئلہ حل کرنا مشکل ثابت ہوا۔ موریرا نے کہا، "ہمیں ایک طرح سے، تھوڑا سا، ایرگوڈک تھیوری کو مجبور کرنا ہوگا۔ ان کی کوششیں آخر کار رنگ لائیں، اور کس چیز میں مارسین سبوک میک گل یونیورسٹی نے ایک "حیران کن کارنامہ" قرار دیا، وہ 2018 میں ایرڈس کے قیاس کو ثابت کرنے میں کامیاب ہوئے۔ ان کا ثبوت بعد میں میں شائع ریاضی کی تاریخیں، ریاضی کے سب سے معزز جرائد میں سے ایک۔

نئے ثبوت

اس پیپر نے دو بڑے سوالات کھلے چھوڑے۔ ان میں سے ایک اردس کا ایک اور خلاصہ قیاس تھا جسے کہا جاتا ہے۔ B + B + t قیاس

موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن نے بھی اپنا سوال اٹھایا تھا: اگر آپ کے پاس مثبت کثافت کا سیٹ ہے A، کیا آپ تین لامحدود سیٹ تلاش کر سکتے ہیں — B, C اور اب D - کہاں B + C + D اندر ہے A? چار لامحدود سیٹوں کے بارے میں کیا خیال ہے؟ پانچ؟

ان کے ملٹی سیٹ ورژن پیش کرنے کے بعد، ریاضی دان ایک وقت کے لیے پھنس گئے۔ ایسا لگتا تھا کہ دو سیٹوں کے قیاس کے لیے انہوں نے جو تکنیکیں استعمال کی تھیں وہ اپنی حد کو پہنچ چکی تھیں۔

ریکٹر نے کہا کہ "ہمیں اس مسئلے کی کوئی متحرک اصلاح نہیں مل سکی۔" ان کا نقطہ نظر، انہوں نے کہا، "شروع میں ہی ناکام رہا۔"

دو سال گزر گئے اس سے پہلے کہ انہوں نے حقیقی ترقی دیکھی۔ اس وقت تک، ریکٹر نارتھ ویسٹرن یونیورسٹی میں پوسٹ ڈاکٹریٹ فیلو تھا، جہاں برائنا کرا۔ ایک پروفیسر تھا. 2020 میں، کوویڈ 19 وبائی مرض کے ذریعہ ذاتی طور پر ملنے سے روکا گیا، کرا اور ریکٹر نے خود کو زوم پر سمیٹ کے مسئلے پر بات کرتے ہوئے پایا۔

"بالآخر، ہم کچھ دیگر تغیرات لے کر آئے جو ہم سمجھتے تھے،" کرا نے کہا۔

کرا اور ریکٹر نے 2018 کے ثبوت کا دوبارہ جائزہ لیتے ہوئے، ہر ہفتے موریرا اور رابرٹسن سے بات کرنا شروع کی۔

"ہمیں کیا کرنا تھا ثبوت کے ہر قدم پر نظر ثانی کرنا ہے، اس ترجمے کو متحرک نظام میں شروع کرتے ہوئے،" کرا نے کہا۔

ان کے مقصد میں مددگار 2019 تھا۔ کاغذ نامی ایک فرانسیسی ریاضی دان کے ذریعہ برنارڈ ہوسٹ. میزبان نے موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن کے نتیجے کو دوبارہ ثابت کر دیا تھا اور اندازہ لگایا تھا کہ ایرگوڈک تھیوری کو کیسے گانا ہے۔ موریرا کی رائے میں، میزبان نے "دیکھا کہ ہمارے ثبوت کو کیسے لکھا جائے جیسا کہ اسے لکھا جانا چاہیے تھا۔"

میزبان کی بہتری کے ساتھ، کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن نے اپنے ثبوت کو درست کرنے کا سلسلہ جاری رکھا، جو ممکن ہوسکے سب سے آسان، سب سے خوبصورت دلیل نکالنے کی کوشش کرتے رہے۔ "ہم صرف اس کو الگ کر رہے تھے، میرے خیال سے، بار بار، واقعی یہ دیکھنے کے لیے: اس مسئلے کی جڑ کیا ہے؟" ریکٹر نے کہا. "آخر میں، ہمارے پاس ایک ثبوت تھا جو ابتدائی ثبوت سے بہت کم مماثلت رکھتا تھا۔"

وہ ثبوت جس کے ساتھ وہ ختم ہوئے، فرسٹن برگ کی طرح، انٹیجرز کے لامحدود سیٹوں کو ایک متحرک نظام میں ٹائم سٹیمپ کے طور پر دیکھا۔ یہ متحرک نظام، اگرچہ، بہتر طور پر خلا میں چھلانگ لگانے والے پوائنٹس کے طور پر تصور کیا جاتا ہے۔

یہ کیسے کام کرتا ہے اس کی ایک کھردری تصویر ہے: بند کمرے کے ایک کونے میں کھڑے ہو کر شروع کریں، اسے کارنر 0 کہیں۔ آپ اوقات کی فہرست سے لیس ہیں۔ A. وہ سیٹ، A، عددی عدد کا ایک مثبت کثافت سیٹ ہے۔

آپ کمرے میں گھومنے پھرنے کے اصول سے بھی لیس ہیں۔ ہر سیکنڈ، آپ ایک نئی جگہ پر جاتے ہیں، اس بنیاد پر کہ آپ کہاں کھڑے تھے۔ آپ جس قطعی اصول کی پیروی کرتے ہیں اسے آپ کے اوقات کے سیٹ سے مماثل بنایا جائے گا۔ A - جب بھی ٹائم اسٹیمپ اندر ہوتا ہے۔ A، آپ اپنے آپ کو کمرے کے ایک خاص علاقے میں پائیں گے۔

مثال کے طور پر، کہتے ہیں A تمام اعداد پر مشتمل ہوتا ہے جس کو 4 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، اور ہر سیکنڈ میں، آپ کمرے کے اگلے کونے میں گھڑی کی سمت جاتے ہیں۔ ایک سیکنڈ کے بعد، آپ کونے 1 پر چلے جائیں؛ دو سیکنڈ کے بعد، کارنر 2، اور اسی طرح. پھر، ہر چار قدم — مطلب ہر وقت کے لیے جو اندر ہے۔ A - آپ اصل کارنر 0 پر واپس آ چکے ہوں گے۔

یہ عمل ہمیشہ جاری رہتا ہے۔ گھڑی کی سمت کے دائرے میں کونے سے کونے تک سفر کرتے ہوئے، آپ ہر کونے کو لامحدود کئی بار دیکھیں گے۔ ایک نقطہ جسے آپ لامحدود تعداد کے قریب پہنچتے ہیں اسے جمع نقطہ کہا جاتا ہے۔

کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن نے ثابت کیا کہ آپ اپنے سم سیٹ کو تلاش کرنے کے لیے چالاکی سے ان مقامات میں سے کسی ایک کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ B + C. کونے کی مثال میں، کارنر 1 لیں۔ آپ وہاں 1، 5، 9 اور 13 کے اوقات میں پہنچتے ہیں — ایسے اوقات جو 4 کی طرح نظر آتے ہیں۔n کچھ عدد کے لیے + 1 n. چلو B ان اوقات کا سیٹ بنیں۔

اب تصور کریں کہ کارنر 0 سے شروع کرنے کے بجائے، آپ کارنر 1 سے شروع کرتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ بعض اوقات 4 سے تقسیم ہونے پر، آپ اپنے آپ کو واپس کارنر 1 پر پائیں گے، اور آپ تین قدم بعد کارنر 0 پر پہنچ جائیں گے: بعض اوقات: 3، 7، 11، یا فارم 4 کا کوئی بھی نمبرn + 3. ان اوقات کے سیٹ کو کال کریں۔ C.

اب، کارنر 0 سے اپنا عمل دوبارہ شروع کریں۔ اس بار، دیکھیں کہ کیا ہوتا ہے اگر آپ اس سے نمبر لیتے ہیں۔ B اور سے ایک نمبر C - کہو، 13 سے B اور 3 سے C - اور ان کو شامل کریں.

اس میں 13 + 3 = 16 سیکنڈ لگیں گے۔ چونکہ 16 4 کا ضرب ہے، یہ اندر ہے۔ A. لیکن آپ یہ بھی پیش گوئی کر سکتے ہیں کہ 13 + 3 4 سے تقسیم ہو گا، اور اس طرح A، اصل میں 13 اور 3 کو ایک ساتھ شامل کیے بغیر۔ جب آپ 13 + 3 سیکنڈ انتظار کرتے ہیں تو متحرک نظام میں کیا ہوتا ہے اس کی پیروی کریں: پہلے، 13 سیکنڈ گزر جاتے ہیں۔ اس وقت، آپ اپنے آپ کو کارنر 1 میں پاتے ہیں۔ پھر، کونے 1 سے شروع کرتے ہوئے، آپ مزید تین قدم آگے بڑھتے ہیں، جو آپ کو واپس کارنر 0 پر لے جاتا ہے۔ چونکہ آپ کارنر 0 سے شروع ہوئے اور وہاں واپس پہنچ گئے، اس لیے آپ نے یقیناً ایک کا انتظار کیا ہوگا۔ چار سیکنڈ کا کثیر، مطلب کہ وقت کی کل مقدار اصل سیٹ میں ایک عدد تھی۔ A.

اس دلیل کو کام کرنے کے لیے، گروپ کو بہت سی پیچیدہ ریاضیاتی تفصیلات سے نمٹنا پڑا۔ مثال کے طور پر، زیادہ تر معاملات میں آپ کے پاس صرف چار کونوں پر نہیں بلکہ منتقل کرنے کے لیے لاتعداد مقامات دستیاب ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ آپ اصل میں کئی بار کسی جگہ پر واپس نہیں آئیں گے۔ آپ صرف لامحدود کئی بار اس کے قریب پہنچیں گے۔ اس نے دلیل میں ریاضی کی نئی پیچیدگیاں متعارف کرائیں۔ لیکن ایک بار جب انہوں نے یہ جان لیا کہ یہ عمل کیسے کام کرے گا، وہ جانتے تھے کہ وہ ان مشکل سوالات سے نمٹ سکیں گے جن کے بعد وہ تھے۔

"ہم یہاں اس ثبوت کے ساتھ آئے ہیں، اور یہ فوری طور پر واضح تھا کہ اسے عام کیسے کیا جائے،" ریکٹر نے کہا، جو اب سوئس فیڈرل انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی لوزان میں ہیں۔ قیاس کے کثیر سیٹ ورژن کو ثابت کرنے کے لیے، مثال کے طور پر، محققین صرف راستے میں ایک جمع نقطہ شامل کر سکتے ہیں۔ مجموعی دلیل ایک ہی تھی، صرف پیچیدگی کی ایک نئی پرت کے ساتھ۔

تمام تکنیکی چیزوں کو ختم کرنا آسان نہیں تھا۔ ان کے متحرک سیٹ اپ پر طے ہونے کے بعد، کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن کو زیادہ مشکل قیاس آرائیوں کے ثبوت تیار کرنے میں ایک سال سے زیادہ کا وقت لگا۔ اس سال جون میں، گروپ نے آخرکار دو مقالے شائع کیے۔ ایک ثابت ہوا۔ سم سیٹ قیاس کا ملٹی سیٹ ورژن۔ دیگر ثابت کیا B + B + t قیاس کا ورژن، جس کی ضرورت ہے کہ دوسرا سیٹ C پہلے سیٹ کے برابر ہو۔ B، کچھ مستقل کے ذریعہ منتقل کیا گیا ، t.

اگلے مراحل

اگرچہ جون کے مقالے سمیٹس کے بارے میں دو سوالات حل کرتے ہیں، کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن اپنی تحقیق کے لیے ایک طویل مستقبل کا تصور کرتے ہیں۔ موریرا نے، جو اب واروک یونیورسٹی میں ہے، کہا، "جیسا کہ ایرڈس نے پوچھا، وہ صرف یہ چاہتا ہے کہ ہم دروازے پر قدم رکھیں۔" "لیکن اب ہمیں دروازہ کھولنے کی ضرورت ہے اور جانے کی ضرورت ہے کہ وہاں اور کیا ہے۔"

اپنے نئے مقالوں میں، چاروں ریاضی دانوں نے ابھی تک جواب نہ ملنے والے سوالات کی شکل میں دریافت کی کئی ممکنہ سمتیں بتائی ہیں۔ ایک اس حقیقت پر انحصار کرتا ہے کہ، اگرچہ کوئی بھی مثبت کثافت سیٹ A ایک لامحدود مجموعہ پر مشتمل ہے۔ B + Cضروری نہیں کہ اس میں دو اجزاء شامل ہوں۔ B اور C. آپ کب اصرار کر سکتے ہیں۔ B اور C بھی اندر ہونا ضروری ہے A? مصنفین ریاضی دانوں کو یہ بھی چیلنج کرتے ہیں کہ وہ یہ معلوم کریں کہ آیا وہ لامحدود سیٹوں کی ایک لامحدود ترتیب تلاش کر سکتے ہیں جن کے مجموعے A.

میدان میں ایک اور کھلے سوال کا جواب پہلے ہی میک گل یونیورسٹی میں سبوک کے گریجویٹ طالب علم میٹ بوون دے چکے ہیں۔ اکتوبر میں، وہ پوسٹ کیا گیا ایک ثبوت یہ ہے کہ اگر آپ ہر عدد کو چند رنگوں میں سے ایک کو تفویض کرتے ہیں، تو آپ کو ایک مجموعہ مل سکتا ہے۔ بی + سی۔ اور سیٹ کی ایک مصنوعات BC رنگوں میں سے صرف ایک کے اندر۔

کرا، موریرا، ریکٹر اور رابرٹسن کا نیا کام کہاں اور کہاں لے جائے گا یہ ابھی تک معلوم نہیں ہے۔ لیکن تاؤ، کم از کم، گروپ کی تیار کردہ نئی تکنیکوں کے بارے میں پر امید ہیں۔ انہوں نے کہا کہ وہ اپنے طریقوں سے جو کچھ حاصل کرتے ہیں وہ "حقیقت میں کافی حیرت انگیز ہے"۔ لامحدود سیٹوں سے متعلق دیگر سوالات ہیں جو پہلے ناامید سمجھے جاتے تھے، اب پہنچ کے اندر ہیں۔