کوانٹم فیلڈ تھیوری ریاضی کی پہیلی کھولتی ہے۔

گزشتہ ماہ، کیرن ووگٹمین اور مائیکل بورنسکی ایک ثبوت پوسٹ کیا کہ اب تک کی ناقابل رسائی ریاضیاتی دنیا کے اندر ریاضیاتی ڈھانچے کا ایک ٹرک لوڈ ہے جسے گرافس کی ماڈیولی اسپیس کہا جاتا ہے، جسے ووگٹمین اور ایک ساتھی پہلے بیان کیا وسط 1980s میں.

"یہ ایک انتہائی مشکل مسئلہ ہے۔ جارجیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کے ایک ریاضی دان ڈین مارگلیت نے کہا کہ یہ حیرت انگیز ہے کہ وہ اس قابل تھے۔

ووگٹ مین اور بورنسکی نے ان سوالات کے ساتھ آغاز کیا جو ووگٹ مین، واروک یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان، کئی دہائیوں سے خود سے پوچھ رہے تھے۔ اس کے بعد اس جوڑے نے فزکس کی زبان میں اس مسئلے کا دوبارہ تصور کیا، کوانٹم فیلڈ تھیوری کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے ان کا نتیجہ سامنے آیا۔

ثبوت یہ ظاہر کرتا ہے کہ ماڈیولی اسپیس میں کچھ ڈھانچے موجود ہیں، لیکن یہ واضح طور پر ظاہر نہیں کرتا ہے کہ وہ ڈھانچے کیا ہیں۔ اس طرح، ان کا نیا نتیجہ کیمرے سے زیادہ دھاتی پکڑنے والے کی طرح ہے - یہ انہیں متنبہ کرتا ہے کہ کوئی دلچسپ چیز چھپا رہی ہے، حالانکہ وہ اسے پوری طرح بیان نہیں کر سکتے۔

آپ گراف کی ماڈیولی خالی جگہوں کو اضافی سجاوٹ کے ساتھ ریاضی کی شکلوں کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔ اگر آپ شکل پر کسی بھی مقام پر کھڑے ہیں، تو آپ کو اپنے اوپر ایک گراف تیرتا ہوا نظر آئے گا — پوائنٹس کا مجموعہ، یا عمودی، کناروں سے جڑے ہوئے ہیں۔ ماڈیولی اسپیس پر مختلف مقامات پر، گراف بدل جاتے ہیں، ان کے کنارے سکڑتے یا بڑھتے ہیں، اور کبھی کبھی مکمل طور پر غائب ہو جاتے ہیں۔ ان خصوصیات کی وجہ سے، سوئس فیڈرل انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی زیورخ کے ایک ریاضیاتی طبیعیات دان بورنسکی نے ماڈیولی خالی جگہوں کو "گراف کا ایک بڑا سمندر" قرار دیا ہے۔

گراف کا "درجہ" اس میں موجود لوپس کی تعداد ہے۔ گراف کے ہر درجہ کے لیے، ایک ماڈیولی اسپیس موجود ہے۔ اس اسپیس کا سائز تیزی سے بڑھتا ہے — اگر آپ گراف کے کناروں کی لمبائی کو ٹھیک کرتے ہیں، تو رینک 2 کے تین گراف ہیں، رینک 15 کے 3، رینک 111 کے 4، اور رینک 2,314,204,852 کے 10۔ ماڈیولی اسپیس پر، یہ لمبائییں ہوسکتی ہیں۔ مختلف، اور بھی زیادہ پیچیدگی کا تعارف۔

دیے گئے رینک کے گرافس کے لیے ماڈیولی اسپیس کی شکل کا تعین گرافس کے درمیان تعلقات سے ہوتا ہے۔ جب آپ خلا کے گرد چہل قدمی کرتے ہیں تو، قریبی گراف ایک جیسے ہونے چاہئیں، اور ایک دوسرے میں آسانی سے شکل اختیار کرنی چاہیے۔ لیکن یہ تعلقات پیچیدہ ہیں، ماڈیولی کی جگہ کو ریاضیاتی طور پر پریشان کن خصوصیات کے ساتھ چھوڑ دیتے ہیں، جیسے وہ علاقے جہاں ماڈیولی اسپیس کی تین دیواریں ایک دوسرے سے گزرتی ہیں۔

ریاضی دان کوہومولوجی کلاسز کہلانے والی اشیاء کا استعمال کرتے ہوئے کسی جگہ یا شکل کی ساخت کا مطالعہ کر سکتے ہیں، جس سے یہ ظاہر کرنے میں مدد مل سکتی ہے کہ کسی جگہ کو کیسے اکٹھا کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ریاضی دانوں کی پسندیدہ شکلوں میں سے ایک، ڈونٹ پر غور کریں۔ ڈونٹ پر، کوہومولوجی کلاسز صرف لوپس ہیں۔

ڈونٹ کی سطح پر کوئی بھی مختلف قسم کے لوپ کھینچ سکتا ہے: لوپ 1 ڈونٹ کے مرکزی سوراخ کو گھیرے میں لے لیتا ہے۔ سوراخ کے ذریعے 2 دھاگوں کو لوپ کریں۔ تیسرا "معمولی" لوپ ڈونٹ کی طرف بیٹھا ہے۔

تاہم، تمام کوہومولوجی کلاسز برابر نہیں بنائی گئی ہیں۔ ڈونٹ کے باہر بیٹھا ایک لوپ — جیسے تیسرا لوپ — دوسرے لوپ کو آپس میں جوڑنے سے بچنے کے لیے ہمیشہ ادھر ادھر پھسل سکتا ہے یا سکڑ سکتا ہے۔ یہ اسے ایک "معمولی" کوہومولوجی کلاس بناتا ہے۔

لیکن لوپس 1 اور 2 ڈونٹ کی ساخت کے بارے میں بہت کچھ کہتے ہیں - وہ صرف سوراخ کی وجہ سے موجود ہیں۔ مارگلیٹ نے وضاحت کی کہ ریاضی کے لحاظ سے فرق کو سمجھنے کے لیے، آپ چوراہوں کا استعمال کر سکتے ہیں۔ لوپس 1 اور 2 ڈونٹ کی سطح پر پھسل سکتے ہیں، لیکن جب تک آپ انہیں مکمل طور پر سطح سے الگ ہونے پر مجبور نہیں کرتے، وہ ہمیشہ ایک دوسرے کو کاٹتے رہیں گے۔ چونکہ یہ دو لوپس ایسے شراکت داروں کے ساتھ آتے ہیں جن کی مدد نہیں کر سکتے لیکن پار کر سکتے ہیں، یہ "غیر معمولی" کوہومولوجی کلاسز ہیں۔

ڈونٹ کے برعکس، ریاضی دان صرف تصویر کھینچ کر گرافس کی ماڈیولی خالی جگہوں پر کوہومولوجی کلاسز تلاش نہیں کر سکتے۔ کوپن ہیگن یونیورسٹی کی ایک ریاضی دان نتھالی واہل نے کہا کہ گراف کی اتنی بڑی تعداد کے ساتھ، ماڈیولی خالی جگہوں کو سنبھالنا مشکل ہے۔ "بہت جلدی، کمپیوٹر اب مدد نہیں کر سکتا،" اس نے کہا۔ درحقیقت، صرف ایک عجیب جہتی غیر معمولی کوہومولوجی کلاس رہی ہے۔ واضح طور پر شمار کیا (11 جہتوں میں)، مٹھی بھر مساوی کے ساتھ۔

Vogtmann اور Borinsky نے جو ثابت کیا وہ یہ ہے کہ کوہومولوجی کلاسز کی بہت بڑی تعداد موجود ہے جو ایک دیئے گئے رینک کے گرافس کی ماڈیولی اسپیس کے اندر موجود ہیں - حالانکہ ہم انہیں تلاش نہیں کر سکتے۔ "ہم جانتے ہیں کہ ٹن ہیں، اور ہم ایک کو جانتے ہیں،" واہل نے حالات کو "مضحکہ خیز" قرار دیتے ہوئے کہا۔

کوہومولوجی کلاسوں کے ساتھ براہ راست کام کرنے کے بجائے، بورنسکی اور ووگٹ مین نے ایک عدد کا مطالعہ کیا جسے Euler کی خصوصیت کہا جاتا ہے۔ یہ نمبر ماڈیولی جگہ کی پیمائش کی ایک قسم فراہم کرتا ہے۔ آپ یولر کی خصوصیت کو تبدیل کیے بغیر کچھ طریقوں سے ماڈیولی اسپیس میں ترمیم کر سکتے ہیں، جس سے Euler کی خصوصیت کوہومولوجی کلاسز سے زیادہ قابل رسائی بن جاتی ہے۔ اور یہی بورینسکی اور ووگٹ مین نے کیا۔ گراف کی ماڈیولی اسپیس کے ساتھ براہ راست کام کرنے کے بجائے، انہوں نے "ریڑھ کی ہڈی" کا مطالعہ کیا - بنیادی طور پر مجموعی جگہ کا ایک کنکال۔ ریڑھ کی ہڈی میں یولر کی وہی خصوصیت ہے جو خود ماڈیولی اسپیس ہے اور اس کے ساتھ کام کرنا آسان ہے۔ ریڑھ کی ہڈی پر یولر کی خصوصیت کا حساب لگانا گراف کے جوڑوں کے ایک بڑے مجموعہ کو گننے کے لیے نیچے آیا۔

بورنسکی کی بصیرت فین مین ڈایاگرامس کی گنتی کے لیے تکنیکوں کا استعمال کرنا تھی، جو وہ گراف ہیں جو کوانٹم ذرات کے تعامل کے طریقوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ جب طبیعیات دان اس بات کا حساب لگانا چاہتے ہیں کہ ایک الیکٹران اور پوزیٹرون کے درمیان ٹکراؤ سے دو فوٹان پیدا ہوں گے تو انہیں تمام ممکنہ تعاملات کا مجموعہ جو اس نتیجے کی طرف لے جاتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ بہت سے فین مین ڈایاگرام پر اوسط، ہوشیار گنتی کی حکمت عملیوں کو متحرک کرنا۔

"میں نے محسوس کیا کہ کوئی بھی اس قسم کے مسئلے کو ایک کھلونا کوانٹم فیلڈ تھیوری کائنات کے طور پر تشکیل دے سکتا ہے،" بورنسکی نے وضاحت کی۔

بورنسکی نے گرافس کو کائنات کے ایک سادہ ورژن میں جسمانی نظام کی نمائندگی کرنے کے طور پر تصور کیا، جس میں، دیگر مفروضوں کے علاوہ، صرف ایک قسم کا ذرہ ہے۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری فریم ورک کو بورینسکی اور ووگٹ مین کے لیے صحیح شمار حاصل کرنے کے لیے کچھ ایڈجسٹمنٹ کی ضرورت تھی۔ بورنسکی نے کہا، مثال کے طور پر، کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، دو گراف جو ایک دوسرے کی آئینہ دار تصویریں ہیں، الگ نہیں کیے جا سکتے۔ فین مین ڈایاگرام کو شامل کرنے کے فارمولوں میں ایسے عوامل شامل ہیں جو یقینی بناتے ہیں کہ یہ گراف زیادہ گنتی نہیں ہیں۔ لیکن جب ایولر کی خصوصیت کا حساب لگانے کی بات آتی ہے تو ان گرافوں کو مختلف سمجھا جاتا ہے۔ بورنسکی نے کہا، "ہمیں گرافس کی ہم آہنگی کے ساتھ تھوڑا سا کھیل کھیلنا ہے۔

ماہر طبیعیات سے کچھ پروگرامنگ مدد کے ساتھ جوس ورماسرین، بورنسکی اور ووگٹ مین نے آخر کار اس مشکل پر قابو پالیا۔ اپنے جنوری کے مقالے میں، انہوں نے ثابت کیا کہ اولر کی خصوصیت رینک کے گراف کے ماڈیولی اسپیس کی n کے طور پر بڑے پیمانے پر منفی ہو جاتا ہے n بڑا ہو جاتا ہے. اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر ماڈیولی اسپیس کے اندر بہت سی، بہت سی غیر معمولی کوہومولوجی کلاسیں موجود ہیں۔

اگرچہ بورنسکی اور ووگٹمین کے مقالے میں ان کوہومولوجی کلاسوں کے بارے میں مزید کوئی اشارے نہیں ہیں، لیکن یہ ان محققین کے لیے ایک حوصلہ افزا نتیجہ ہے جو انھیں تلاش کرنا چاہتے ہیں - اور شاید یہ شکار کے سنسنی میں اضافہ کرتا ہے۔ کوہومولوجی کلاسز کے مارگلیت نے کہا: "یہ جن کو ہم جانتے ہیں وہ صرف یہ جواہرات ہیں۔ اور جب بھی ہمیں کوئی مل جاتا ہے، یہ خوبصورت چیز ہے۔