Lý thuyết trường lượng tử giải câu đố toán học mở

Tháng trước, Karen Vogtmann và Micheal Borinsky đăng một bằng chứng rằng có một khối lượng cấu trúc toán học trong một thế giới toán học cho đến nay không thể tiếp cận được gọi là không gian moduli của đồ thị, mà Vogtmann và một cộng tác viên được mô tả đầu tiên ở giữa 1980.

“Đó là một vấn đề siêu khó. Dan Margalit, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Georgia, cho biết: “Thật ngạc nhiên là họ có thể làm được.

Vogtmann và Borinsky bắt đầu với những câu hỏi mà Vogtmann, một nhà toán học tại Đại học Warwick, đã tự hỏi mình trong nhiều thập kỷ. Sau đó, cặp đôi này mô phỏng lại vấn đề bằng ngôn ngữ vật lý, sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết trường lượng tử để đưa ra kết quả của họ.

Bằng chứng chứng minh rằng các cấu trúc nhất định tồn tại trong không gian moduli, nhưng nó không tiết lộ rõ ​​ràng những cấu trúc đó là gì. Theo cách đó, kết quả mới của họ giống máy dò kim loại hơn là máy ảnh — nó cảnh báo họ rằng có điều gì đó thú vị đang ẩn giấu, mặc dù họ không thể mô tả đầy đủ về nó.

Bạn có thể nghĩ về các không gian moduli của đồ thị như các hình dạng toán học được trang trí thêm. Nếu bạn đứng tại bất kỳ điểm nào trên hình dạng, bạn sẽ thấy một biểu đồ nổi phía trên bạn — một tập hợp các điểm hoặc đỉnh, được nối với nhau bằng các cạnh. Tại các vị trí khác nhau trên một không gian moduli, các đồ thị thay đổi, các cạnh của chúng co lại hoặc tăng lên và đôi khi biến mất hoàn toàn. Vì những đặc điểm này, Borinsky, một nhà vật lý toán học tại Viện Công nghệ Liên bang Thụy Sĩ Zurich, mô tả không gian moduli là “một biển đồ thị lớn”.

“Xếp hạng” của đồ thị là số vòng mà nó có; đối với mỗi cấp của đồ thị, tồn tại một không gian moduli. Kích thước của không gian này tăng lên nhanh chóng — nếu bạn cố định độ dài của các cạnh của biểu đồ, thì có ba đồ thị có bậc 2, 15 của bậc 3, 111 của bậc 4 và 2,314,204,852 của bậc 10. Trong không gian moduli, các độ dài này có thể khác nhau, thậm chí còn phức tạp hơn.

Hình dạng của không gian moduli đối với đồ thị của một bậc nhất định được xác định bởi mối quan hệ giữa các đồ thị. Khi bạn đi vòng quanh không gian, các biểu đồ lân cận sẽ giống nhau và sẽ biến đổi trơn tru với nhau. Nhưng những mối quan hệ này rất phức tạp, khiến không gian moduli có những đặc điểm đáng lo ngại về mặt toán học, chẳng hạn như các vùng mà ba bức tường của không gian moduli đi qua nhau.

Các nhà toán học có thể nghiên cứu cấu trúc của một không gian hoặc hình dạng bằng cách sử dụng các đối tượng được gọi là các lớp đối điều, có thể giúp tiết lộ cách một không gian được sắp xếp lại với nhau. Ví dụ, hãy xem xét một trong những hình dạng yêu thích của các nhà toán học, chiếc bánh rán. Trên bánh rán, các lớp đồng điều chỉ đơn giản là các vòng lặp.

Người ta có thể vẽ một số loại vòng khác nhau trên bề mặt của chiếc bánh rán: Vòng 1 bao quanh lỗ trung tâm của chiếc bánh rán; luồn 2 sợi chỉ qua lỗ; vòng lặp "tầm thường" thứ ba nằm trên mặt của chiếc bánh rán.

Tuy nhiên, không phải tất cả các lớp đối đồng điều được tạo ra như nhau. Một vòng nằm ở bên ngoài của chiếc bánh rán - như vòng thứ ba - luôn có thể trượt xung quanh hoặc co lại để tránh giao nhau với một vòng khác. Điều đó làm cho nó trở thành một lớp đối đồng điều “tầm thường”.

Nhưng các vòng 1 và 2 nói nhiều hơn về cấu trúc của chiếc bánh rán - chúng chỉ tồn tại nhờ có lỗ. Margalit giải thích: Để phân biệt sự khác biệt về mặt toán học, bạn có thể sử dụng các giao lộ. Các vòng 1 và 2 có thể trượt xung quanh trên bề mặt của chiếc bánh rán, nhưng trừ khi bạn buộc chúng tách hẳn ra khỏi bề mặt, nếu không chúng sẽ luôn cắt nhau. Bởi vì hai vòng lặp này đi kèm với các đối tác mà chúng không thể không vượt qua, nên chúng là các lớp đối đồng điều “không tầm thường”.

Không giống như với một chiếc bánh rán, các nhà toán học không thể tìm thấy các lớp đối điều trên các không gian moduli của đồ thị chỉ bằng cách vẽ một bức tranh. Nathalie Wahl, một nhà toán học tại Đại học Copenhagen, cho biết với số lượng đồ thị khổng lồ như vậy, không gian moduli rất khó xử lý. “Rất nhanh, máy tính không thể giúp được nữa,” cô nói. Thật vậy, chỉ có một lớp đối đồng điều không cần thiết theo chiều lẻ đã được tính toán rõ ràng (ở 11 chiều), cùng với một số ít chiều chẵn.

Điều mà Vogtmann và Borinsky đã chứng minh là có một số lượng khổng lồ các lớp đối điều nằm trong không gian moduli của các đồ thị có cấp bậc nhất định — mặc dù chúng ta không thể tìm thấy chúng. “Chúng tôi biết có rất nhiều, và chúng tôi biết một,” Wahl nói, gọi tình trạng này là “lố bịch.”

Thay vì làm việc trực tiếp với các lớp đối đồng điều, Borinsky và Vogtmann đã nghiên cứu một con số gọi là đặc trưng Euler. Con số này cung cấp một loại phép đo không gian moduli. Bạn có thể sửa đổi không gian moduli theo những cách nhất định mà không làm thay đổi đặc tính Euler của nó, làm cho đặc tính Euler dễ tiếp cận hơn bản thân các lớp đối đồng điều. Và đó là điều mà Borinsky và Vogtmann đã làm. Thay vì làm việc trực tiếp với không gian moduli của đồ thị, họ đã nghiên cứu “xương sống” - về cơ bản là bộ khung của không gian tổng thể. Cột sống có đặc tính Euler giống như không gian moduli và dễ làm việc hơn. Việc tính toán đặc trưng Euler trên cột sống bắt nguồn từ việc đếm một bộ sưu tập lớn các cặp đồ thị.

Cái nhìn sâu sắc của Borinsky là sử dụng các kỹ thuật đếm biểu đồ Feynman, là những biểu đồ biểu thị cách các hạt lượng tử tương tác. Chẳng hạn, khi các nhà vật lý muốn tính toán xác suất mà một vụ va chạm giữa một electron và một positron sẽ tạo ra hai photon, họ cần phải tổng hợp trên tất cả các tương tác có thể dẫn đến kết cục đó. Điều đó có nghĩa là tính trung bình trên nhiều biểu đồ Feynman, thúc đẩy các chiến lược đếm thông minh.

Borinsky giải thích: “Tôi nhận ra rằng người ta có thể trình bày loại vấn đề này giống như một vũ trụ lý thuyết trường lượng tử đồ chơi.

Borinsky tưởng tượng các biểu đồ biểu thị các hệ vật lý trong một phiên bản đơn giản của vũ trụ, trong đó, trong số các giả định khác, chỉ có một loại hạt. Khung lý thuyết trường lượng tử cần một số điều chỉnh để Borinsky và Vogtmann có được số đếm phù hợp. Chẳng hạn, trong lý thuyết trường lượng tử, hai đồ thị là hình ảnh phản chiếu của nhau thì không thể phân biệt được, Borinsky nói. Các công thức cộng biểu đồ Feynman bao gồm các yếu tố đảm bảo các biểu đồ này không bị tính quá nhiều. Nhưng khi tính toán đặc trưng Euler, những đồ thị đó được coi là khác nhau. “Chúng ta phải chơi một trò chơi nhỏ với sự đối xứng của các đồ thị,” Borinsky nói.

Với một số trợ giúp lập trình từ nhà vật lý Jos Vermaseren, Borinsky và Vogtmann cuối cùng đã vượt qua khó khăn này. Trong bài báo tháng Giêng của họ, họ đã chứng minh rằng đặc trưng Euler của không gian moduli của đồ thị bậc n bị tiêu cực ồ ạt như n Lớn hơn. Điều này ngụ ý rằng có rất nhiều lớp đối đồng điều không tầm thường được khám phá trong mỗi không gian moduli.

Mặc dù bài báo của Borinsky và Vogtmann không chứa thêm gợi ý nào về các lớp đối đồng điều này, nhưng đó là một kết quả đáng khích lệ đối với các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm chúng — và có lẽ nó làm tăng thêm sự hồi hộp cho cuộc săn lùng. Margalit của các lớp đồng điều nói: “Những lớp chúng ta biết chỉ là những viên ngọc quý này. Và mỗi khi chúng tôi tìm thấy một thứ, đó là thứ tuyệt đẹp này.”