量子场论破解数学难题

上个月， 卡伦·沃格特曼 和 迈克尔·鲍林斯基 贴出证明 Vogtmann 和合作者 首先描述 在1980中间。

“这是一个超级难的问题。 佐治亚理工学院的数学家 Dan Margalit 说：“他们能够做到这一点真是太神奇了。”

Vogtmann 和 Borinsky 从华威大学的数学家 Vogtmann 几十年来一直在问自己的问题开始。 然后，两人用物理学的语言重新构想了这个问题，使用量子场论中的技术得出了他们的结果。

该证明表明某些结构存在于模空间中，但并未明确揭示这些结构是什么。 这样一来，他们的新结果更像是一个金属探测器，而不是照相机——它提醒他们隐藏着一些有趣的东西，即使他们无法完全描述它。

您可以将图的模空间视为添加了装饰的数学形状。 如果您站在形状上的任意一点，您会看到一个图形漂浮在您上方 — 由边连接的点或顶点的集合。 在模空间的不同位置，图形会发生变化，它们的边会缩小或增大，有时甚至会完全消失。 由于这些特征，瑞士苏黎世联邦理工学院的数学物理学家 Borinsky 将模空间描述为“一大片图海”。

图的“等级”是它具有的循环数； 对于每个等级的图，都存在一个模空间。 这个空间的大小增长很快——如果你固定图的边的长度，有 2 个图的秩为 15，秩为 3，秩为 111，秩为 4，秩为 2,314,204,852 的 10。在模空间上，这些长度可以变化，引入更多的复杂性。

给定秩图的模空间形状由图之间的关系决定。 当你在空间中四处走动时，附近的图形应该是相似的，并且应该平滑地相互变形。 但是这些关系很复杂，使模空间具有数学上令人不安的特征，例如模空间的三壁相互穿过的区域。

数学家可以使用称为上同调类的对象来研究空间或形状的结构，这有助于揭示空间是如何组合在一起的。 例如，考虑一下数学家最喜欢的形状之一，甜甜圈。 在甜甜圈上，上同调类只是循环。

人们可以在甜甜圈的表面画出几种不同的环：环 1 环绕着甜甜圈的中心孔； 将 2 根线穿过孔； 第三个“普通”循环位于甜甜圈的一侧。

然而，并非所有的上同调类都是平等的。 位于甜甜圈外侧的环（如第三个环）始终可以滑动或收缩以避免与另一个环相交。 这使它成为一个“平凡的”上同调类。

但是循环 1 和循环 2 更能说明甜甜圈的结构——它们的存在只是因为有一个洞。 Margalit 解释说，要从数学上辨别差异，您可以使用交叉点。 循环 1 和循环 2 可以在甜甜圈表面滑动，但除非您强制它们完全脱离表面，否则它们将始终相互交叉。 因为这两个循环伴随着它们不可避免地交叉的伙伴，所以它们是“非平凡的”上同调类。

与甜甜圈不同，数学家不能仅通过画图就在图的模空间上找到上同调类。 哥本哈根大学的数学家 Nathalie Wahl 说，有了如此庞大的图，模空间很难处理。 “很快，电脑就帮不上忙了，”她说。 实际上，只有一个奇维非平凡上同调类 显式计算 （在 11 个维度中），以及一些偶数。

Vogtmann 和 Borinsky 证明的是，在给定秩的图的模空间内存在大量的上同调类——即使我们找不到它们。 “我们知道有很多，我们知道一个，”瓦尔说，称事态“荒谬可笑”。

Borinsky 和 ​​Vogtmann 没有直接使用上同调类，而是研究了一个称为欧拉特征的数。 这个数字提供了模空间的一种测量。 您可以在不改变其欧拉特征的情况下以某些方式修改模空间，从而使欧拉特征比上同调类本身更容易获得。 这就是鲍林斯基和福格特曼所做的。 他们没有直接使用图形的模空间，而是研究了“脊柱”——本质上是整个空间的骨架。 脊柱与模空间本身具有相同的欧拉特性，并且更易于使用。 计算脊柱上的欧拉特征归结为计算大量图形对的集合。

Borinsky 的见解是使用计算费曼图的技术，费曼图是表示量子粒子相互作用方式的图。 例如，当物理学家想要计算一个电子和一个正电子之间的碰撞产生两个光子的几率时，他们需要 总结所有可能的相互作用 导致那个结果。 这意味着对许多费曼图进行平均，从而激发聪明的计数策略。

“我意识到人们可以将这类问题表述为一种玩具量子场论宇宙，”Borinsky 解释道。

鲍林斯基将这些图想象成一个简单版本的宇宙中的物理系统，其中除了其他假设外，只有一种类型的粒子。 Borinsky 和 ​​Vogtmann 需要对量子场论框架进行一些调整才能获得正确的计数。 例如，在量子场论中，两个互为镜像的图是无法区分的，Borinsky 说。 将费曼图相加的公式包括确保这些图不被多算的因素。 但是当涉及到计算欧拉特性时，那些图形被认为是不同的。 “我们必须用图形的对称性来玩一个小游戏，”Borinsky 说。

在物理学家的一些编程帮助下 乔斯·维尔马塞伦，Borinsky 和 ​​Vogtmann 终于克服了这个困难。 在他们一月份的论文中，他们证明了秩图的模空间的欧拉特征 n 变得非常消极 n 变大。 这意味着在每个模空间中有很多很多非平凡的上同调类要被发现。

尽管 Borinsky 和 ​​Vogtmann 的论文没有进一步暗示这些上同调类，但对于寻求找到它们的研究人员来说，这是一个令人鼓舞的结果——也许它增加了寻找的乐趣。 上同调类的 Margalit 说：“我们所知道的这些就是这些宝石。 每次我们找到一个，都是这个美丽的东西。”