使求解数学方程式变得容易的对称性

想想“Pop Goes the Weasel”的曲调。 现在唱这些歌词：

消极的 b, 正负
的平方根 b 平方
零四 a c
全部！ 超过两个 a

这首歌帮助一代又一代的代数学生回忆起求解 $latex ax^2+bx+c=0$ 形式的每个方程的二次公式。 该公式很有用，因为它很可能出现在字典中的“数学焦虑”下，快速浏览一下就会知道原因：

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

尽管这看起来很吓人，但隐藏在里面的是一个简单的秘密，它使求解每个二次方程变得容易：对称性。 让我们看看对称性如何使二次公式起作用，以及缺乏对称性如何使求解三次方程（形式为 $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$）变得非常非常困难。 事实上，这要困难得多，以至于 1500 年代的一些数学家终其一生都卷入了激烈的公众争执中，他们竞相为三次方程做一些很容易为二次方程做的事情。

解方程是数学课的一项核心技能——它可以帮助我们找到最大利润、最小距离、交点等等。 我们学习求解的最基本方程之一是 $latex f(x)=0$。 给定一个函数 $latex f(x)$，这个等式问：什么输入 x 返回 0 的输出？ 出于这个原因，这个方程的解有时被称为函数的“零点”或“根”。

在我们找到每个二次函数的根之前，让我们从一个简单的开始：$latex f(x)=x^2-9$ 的根是什么？ 要找到它们，只需求解方程 $latex f(x)=0$。

$乳胶 f(x)=0$
$乳胶 x^2-9=0$
$乳胶 x^2=9$
$乳胶 x=pm3$

这些根很容易找到，因为这个方程很容易求解。 你所要做的就是隔离 x. 请注意，我们在最后一行需要 $latex pm$，因为 3 和 -3 都具有将它们平方时得到 9 的属性。快速检查 $latex f(3)=f(-3)=0 $ 验证这些确实是使 $latex f(x)$ 输出为 0 的输入。

$latex pm$ 也指出了这种情况固有的对称性。 二次函数有两个根，如果您将这两个根想象在一条数轴上，您会发现它们关于 $latex x=0$ 对称。

当您记得二次函数的图形是抛物线时，这就很有意义了。 每个抛物线都有一个对称轴，将抛物线分成两个镜像部分。 在 $latex f(x)=x^2-9$ 的情况下，对称轴是 y-轴（$latex x=0$ 行）。 当你以通常的方式绘制 $latex f(x)=x^2-9$ 时，通过处理 x 作为自变量并设置 $latex y=f(x)$，您可以在 x-axis，等距和在两侧 y-轴。

对于像 $latex f(x)=x^2-8x-9$ 这样更复杂的二次方程，找到根需要更多的挖掘。

$乳胶 f(x)=0$
$乳胶 x^2-8x-9=0$
$乳胶 x^2-8x=9$

我们可以设置$latex f(x)$等于0，像之前一样把9移到右边，但是我们不能对两边都取平方根来隔离 x. 另一个术语 x 它挡住了路。 但是这个函数，就像每个二次函数一样，是对称的，我们可以使用这种对称性来解决这个问题。 我们只需要一点代数就可以使对称性更加透明。

让我们将函数 $latex f(x)=x^2-8x-9$ 重写为 $latex f(x)=x(x-8)-9$。 现在关注 $latex x(x-8)$ 部分。 这将在两种情况下为 0——如果 x = 0 或者如果 x = 8 — 这保证 $latex f(0)$ 和 $latex f(8)$ 将采用相同的值 -9。 这给了我们抛物线上的两个对称点，并且由于对称轴必须在中间将 $latex x=0$ 和 $latex x=8$ 分开，所以它必须是线 $latex x=4$。

现在我们已经找到了对称性，是时候利用它了。 我们将抛物线向左移动四个单位，使其对称轴从 $latex x=4$ 线移动到 $latex x=0$ 线。 有一种简单的方法可以代数地执行此转换：我们替换每个 x x + 4。

让我们调用 $latex g(x)$ 替换时得到的新二次函数 x x+ 4. 换句话说，令$latex g(x)=f(x+4)$。 观察当我们简化 $latex g(x)$ 时会发生什么：

$乳胶 g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$乳胶 g(x)=x^2-25$

在我们多次应用分配属性并收集相似项之后， x 我们新翻译的二次项消失了，这使得找到 $latex g(x)$ 的根变得容易：

$乳胶 g(x)=0$
$乳胶 x^2-25=0$
$乳胶 x^2=25$
$乳胶 x=pm5$

$latex g(x)$ 的根是 $latex x=pm5$，所以要找到 $latex f(x)=x^2-8x-9$ 的根，我们只需移动 $latex g( x)$ 向右后退四个单位。 这给出了 $latex f(x)$ 的根：$latex 4pm5$，或 9 和 -1，您可以通过计算 $latex f(9)=f(-1)=0$ 来验证。

解决这个稍微难一点的二次方程的秘诀是将它滑过并通过消除干扰将它变成一个更容易的二次方程 x 学期。 这种方法适用于任何二次函数。 给定一个任意二次 $latex f(x)=ax^2+bx+c$，你总是可以用相同的因式分解找到它的对称轴：

$乳胶 f(x)=ax^2+bx+c$
$乳胶 f(x)=x(ax+b)+c$

在这种形式中，您可以看到 $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$，这意味着对称轴在 $latex x=0$ 和 $latex x= 之间-frac{b}{a}$。 换句话说，任何二次函数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ 的对称轴是直线 $latex x=-frac{b}{2a}$。 这应该看起来很熟悉。 它隐藏在二次公式中！

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

如果你这样重写它更容易看出：

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

二次公式依赖于这样一个事实，即二次 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ 的根关于 $latex x=-frac{b}{2a}$ 是对称的。 正如我们在上面所做的那样，您可以使用该对称性来找到它们：只需将 $latex f(x)$ 翻译为 $latex -frac{b}{2a}$。 这具有消除 x 长期，它可以让你很容易地隔离 x 并解决。 这样做，你就会得到二次公式。 （有关更多详细信息，请参见下面的练习。）这不像哼唱儿童曲子那么容易，但它演示了使该公式起作用的重要代数和几何联系。

用对称的力量求解二次方程可能会鼓励我们在三次方程上尝试类似的策略。 但是，虽然三次方确实具有对称性，但它并不是那种有助于求解 $latex f(x)=0$ 等方程式的类型。 三次图具有“点对称性”，这意味着在每个三次函数的图形上都有一个特殊点，如果一条线穿过该点并与三次方在其他任何地方相交，则它会再次对称地与该点相交。

这是一种强对称性，但对求根没有帮助。 那是因为一个函数的根出现在它的图形穿过水平线 $latex y=0$ 的地方（ x轴），一般来说，这些交点关于立方体的特殊对称点不对称。

事实上，立方体可能只有根。 那里没有对称性。

然而，我们早期的二次方程式研究可以提供一些帮助。

如果我们有一个二次函数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$ 并且我们知道它的根是 $latex r_1 $ 和 $latex r_2$，那么我们总是可以将 $latex f(x)$ 写成“分解”形式：$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$。 现在，当我们将其相乘并简化时，我们会得到一些非常有用的东西。

$乳胶 f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

注意系数是如何 x 术语涉及两个根 $latex r_1$ 和 $latex r_2$ 的总和。 这与 Vieta 的公式之一有关（您可能已经看到 一旦 or 两次 before in these columns): 给定二次函数 $latex f(x)=ax^2+bx+c$，两个根的总和将始终为 $latex -frac{b}{a}$。 您可以通过将二次方程的一般形式设置为其分解形式 $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ 并观察两个多项式实际上可以相同是指它们对应的系数是否相同。 在这种情况下，这意味着 x 等式两边的项必须相等，所以我们可以写

$乳胶 b=-a(r_1+r_2)$

然后划分：

$乳胶 r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

请注意，将方程两边同时除以 2 证明了一个有趣的事实：二次函数的两个根的平均值等于 x- 对称轴的值：

$$ 压裂{r_1+r_2}{2} = -压裂{b}{2a}$$

这是有道理的，因为对称轴必须在两个根的中间，而任意两个数的平均值就是恰好在它们中间的数。

但是在我们早期翻译的上下文中考虑这种新关系。 通过将对称轴从 $latex x = -frac{b}{2a}$ 移动到 $latex x=0$ 来平移抛物线，也会改变 $latex -frac{b}{2a} 的两个根的平均值$ 为 0。

但如果根的平均值为 0，则根的和也必须为 0，并且两个根的和以二次的因式形式出现：

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

这意味着平移二次方使根之和变为 0 也使得 x 术语消失。 这就是帮助我们解决之前的二次方程的原因，关于根的类似结果也适用于三次函数。

给定一个一般的立方 $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，我们可以做我们对二次方程所做的事情。 如果立方体有根 $latex r_1$、$latex r_2$ 和 $latex r_3$，我们可以将立方函数写成它的因式形式 $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ 并将其相乘。 这给了我们 $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ 然后我们设置等于一般形式 $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$，并且由于相应的系数必须相同，所以我们最终得到 Vieta 的三次方根之和公式：

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

请注意，我们可以将等式两边同时除以 3 得到

$$ 压裂{r_1+r_2+r_3}{3} = -压裂{b}{3a}$$

这告诉我们三次方的平均根是 $latex -frac{b}{3a}$。 现在，如果我们将三次方平移这个数量，平均根将为 0，这将使根的总和等于 0，这反过来将使我们平移的立方体中 $latex x^2$ 的系数消失。

简而言之，转换 $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ 产生所谓的“压抑”立方体，这意味着它没有 $latex x^2$ 项. 我们转换后的凹陷立方体将如下所示：

$乳胶 g(x)=ax^3+mx+n$

系数 m 和 n 可以表示为 a，b，c， 和 d 从原来的立方体。 它们等于什么并不重要，重要的是有可靠的技术可以找到压抑三次方的根。 事实上，这种技术是 1500 年代杰罗拉莫·卡尔达诺 (Gerolamo Cardano) 和尼科洛·塔尔塔利亚 (Niccolò Tartaglia) 之间传奇性争论的核心，这场争论涉及友谊、背叛和公开数学决斗。 它是 漫长而迷人的故事，有一个非凡的数学结论：将任何立方体转化为凹陷立方体的能力，以及求解任何凹陷立方体的能力，使我们能够求解每个三次方程。 你会原谅我遗漏了其余的细节，因为，好吧，向你展示它更容易。

这是三次公式，它像二次公式一样求解每个三次方程。 但与二次公式不同的是，它没有朗朗上口的曲调。 欢迎您尝试写一个，但它可能需要几节经文和一两首副歌。

演习

1. 如果你知道一个立方的根，你当然可以找到其他的。 为什么？

2. 二次方的根可能是复数。 这不会影响对称性论证吗？

3. 给定一般二次方程 $latex f(x)=ax^2+bx+c$，求解变换后的二次方程 $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ 得到二次公式。

4.四次函数$latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$的均方根是多少？

5. 用微积分证明立方体的拐点也是它的对称点。