গণিতের ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যার ইতিহাসের পুনরাবৃত্তি কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

1886 সালে গণিতবিদ লিওপোল্ড ক্রোনেকার বিখ্যাতভাবে বলেছিলেন, "ঈশ্বর নিজেই সম্পূর্ণ সংখ্যা তৈরি করেছেন - বাকি সবকিছুই মানুষের কাজ।" প্রকৃতপক্ষে, গণিতবিদগণ গণনা করার জন্য ব্যবহৃত সংখ্যার পাশাপাশি সংখ্যার নতুন সেট প্রবর্তন করেছেন এবং তারা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝার জন্য পরিশ্রম করেছেন।

যদিও প্রতিটি ধরণের সংখ্যার নিজস্ব আকর্ষণীয় এবং জটিল ইতিহাস রয়েছে, তবে আজ সেগুলি এতটাই পরিচিত যে সেগুলি স্কুলছাত্রীদের শেখানো হয়। পূর্ণসংখ্যা হল শুধুমাত্র পূর্ণ সংখ্যা, প্লাস ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং শূন্য। মূলদ সংখ্যা হল যেগুলিকে পূর্ণসংখ্যার ভাগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়, যেমন 3, −‍1/2 এবং 57/22। তাদের দশমিক সম্প্রসারণ হয় সমাপ্ত হয় (−‍1 / 2 = −‍0.5) বা অবশেষে পুনরাবৃত্তি করুন (57/22 = 2.509090909…)। এর মানে যদি একটি সংখ্যার দশমিক সংখ্যা থাকে যা পুনরাবৃত্তি না করে চিরতরে চলতে থাকে, তবে এটি অযৌক্তিক। একত্রে মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা গঠিত. উন্নত শিক্ষার্থীরা জটিল সংখ্যা সম্পর্কে শেখে, যেগুলো বাস্তব সংখ্যা এবং কাল্পনিক সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত হয়; উদাহরণস্বরূপ, $latex i = sqrt{-1}$।

সংখ্যার এক সেট, ট্রান্সেন্ডেন্টাল, ততটা পরিচিত নয়। অস্বাভাবিকভাবে, এই সংখ্যাগুলি প্রচুর এবং খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত কঠিন। এবং তাদের ইতিহাস এমন একটি প্রশ্নের সাথে জড়িত যা সহস্রাব্দ ধরে গণিতবিদদের জর্জরিত করেছিল: শুধুমাত্র একটি কম্পাস এবং একটি স্ট্রেইটেজ ব্যবহার করে, আপনি কি প্রদত্ত বৃত্তের মতো একই ক্ষেত্রফল সহ একটি বর্গ আঁকতে পারেন? বৃত্তের বর্গক্ষেত্র হিসাবে পরিচিত, বীজগণিত আবিষ্কার এবং π সম্পর্কে গভীরভাবে বোঝার পরেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছিল - যে কোনও বৃত্তের পরিধি এবং তার ব্যাসের অনুপাত।

সংখ্যার একটি নতুন সেট আবিষ্কার করার অর্থ কী? আজ আমরা বলি যে মেটাপন্টামের হিপ্পাসাস, যিনি আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতাব্দীতে বাস করেছিলেন, অমূলদ সংখ্যা আবিষ্কার করেছিলেন। আসলে তার আবিষ্কার ছিল জ্যামিতিক, পাটিগণিত নয়। তিনি দেখিয়েছিলেন যে একটি বর্গক্ষেত্রের পার্শ্ব এবং তির্যকের মতো দুটি রেখার অংশ খুঁজে পাওয়া সম্ভব, যেগুলিকে সমান দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করা যায় না। আজ আমরা বলব যে তাদের দৈর্ঘ্য একে অপরের মূলদ গুণিতক নয়। কারণ তির্যকটি $latex sqrt{2}$ বার যতটা লম্বা হয়, $latex sqrt{2}$ অযৌক্তিক।

শুধুমাত্র একটি কম্পাস এবং স্ট্রেইটেজ দিয়ে সম্ভব নির্মাণের পরিপ্রেক্ষিতে - প্রাচীনত্বের গাণিতিক সরঞ্জাম - যদি আমরা একটি ইউনিট-দৈর্ঘ্য রেখার অংশ দিয়ে শুরু করি, তাহলে যেকোন ইতিবাচক যুক্তিযুক্ত দৈর্ঘ্যের সাথে একটি অংশ তৈরি করা সম্ভব। যাইহোক, আমরা কিছু অযৌক্তিক দৈর্ঘ্যও নির্মাণ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, আমরা দেখেছি কিভাবে $latex sqrt{2}$; আরেকটি বিখ্যাত অযৌক্তিক সংখ্যা, সোনালী অনুপাত, $latex {(1+ sqrt{5})}/2$, পার্শ্ব দৈর্ঘ্য 1 সহ একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের কর্ণ।

গ্রীকরা প্রথম বৃত্তের বর্গক্ষেত্রের প্রশ্ন উত্থাপন করার প্রায় 2,000 বছর পরে, রেনে দেকার্তস তার 1637 গ্রন্থে দেখানোর জন্য নতুন বীজগাণিতিক কৌশল প্রয়োগ করেছিলেন। লা জিওমেট্রি যে গঠনযোগ্য দৈর্ঘ্যগুলি ঠিক সেইগুলি যা পূর্ণসংখ্যা এবং যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ এবং বর্গমূলের গণনার ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে সমস্ত ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার এই ফর্ম আছে, যেমন $latex sqrt{2}$ এবং সোনালী অনুপাত। যদি π এভাবে লেখা যায়, তাহলে এটি অবশেষে জ্যামিমিটারকে বৃত্তের বর্গক্ষেত্র করতে দেবে — কিন্তু π শ্রেণীবদ্ধ করা এত সহজ ছিল না।

পরবর্তী 200 বছরে, বীজগণিত উল্লেখযোগ্যভাবে পরিপক্ক হয় এবং 1837 সালে পিয়ের ওয়ান্টজেল নামে একজন স্বল্প পরিচিত ফরাসি গণিতবিদ গঠনযোগ্য সংখ্যাগুলিকে বহুপদে সংযুক্ত করেছিলেন - গাণিতিক অভিব্যক্তি যা বিভিন্ন শক্তিতে উত্থাপিত চলকগুলি জড়িত। বিশেষ করে, তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে যদি একটি দৈর্ঘ্য গঠনযোগ্য হয়, তবে এটি অবশ্যই একটি মূল, বা মান হতে হবে যা শূন্য উৎপন্ন করে, একটি নির্দিষ্ট ধরণের বহুপদীর, যেমন একটি যা ফ্যাক্টর করা যায় না, বা সরলীকৃত করা যায় না, এবং যার মাত্রা (এর বৃহত্তম সূচক x) হল 2 এর একটি শক্তি (তাই 2, 4, 8, 16 ইত্যাদি)।

উদাহরণস্বরূপ, $latex sqrt{2}$ এবং সোনালী অনুপাত গঠনযোগ্য, এবং তারা যথাক্রমে $latex x^2 – 2$ এবং $latex x^2 – x – 1$ বহুপদীর মূল। অন্যদিকে, $latex sqrt [3] {2}$ হল ডিগ্রী 3 বহুপদী $latex x^3 – 2$ এর একটি মূল, যা যোগ্যতা অর্জন করে না, তাই এই দৈর্ঘ্যের একটি অংশ তৈরি করা অসম্ভব।

ওয়ান্টজেল তার ফলাফলগুলি প্রমাণ করে অন্যান্য শাস্ত্রীয় সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য ব্যবহার করেছিলেন সমাধান করা যাবে না — কিছু কোণকে তিনভাগ করা অসম্ভব, ঘনক্ষেত্রকে দ্বিগুণ করা অসম্ভব এবং নির্দিষ্ট নিয়মিত বহুভুজ নির্মাণ করা অসম্ভব। কিন্তু যেহেতু π এর সঠিক প্রকৃতি একটি রহস্য থেকে গেছে, বৃত্তের বর্গ করার প্রশ্নটি উন্মুক্ত ছিল।

সমস্যাটি সমাধানের মূল চাবিকাঠি, এটি প্রমাণিত হয়েছিল, জটিল সংখ্যার সেটকে চতুরতার সাথে দুটি সেটে বিভক্ত করা, যেমন আগের প্রজন্মরা আসল সংখ্যাগুলিকে মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যায় বিভক্ত করেছিল। অনেক জটিল সংখ্যা হল পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ কিছু বহুপদীর মূল; গণিতবিদরা এই সংখ্যাগুলিকে বীজগণিত বলে। কিন্তু এটি সমস্ত সংখ্যার জন্য সত্য নয়, এবং এই অ-বীজগণিত মানগুলিকে ট্রান্সসেন্ডেন্টাল বলা হয়।

প্রতিটি মূলদ সংখ্যা বীজগণিত, এবং কিছু অমূলদ সংখ্যাও হয়, যেমন $latex sqrt [3] {2}$। এমনকি কাল্পনিক সংখ্যা $latex i$ বীজগণিত, কারণ এটি $latex x^2 +1$ এর একটি মূল।

এটা স্পষ্ট ছিল না যে ট্রান্সেন্ডেন্টাল সংখ্যার অস্তিত্ব থাকা উচিত। অধিকন্তু, এটি প্রমাণ করা চ্যালেঞ্জিং যে একটি প্রদত্ত সংখ্যা অতিক্রান্ত কারণ এটি একটি নেতিবাচক প্রমাণ করতে হবে: এটি পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ কোনো বহুপদীর মূল নয়।

1844 সালে, জোসেফ লিউভিল পরোক্ষভাবে সমস্যায় এসে প্রথমটি খুঁজে পান। তিনি আবিষ্কার করেছিলেন যে অমূলদ সংখ্যা দ্বারা অমূলদ বীজগণিতিক সংখ্যাগুলি ভালভাবে অনুমান করা যায় না। তাই যদি তিনি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পেতেন যা ছোট হর সহ ভগ্নাংশ দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা হয়েছিল, তবে এটি অন্য কিছু হতে হবে: একটি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যা। তিনি তখন ঠিক এরকম একটি সংখ্যা নির্মাণ করেন।

লিউভিলের তৈরি নম্বর,

$latex L = 0.1100010000000000000000010…$,

শুধুমাত্র 0s এবং 1s ধারণ করে, নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট স্থানে 1s ঘটছে: $latex n!$ এর মান। সুতরাং প্রথম 1টি প্রথম (1!) স্থানে, দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় (2!) স্থানে, তৃতীয়টি ষষ্ঠ (3!) স্থানে, ইত্যাদি। লক্ষ্য করুন যে তার যত্ন সহকারে নির্মাণের ফলে, 1/10, 11/100, এবং 110,001/1,000,000 এর খুব ভাল অনুমান। L — তাদের হরগুলির আকার বিবেচনা করে একজনের চেয়ে ভাল আশা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, এই মানগুলির তৃতীয়টির 3 আছে! (ছয়) দশমিক সংখ্যা, 0.110001, কিন্তু এর সাথে একমত L মোট 23 সংখ্যার জন্য, বা $latex 4!-1$।

সত্ত্বেও L অতীন্দ্রিয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করে, π লিউভিলের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে না (মূলদ সংখ্যা দ্বারা এটি ভালভাবে অনুমান করা যায় না), তাই এর শ্রেণীবিভাগ অধরা থেকে যায়।

মূল অগ্রগতি 1873 সালে ঘটেছিল, যখন চার্লস হার্মাইট এটি প্রমাণ করার জন্য একটি উদ্ভাবনী কৌশল তৈরি করেছিলেন e, প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি হল অতিক্রান্ত। এটি ছিল প্রথম নন-কন্ট্রিভড ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যা, এবং নয় বছর পরে এটি ফার্ডিনান্ড ফন লিন্ডেম্যানকে হার্মাইটের কৌশল প্রসারিত করার অনুমতি দেয় যে π ট্রান্সসেন্ডেন্টাল। আসলে তিনি আরও এগিয়ে গিয়েছিলেন, দেখিয়েছেন e^d অতীন্দ্রিয় যখনই d একটি অশূন্য বীজগণিত সংখ্যা। Rephrased, এই বলে যে যদি e^d বীজগণিত, তারপর d হয় শূন্য বা অতিক্রান্ত।

প্রমাণ করার জন্য যে π ট্রান্সসেন্ডেন্টাল, লিন্ডেম্যান তখন অয়লারের পরিচয়: $latex e^{pi i} = -1$ হিসাবে অনেক লোক যা দেখেন তা গণিতের সবচেয়ে সুন্দর সূত্র হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন। কারণ −‍1 বীজগণিত, লিন্ডেম্যানের উপপাদ্য বলে যে $latex pi i$ হল অতিক্রান্ত। এবং যেহেতু $latex i$ বীজগাণিতিক, π অবশ্যই ট্রান্সকেন্ডেন্টাল হতে হবে। সুতরাং, π দৈর্ঘ্যের একটি অংশ নির্মাণ করা অসম্ভব, এবং তাই এটি অসম্ভব বৃত্ত বর্গক্ষেত্র.

যদিও লিন্ডেমানের ফলাফল একটি গল্পের সমাপ্তি ছিল, এটি ছিল অতিক্রান্ত সংখ্যার গল্পের একটি প্রাথমিক অধ্যায়। এখনও অনেক কিছু করা বাকি ছিল, বিশেষ করে, আমরা দেখতে পাব, এই ভুল সংখ্যাগুলি কতটা প্রচলিত।

কিছুক্ষণ পরেই হারমাইট সেটা প্রমাণ করলেন e অতীন্দ্রিয় ছিল, জর্জ ক্যান্টর তা প্রমাণ করেছেন অসীমতা বিভিন্ন আকারে আসে. মূলদ সংখ্যার অসীমতা পূর্ণ সংখ্যার অসীমতার সমান। এই ধরনের সেটগুলিকে গণনাযোগ্যভাবে অসীম বলা হয়। যাইহোক, বাস্তব সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যার সেট বড়; একটি অর্থে যে ক্যান্টর সুনির্দিষ্ট করেছেন, তারা "অগণিতভাবে" অসীম। একই গবেষণাপত্রে, ক্যান্টর প্রমাণ করেছিলেন যে যদিও বীজগণিত সংখ্যার সেটে সমস্ত মূলদ সংখ্যা এবং অসীমভাবে অনেকগুলি অমূলদ সংখ্যা রয়েছে, তবুও এটি অসীমের থেকে ছোট, গণনাযোগ্য আকার। সুতরাং, এর পরিপূরক, অতীন্দ্রিয় সংখ্যা, অগণিতভাবে অসীম। অন্য কথায়, বাস্তব ও জটিল সংখ্যার অধিকাংশই অতিক্রান্ত।

এমনকি 20 শতকের পালা পর্যন্ত, গণিতবিদরা চূড়ান্তভাবে শুধুমাত্র কয়েকজনকে সনাক্ত করতে পারেন। 1900 সালে, ডেভিড হিলবার্ট, যুগের সবচেয়ে সম্মানিত গণিতবিদদের একজন, গণিতের 23টি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অমীমাংসিত সমস্যার একটি এখন-বিখ্যাত তালিকা তৈরি করেছিলেন। তার সপ্তম সমস্যা, যেটিকে তিনি কঠিন এক বলে মনে করতেন, সেটি প্রমাণ করা a^b অতীন্দ্রিয় হয় যখন a বীজগাণিতিক এবং শূন্য বা 1 এর সমান নয়, এবং b একটি বীজগণিত অমূলদ সংখ্যা।

1929 সালে, তরুণ রাশিয়ান গণিতবিদ আলেকজান্ডার গেলফন্ড বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণ করেছিলেন যেখানে $latex b = pm isqrt r$ এবং r একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা। এটি আরও বোঝায় যে $latex e^ {pi}$ হল ট্রান্সেন্ডেন্টাল, যা আশ্চর্যজনক কারণ কোনটিই নয় e বা π বীজগণিত নয়, যেমন উপপাদ্যের প্রয়োজন। যাইহোক, চতুরতার সাথে অয়লারের পরিচয় আবারও হেরফের করে, আমরা তা দেখতে পাই

$latex e^{pi} = e^{-i pi i}$ = $latex (e^{pi i})^{-i}$ = $latex (-1)^{-i}$।

এর কিছুক্ষণ পরে, কার্ল সিগেল এর মান অন্তর্ভুক্ত করার জন্য গেলফন্ডের প্রমাণ প্রসারিত করেন b যেগুলো বাস্তব দ্বিঘাত অমূলদ সংখ্যা, তাকে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে দেয় যে $latex 2^{sqrt 2}$ হল অতিক্রান্ত। 1934 সালে, গেলফন্ড এবং থিওডর স্নাইডার স্বাধীনভাবে হিলবার্টের সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান করেছিলেন।

ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যা তত্ত্বের উপর কাজ চলতে থাকে। 1960-এর দশকের মাঝামাঝি অ্যালান বেকার হারমাইট, লিন্ডেম্যান, গেলফন্ড, স্নাইডার এবং অন্যান্যদের ফলাফলগুলিকে সাধারণীকরণ করে একটি ধারাবাহিক নিবন্ধ তৈরি করেছিলেন, যা বীজগাণিতিক এবং ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যা সম্পর্কে আরও গভীর ধারণা দেয় এবং তার প্রচেষ্টার জন্য তিনি 1970 সালে ফিল্ডস মেডেল পান। বয়স 31। এই কাজের একটি ফলাফল প্রমাণ করছিল যে নির্দিষ্ট কিছু পণ্য, যেমন $latex 2^{sqrt 2}$ $latex times$ $latex 2^{sqrt [3] 2}$ এবং $latex 2^{sqrt 2}$ $latex times$ $latex 2^{sqrt 3}$, অতিক্রান্ত। সংখ্যার বিষয়ে আমাদের বোধগম্যতা প্রসারিত করার পাশাপাশি, তার কাজটিও সংখ্যা তত্ত্ব জুড়ে প্রয়োগ করেছে।

আজ, অতীন্দ্রিয় সংখ্যা সম্পর্কে উন্মুক্ত সমস্যাগুলি প্রচুর, এবং অনেকগুলি নির্দিষ্ট, খুব অতীন্দ্রিয় চেহারার সংখ্যা রয়েছে যার শ্রেণীবিভাগ অজানা রয়ে গেছে: $latex e pi $, $latex e + pi$, $latex e^e$, $latex pi^{ pi}$ এবং $latex pi^e$, কয়েকটির নাম। ঠিক যেমন গণিতবিদ এডওয়ার্ড টিচমার্শ π-এর অযৌক্তিকতা সম্পর্কে বলেছেন, এই সংখ্যাগুলি অতিক্রান্ত যে এটি জানার কোনও ব্যবহারিক ব্যবহার নাও হতে পারে, তবে আমরা যদি জানতে পারি তবে এটি অবশ্যই না জানা অসহনীয় হবে।