Felder verschmelzen, Mathematiker gehen bei altem Problem auf Distanz | Quanta-Magazin

Die Planänderung erfolgte auf einem Roadtrip. An einem schönen Tag im letzten April, die Mathematiker Rahel Greenfeld machen Sarah Peluse Von ihrer Heimatinstitution, dem Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey, machten sie sich auf den Weg nach Rochester, New York, wo beide am nächsten Tag Vorträge halten sollten.

Sie hatten fast zwei Jahre lang mit einer wichtigen Vermutung in der harmonischen Analyse zu kämpfen, dem Bereich, der untersucht, wie man komplexe Signale in ihre Komponentenfrequenzen zerlegen kann. Zusammen mit einem dritten Mitarbeiter Marina IliopoulouSie untersuchten eine Version des Problems, bei der die Komponentenfrequenzen als Punkte in einer Ebene dargestellt werden, deren Abstände voneinander auf ganze Zahlen bezogen sind. Die drei Forscher versuchten zu zeigen, dass es nicht zu viele dieser Punkte geben konnte, aber bisher waren alle ihre Techniken erfolglos.

Sie schienen ihre Räder durchzudrehen. Dann kam Peluse ein Gedanke: Was wäre, wenn sie das Problem der harmonischen Analyse – natürlich vorübergehend – aufgeben und ihre Aufmerksamkeit auf Punktmengen richten würden, bei denen der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten genau eine ganze Zahl ist? Welche möglichen Strukturen können solche Mengen haben? Mathematiker versuchen seit der Antike, ganzzahlige Distanzmengen zu verstehen. Beispielsweise stellen pythagoräische Tripel (wie 3, 4 und 5) rechtwinklige Dreiecke dar, deren drei Eckpunkte alle ganzzahlige Abstände voneinander haben.

„Im Auto, ich schätze, weil Rachel bei mir eingeklemmt war, habe ich es angesprochen“, sagte Peluse, die jetzt Professorin an der University of Michigan ist. Die Idee, ganzzahlige Distanzmengen in Angriff zu nehmen, elektrisierte Greenfeld.

Bevor sie es wussten, hatten sie nicht nur einen, sondern gleich zwei Richtungswechsel eingeleitet.

„Wir haben tatsächlich aufgehört, darauf zu achten, wohin wir fuhren, und sind nicht von der Schnellstraße abgekommen“, sagte Peluse. „Wir fuhren ungefähr eine Stunde lang in die entgegengesetzte Richtung von Rochester, bevor wir es bemerkten, weil wir so aufgeregt über die Mathematik waren.“

1945 Norman Anning und Paul Erdős erwies sich dass eine unendliche Menge von Punkten in der Ebene, die alle ganzzahlige Abstände voneinander haben, auf einer Linie liegen muss. Für eine endliche Menge von Punkten sind die Möglichkeiten etwas vielfältiger. Mathematiker haben große Mengen konstruiert, die entweder auf einer Linie oder einem Kreis liegen, manchmal mit drei oder vier zusätzlichen Punkten, die außerhalb des Hauptwiderstands liegen. (Die Punkte selbst müssen keine ganzzahligen Koordinaten haben – die Frage betrifft die Abstände zwischen ihnen.)

Niemand hat mit irgendeiner anderen Konfiguration eine große Menge an Punkten gefunden, aber niemand hat bewiesen, dass andere Konfigurationen unmöglich sind. In den fast 80 Jahren seit dem Ergebnis von Anning und Erdős hat das Thema praktisch keine Fortschritte gemacht – bis jetzt.

Greenfeld, Iliopoulou und Peluse haben erwies sich dass alle Punkte in einer großen ganzzahligen Distanzmenge – mit Ausnahme vielleicht einer spärlichen Handvoll Ausreißerpunkte – auf einer einzigen Linie oder einem einzigen Kreis liegen müssen. „Wenn Sie eine große Menge haben möchten, bei der alle paarweisen Abstände ganze Zahlen sind, dann sind Kreise und Linien die einzigen Akteure“, sagte er József Solymosi der University of British Columbia. Er nannte ihr Ergebnis eine „fantastische Lösung“.

Der neue Ansatz nutzt Ideen und Techniken aus drei verschiedenen Bereichen der Mathematik: Kombinatorik, Zahlentheorie und algebraische Geometrie. Diese Zusammenführung verschiedener Bereiche „könnte ein echter psychologischer Durchbruch sein“, sagte er Terence tao, Mathematiker an der University of California, Los Angeles.

Alex Iosevich, von der University of Rochester, stimmt zu. „Sie haben eine sehr solide Grundlage für eine sehr breite Palette von Problemen gelegt“, sagte er. „Ich habe absolut keinen Zweifel daran, dass dies noch tiefergehende Anwendungen finden wird.“

Die Grenzen der Einfachheit

Innerhalb einer Ebene ist es einfach, eine unendliche Menge von Punkten auszuwählen, die alle ganzzahlige Abstände voneinander entfernt haben. Nehmen Sie einfach Ihre Lieblingslinie, stellen Sie sich eine darauf überlagerte Zahlenlinie vor und verwenden Sie einige oder alle Punkte, die ganzen Zahlen entsprechen. Dies ist jedoch die einzige Möglichkeit, einen unendlichen ganzzahligen Abstand in der Ebene zu konstruieren, wie Anning und Erdős 1945 erkannten. Sobald Sie nur drei Punkte haben, die nicht alle auf derselben Linie liegen, wird Ihre Konfiguration so eingeschränkt, dass dies unmöglich ist um unendlich viele weitere Punkte hinzuzufügen.

Der Grund liegt in der einfachen Geometrie. Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit zwei Punkten A und B, die einen ganzzahligen Abstand voneinander haben. Wenn Sie einen dritten Punkt, C, hinzufügen möchten, der einen ganzzahligen Abstand von A und B hat, aber nicht auf der Linie durch sie liegt, funktionieren die meisten Punkte in der Ebene nicht. Die einzigen realisierbaren Punkte liegen auf speziellen Kurven, sogenannten Hyperbeln, die zwischen A und B schneiden. Wenn A und B beispielsweise 4 Einheiten voneinander entfernt sind, dann gibt es genau vier dieser Hyperbeln. (Eine Hyperbel besteht normalerweise aus zwei unterschiedlichen Teilen, daher bilden beispielsweise die beiden roten Kurven in der Abbildung unten eine einzige Hyperbel.)

Sobald Sie sich für C entschieden haben (was in diesem Beispiel 3 Einheiten von A und 5 Einheiten von B sind), haben Sie kaum noch Möglichkeiten, weitere Punkte hinzuzufügen. Jeder Punkt, den Sie hinzufügen könnten, muss auf einer der Hyperbeln zwischen A und B oder auf der Linie liegen, die durch sie verläuft. Er muss aber auch auf einer der Hyperbeln zwischen A und C und einer der Hyperbeln zwischen B und C (oder den entsprechenden Geraden) liegen – mit anderen Worten, ein neuer Punkt kann nur dort platziert werden, wo sich drei Hyperbeln oder Geraden schneiden (obwohl). nicht jeder Schnittpunkt wird funktionieren). Es gibt zunächst nur endlich viele dieser Hyperbeln und Linien, und zwei Hyperbeln (oder Linien) können sich in höchstens vier Punkten schneiden. Am Ende stehen Ihnen also nur endlich viele Schnittpunkte zur Auswahl – Sie können keine unendliche Menge bilden.

Wenn es darum geht, zu verstehen, wie eine endliche Menge ganzzahliger Distanzpunkte tatsächlich aussieht, wird der Hyperbelansatz schnell unhandlich. Wenn Sie Punkte hinzufügen, müssen Sie sich mit einer wachsenden Anzahl von Hyperbeln auseinandersetzen. Wenn Ihre Menge beispielsweise nur noch 10 Punkte hat, werden durch das Hinzufügen eines 11. 10 neue Familien von Hyperbeln erstellt – alle zwischen Ihrem neuen Punkt und jedem der bereits in der Menge enthaltenen Punkte. „Man kann nicht viele Punkte hinzufügen, weil man sonst in all diesen Hyperbeln und Schnittpunkten verloren geht“, sagte Greenfeld.

Deshalb haben Mathematiker nach besser handhabbaren Prinzipien für die Konstruktion großer Mengen ganzzahliger Distanzpunkte gesucht, die nicht auf einer Linie liegen. Aber sie konnten nur einen Ansatz finden: Ordnen Sie Ihre Punkte auf einem Kreis an. Wenn Sie einen ganzzahligen Abstand mit beispielsweise einer Billion Punkten festlegen möchten, gibt es Möglichkeiten, eine Billion Punkte auf einem Kreis mit dem Radius 1 zu ermitteln, deren Abstände jeweils nur Bruchteile sind. Dann können Sie den Kreis aufblasen, bis alle gebrochenen Abstände zu ganzen Zahlen werden. Je mehr Punkte Sie in Ihrem Set haben möchten, desto mehr müssen Sie den Kreis aufblasen.

Im Laufe der Jahre sind Mathematikern nur geringfügig exotischere Beispiele eingefallen. Sie können große ganzzahlige Abstandsmengen konstruieren, in denen alle bis auf vier Punkte auf einer Linie oder alle bis auf drei auf einem Kreis liegen. Viele Mathematiker vermuten, dass dies die einzigen großen ganzzahligen Abstandsmengen sind, bei denen nicht alle Punkte auf einer Geraden oder einem Kreis liegen. Das werden sie mit Sicherheit wissen, wenn sie jemals die sogenannte Bombieri-Lang-Vermutung beweisen können. Aber Mathematiker sind sich uneinig darüber, ob diese Vermutung wahr sein dürfte.

Seit der Arbeit von Anning und Erdős im Jahr 1945 haben Mathematiker kaum Fortschritte beim Verständnis ganzzahliger Distanzmengen gemacht. Im Laufe der Zeit schien sich das ganzzahlige Distanzproblem zu einer Reihe anderer Probleme in der Kombinatorik, Zahlentheorie und Geometrie zu gesellen, die einfach zu formulieren, aber scheinbar unmöglich zu lösen sind. „Das ist ein Maß dafür, wie erbärmlich unsere Mathematik ist“, sagte Tao.

In gewisser Weise war das ganzzahlige Distanzproblem ein Opfer seiner eigenen frühen Erfolge. Der Hyperbelbeweis ist mit seiner genialen Einfachheit ein Sinnbild für die Philosophie von Erdős, einem äußerst einflussreichen Mathematiker, der oft vom „Buch“ sprach – einem fiktiven Band der elegantesten Beweise der Mathematik. Die von Erdős geförderte Kultur der Einfachheit habe zu „enormen Ergebnissen“ in der kombinatorischen Geometrie geführt, sagte Iosevich. Aber es kann auch zu blinden Flecken führen – in diesem Fall in Bezug auf den Wert der Einbeziehung von Ansätzen aus der algebraischen Geometrie.

„Ich glaube nicht, dass man in den letzten 50 Jahren ein Ergebnis [in der algebraischen Geometrie] finden wird, das nicht sehr technisch aufwändig und chaotisch ist“, sagte Iosevich. „Allerdings muss es manchmal so sein.“

Rückblickend wartete das ganzzahlige Distanzproblem auf Mathematiker, die bereit waren, widerspenstigere Kurven als Hyperbeln zu berücksichtigen und dann auf ausgefeilte Werkzeuge aus der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie zurückzugreifen, um sie zu zähmen. „Es brauchte Leute mit ausreichend Wissen und Interesse“, sagte Iosevich.

Die meisten Mathematiker, sagte er, geben sich während ihrer gesamten Karriere damit zufrieden, ein paar Werkzeuge in einem Bereich der Mathematik einzusetzen. Aber Greenfeld, Iliopoulou und Peluse seien furchtlose Entdecker, sagte Iosevich. „Sie betrachten die Mathematik als ein zusammenhängendes Ganzes.“

Das Problem komplexieren

Im Sommer 2021 beschloss Greenfeld, dass es an der Zeit sei, sich mit einem Problem aus der harmonischen Analyse zu befassen, über das sie seit ihrem Graduiertenstudium nachgedacht hatte. Bei der klassischen harmonischen Analyse, die die Grundlage für die Signalverarbeitung in der realen Welt bildet, geht es darum, Signale in Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz und Phase zu zerlegen. Dieser Prozess funktioniert, weil es möglich ist, eine unendliche Liste von Sinuswellen zu erstellen, die in ihrer Kombination alle Merkmale eines beliebigen Signals ohne jegliche Redundanz erfassen.

Oftmals wollen Forscher jedoch etwas Komplizierteres als ein eindimensionales Signal untersuchen. Beispielsweise möchten sie möglicherweise ein Signal auf einer Scheibe im Flugzeug zerlegen. Die Festplatte kann jedoch nur eine endliche Sammlung kompatibler Sinuswellen aufnehmen – zu wenig, um das Verhalten aller möglichen Signale auf der Festplatte zu erfassen. Dann stellt sich die Frage: Wie groß kann diese endliche Sammlung sein?

In einer solchen Sammlung können die Frequenzen der Sinuskurven als Punkte in der Ebene dargestellt werden, die einer Ansammlung in Linien und Kreisen abgeneigt zu sein scheinen: Sie werden nie drei Punkte finden, die alle nahe an derselben Linie liegen, oder vier, die alle nahe beieinander liegen zum gleichen Kreis. Greenfeld hoffte, diese Abneigung nutzen zu können, um zu beweisen, dass diese Frequenzsätze nur wenige Punkte enthalten können.

Bei einem Treffen 2021 an der Universität Bonn nahm Greenfeld an einem Vortrag über die „Determinantenmethode“ teil, eine Technik aus der Zahlentheorie, mit der geschätzt werden kann, wie viele ganzzahlige Punkte bestimmter Typen auf Kurven liegen können. Sie erkannte, dass dieses Werkzeug genau das sein könnte, was sie brauchte. Greenfeld rekrutierte Iliopoulou und Peluse, die ebenfalls an dem Treffen teilnahmen. „Wir haben begonnen, diese Methode gemeinsam zu erlernen“, sagte Greenfeld.

Aber trotz vieler Bemühungen gelang es ihnen offenbar nicht, die Determinantenmethode für ihren Zweck zu nutzen, und im Frühjahr 2023 fühlten sie sich entmutigt. Iosevich hatte Greenfeld und Peluse zu einem Besuch nach Rochester eingeladen. „Also dachten wir: ‚Okay, wir fahren nach Rochester und das Gespräch mit Alex wird uns neue Kraft geben‘“, sagte Peluse. Aber wie sich herausstellte, landeten sie dank einer anregenden Diskussion über ganzzahlige Distanzmengen auf ihrem ungeplanten Umweg entlang des Susquehanna River in Pennsylvania bereits gestärkt in Rochester.

Sie kamen zu spät für ein geplantes Abendessen mit Iosevich, aber sie fanden ihn mit Tüten zum Mitnehmen in der Hotellobby wartend. Er verzeihte ihnen ihre Verspätung – und verzeihte ihr mehr als am nächsten Morgen, als sie ihm von ihrem Plan erzählten, ganzzahlige Distanzsätze in Angriff zu nehmen. „Er war so aufgeregt“, erinnerte sich Peluse. „Emotional war das ein riesiger Schub.“

Wie beim Hyperbelansatz versuchten Greenfeld, Iliopoulou und Peluse, die Struktur ganzzahliger Abstandsmengen zu kontrollieren, indem sie Familien von Kurven identifizierten, auf denen die Punkte liegen müssen. Die Hyperbelmethode wird zu kompliziert, sobald man mehr als ein paar Punkte hat, aber Greenfeld, Iliopoulou und Peluse haben herausgefunden, wie man viele Punkte gleichzeitig berücksichtigen kann, indem man die gesamte Konfiguration in einen höherdimensionalen Raum verschiebt.

Um zu sehen, wie das funktioniert, nehmen Sie an, Sie beginnen mit einem „Referenzpunkt“ A in Ihrem ganzzahligen Abstandssatz. Jeder zweite Punkt in der Menge hat einen ganzzahligen Abstand von A. Die Punkte liegen in einer Ebene, aber Sie können die Ebene in den dreidimensionalen Raum verschieben, indem Sie jedem Punkt eine dritte Koordinate zuordnen, deren Wert der Abstand von A ist. Zum Beispiel Nehmen wir an, A sei der Punkt (1, 3). Dann verwandelt sich der Punkt (4, 7), der 5 Einheiten von A entfernt ist, in den Punkt (4, 7, 5) im dreidimensionalen Raum. Dieser Prozess wandelt die Ebene in einen Kegel im dreidimensionalen Raum um, dessen Spitze bei A liegt und jetzt mit (1, 3, 0) bezeichnet ist. Die ganzzahligen Distanzpunkte werden zu Punkten im dreidimensionalen Raum, die auf dem Kegel und auch auf einem bestimmten Gitter liegen.

Wenn Sie zwei Referenzpunkte, A und B, auswählen, können Sie in ähnlicher Weise Punkte in der Ebene in Punkte im vierdimensionalen Raum umwandeln. Geben Sie einfach jedem Punkt zwei neue Koordinaten, deren Werte seine Abstände zu A und B sind. Durch diesen Vorgang wird die Ebene umgewandelt in eine gekrümmte Fläche im vierdimensionalen Raum. Auf diese Weise können Sie immer wieder weitere Referenzpunkte hinzufügen. Mit jedem neuen Referenzpunkt erhöht sich die Dimension um eins und die Ebene wird auf eine noch wackeligere Oberfläche (oder, wie Mathematiker sagen, eine Oberfläche höheren Grades) abgebildet.

Mit diesem Rahmen verwendeten die Forscher die Determinantenmethode aus der Zahlentheorie. Determinanten sind Zahlen, die normalerweise mit Matrizen verknüpft sind und eine Vielzahl geometrischer Eigenschaften einer Sammlung von Punkten erfassen – beispielsweise könnte eine bestimmte Determinante die Fläche des Dreiecks messen, das von drei der Punkte gebildet wird. Die Determinantenmethode bietet eine Möglichkeit, solche Determinanten zu verwenden, um die Anzahl der Punkte abzuschätzen, die gleichzeitig auf einer wackeligen Oberfläche und auf einem Gitter liegen – genau die Art von Situation, mit der sich Greenfeld, Iliopoulou und Peluse befassten.

Die Forscher verwendeten eine auf der Determinantenmethode basierende Arbeitslinie, um zu zeigen, dass die Punkte alle auf einer kleinen Anzahl spezieller Kurven liegen müssen, wenn sie ihren ganzzahligen Abstand auf eine ausreichend hohe Dimension erhöhen. Wenn ihre Schatten in der Ebene weder eine Linie noch ein Kreis sind, können diese Kurven nicht viele Gitterpunkte enthalten, die die einzigen Kandidaten für Punkte im ganzzahligen Abstandssatz sind. Das bedeutet, dass die Anzahl der Punkte in der Menge, die außerhalb der Hauptlinie oder des Hauptkreises liegen können, begrenzt ist – die Forscher zeigten, dass sie kleiner sein muss als eine sehr langsam wachsende Funktion des Durchmessers der Menge.

Ihre Grenze erreicht nicht den Standard der Vermutung „vier Punkte außerhalb der Linie oder drei Punkte außerhalb des Kreises“, von der viele Mathematiker glauben, dass sie für große ganzzahlige Abstandsmengen gilt. Dennoch zeigt das Ergebnis, dass „der Kern der Vermutung wahr ist“, sagte Jacob Fox von der Stanford University. Ein vollständiger Beweis der Vermutung wird wahrscheinlich eine weitere Infusion neuer Ideen erfordern, sagten Mathematiker.

Das hochdimensionale Kodierungsschema des Teams sei „extrem robust“, sagte Iosevich. „Es gibt nicht nur Anwendungen im Prinzip – es gibt Anwendungen, über die ich bereits nachdenke.“

Eine Anwendung, so hoffen Greenfeld, Iliopoulou und Peluse, wird sich auf ihr ursprüngliches Problem der harmonischen Analyse beziehen, zu dem die drei nun zurückkehren. Ihr Ergebnis zu ganzzahligen Distanzmengen „könnte ein Sprungbrett in diese Richtung sein“, sagte Greenfeld.

Die von den Forschern initiierte Synthese der Kombinatorik mit der algebraischen Geometrie wird nicht bei ganzzahligen Distanzmengen oder verwandten Problemen in der harmonischen Analyse haltmachen, prognostizierte Iosevich. „Ich glaube, dass das, was wir sehen, ein konzeptioneller Durchbruch ist“, sagte er. „Dies sendet den Menschen in beiden Bereichen die Botschaft, dass dies eine sehr produktive Interaktion ist.“

Es sende auch eine Botschaft darüber, wie wertvoll es sei, ein Problem manchmal komplizierter zu machen, sagte Tao. Mathematiker streben normalerweise das Gegenteil an, bemerkte er. „Aber dies ist ein Beispiel dafür, dass die Komplexität des Problems tatsächlich der richtige Schritt ist.“

Der Fortschritt habe seine Denkweise über Kurven hohen Grades verändert, sagte er. „Manchmal können sie deine Freunde und nicht deine Feinde sein.“