Αφήγηση της ιστορίας των υπερβατικών αριθμών των μαθηματικών | Περιοδικό Quanta

Το 1886 ο μαθηματικός Leopold Kronecker είπε περίφημα: «Ο ίδιος ο Θεός έφτιαξε τους ακέραιους αριθμούς - όλα τα άλλα είναι δουλειά των ανθρώπων». Πράγματι, οι μαθηματικοί έχουν εισαγάγει νέα σύνολα αριθμών εκτός από αυτά που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση, και έχουν καταβάλει προσπάθειες για να κατανοήσουν τις ιδιότητές τους.

Αν και κάθε τύπος αριθμού έχει τη δική του συναρπαστική και περίπλοκη ιστορία, σήμερα είναι όλοι τόσο οικείοι που διδάσκονται σε μαθητές. Ακέραιοι είναι απλώς οι ακέραιοι αριθμοί, συν οι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί και το μηδέν. Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να εκφραστούν ως πηλίκο ακεραίων, όπως 3, −‍1/2 και 57/22. Οι δεκαδικές επεκτάσεις τους είτε τερματίζονται (−‍1 / 2 = −‍0.5) ή τελικά επαναλάβετε (57/22 = 2.509090909…). Αυτό σημαίνει αν ένας αριθμός έχει δεκαδικά ψηφία που συνεχίζονται για πάντα χωρίς να επαναλαμβάνονται, είναι παράλογο. Μαζί οι ρητοί και οι παράλογοι αριθμοί αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς. Οι προχωρημένοι μαθητές μαθαίνουν για τους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι σχηματίζονται από το συνδυασμό των πραγματικών αριθμών και των φανταστικών αριθμών. για παράδειγμα, $latex i = sqrt{-1}$.

Ένα σύνολο αριθμών, οι υπερβατικοί, δεν είναι τόσο γνωστό. Παραδόξως, αυτοί οι αριθμοί είναι άφθονοι και εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν. Και η ιστορία τους είναι συνυφασμένη με ένα ερώτημα που βασάνιζε τους μαθηματικούς για χιλιετίες: Χρησιμοποιώντας μόνο μια πυξίδα και μια ευθεία, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο με την ίδια περιοχή με έναν δεδομένο κύκλο; Γνωστή ως τετραγωνισμός του κύκλου, η ερώτηση απαντήθηκε μόνο μετά την εφεύρεση της άλγεβρας και μια βαθύτερη κατανόηση του π — ο λόγος της περιφέρειας οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του.

Τι σημαίνει να ανακαλύπτεις ένα νέο σύνολο αριθμών; Σήμερα λέμε ότι ο Ιππάσος του Μεταπόντου, που έζησε περίπου τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ανακάλυψε παράλογους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, η ανακάλυψή του ήταν γεωμετρική και όχι αριθμητική. Έδειξε ότι είναι δυνατό να βρεθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα, όπως η πλευρά και η διαγώνιος ενός τετραγώνου, που δεν μπορούν να χωριστούν σε τμήματα ίσου μήκους. Σήμερα θα λέγαμε ότι τα μήκη τους δεν είναι ορθολογικά πολλαπλάσια το ένα του άλλου. Επειδή η διαγώνιος είναι $latex sqrt{2}$ φορές μεγαλύτερη από την πλευρά, το $latex sqrt{2}$ είναι παράλογο.

Όσον αφορά τις κατασκευές δυνατές μόνο με μια πυξίδα και μια ευθεία - τα μαθηματικά εργαλεία της αρχαιότητας - αν ξεκινήσουμε με ένα τμήμα γραμμής μοναδιαίου μήκους, είναι δυνατό να κατασκευάσουμε ένα τμήμα με οποιοδήποτε θετικό ορθολογικό μήκος. Ωστόσο, μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε κάποια παράλογα μήκη. Για παράδειγμα, έχουμε δει πώς να φτιάξουμε $latex sqrt{2}$; ένας άλλος διάσημος παράλογος αριθμός, η χρυσή τομή, $latex {(1+ sqrt{5})}/2$, είναι η διαγώνιος ενός κανονικού πενταγώνου με μήκος πλευράς 1.

Περίπου 2,000 χρόνια αφότου οι Έλληνες έθεσαν για πρώτη φορά το ζήτημα του τετραγωνισμού του κύκλου, ο Ρενέ Ντεκάρτ εφάρμοσε νέες αλγεβρικές τεχνικές για να δείξει στην πραγματεία του το 1637 La Geometry ότι τα κατασκευάσιμα μήκη είναι ακριβώς αυτά που μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς και τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Παρατηρήστε ότι όλοι οι θετικοί ορθολογικοί αριθμοί έχουν αυτή τη μορφή, όπως και το $latex sqrt{2}$ και η χρυσή τομή. Εάν το π μπορούσε να γραφτεί με αυτόν τον τρόπο, θα άφηνε τελικά τους γεωμέτρους να τετραγωνίσουν τον κύκλο — αλλά το π δεν ήταν τόσο εύκολο να ταξινομηθεί.

Στα επόμενα 200 χρόνια, η άλγεβρα ωρίμασε σημαντικά και το 1837 ένας ελάχιστα γνωστός Γάλλος μαθηματικός ονόματι Pierre Wantzel συνέδεσε κατασκευαστικούς αριθμούς με πολυώνυμα — μαθηματικές εκφράσεις που περιλαμβάνουν μεταβλητές αυξημένες σε διάφορες δυνάμεις. Συγκεκριμένα, απέδειξε ότι εάν ένα μήκος είναι κατασκευαστό, τότε πρέπει επίσης να είναι μια ρίζα, ή τιμή που παράγει μηδέν, ενός συγκεκριμένου τύπου πολυωνύμου, δηλαδή ενός που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί ή να απλοποιηθεί περαιτέρω και του οποίου ο βαθμός (ο μεγαλύτερος εκφραστής του x) είναι μια δύναμη του 2 (άρα 2, 4, 8, 16 και ούτω καθεξής).

Για παράδειγμα, το $latex sqrt{2}$ και η χρυσή αναλογία είναι δομήσιμα και είναι ρίζες των πολυωνύμων $latex x^2 – 2$ και $latex x^2 – x – 1$, αντίστοιχα. Από την άλλη πλευρά, το $latex sqrt [3] {2}$ είναι μια ρίζα του πολυωνύμου του βαθμού 3 $latex x^3 – 2$, το οποίο δεν πληροί τις προϋποθέσεις, επομένως είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα τμήμα αυτού του μήκους.

Ο Wantzel χρησιμοποίησε τα αποτελέσματά του για να επιλύσει άλλα κλασικά προβλήματα αποδεικνύοντας ότι αυτά δεν μπορεί να λυθεί — είναι αδύνατο να τριχοτομήσουμε κάποιες γωνίες, είναι αδύνατο να διπλασιαστεί ο κύβος και είναι αδύνατο να κατασκευαστούν ορισμένα κανονικά πολύγωνα. Επειδή όμως η ακριβής φύση του π παρέμενε μυστήριο, το ζήτημα του τετραγωνισμού του κύκλου παρέμεινε ανοιχτό.

Το κλειδί για την επίλυση του προβλήματος, όπως αποδείχθηκε, ήταν να διαιρεθεί έξυπνα το σύνολο των μιγαδικών αριθμών σε δύο σύνολα, όπως οι προηγούμενες γενιές χώρισαν τους πραγματικούς αριθμούς σε ρητούς και ανορθολογικούς αριθμούς. Πολλοί μιγαδικοί αριθμοί είναι η ρίζα κάποιου πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Οι μαθηματικοί αποκαλούν αυτούς τους αριθμούς αλγεβρικούς. Αλλά αυτό δεν ισχύει για όλους τους αριθμούς και αυτές οι μη αλγεβρικές τιμές ονομάζονται υπερβατικές.

Κάθε ρητός αριθμός είναι αλγεβρικός και μερικοί παράλογοι αριθμοί είναι επίσης, όπως $latex sqrt [3] {2}$. Ακόμη και ο φανταστικός αριθμός $latex i$ είναι αλγεβρικός, καθώς είναι ρίζα του $latex x^2 +1$.

Δεν ήταν προφανές ότι έπρεπε να υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί. Επιπλέον, είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι ένας δεδομένος αριθμός είναι υπερβατικός επειδή απαιτεί την απόδειξη ενός αρνητικού: ότι δεν είναι η ρίζα οποιουδήποτε πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

Το 1844, ο Joseph Liouville βρήκε το πρώτο αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα έμμεσα. Ανακάλυψε ότι οι παράλογοι αλγεβρικοί αριθμοί δεν μπορούν να προσεγγιστούν καλά με ορθολογικούς αριθμούς. Έτσι, αν μπορούσε να βρει έναν αριθμό που προσεγγίζεται καλά από κλάσματα με μικρούς παρονομαστές, θα έπρεπε να είναι κάτι άλλο: ένας υπερβατικός αριθμός. Στη συνέχεια κατασκεύασε ακριβώς έναν τέτοιο αριθμό.

Ο αριθμός κατασκευής του Liouville,

$λάτεξ L = 0.1100010000000000000000010…$,

περιέχει μόνο 0 και 1, με τα 1 να εμφανίζονται σε ορισμένα καθορισμένα σημεία: τις τιμές $latex n!$. Άρα ο πρώτος 1 βρίσκεται στην πρώτη (1!) θέση, ο δεύτερος στη δεύτερη (2!) θέση, ο τρίτος στην έκτη (3!) θέση κ.ο.κ. Παρατηρήστε ότι ως αποτέλεσμα της προσεκτικής κατασκευής του, τα 1/10, 11/100 και 110,001/1,000,000 είναι όλα πολύ καλές προσεγγίσεις του L — καλύτερα από ό,τι θα περίμενε κανείς, δεδομένου του μεγέθους των παρονομαστών τους. Για παράδειγμα, η τρίτη από αυτές τις τιμές έχει 3! (έξι) δεκαδικά ψηφία, 0.110001, αλλά συμφωνεί με L για συνολικά 23 ψηφία ή $latex 4!-1$.

Παρά L αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί, το π δεν ικανοποιεί το κριτήριο του Liouville (δεν μπορεί να προσεγγιστεί καλά με ρητούς αριθμούς), επομένως η ταξινόμησή του παρέμεινε άπιαστη.

Η σημαντική ανακάλυψη συνέβη το 1873, όταν ο Charles Hermite επινόησε μια έξυπνη τεχνική για να αποδείξει ότι e, η βάση του φυσικού λογάριθμου, είναι υπερβατική. Αυτός ήταν ο πρώτος μη επινοημένος υπερβατικός αριθμός και εννέα χρόνια αργότερα επέτρεψε στον Ferdinand von Lindemann να επεκτείνει την τεχνική του Hermite για να αποδείξει ότι το π είναι υπερβατικό. Μάλιστα προχώρησε παραπέρα, δείχνοντας αυτό e^d είναι υπερβατικό όποτε d είναι ένας μη μηδενικός αλγεβρικός αριθμός. Αναδιατυπωμένο, αυτό λέει ότι εάν e^d είναι αλγεβρικό, λοιπόν d είναι είτε μηδενική είτε υπερβατική.

Για να αποδείξει ότι το π είναι υπερβατικό, ο Lindemann χρησιμοποίησε στη συνέχεια αυτό που πολλοί άνθρωποι θεωρούν ως τον πιο όμορφο τύπο σε όλα τα μαθηματικά, την ταυτότητα του Euler: $latex e^{pi i} = -1$. Επειδή το −‍1 είναι αλγεβρικό, το θεώρημα του Lindemann δηλώνει ότι το $latex pi i$ είναι υπερβατικό. Και επειδή το $latex i$ είναι αλγεβρικό, το π πρέπει να είναι υπερβατικό. Έτσι, ένα τμήμα μήκους π είναι αδύνατο να κατασκευαστεί, και επομένως είναι αδύνατο να κατασκευαστεί τετράγωνο του κύκλου.

Αν και το αποτέλεσμα του Lindemann ήταν το τέλος μιας ιστορίας, ήταν απλώς ένα πρώιμο κεφάλαιο στην ιστορία των υπερβατικών αριθμών. Πολλά έπρεπε να γίνουν ακόμη, ειδικά, όπως θα δούμε, δεδομένου του πόσο διαδεδομένοι είναι αυτοί οι αριθμοί που δεν ταιριάζουν.

Λίγο αφότου ο Ερμίτης το απέδειξε αυτό e ήταν υπερβατικό, το απέδειξε ο Γκέοργκ Κάντορ το άπειρο έρχεται σε διάφορα μεγέθη. Το άπειρο των ρητών αριθμών είναι το ίδιο με το άπειρο των ακέραιων αριθμών. Τέτοια σύνολα ονομάζονται μετρήσιμα άπειρα. Ωστόσο, τα σύνολα των πραγματικών αριθμών και των παράλογων αριθμών είναι μεγαλύτερα. με μια έννοια που ο Cantor έκανε ακριβείς, είναι «αμέτρητα» άπειρα. Στην ίδια εργασία, ο Cantor απέδειξε ότι παρόλο που το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών περιέχει όλους τους ρητούς αριθμούς και άπειρα πολλούς παράλογους αριθμούς, εξακολουθεί να είναι το μικρότερο, μετρήσιμο μέγεθος του άπειρου. Έτσι, το συμπλήρωμά του, οι υπερβατικοί αριθμοί, είναι αμέτρητα άπειρο. Με άλλα λόγια, η συντριπτική πλειοψηφία των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών είναι υπερβατικοί.

Ωστόσο, ακόμη και στις αρχές του 20ου αιώνα, οι μαθηματικοί μπορούσαν να προσδιορίσουν οριστικά μόνο λίγους. Το 1900, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, ένας από τους πιο αξιόλογους μαθηματικούς της εποχής, δημιούργησε έναν διάσημο πλέον κατάλογο με τα 23 πιο σημαντικά άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Το έβδομο πρόβλημά του, το οποίο θεωρούσε ένα από τα δυσκολότερα, ήταν να το αποδείξει a^b είναι υπερβατικό όταν a είναι αλγεβρικό και δεν ισούται με μηδέν ή 1, και b είναι ένας αλγεβρικός παράλογος αριθμός.

Το 1929, ο νεαρός Ρώσος μαθηματικός Aleksandr Gelfond απέδειξε την ειδική περίπτωση στην οποία $latex b = pm isqrt r$ και r είναι θετικός ρητός αριθμός. Αυτό σημαίνει επίσης ότι το $latex e^ {pi}$ είναι υπερβατικό, πράγμα που προκαλεί έκπληξη γιατί κανένα e ούτε το π είναι αλγεβρικό, όπως απαιτεί το θεώρημα. Ωστόσο, χειραγωγώντας ξανά έξυπνα την ταυτότητα του Euler, το βλέπουμε

$latex e^{pi} = e^{-i pi i}$ = $latex (e^{pi i})^{-i}$ = $latex (-1)^{-i}$.

Λίγο αργότερα, ο Carl Siegel επέκτεινε την απόδειξη του Gelfond για να συμπεριλάβει τιμές του b που είναι πραγματικοί τετραγωνικοί παράλογοι αριθμοί, επιτρέποντάς του να συμπεράνει ότι το $latex 2^{sqrt 2}$ είναι υπερβατικό. Το 1934, ο Gelfond και ο Theodor Schneider έλυσαν ανεξάρτητα το σύνολο του προβλήματος του Hilbert.

Η εργασία στη θεωρία των υπερβατικών αριθμών συνεχίστηκε. Στα μέσα της δεκαετίας του 1960, ο Alan Baker δημοσίευσε μια σειρά άρθρων που γενικεύουν τα αποτελέσματα των Hermite, Lindemann, Gelfond, Schneider και άλλων, δίνοντας μια πολύ βαθύτερη κατανόηση των αλγεβρικών και υπερβατικών αριθμών, και για τις προσπάθειές του έλαβε το Μετάλλιο Fields το 1970, στο ηλικία 31. Μια συνέπεια αυτής της εργασίας ήταν να αποδείξει ότι ορισμένα προϊόντα, όπως το $latex 2^{sqrt 2}$ $latex times$$latex 2^{sqrt [3] 2}$ και $latex 2^{sqrt 2}$ $latex φορές$ $latex 2^{sqrt 3}$, είναι υπερβατικά. Εκτός από την επέκταση της κατανόησής μας για τους ίδιους τους αριθμούς, το έργο του έχει επίσης εφαρμογές σε όλη τη θεωρία αριθμών.

Σήμερα, τα ανοιχτά προβλήματα σχετικά με τους υπερβατικούς αριθμούς αφθονούν και υπάρχουν πολλοί συγκεκριμένοι αριθμοί με πολύ υπερβατική εμφάνιση των οποίων η ταξινόμηση παραμένει άγνωστη: $latex e pi $, $latex e + pi$, $latex e^e$, $latex pi^{ pi}$ και $latex pi^e$, για να αναφέρουμε μερικά. Όπως ακριβώς και ο μαθηματικός Έντουαρντ Τίτσμαρς λέγοντας για τον παραλογισμό του π, μπορεί να μην είναι πρακτικό να γνωρίζουμε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι υπερβατικοί, αλλά αν μπορούμε να γνωρίζουμε, σίγουρα θα ήταν ανυπόφορο να μην γνωρίζουμε.