Εισαγωγή
Ένα πρόσφατο πρωινό του Οκτωβρίου, ο Rob Kirby στάθηκε μπροστά σε ένα δωμάτιο γεμάτο μαθηματικούς και τους είπε να μην αισθάνονται δεσμευμένοι από τον τρόπο που είχε κάνει πράγματα στο παρελθόν.
Τον τελευταίο μισό αιώνα Kirby, 85, υπήρξε κεντρικό πρόσωπο στην τοπολογία χαμηλών διαστάσεων, τη μελέτη των παραμορφώσιμων σχημάτων. Εκτός από σημαντικές ερευνητικές συνεισφορές, το 1978 δημοσίευσε το πρώτη έκδοση από αυτό που έγινε γνωστό ως «λίστα του Kirby» — μια συλλογή από 80 ανοιχτά προβλήματα που βοήθησαν να καθοριστεί η ερευνητική ατζέντα για το πεδίο τις επόμενες δεκαετίες. Δύο δεκαετίες αργότερα, το 1997, δημοσίευσε μια δεύτερη, εξίσου σημαντική έκδοση της λίστας.
Οι μερικές δεκάδες μαθηματικοί στους οποίους απευθυνόταν ο Κίρμπι είχαν συγκληθεί στο Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών (AIM) στην Πασαντίνα για να δημιουργήσετε μια τρίτη έκδοση της λίστας. Όχι ότι όλα τα προβλήματα στις προηγούμενες λίστες είχαν λυθεί —οι περισσότεροι δεν είχαν λυθεί— αλλά πολλά είχαν ξεφύγει από τη μόδα. Ενώ τα μαθηματικά είναι αιώνια, το πεδίο ασκείται από ανθρώπους που ακολουθούν μόδες, και πολλές από τις παλιές ερωτήσεις δεν θεωρούνταν πλέον τόσο ενδιαφέρουσες.
"Πιστεύουμε ότι ορισμένα υποπεδία έχουν κύρος και άλλα είναι σαν, κανείς δεν ενδιαφέρεται για αυτό." είπε Μάγκι Μίλερ του Πανεπιστημίου του Τέξας στο Ώστιν, ένας από τους 14 συντάκτες της λίστας.
Το συνέδριο σχεδιάστηκε από Ντάνιελ Ράμπερμαν του Πανεπιστημίου Brandeis, ο οποίος ήταν μαθητής του Kirby στις αρχές της δεκαετίας του 1980, και Inanç Baykur του Πανεπιστημίου της Μασαχουσέτης, ο οποίος ήταν μεταδιδακτορικός υπότροφος του Ράμπερμαν. Ήθελαν η λίστα να αποτελείται από δύσκολα και σημαντικά προβλήματα.
«Θα έπρεπε να είναι ένα πρόβλημα που είναι αρκετά ενδιαφέρον, ώστε αν έβγαινε μια λύση, θα είχε τη δυνατότητα να αλλάξει το πεδίο», είπε ο Μίλερ. Ο Baykur πρόσθεσε: «Ίσως ένα μικρό ποσοστό μπορεί να λυθεί στα επόμενα δύο με τρία χρόνια».
Εισαγωγή
Οι τρόποι με τους οποίους οι μαθηματικοί αποφασίζουν τι είναι σημαντικό έχουν αλλάξει οι ίδιοι στον μισό αιώνα από τότε που ο Kirby δημοσίευσε την πρώτη του λίστα. Ακόμα κι αν η αλήθεια ή το ψεύδος των επιμέρους εικασιών είναι θέμα αντικειμενικής αλήθειας, η κατάταξη της σημασίας τους είναι μια υποκειμενική, κοινωνική διαδικασία. Και αυτή η διαδικασία φαίνεται πολύ διαφορετική στον σημερινό παγκοσμίως διασυνδεδεμένο κόσμο από ό,τι στη δεκαετία του 1970. Η ιστορία της νέας λίστας είναι η ιστορία αυτών των αλλαγών.
Η αρχή της λίστας
Η καριέρα του Kirby ξεκίνησε με μια λίστα προβλημάτων. Το 1963, ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, παρακολούθησε ένα συνέδριο στο Σιάτλ όπου ο μαθηματικός Τζον Μίλνορ παρουσίασε μια λίστα με τα επτά πιο σημαντικά ανοιχτά προβλήματα στην τοπολογία. Το τελευταίο πρόβλημα ήταν η εικασία του δακτυλίου, η οποία δηλώνει ότι τα κενά μεταξύ δύο κατάλληλα καθορισμένων σφαιρών παίρνουν πάντα το σχήμα ενός δακτυλίου, που είναι η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων.
Αυτό ισχύει για κύκλους και κανονικές, τρισδιάστατες μπάλες, αλλά σε υψηλότερες διαστάσεις - που περιλαμβάνουν ζεύγη σφαιρών πέντε ή έξι ή οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων - συμβαίνουν εκπληκτικά πράγματα. Το 1969, ενώ ένας επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες, ο Kirby απέδειξε ότι ισχύει για διαστάσεις πέντε και άνω, δεδομένου ορισμένων περιορισμών (οι σφαίρες πρέπει να είναι ομαλές με μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια).
Με βάση αυτό το αποτέλεσμα, το UCLA τον προήγαγε απευθείας σε καθηγητή και διπλασίασε τον μισθό του. Δύο χρόνια αργότερα, κέρδισε το κύρος Βραβείο Oswald Veblen στη Γεωμετρία. Ο Kirby αποδίδει αυτή την επιτυχία στην αρχή της καριέρας εν μέρει στην ύπαρξη της λίστας Milnor, η οποία του παρείχε μεγαλύτερη ποικιλία έργων για να διαλέξει από ό,τι θα είχε λάβει από τους ανθρώπους που τον περιέβαλλαν στο μεταπτυχιακό.
«Για όσους τους αρέσει να εργάζονται για προβλήματα και δεν θέλουν απαραίτητα να κάνουν αυτό που τους λέει ο σύμβουλός τους, μια λίστα προβλημάτων είναι πολύτιμη», είπε.
Ο Kirby άρχισε να συγκεντρώνει την πρώτη του λίστα προβλημάτων τον Αύγουστο του 1976 σε ένα συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ. Έφτιαξε τη λίστα τα επόμενα δύο χρόνια, μέσω τηλεφωνημάτων, επιστολών και ανεπίσημων συνομιλιών με μαθηματικούς σε συνέδρια που συμμετείχε, και τη δημοσίευσε ως εκτεταμένο άρθρο σε περιοδικό το 1978.
Εισαγωγή
Όπως το θέτει ο Μίλερ, «Απλώς κάλεσε όλους όσους ήξερε στο τηλέφωνο».
Ο κατάλογος περιείχε περίπου 80 προβλήματα οργανωμένα σε πέντε κεφάλαια. Τα πρώτα τέσσερα κεφάλαια αφορούσαν μονοδιάστατους κόμβους, δισδιάστατες επιφάνειες και τρισδιάστατες και τετραδιάστατες πολλαπλότητες (χώροι όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας που φαίνονται επίπεδα τοπικά αλλά μπορεί να έχουν πιο περίπλοκη συνολική δομή). Το πέμπτο κεφάλαιο ήταν για διάφορα προβλήματα. Αν και ο Kirby συμβουλεύτηκε ευρέως για να συγκεντρώσει τη λίστα, το τελικό προϊόν ήταν αναμφισβήτητα δικό του.
«Ήμουν περισσότερο περιεκτικός παρά αποκλειστικός», είπε ο Kirby, αλλά πρόσθεσε, «Ήμουν λίγο πολύ ο τελικός διαιτητής».
Η δεύτερη λίστα
Τα τέλη της δεκαετίας του 1970 ήταν μια ευνοϊκή στιγμή για τη δημιουργία μιας λίστας προβλημάτων στην τοπολογία. Το πεδίο ήταν μικρό στην αρχή της δεκαετίας και τα επόμενα 10 χρόνια εξερράγη. Το 1981 Μάικλ Φρίντμαν έλυσε μια τετραδιάστατη εκδοχή της εικασίας του Πουανκαρέ σε α μνημειώδης απόδειξη που θα χρειαζόταν χρόνια για να το χωνέψει. (Η εικασία ρωτά αν τα μαθηματικά αντικείμενα που μοιάζουν με σφαίρες πρέπει στην πραγματικότητα να είναι σφαίρες. Η απάντηση, απέδειξε ο Freedman, είναι ναι.) Ένα χρόνο αργότερα ο William Thurston δημοσίευσε την εικασία γεωμετρίας, η οποία ταξινομεί ορισμένες τοπολογικές δομές σε γεωμετρικές κατηγορίες. Η εικασία έφερε εργαλεία από την ανάλυση (μια προηγμένη μορφή λογισμού) στην τοπολογία. Την ίδια χρονιά Σάιμον Ντόναλντσον εισήγαγε τη διαφορική γεωμετρία (η οποία συνδυάζει λογισμό και γεωμετρία) στο πεδίο με την εργασία του για τις τετραδιάστατες πολλαπλές.
«Είναι δύσκολο να περιγράψω πόσο γρήγορη ήταν η πρόοδος. Ήταν μια από αυτές τις μεγάλες περιόδους στα μαθηματικά, με τη μια επανάσταση μετά την άλλη», είπε ο Ρούμπερμαν.
Ως αποτέλεσμα όλης αυτής της δραστηριότητας, η λίστα του Kirby ήταν σχεδόν ξεπερασμένη μέσα σε λίγα χρόνια. Αλλά η δημιουργία λιστών προβλημάτων δεν ήταν η κύρια απασχόληση του Kirby. Μόλις ένα συνέδριο στο Πανεπιστήμιο της Τζόρτζια το καλοκαίρι του 1993 αποφάσισε να αναθεωρήσει τη λίστα.
Ο Kirby άρχισε να συλλέγει προβλήματα στο συνέδριο και συνέχισε την εργασία μέσω email, το οποίο δεν ήταν σε κοινή χρήση όταν είχε συντάξει την πρώτη λίστα. Ως αποτέλεσμα, η λίστα απλώθηκε. Η τελική λίστα περιείχε 415 προβλήματα και δημοσιεύτηκε ως βιβλίο το 1997. Μόλις ξεκίνησε η τρίτη λίστα, η δεύτερη προσπάθεια έγινε αναδρομικά γνωστή ως K2, όπως στη δεύτερη έκδοση της λίστας του Kirby, και επίσης ως νεύμα στη δεύτερη - το ψηλότερο βουνό στον κόσμο. Η διευρυμένη μορφή βοήθησε να εδραιωθεί η δεύτερη έκδοση της λίστας ως δοκιμαστικό λίθο και κάρτα βαθμολογίας. Η επίλυση ενός προβλήματος Kirby προσελκύει τους νέους μαθηματικούς.
"Αν γράφετε μια συστατική επιστολή για κάποιον και έχει λύσει ένα πρόβλημα Kirby, το αναφέρετε στην επιστολή σας", είπε Τζον Μπάλντουιν, μαθηματικός στο Boston College που συμμετείχε στο εργαστήριο και βοηθά στην επεξεργασία της λίστας.
Αρουνίμα Ρέι, επικεφαλής της ομάδας στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Max Planck στη Βόννη της Γερμανίας που παρακολούθησε το εργαστήριο, είπε ότι ένα από τα πρώτα πράγματα που έκανε ο διδακτορικός σύμβουλός της αφού πέρασε τις κατατακτήριες εξετάσεις της το 2011 ήταν να της δώσει ένα αντίγραφο της λίστας K2. για να κατανοήσουν τα μεγάλα προβλήματα που ενδιαφέρουν τους ανθρώπους».
Φυσικά, οι αποφάσεις για το τι είναι σημαντικό επηρεάζονται από το ποιος βρίσκεται στην αίθουσα και παίρνει αυτές τις αποφάσεις. Οι λίστες Kirby αντικατοπτρίζουν μια παιδαγωγική φιλοσοφία που αναπτύχθηκε από την κοινωνικοπολιτική κοσμοθεωρία του Kirby. Περιγράφει τον εαυτό του ως κλασικό φιλελεύθερο και αναφέρει τον Βρετανό φιλόσοφο του 19ου αιώνα Τζον Στιούαρτ Μιλ ως σημαντική επιρροή στη σκέψη του.
«Οι κλασικοί φιλελεύθεροι πίστευαν πραγματικά στην ελευθερία, την ελευθερία του λόγου και το ελαφρύ χέρι από την κυβέρνηση, οπότε αυτή είναι κάπως η άποψή μου», είπε. «Με έναν λίγο τρόπο αυτό συμβαδίζει με το να μην λέω στους μαθητές μου τι να κάνουν. Είναι λίγο να τους δώσουμε ελεύθερα όρια».
Ο Kirby εμποτίζει αυτές τις πεποιθήσεις στον τρόπο που σκέφτεται και μιλάει για την κοινότητα των μαθηματικών. Το 2021, μαζί με περισσότερους από 1,000 άλλους επαγγελματίες μαθηματικούς και επιστημονικούς από την Καλιφόρνια, συνυπέγραψε ανοιχτή επιστολή επικρίνοντας την πρόταση της πολιτείας για υιοθέτηση ενός νέου προγράμματος σπουδών μαθηματικών K-12 που θα έκανε τους προβληματισμούς της κοινωνικής δικαιοσύνης πιο κεντρικούς στον τρόπο με τον οποίο το κράτος διδάσκει το μάθημα. Η πρόταση της Καλιφόρνια έχει μπει σημαντική κριτική στην κοινότητα των μαθηματικών για, μεταξύ άλλων, τον περιορισμό της διαθεσιμότητας μαθημάτων για προχωρημένους και για την απομάκρυνση των μαθημάτων πριν από τον λογισμό υπέρ της «επιστήμης δεδομένων».
Εισαγωγή
Ο Kirby ήταν ιστορικά σκεπτικιστής ως προς την ύπαρξη δομικών προκαταλήψεων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένης της ανισορροπίας των φύλων στο πεδίο. Στη δεκαετία του 1970, περίπου το 10% των μαθηματικών ήταν γυναίκες. σήμερα σχεδόν το 30% είναι, σύμφωνα με α έκθεση 2020 από το Διεθνές Επιστημονικό Συμβούλιο.
In ένα άρθρο που έγραψε τη δεκαετία του 1990, και η οποία υποβλήθηκε για δημοσίευση στην Ανακοινώσεις της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας αλλά ποτέ δεν δημοσιεύτηκε, ο Kirby υποστήριξε ότι αυτοί οι θλιβεροί αριθμοί δεν ήταν αποτέλεσμα οποιασδήποτε μεροληψίας στο πεδίο. «Κατά την άποψή μου, ο μικρότερος αριθμός γυναικών στα μαθηματικά δεν οφείλεται σε διακρίσεις από τους άνδρες ούτε σε κάποια εγγενή κατωτερότητα των γυναικών, αλλά μάλλον οφείλεται στο απλό γεγονός ότι περισσότεροι άνδρες από γυναίκες επιλέγουν να εισέλθουν στα μαθηματικά», έγραψε ο Kirby.
Για πολλούς μαθηματικούς, η πραγματικότητα ότι λίγες γυναίκες μπαίνουν στον χώρο είναι κάθε άλλο παρά απλό γεγονός. «Τα στοιχεία δείχνουν ότι υπάρχει ένα αποτέλεσμα ανατροφοδότησης εδώ: επειδή υπάρχουν τόσο λίγες γυναίκες καθηγήτριες, οι φοιτήτριες δεν μπορούν να δουν μια ξεκάθαρη πορεία σταδιοδρομίας μέσω των μαθηματικών, έτσι αποφασίζουν να μην συνεχίσουν το διδακτορικό τους». έγραψε τέσσερις εξέχουσες γυναίκες μαθηματικοί το 2022 στο Συμπλήρωμα Times Higher Education. Όπως το έθεσε η έκθεση του Διεθνούς Επιστημονικού Συμβουλίου, μετά από ανάλυση ενός συνόλου δεδομένων εκατοντάδων χιλιάδων δημοσιευμένων μαθηματικών εγγράφων, «διάφοροι δομικοί και συστημικοί παράγοντες πρέπει να έχουν επηρεάσει τη σταδιοδρομία των γυναικών μαθηματικών με τρόπους διαφορετικούς από αυτούς των ανδρών».
Οι απόψεις του Kirby είναι πολύ γνωστές στην κοινότητα τοπολογίας χαμηλών διαστάσεων. Ρώτησα τον Kirby αν πιστεύει ότι αυτό δυσκόλευε τις γυναίκες να συμμετάσχουν σε περιβάλλοντα όπως το πρόσφατο συνέδριο όπου είχε εξέχοντα ρόλο. Είπε ότι δεν ήξερε γιατί, με εξαίρεση έναν μαθηματικό, κανένας δεν το είχε ανακοινώσει ποτέ μαζί του.
Ο Ray, ο οποίος υπηρετεί ως υπεύθυνος για την ισότητα των φύλων στο Ινστιτούτο Max Planck, είπε «Δεν νομίζω ότι διαμόρφωσε τον τρόπο που αισθάνθηκε το συνέδριο. Νομίζω ότι διαμορφώνει τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζεται στον τομέα των μαθηματικών, αλλά νομίζω ότι γενικά διαχωρίζουμε τα μαθηματικά από τον μαθηματικό».
Μια Κοινοτική Προσπάθεια
Όπως και μετά το K1, η τοπολογία χαμηλής διάστασης προχώρησε γρήγορα μετά την κυκλοφορία του K2. Μια σημαντική εξέλιξη ήταν η επεξεργασία της θεωρίας Seiberg-Witten, η οποία χρησιμοποίησε ιδέες από τη φυσική για να διακρίνει μεταξύ των τετραδιάστατων πολλαπλών. Στα τέλη της δεκαετίας του 2000, η λίστα Kirby ήταν έτοιμη για ενημέρωση ξανά.
«Το θέμα είναι ότι το πεδίο έγινε πολύ μεγαλύτερο από τη δεκαετία του 1990, έγινε τεράστιο», είπε ο Baykur.
Αυτή τη φορά το έναυσμα για τη δημιουργία μιας νέας λίστας ήρθε από τους Ruberman και Baykur. Άρχισαν να συλλέγουν προβλήματα γύρω στο 2013. Αλλά μεταξύ των άλλων υποχρεώσεών τους και της πανδημίας, μόλις τον Οκτώβριο του 2023 κατάφεραν να συγκεντρώσουν μια ομάδα τοπολόγων για να συναντηθούν προσωπικά. Ήθελαν η τρίτη έκδοση της λίστας να είναι περισσότερο μια κοινή προσπάθεια.
"Η αρχική λίστα ήταν υπέροχη, είμαι πολύ χαρούμενος που ήταν εκεί, αλλά αυτή η νέα μορφή είναι αξιέπαινη για να το κάνει λίγο πιο ανοιχτό", είπε ο Ray.
Στα τέλη του 2022, ο Kirby εντάχθηκε στους Baykur και Ruberman ως συνδιοργανωτής του συνεδρίου. Κάλεσαν ειδικούς από τους κύριους τομείς της τοπολογίας χαμηλών διαστάσεων - που αντιστοιχούν στην ίδια δομή πέντε κεφαλαίων που είχε χρησιμοποιήσει ο Kirby σε προηγούμενες εκδόσεις της λίστας - αλλά προσπάθησαν να αποφύγουν την πρόσκληση τόσο πολλών ειδικών που κανείς δεν είχε τίποτα κοινό με κανέναν άλλο.
Ο Baykur και ο Ruberman έκαναν το μεγαλύτερο μέρος της διοργάνωσης, ενώ ο Kirby ανέλαβε περισσότερο έναν τίτλο.
«Είναι κάτι σαν το μωρό του Ρομπ, ξέρετε, σαν να είναι συναισθηματικά υπεύθυνος. Αλλά ο Danny και ο Inanç χειρίστηκαν όλα τα logistics», είπε ο Miller.
Τη Δευτέρα, 30 Οκτωβρίου, η ομάδα ξεκίνησε τις εργασίες για τη λίστα K3 (όπως ονομάστηκε για προφανείς λόγους και επίσης σε σχέση με τις επιφάνειες K3, που είναι σημαντικά αντικείμενα στην τοπολογία).
Η λίστα αντανακλούσε τρόπους με τους οποίους η τοπολογία χαμηλών διαστάσεων είχε αναπτυχθεί από το K2. Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, το έργο του Andreas Floer οδήγησε σε νέες μεθόδους ταξινόμησης τρισδιάστατων πολλαπλών. Μέχρι το τέλος εκείνης της δεκαετίας, αυτές οι μέθοδοι είχαν ανθίσει σε έναν ολόκληρο τομέα μελέτης, την ομολογία Heegaard Floer, και σε αυτήν την περιοχή υπάρχουν τώρα μια σειρά από διαφορετικές προσεγγίσεις για τη διάκριση πολλαπλών. Αυτές οι προσεγγίσεις θα πρέπει να είναι όλες συνεπείς μεταξύ τους, αλλά δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα ότι είναι, και το K3 θα περιλαμβάνει ερωτήσεις που στοχεύουν στη διευθέτηση του ζητήματος.
Εισαγωγή
Ο Kirby έστησε στρατόπεδο στην κύρια αίθουσα διαλέξεων όπου μαζεύονταν οι μαθηματικοί κάθε πρωί, αποφεύγοντας κυρίως τις συνεδρίες καταιγισμού ιδεών. Το πρωί της Τρίτης Ντέιβ Γκαμπάι του Πανεπιστημίου του Πρίνστον έδωσε μια διάλεξη σε όλη την ομάδα σχετικά με τις συνδέσεις μεταξύ της εικασίας Schoenflies και της εικασίας του Poincaré, αναμφισβήτητα τα δύο πιο σημαντικά ανοιχτά προβλήματα στην ομαλή τετραδιάστατη τοπολογία.
Η εικασία του Schoenflies έχει παρόμοια γεύση με την εικασία του δακτυλίου που εργάστηκε ο Kirby τη δεκαετία του 1960. Προβλέπει ότι εάν δύο σφαίρες διαφέρουν κατά μία διάσταση (όπως ένας κύκλος έναντι της επιφάνειας μιας μπάλας) και ενσωματώσετε τη χαμηλότερης διάστασης (τον κύκλο) στην υψηλότερης διάστασης (την επιφάνεια μιας μπάλας), η πρώτη κόβει πάντα το τελευταίο σε ισοδύναμο δύο μπάλες. Αυτό ισχύει ξεκάθαρα όταν χαράσσετε έναν κύκλο σε μια σφαίρα (σαν να σχηματίζετε τον ισημερινό), αλλά όπως και με την εικασία του δακτυλίου, είναι λιγότερο ξεκάθαρα αληθές σε υψηλότερες διαστάσεις.
Ο Κίρμπι βρήκε τον Γκαμπάι αργότερα και οι δυο τους μίλησαν για ώρες για τις συνέπειες της ομιλίας του Γκαμπάι. Σε άλλα σημεία της εβδομάδας ο Kirby πέρασε χρόνο στέλνοντας email στο εκτεταμένο δίκτυό του στην κοινότητα των μαθηματικών για συνεισφορές στη λίστα.
"Κατά κάποιο τρόπο ήταν μάλλον παρόμοιο με αυτό που είχε κάνει στις προηγούμενες λίστες", είπε ο Ruberman. «Δεν είχε την τάση να μπαίνει τόσο πολύ στα δωμάτια. [Θα] έστελνε email στους ανθρώπους, λέγοντας: "Κάποιος στο εργαστήριο είπε αυτό, τι πιστεύετε για αυτό;"
The War Room
Τις τελευταίες δύο ημέρες του συνεδρίου ο Baykur και ο Ruberman ζήτησαν από τους παρευρισκόμενους να γράψουν τα προβλήματα που είχαν συγκεντρώσει. Έμοιαζε σαν ένα δωμάτιο πολέμου, καθώς οι μαθηματικοί έσπευσαν να γράψουν περιλήψεις των προβλημάτων που είχαν λύσει πριν από την πτήση τους για το σπίτι.
«Ένιωσα πραγματικά σαν όταν είσαι στο κολέγιο, και έχεις τις εργασίες για το σπίτι την επόμενη μέρα, και όλοι στην τάξη είναι σε ένα δωμάτιο και είναι 2 τα ξημερώματα», είπε ο Μίλερ.
Ένα κοινό έγγραφο στο οποίο οι μαθηματικοί συνέτασσαν τη λίστα ήταν σχεδόν άδειο το πρωί της Πέμπτης, αλλά μεγάλωσε γρήγορα με δεκάδες μαθηματικούς να επεξεργάζονται ταυτόχρονα. Μέχρι την Παρασκευή, ο κατάλογος των προβλημάτων ξεπερνούσε τις 250 σελίδες. Η εμπειρία του ανεμοστρόβιλου ήταν σχεδόν αγνώριστη σε σύγκριση με τις δύο προηγούμενες προσπάθειες του Kirby.
«Με έκανε να νιώθω γέρος με την έννοια ότι όταν έκανα το K2, το έκανα σε διάστημα δύο έως τριών ετών. Θα καθόμουν με ένα άτομο και θα γράφαμε μαζί το πρόβλημα», είπε ο Kirby. "Με το K3, είχα μόνο έναν μικρό αριθμό προβλημάτων."
Ο Baykur και ο Ruberman ελπίζουν να δημοσιεύσουν μια λίστα με περίπου 400 προβλήματα μέχρι το τέλος του έτους, μετά από αναθεωρήσεις και προσθήκες από τοπολόγους που δεν συμμετείχαν στη συνάντηση της Πασαντίνα. Ο Baykur, ο Ruberman και οι άλλοι συντάκτες εξακολουθούν να συζητούν πόσο συχνά θα ενημερώνουν τη λίστα. Θα μπορούσαν να παρατείνουν τη διάρκεια ζωής του K3 διατηρώντας μια διαδικτυακή έκδοση ενημερωμένη, αλλά βλέπουν μειονεκτήματα σε αυτό. Οι δύο πρώτες λίστες, είπε ο Baykur, «ήταν ιστορικά έγγραφα και ήταν εξαιρετικά κατατοπιστικό να δούμε πώς έβλεπαν τα πράγματα στις δεκαετίες του 1970 και του 1990 και πώς σκέφτονταν τα μαθηματικά. Ήθελα να έχω ένα παρόμοιο σύγχρονο έγγραφο».
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Ενδυναμώστε τον εαυτό σας. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoESG. Ανθρακας, Cleantech, Ενέργεια, Περιβάλλον, Ηλιακός, Διαχείριση των αποβλήτων. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoHealth. Ευφυΐα βιοτεχνολογίας και κλινικών δοκιμών. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/
- :έχει
- :είναι
- :δεν
- :που
- ][Π
- $UP
- 000
- 1
- 10
- 14
- 2%
- 2000s
- 2011
- 2013
- 2021
- 2022
- 2023
- 250
- 30
- 400
- 80
- a
- Σχετικα
- σχετικά με αυτό
- AC
- Σύμφωνα με
- δραστηριότητα
- προστιθέμενη
- Επιπλέον
- προσθήκες
- διευθυνσιοδότηση
- ενστερνίζομαι
- προηγμένες
- σύμβουλος
- επηρεαστούν
- Μετά το
- πάλι
- ημερήσια διάταξη
- στοχεύουν
- Όλα
- σχεδόν
- κατά μήκος
- Επίσης
- πάντοτε
- Αμερικανικη
- μεταξύ των
- an
- ανάλυση
- αναλύοντας
- και
- Angeles
- Άλλος
- απάντηση
- κάθε
- πια
- κάποιος
- οτιδήποτε
- εμφανίζομαι
- προσεγγίσεις
- κατάλληλα
- ΕΙΝΑΙ
- ΠΕΡΙΟΧΗ
- περιοχές
- αμφισβητήσιμα
- γύρω
- άρθρο
- AS
- ρώτησε
- Βοηθός
- At
- συμμετέχοντες
- γνωρίσματα
- Αύγουστος
- austin
- διαθεσιμότητα
- αποφύγετε
- αποφεύγοντας
- Μωρό
- πίσω
- μπάλα
- BE
- έγινε
- επειδή
- ήταν
- πριν
- ξεκίνησε
- Αρχή
- πεποιθήσεις
- Πιστεύω
- Berkeley
- μεταξύ
- προκατάληψη
- μεροληψίες
- Μεγάλος
- μεγαλύτερος
- Κομμάτι
- βιβλίο
- boston
- δεσμεύεται
- Βρετανοί
- Έφερε
- Κτίριο
- χτισμένο
- αλλά
- by
- Καλιφόρνια
- που ονομάζεται
- κλήσεις
- ήρθε
- Στρατόπεδο
- CAN
- Σταδιοδρομία
- σταδιοδρομία
- περίπτωση
- κατηγορίες
- τσιμέντο
- κεντρικός
- CGI
- αλλαγή
- άλλαξε
- Αλλαγές
- Κεφάλαιο
- Κεφάλαια
- χρέωση
- Σικάγο
- Επιλέξτε
- Κύκλος
- κύκλους
- τάξη
- καθαρός
- σαφώς
- Συλλέγοντας
- συλλογή
- Κολλέγιο
- συνδυάζει
- Ελάτε
- αξιέπαινος
- Κοινός
- κοινόχρηστος
- κοινότητα
- σύγκριση
- Συντάχθηκε
- περίπλοκος
- συλληφθεί
- Διάσκεψη
- συνέδρια
- εικασία
- Διασυνδέσεις
- θεωρήσεις
- θεωρούνται
- συνεπής
- που περιέχονται
- σύγχρονος
- συνέχισε
- συνεισφορές
- συνέλεξε
- συνομιλίες
- Αντίστοιχος
- θα μπορούσε να
- Συμβούλιο
- πορεία
- μαθήματα
- δημιουργία
- δημιουργία
- κριτική
- Ρεύμα
- Διδακτέα ύλη
- περικοπές
- ημέρα
- Ημ.
- συζητώντας
- δεκαετία
- δεκαετίες
- αποφασίζει
- αποφάσισε
- αποφάσεις
- ορίζεται
- περιγράφουν
- περιγράφει
- Ανάπτυξη
- DID
- διαφέρω
- διαφορετικές
- Σύνοψη
- Διάσταση
- Διαστάσεις
- κατευθείαν
- Διάκριση
- διακρίνω
- do
- έγγραφο
- έγγραφα
- πράξη
- γίνεται
- Μην
- διπλασιάστηκε
- κάτω
- δωδεκάδα
- δεκάδες
- μειονεκτήματα
- δυο
- κατά την διάρκεια
- κάθε
- Νωρίτερα
- Νωρίς
- συντάκτες
- Εκπαίδευση
- αποτέλεσμα
- προσπάθεια
- προσπάθειες
- αλλιώς
- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
- embed
- άδειο
- τέλος
- εισάγετε
- Ολόκληρος
- ισότητα
- εξίσου
- Ισοδύναμος
- Even
- ΠΑΝΤΑ
- όλοι
- εξαίρεση
- Αποκλειστικό
- ύπαρξη
- επεκτάθηκε
- εμπειρία
- εμπειρογνώμονες
- επεκτείνουν
- επεκτάθηκε
- εκτενής
- εξαιρετικά
- γεγονός
- παράγοντες
- FAST
- ευνοούν
- ανατροφοδότηση
- αισθάνομαι
- σύντροφος
- σφάλμα
- θηλυκός
- λίγοι
- πεδίο
- πέμπτος
- Εικόνα
- τελικός
- Όνομα
- πέντε
- ίσια
- γεύση
- Πτήσεις
- ακολουθήστε
- Εξής
- Για
- μορφή
- μορφή
- Πρώην
- Βρέθηκαν
- τέσσερα
- Δωρεάν
- Ελεύθερος λόγος
- ελεύθερος
- συχνά
- Παρασκευή
- από
- εμπρός
- πλήρη
- συγκεντρώνουν
- συγκεντρώθηκαν
- έδωσε
- Φύλο
- Ισότητα των φύλων
- General
- γεωμετρία
- Γεωργία
- Germany
- παίρνω
- παίρνει
- Δώστε
- δεδομένου
- Δίνοντας
- Παγκόσμιο
- Παγκόσμια
- σφαίρα
- πηγαίνει
- φύγει
- πήρε
- Κυβέρνηση
- αποφοιτήσουν
- εξαιρετική
- μεγαλύτερη
- μεγάλωσε
- Group
- καλλιεργούνται
- είχε
- Αίθουσα
- χέρι
- Χειρίζεται
- συμβαίνω
- Σκληρά
- σκληρότερα
- Έχω
- he
- βοήθησε
- βοήθεια
- αυτήν
- εδώ
- υψηλότερο
- Ανώτερη εκπαίδευση
- αυτόν
- ίδιος
- του
- ιστορικών
- ιστορικά
- Αρχική
- εργασία
- ελπίζω
- ΩΡΕΣ
- Πως
- HTML
- HTTPS
- τεράστιος
- Οι άνθρωποι
- Εκατοντάδες
- i
- ιδεών
- if
- ανισορροπία
- αμέσως
- επιπτώσεις
- σπουδαιότητα
- σημαντικό
- in
- περιλαμβάνουν
- Συμπεριλαμβανομένου
- Περιεκτικός
- ανεξάρτητος
- ατομικές
- επιρροή
- Με επιρροή
- άτυπος
- πληροφοριακός
- συμφυής
- αρχικός
- Ινστιτούτο
- διασυνδεδεμένα
- ενδιαφερόμενος
- ενδιαφέρον
- International
- σε
- εισήγαγε
- καλείται
- ελκυστικός
- συμμετέχουν
- συμμετοχή
- IT
- Γιάννης
- εντάχθηκαν
- ημερολόγιο
- μόλις
- Δικαιοσύνη
- τήρηση
- Είδος
- kirby
- γνώριζαν
- Ξέρω
- γνωστός
- Επίθετο
- Αργά
- αργότερα
- τελευταίος
- ηγέτης
- ανάγνωση
- μείον
- επιστολή
- Ελευθερία
- ζωή
- φως
- Μου αρέσει
- περιορίζοντας
- Λιστα
- Λίστες
- λίγο
- τοπικά
- επιμελητεία
- Μακριά
- κοιτάζοντας
- ΦΑΊΝΕΤΑΙ
- ο
- Λος Άντζελες
- που
- περιοδικό
- Κυρίως
- μεγάλες
- Κατασκευή
- διαχειρίζεται
- πολοί
- Μασαχουσέτη
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- μαθηματικοί
- μαθηματικά
- ύλη
- max
- me
- Γνωρίστε
- συνάντηση
- Άνδρες
- αναφέρω
- μέθοδοι
- Μυλωνάς
- μετριόφρων
- Δευτέρα
- περισσότερο
- πρωί
- πλέον
- ως επί το πλείστον
- Βουνό
- πολύ
- πρέπει
- my
- σχεδόν
- αναγκαίως
- δίκτυο
- ποτέ
- Νέα
- επόμενη
- Όχι.
- κανείς
- ούτε
- κανονικός
- παρατηρήσει
- τώρα
- αριθμός
- αριθμοί
- σκοπός
- αντικειμένων
- ομολογίες
- Εμφανή
- επάγγελμα
- Οκτώβριος
- of
- Αξιωματικός
- Παλιά
- on
- μια φορά
- ONE
- διαδικτυακά (online)
- online έκδοση
- αποκλειστικά
- επάνω σε
- ανοίξτε
- or
- Οργανωμένος
- οργανωτικός
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- έξω
- απαρχαιωμένος
- επί
- Γενική επισκευή
- δική
- σελίδες
- ζεύγη
- πανδημία
- χαρτιά
- μέρος
- συμμετέχω
- συμμετείχαν
- Ειδικότερα
- πέρασε
- Το παρελθόν
- μονοπάτι
- People
- ποσοστό
- περίοδος
- έμμηνα
- person
- με έργα φιλοσοφίας
- τηλέφωνο
- τηλεφωνικές κλήσεις
- Φυσική
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- σημεία
- δυναμικού
- Προβλέπει
- παρουσιάζονται
- κύρους
- αρκετά
- προηγούμενος
- princeton
- Πριν
- Πρόβλημα
- προβλήματα
- διαδικασια μας
- Προϊόν
- επαγγελματίες
- Δάσκαλος
- Πρόοδος
- έργα
- διακεκριμένος
- Προωθήθηκε
- πρόταση
- αποδείχθηκε
- παρέχεται
- Δημοσίευση
- δημοσιεύει
- δημοσιεύθηκε
- επιδιώκω
- βάζω
- Βάζει
- προκριματικά
- Quantamamagazine
- Ερωτήσεις
- γρήγορα
- Κατάταξη
- μάλλον
- RAY
- έτοιμος
- Πραγματικότητα
- πραγματικά
- λόγους
- έλαβε
- πρόσφατος
- Σύσταση
- αναφορά
- αντανακλούν
- αντανακλάται
- σχετικά με
- περιοχή
- απελευθερώνουν
- αναφέρουν
- έρευνα
- περιορισμούς
- αποτέλεσμα
- αναθεωρήσεις
- Επανάσταση
- Αύξηση
- ληστεύω
- Ρόλος
- Δωμάτιο
- Δωμάτια
- έσπευσαν
- Είπε
- μισθός
- ίδιο
- ρητό
- Σχολείο
- Επιστήμη
- επιστημονικός
- πίνακας βαθμολογίας
- Σιάτλ
- Δεύτερος
- δείτε
- αίσθηση
- ξεχωριστό
- εξυπηρετεί
- συνεδρίες
- σειρά
- ρυθμίσεις
- εγκατασταθούν
- Πάγια
- επτά
- Shape
- σχήματος
- σχήματα
- Shared
- αυτή
- Ράφι
- θα πρέπει να
- παρόμοιες
- Απλούς
- αφού
- καθίσει
- ΕΞΙ
- small
- μικρότερος
- εξομαλύνουν
- So
- Μ.Κ.Δ
- κοινωνική δικαιοσύνη
- Κοινωνία
- λύση
- Επίλυση
- μερικοί
- Κάποιος
- είδος
- χώρων
- ειδικούς
- ομιλία
- πέρασε
- σφαίρα
- stanford
- Πανεπιστήμιο του Stanford
- Εκκίνηση
- ξεκίνησε
- Κατάσταση
- Μελών
- Ακόμη
- στάθηκε
- Ιστορία
- κατασκευαστικός
- δομή
- δομές
- Φοιτητής
- Φοιτητές
- Μελέτη
- στυλ
- θέμα
- υποκειμενικός
- υποβάλλονται
- επιτυχία
- Προτείνει
- καλοκαίρι
- συμπλήρωμα
- βέβαιος
- Επιφάνεια
- εκπληκτικός
- συστήματος
- Πάρτε
- παίρνει
- Συζήτηση
- μίλησε
- συνομιλίες
- λέει
- λέει
- Τείνουν
- Τέξας
- από
- ότι
- Η
- Το κράτος
- ο κόσμος
- τους
- Τους
- τους
- θεωρία
- Εκεί.
- Αυτοί
- αυτοί
- πράγμα
- πράγματα
- Νομίζω
- Σκέψη
- σκέφτεται
- Τρίτος
- αυτό
- εκείνοι
- αν και?
- σκέψη
- χιλιάδες
- τρία
- τρισδιάστατος
- Μέσω
- Πέμπτη
- ώρα
- προς την
- σήμερα
- σημερινή
- μαζι
- είπε
- πήρε
- εργαλεία
- Προσπάθησα
- αληθής
- Αλήθεια
- Τρίτη
- δύο
- UCLA
- υπό
- Σε εξέλιξη
- πανεπιστήμιο
- Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια
- Πανεπιστήμιο του Σικάγου
- μέχρι
- Ενημέρωση
- ενημέρωση
- χρήση
- μεταχειρισμένος
- Πολύτιμος
- ποικιλία
- εκδοχή
- εκδόσεις
- Εναντίον
- πολύ
- Δες
- βλέπετε
- άποψη
- εμφανίσεις
- θέλω
- ήθελε
- πόλεμος
- ήταν
- Τρόπος..
- τρόπους
- we
- webp
- εβδομάδα
- ΛΟΙΠΌΝ
- ήταν
- Τι
- Τι είναι
- πότε
- Ποιό
- ενώ
- ανεμοστρόβιλος
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- ολόκληρο
- ευρέως
- θα
- Γουλιέλμος
- με
- εντός
- Γυναίκες
- Κέρδισε
- θαυμάσιος
- Εργασία
- εργάστηκαν
- συνεργείο
- κόσμος
- θα
- γράφω
- γραφή
- Έγραψε
- έτος
- χρόνια
- Ναί
- εσείς
- νέος
- Σας
- zephyrnet