Sissejuhatus
1980. aastate keskel, nagu Walkmani kassetimängijad ja lipsuga värvitud särgid, oli Mandelbroti komplekti lollakas siluett kõikjal.
Õpilased krohvisid selle ühiselamu seinte külge üle maailma. Matemaatikud said sadu kirju, innukalt sooviti komplekti väljatrükke. (Mõned neist koostasid vastuseks katalooge koos hinnakirjadega; teised koostasid selle kõige silmatorkavamad funktsioonid raamatuteks.) Tehnikateadlikumad fännid võiksid pöörduda 1985. aasta augustinumbri poole. Scientific American. Selle kaanel rullus Mandelbroti komplekt lahti tulistes kõõlustes, selle piir leekides; sees olid hoolikad programmeerimisjuhised, milles kirjeldati üksikasjalikult, kuidas lugejad võivad endale ikoonilise pildi luua.
Selleks ajaks olid need kõõlused ulatunud ka matemaatikast kaugele, näiliselt mitteseotud igapäevaelu nurkadesse. Järgmise paari aasta jooksul inspireerib Mandelbroti komplekt David Hockney uusimaid maale ja mitme muusiku uusimaid kompositsioone - Bachi stiilis fuugalaadseid palasid. See ilmub John Updike'i ilukirjanduse lehekülgedel ja juhib seda, kuidas kirjanduskriitik Hugh Kenner Ezra Poundi luulet analüüsis. Sellest saaks psühhedeelsete hallutsinatsioonide ja ulme suurkuju Arthur C. Clarke'i jutustatava populaarse dokumentaalfilmi teema.
Mandelbroti komplekt on erikujuline, fraktaalkontuuriga. Kasutage arvutit, et suumida sisse komplekti sakiline piir, ja kohtate merihobuste orge ning elevantide, spiraalgalaktikate ja neuronilaadsete filamentide paraade. Olenemata sellest, kui sügavuti te uurite, näete alati peaaegu originaalkomplekti koopiaid – lõputut, peadpööritavat enesesarnasuse kaskaadi.
See enesesarnasus oli James Gleicki enimmüüdud raamatu põhielement Kaos, mis kinnitas Mandelbroti komplekti koha populaarses kultuuris. "Selles oli ideede universum," kirjutas Gleick. "Moodne kunstifilosoofia, eksperimenteerimise uue rolli õigustus matemaatikas, viis keerukate süsteemide toomiseks suure avalikkuse ette."
Mandelbroti komplektist oli saanud sümbol. See esindas vajadust uue matemaatilise keele järele, mis oleks parem viis meid ümbritseva maailma fraktaalsuse kirjeldamiseks. See näitas, kui põhjalik keerukus võib tekkida kõige lihtsamatest reeglitest – sarnaselt elule enesele. (Seetõttu on see tõeline lootuse sõnum, John Hubbard, üks esimesi matemaatikuid, kes seda komplekti uuris, ütles 1989. aasta videos, et "võimalik, et bioloogiat saab tõesti mõista samamoodi nagu neid pilte.") Mandelbroti komplektis elasid kord ja kaos harmoonias; determinismi ja vaba tahte võiks ühitada. Üks matemaatik meenutas, et komistas teismelisena võtteplatsil ja nägi seda tõe ja vale vahelise keerulise piiri metafoorina.
Sissejuhatus
Mandelbroti komplekt oli kõikjal, kuni seda polnud.
Kümne aastaga näis see kaduvat. Matemaatikud liikusid edasi teiste ainete juurde ja avalikkus muude sümbolite juurde. Täna, vaid 40 aastat pärast avastamist, on fraktalist saanud klišeelik piiripealne kitš.
Kuid käputäis matemaatikuid on keeldunud seda lahti laskmast. Nad on pühendanud oma elu Mandelbroti komplekti saladuste paljastamisele. Nüüd arvavad nad, et on lõpuks sellest tõeliselt mõistmise äärel.
Nende lugu räägib uurimisest, eksperimenteerimisest ja sellest, kuidas tehnoloogia kujundab meie mõtteviisi ja küsimusi, mida me maailma kohta esitame.
Pearahakütid
2023. aasta oktoobris kogunesid 20 matemaatikut üle maailma kunagisel Taani sõjaväe uurimisbaasil asuvasse tellistest majja. 1800. aastate lõpus keset metsi ehitatud baas oli Taani suurima rahvaarvuga saare looderannikul asuva fjordi küljes. Sissepääsu valvas vana torpeedo. Seinu ehtisid must-valged fotod, millel on kujutatud mundris mereväe ohvitsere, dokki rivistatud paate ja käimasolevaid allveelaevakatsetusi. Kolm päeva, mil äge tuul akende taga oleva vee vahutavateks valgemütsideks virutas, pidas rühm läbi rea kõnesid, millest enamiku pidasid kaks matemaatikut New Yorgi Stony Brooki ülikoolist: Miša Ljubitš ja Dima Dudko.
Töötoa publiku hulgas olid mõned Mandelbroti komplekti kõige kartlikumad uurijad. Esikülje lähedal istus Mitsuhiro Shishikura Kyoto ülikoolist, kes 1990. aastatel tõestas, et komplekti piir on nii keeruline, kui see üldse olla saab. Paar kohta oli üle Hiroyuki Inou, kes töötas koos Shishikuraga välja olulisi tehnikaid Mandelbroti komplekti eriti kõrge profiiliga piirkonna uurimiseks. Viimases reas oli Wolf Jung, Mandeli looja, matemaatikute tarkvara Mandelbroti komplekti interaktiivseks uurimiseks. Kohal olid ka Arnaud Chéritat Toulouse'i ülikoolist, Carsten Petersen Roskilde ülikoolist (kes korraldas töötoa) ja mitmed teised, kes olid andnud olulise panuse matemaatikute arusaamisesse Mandelbroti komplektist.
Sissejuhatus
Tahvli ääres seisid selle teema maailma juhtiv ekspert Ljubitš ja üks tema lähemaid kaastöötajaid Dudko. Koos matemaatikutega Jeremy Kahn ja Alex Kapiamba, on nad püüdnud tõestada pikaajalist oletust Mandelbroti komplekti geomeetrilise struktuuri kohta. See oletus, tuntud kui MLC, on viimane takistus aastakümneid kestnud püüdlustes iseloomustada fraktaali, taltsutada selle sassis kõrbes.
Võimsa tööriistakomplekti loomise ja teritamise abil on matemaatikud suutnud kontrollida "peaaegu kõike Mandelbroti komplektis olevate asjade" geomeetriat. Caroline Davis Indiana ülikoolist – välja arvatud mõned ülejäänud juhtumid. "Misha ja Dima ning Jeremy ja Alex on nagu pearahakütid, kes üritavad nendele viimastele jälile saada."
Lyubich ja Dudko olid Taanis, et teavitada teisi matemaatikuid hiljutistest edusammudest MLC tõestamisel ja nende poolt selleks välja töötatud tehnikatest. Viimase 20 aasta jooksul on teadlased kogunenud siin töötubadesse, mis on pühendatud kompleksanalüüsi tulemuste ja meetodite lahtipakkimisele, Mandelbroti komplekti genereerimiseks kasutatavate arvude ja funktsioonide matemaatilisele uurimisele.
See oli ebatavaline seadistus: matemaatikud sõid kõik oma toidukorrad koos ning rääkisid ja naersid õlle kõrval kuni hilise tundide lõpuni. Kui nad lõpuks otsustasid magama minna, läksid nad narivooditesse või võrevooditesse väikestesse tubadesse, mida nad hoone teisel korrusel jagasid. (Saabudes kästi meil haarata linad ja padjapüürid hunnikust ning viia need üles korrusele, et voodit teha.) Mõnel aastal ujuvad konverentsikülastajad julgelt külmas vees; sagedamini rändavad nad läbi metsa. Aga enamasti pole peale matemaatika midagi teha.
Tavaliselt ütles üks kohalviibijatest, et töötuba meelitab palju nooremaid matemaatikuid. Kuid seekord see nii ei olnud - võib-olla sellepärast, et oli semestri keskpaik või, ta oletas, selle aine keerukuse tõttu. Ta tunnistas, et sel hetkel tundis ta end veidi hirmununa võimalusest pidada kõnet nii mõnegi ala tipptegija ees.
Sissejuhatus
Kuid arvestades, et enamik kompleksanalüüsi laiema valdkonna matemaatikuid ei tööta enam otse Mandelbroti komplektiga, miks pühendada terve töötuba MLC-le?
Mandelbroti komplekt on midagi enamat kui fraktal ja mitte ainult metafoorilises mõttes. See toimib omamoodi dünaamiliste süsteemide põhikataloogina – kõigist erinevatest viisidest, kuidas punkt võib lihtsa reegli kohaselt liikuda läbi ruumi. Selle põhikataloogi mõistmiseks tuleb läbida palju erinevaid matemaatilisi maastikke. Mandelbroti komplekt on sügavalt seotud mitte ainult dünaamikaga, vaid ka arvuteooria, topoloogia, algebralise geomeetria, rühmateooria ja isegi füüsikaga. "See suhtleb ülejäänud matemaatikaga kaunil viisil," ütles Sabyasachi Mukherjee Tata Fundamentaaluuringute Instituudist Indias.
MLC-s edu saavutamiseks on matemaatikud pidanud välja töötama keeruka tehnikakomplekti – seda, mida Chéritat nimetab "võimsaks filosoofiaks". Need tööriistad on pälvinud palju tähelepanu. Tänapäeval moodustavad need keskse tugisamba dünaamiliste süsteemide uurimisel laiemalt. Need on osutunud paljude muude probleemide lahendamisel otsustava tähtsusega - probleemid, millel pole Mandelbroti komplektiga mingit pistmist. Ja nad on muutnud MLC nišiküsimusest üheks valdkonna sügavaimaks ja olulisemaks avatud oletuseks.
Ljubitš, matemaatik, kes vastutab vaieldamatult selle "filosoofia" praegusesse vormi vormimise eest, seisab kõrgel ja sirgelt ning räägib vaikselt. Kui teised matemaatikud töökojas tema juurde tulevad, et kontseptsiooni arutada või küsimust esitada, sulgeb ta silmad ja kuulab tähelepanelikult, paksud kulmud kortsus. Ta vastab ettevaatlikult, vene aktsendiga.
Sissejuhatus
Kuid ta on ka kiire valju ja sooja naeru murdma ja veidraid nalju tegema. Ta on helde oma aja ja nõuannete osas. Ta on "tõeliselt kasvatanud mitu põlvkonda matemaatikuid," ütles Mukherjee, üks Ljubichi endistest järeldoktoritest ja sage kaastööline. Nagu ta ütleb, veedavad kõik keeruka dünaamika uurimisest huvitatud inimesed mõnda aega Stony Brookis, õppides Lyubichilt. "Mishal on selline nägemus, kuidas peaksime teatud projektiga tegelema või mida järgmiseks vaadata," ütles Mukherjee. "Tal on selline suur pilt meeles. Ja tal on hea meel seda inimestega jagada.
Ljubitš tunneb esimest korda, et suudab näha seda suurejoonelist pilti selle terviklikkuses.
Auhinnavõitlejad
Mandelbroti komplekt algas auhinnaga.
1915. aastal, ajendatuna hiljutisest edusammudest funktsioonide uurimisel, kuulutas Prantsuse Teaduste Akadeemia välja konkursi: kolme aasta pärast pakuks ta välja 3,000-frangise peaauhinna iteratsiooniprotsessiga seotud töö eest – see protsess, mis hiljem luua Mandelbroti komplekt.
Iteratsioon on reegli korduv rakendamine. Ühendage arv funktsiooniga, seejärel kasutage väljundit järgmise sisendina. Jätkake seda ja jälgige, mis aja jooksul juhtub. Kui jätkate oma funktsiooni kordamist, võivad saadavad numbrid tõusta kiiresti lõpmatuseni. Või võidakse neid tõmmata konkreetselt ühe numbri poole, nagu magneti poole liikuvad rauaviilud. Või põrkavad sama kahe numbri, kolme või tuhande vahel stabiilsel orbiidil, kust nad kunagi ei pääse. Või hüpata ühelt numbrilt teisele ilma riimi või põhjuseta, järgides kaootilist, ettearvamatut rada.
Sissejuhatus
Prantsuse Akadeemial ja matemaatikutel laiemalt oli veel üks põhjus iteratsiooni vastu huvi tunda. Protsess mängis olulist rolli dünaamiliste süsteemide uurimisel - süsteemid, nagu planeetide pöörlemine ümber päikese või turbulentse voo vool, süsteemid, mis aja jooksul muutuvad vastavalt teatud kindlatele reeglitele.
Auhind inspireeris kaht matemaatikut arendama täiesti uut õppevaldkonda.
Esimene oli Pierre Fatou, kes teises elus oleks võinud olla mereväelane (perekonna traditsioon), kui see poleks tema kehva tervise pärast. Selle asemel tegi ta karjääri matemaatikas ja astronoomias ning 1915. aastaks oli ta juba tõestanud mitmeid olulisi analüüsitulemusi. Siis oli Gaston Julia, paljutõotav noor matemaatik, kes sündis Prantsuse okupeeritud Alžeerias, kelle õpingud katkestasid Esimene maailmasõda ja tema ajateenistus Prantsuse armeesse. 22-aastaselt, pärast seda, kui ta sai vahetult pärast teenistuse algust rasket vigastust – ta kandis elu lõpuni üle näo nahkrihma, pärast seda, kui arstid ei suutnud kahjustusi parandada – naasis ta matemaatika juurde, tehes mõningaid töö, mille ta esitaks Akadeemia auhinnale haiglavoodist.
Auhind motiveeris nii Fatoud kui Juliat uurima, mis juhtub funktsioonide kordamisel. Nad töötasid iseseisvalt, kuid tegid lõpuks väga sarnaseid avastusi. Nende tulemustes oli nii palju kattumist, et isegi praegu pole alati selge, kuidas krediiti määrata. (Julia oli avameelsem ja sai seetõttu rohkem tähelepanu. Ta võitis lõpuks auhinna; Fatou isegi ei kandideerinud.) Tänu sellele tööle peetakse neid kahte nüüd keerulise dünaamika valdkonna rajajateks.
"Kompleks", sest Fatou ja Julia itereerisid kompleksarvude funktsioone – numbreid, mis ühendavad tuttava reaalarvu nn imaginaararvuga (arvu kordne i, sümbolit matemaatikud kasutavad ruutjuure tähistamiseks -1). Kui reaalnumbreid saab paigutada punktidena joonele, siis kompleksarvud visualiseeritakse punktidena tasapinnal, näiteks:
Sissejuhatus
Fatou ja Julia leidsid, et isegi lihtsate keerukate funktsioonide kordamine (mitte paradoks matemaatika vallas!) võib sõltuvalt teie lähtepunktist viia rikkaliku ja keerulise käitumiseni. Nad hakkasid neid käitumisi dokumenteerima ja geomeetriliselt esitama.
Kuid siis jäi nende töö pooleks sajandiks hämarusse. "Inimesed ei teadnud isegi, mida otsida. Neil oli piiratud küsimusi, mida isegi küsida, ”ütles Artur Avila, Zürichi ülikooli professor.
See muutus, kui arvutigraafika sai 1970. aastatel täisealiseks.
Selleks ajaks oli matemaatik Benoît Mandelbrot omandanud akadeemilise diletandina maine. Ta oli tegelenud paljudes erinevates valdkondades, alates majandusest kuni astronoomiani, töötades samal ajal IBMi uurimiskeskuses New Yorgist põhja pool. Kui ta 1974. aastal IBM-i stipendiaadiks määrati, oli tal veelgi suurem vabadus iseseisvate projektide elluviimisel. Ta otsustas rakendada keskuse märkimisväärset arvutusvõimsust keeruka dünaamika väljatoomiseks talveunest.
Alguses kasutas Mandelbrot arvuteid selliste kujundite genereerimiseks, mida Fatou ja Julia olid uurinud. Kujutised kodeerisid teavet selle kohta, millal lähtepunkt itereerimisel lõpmatuseni pääseb ja millal see mõne muu mustri lõksu jääb. Fatou ja Julia 60 aastat varasemad joonistused nägid välja nagu ringide ja kolmnurkade kobarad, kuid Mandelbroti arvutiga loodud pildid nägid välja nagu draakonid ja liblikad, jänesed ja katedraalid ning lillkapsapead, mõnikord isegi lahti ühendatud tolmupilved. Selleks ajaks oli Mandelbrot juba loonud sõna "fraktal" kujundite jaoks, mis tundusid erinevates mõõtkavades sarnased; see sõna kutsus esile arusaama uut tüüpi geomeetriast – millestki killustatud, murdosast või katkisest.
Tema arvutiekraanile ilmuvad pildid – tänapäeval tuntud kui Julia komplektid – olid ühed kaunimad ja keerulisemad näited fraktalidest, mida Mandelbrot oli kunagi näinud.
Sissejuhatus
Fatou ja Julia töö keskendus iga komplekti (ja nende vastavate funktsioonide) geomeetriale ja dünaamikale eraldi. Kuid arvutid andsid Mandelbrotile võimaluse mõelda korraga tervele funktsioonide perekonnale. Ta võiks kodeerida need kõik kujundisse, mis hakkab tema nime kandma, ehkki jääb vaidluse teemaks, kas ta oli tegelikult esimene, kes selle avastas.
Mandelbroti komplekt tegeleb kõige lihtsamate võrranditega, mis kordamisel ikka midagi huvitavat teevad. Need on vormi ruutfunktsioonid f(z) = z2 + c. Parandage väärtus c — see võib olla mis tahes kompleksarv. Kui kordate võrrandit, alustades tähega z = 0 ja leia, et genereeritud arvud jäävad väikesteks (või piiratud, nagu matemaatikud ütlevad), siis c on Mandelbroti komplektis. Teisest küljest, kui te kordate ja leiate, et lõpuks hakkavad teie numbrid kasvama lõpmatuseni, siis c ei ole Mandelbroti komplektis.
Neid väärtusi on lihtne näidata c nullilähedased on komplektis. Ja samamoodi on lihtne näidata, et suured väärtused c ei ole. Kuid kompleksarvud vastavad oma nimele: komplekti piir on suurepäraselt keeruline. Muutumisel pole ilmset põhjust c Väikeste koguste kaupa peaks teid pidevalt piiri ületama, kuid seda sisse suumides ilmub lõputult palju detaile.
Veelgi enam, Mandelbroti komplekt toimib nagu Julia komplektide kaart. Väärtused c Mandelbroti komplektis vastavad ühendatud Julia komplektidele. Kuid kui jätate Mandelbroti komplekti, eemaldatakse vastav Julia komplekt tolmust.
Sissejuhatus
Esimene avaldatud pilt komplektist, vaid paarisajast tärnist koosnev umbkaudne graafik, ilmus 1978. aastal matemaatikute Robert Brooksi ja J. Peter Matelski artiklis, kes uurisid näiliselt mitteseotud küsimust rühmateoorias ja hüperboolses geomeetrias.
See oli Mandelbrot, kes selle komplekti tunnustas ja populariseeris. Pärast IBMi arvutite kasutamist sadade Julia komplektide graafiku tegemiseks püüdis ta neid kõiki üheaegselt esitada. Aastal 1980, olles relvastatud palju keerukama arvutusvõimsusega kui Brooks ja Matelski, jõudis ta Mandelbroti komplekti palju parema versiooni loomiseni (kuigi tänapäevaste standardite järgi toores). Ta armus koheselt ja otsustas fraktaali võimalikult avalikuks teha. Sel põhjusel sai komplekt tema järgi nime. (Mandelbrot ise oli matemaatikute seas ebapopulaarne, kuna tal oli kombeks hüpata ühelt teemalt teisele ilma sügavaid tulemusi tõestamata ja kuna ta püüdis sageli püüda au võtta selliste avastuste eest nagu Mandelbroti komplekt.)
Arvutipildid köitsid koheselt mõne matemaatika sügavaima mõtleja tähelepanu. "Kõik hakkasid väga huvitatud olema, kui nägime, mis toimub," ütles Kapiamba, kes on praegu Browni ülikooli järeldoktor.
Sissejuhatus
Keegi polnud osanud arvata, kui rikas ruutvõrrandite maailm võib olla. "See on nagu siis, kui avate geoodi, lihtsa välimusega kivi ja leiate kõik need kristallid - selle hämmastava keeruka struktuuri," ütles Anna Benini Parma ülikoolist Itaalias.
"Matemaatik nägi asju, mida nad varem ette ei kujutanud," ütles Avila. "Me kõik võlgneme tänapäeval nendele uurimistöödele palju."
Vaid paari aasta jooksul olid Hubbard ja matemaatik Adrien Douady tõestanud tohutul hulgal tulemusi nii Mandelbroti komplekti kui ka selles esindatud Julia komplektide kohta. Kuid nende tõendid olid käsitsi kirjutatud, "peamiselt arusaadavad ainult Douadyle ja mulle," kirjutas Hubbard. Ja nii 1983. aastal kirjutas Douady ja pidas loenguid, et selgitada neid varaseid tulemusi. Seejärel koondas ta oma loengute materjali üheks dokumendiks, mille nimi oli Orsay märkmed. Ligi 200 lehekülje pikkune sai sellest kiiresti valdkonna piibel.
Orsay märkmetes tõestasid Douady ja Hubbard mitmeid olulisi teoreeme, mis olid ajendatud arvutipiltidest, mida nad olid näinud. Need näitasid, et Mandelbroti komplekt oli ühendatud – saate tõmmata joone mis tahes komplekti punktist teise ilma pliiatsit tõstmata. Mandelbrot kahtlustas alguses vastupidist: tema esimesed pildid komplektist nägid välja nagu üks suur saar, mille ümber hõljus meres palju väikseid. Kuid hiljem, olles näinud kõrgema eraldusvõimega pilte – sealhulgas neid, mis kasutasid värve, et illustreerida, kui kiiresti väljaspool komplekti olevad võrrandid lõpmatusse lendasid – muutis Mandelbrot oma oletust. Sai selgeks, et need väikesed saared olid kõik omavahel ühendatud väga õhukeste kõõlustega. Värvide kasutuselevõtt "on väga igapäevane asi, kuid see on oluline," ütles Søren Eilers Kopenhaageni ülikoolist.
Douady huvi Mandelbroti komplekti vastu oli nakkav. Ta korraldas oma korteris keerukaid eineid, pidusid ja kontserte ning ta kõndis paljajalu läbi Prantsusmaa ülikoolide koridorides, kus ta õpetas, ning laulis valjult ja avalikult. (Teda peeti sageli eksitajaks.) Hilisematel eluaastatel ei lugenud ta kunagi matemaatikapabereid; selle asemel kutsus ta nende autorid külla ja talle otse teost selgitama.
Sissejuhatus
"Ma võrdleksin teda renessansi maalikunstnikega, kelle ümber oli jüngrite kool," ütles Xavier Buff, Toulouse'i ülikooli matemaatik ja üks Douady endistest doktorantidest. "See oli väga põnev."
Orsay märkmete põhiosa oli tagasihoidlik avaldus, millest sai peagi Mandelbroti komplekti kõige olulisem küsimus: MLC oletus.
MLC eeldab, et Mandelbroti komplekt pole lihtsalt ühendatud; see on lokaalselt ühendatud – olenemata sellest, kui palju Mandelbroti komplekti sisse suumite, näeb see alati välja nagu üks ühendatud tükk. Näiteks ring on lokaalselt ühendatud. Äärmiselt peenete hammastega kamm seevastu mitte. Kuigi kogu kujund on ühendatud, näete võlli ületamisel ja selle mõne hamba otste sisse suumimisel lihtsalt hunnikut eraldi joonelõike.
Sissejuhatus
Vaatamata sellele, et MLC on Mandelbroti komplekti geomeetria kohta otsekohene väide, saavutas MLC kiiresti maine, kuna see on uskumatult kõva. Paljud matemaatikud kõhklesid selle kallal töötada. See tundus nii tehniline ja aeganõudev – riskantne probleem, millele tähelepanu pöörata. Rohkem kui üks matemaatik lahkus selle tõttu matemaatikast. Avila juhib oma õpilasi aktiivselt MLC-st ja sellega seotud uurimisvaldkondadest eemale, kuni neil on aega õppida kogu edu saavutamiseks vajalik matemaatika. "Tsiteerin Lõvikuningas ja öelge: "Vaata, seal on kogu dünaamika. Kõik, mida näete, on teie domeen. Kuid seal on see pime nurk, mida te ei peaks uurima… sest kui te seda osa uurite, jääte lõksu ja ei pääse kunagi välja,” ütles ta. "Sellesse sisenemiseks peate nii palju õppima."
Kuid mõned matemaatikud ei suutnud vastu panna.
Ainult Ühendage
Miša Ljubitš kasvas üles 1960. aastatel Harkivis, Ukraina suuruselt teises linnas. Stalin oli surnud; Lühidalt oli võimul Nikita Hruštšov, kuid peagi asendas ta Leonid Brežnev. Nõukogude majandus õitses, kuid jäi kümnendi möödudes seisma. Pinged läänega olid kõigi aegade kõrgeimal tasemel.
Ljubitši isa oli Harkivi ülikooli matemaatikaprofessor, ema programmeerija; ta mäletab, et teised matemaatikud tulid tema noorena koju, kus matemaatika oli alati õhus, sagedane jututeema. "Elu minu ümber oli matemaatika," ütles ta.
Juudina Nõukogude Liidus, kus "oli riiklik poliitika, mis üritas juute erinevates valdkondades aktiivselt osaleda," ütles Ljubitš, oli tal raskusi tippülikoolidesse pääsemisega. Ta kandideeris Moskva Riiklikku Ülikooli, kuid ta lükati tagasi. Vaatamata sellele, et ta oli tippõpilane ja üks kõrgemaid osalejaid Nõukogude Liidu mainekatel matemaatikaolümpiaadivõistlustel, öeldi talle, et ta ei olnud suulist eksamit sooritanud. Eksamineerijad keeldusid talle ütlemast, kus ta eksis.
Sissejuhatus
Ta sattus õppima Harkivi ülikooli, mis on üks parimaid bakalaureuseõppeasutusi, mis võttis juudi üliõpilasi teenete alusel vastu. Tema isa õpetas aineid, mida õpilased saavad tavaliselt leida ainult Moskva ülikoolides. (Moskva oli Nõukogude Liidu matemaatiliste edusammude keskus.) "See oli ainulaadne võimalus, mille mu isa sel ajal pakkus... saada matemaatikast laiem nägemus," ütles Ljubitš. Eelkõige julgustas isa teda mõtlema probleemidele keerulises dünaamikas – valdkonnas, mis Nõukogude Liidus üldse tähelepanu ei pööranud. "Sel ajal ei näinud me kedagi selles valdkonnas töötamas," ütles Lyubich. Ta haaras kiiresti konks: just neil ülikooliaastatel hakkas ta matemaatikale mõtlema "sisuliselt vahetpidamata".
Ehkki ta lõpetas oma klassis teisena, oli tal raskusi kraadiõppe programmidesse pääsemisega. Ta sattus rohkem kui 2,000 miili kaugusele Usbekistani Taškendi Riiklikku Ülikooli, kus ta isal olid kolleegid. Ta jätkas keeruka dünaamika uurimist, olles isoleeritud tööst, mida Douady ja Hubbard Prantsusmaal tegid, ega teadnud sellest. "Ma olin üksi," ütles ta. "See oli üsna üksildane."
Ülikooli üliõpilased pidid sügiskuudel tegema põllumajandustööd. "Ülikoolid tühjenesid sisuliselt oktoobris ja novembris," ütles Ljubitš. Ja nii leidis ta end puuvilla korjamas – Usbekistan oli tol ajal Nõukogude Liidu peamine puuvillatarnija – Taškendi välistelt põldudelt. Päikesetõusust päikeseloojanguni 90-kraadises kuumuses kummardus ta taimede kohale, mis olid vaid paari jala kõrgused. Ta pidas end siiski õnnelikuks. Bakalaureuseõppe üliõpilased pidid täitma kvoodi – piisavalt kõrge, et "see nõudis oskusi," ütles ta, ja muutus seljatagavaks tööks, mida "mul poleks olnud võimalik teha". Abituriendid ei pidanud seda tegema.
Ja nii: "Ma lihtsalt kõndisin puuvillapõldudel ringi ja mõtlesin matemaatikale," ütles Ljubitš. Eelkõige hakkas ta mõtlema keeruliste ruutvõrrandite parameetriruumi üle.
Kuigi esimesed arvutipildid olid läänes juba ilmunud, polnud Ljubitšil neile juurdepääsu. Selle asemel võtsid tema meeles Mandelbroti komplekti põhijooned – fraktali keskne südamekujuline piirkond, mida nimetatakse peamiseks kardioidiks, ja komplekti selgroo aspektid, mis poolitab kuju horisontaalselt piki x-telg. "Ma lihtsalt koostasin oma mõtetes pildi ja püüdsin seda mõista," ütles ta. "Mul polnud aimugi, kui sügavad on selle pildi sees peidetud küsimused."
Märtsis 1982 - kui Ljubitš oli veel magistrant - John Milnor, üks oma põlvkonna silmapaistvamaid Ameerika matemaatikuid (tol ajal Instituudi Advanced Study professor), külastas Moskvat ettekandega. Kuna ülikool oli paindlik selle osas, kus Ljubitš oma aega veetis, nii kaua kui ta lõpetas oma eksamid ja väitekirja (nagu ka vatikorjamise kohustused), käis ta sageli Moskvas seminaridel ja kohtus seal töötavate matemaatikutega. Juhtus nii, et ta oli seal, kui Milnor külla tuli. Kui Milnor oma kõne lõpetas, rääkisid tema ja Ljubitš veidi.
Sissejuhatus
Keelebarjääri tõttu kirjutasid nad asjad üles või lasid ühel Ljubitši kolleegil tõlkida. Ljubitšile sai selgeks, et sellega seotud töö käib teisel pool raudset eesriiet. "See oli minu esimene kokkupuude lääne matemaatikaga selles suunas," ütles ta.
Pärast koju naasmist levitas Milnor sõna mõne Ljubitši uurimistöö kohta. "Suhtlus oli väga kehv, kuid Milnori kohtamine oli minu õnn," ütles Ljubitš. Ja nii saatis Douady Lyubichile koopia Orsay märkmetest, kus Lyubich sai esmakordselt teada MLC probleemist.
Lyubich ei hakkaks MLC-le veel mõne aasta pärast mõtlema. Ta tegeles muude probleemidega ja pärast doktorikraadi lõpetamist 1984. aastal kolis ta koos matemaatikust abikaasaga Leningradi (praegune Peterburi), kus tal keelati taas akadeemiline töö, kuna ta oli juut. Järgmise viie aasta jooksul töötas ta selle asemel keskkooliõpetajana, programmeerijana nn kvaasiuurimisinstituudis (keskendunud meditsiinitehnoloogiatele) ja lõpuks modelleerijana teadusinstituudis, mis tegi põhjalikke uuringuid Arktika ja Antarktika. Iga uue tööga jõudis ta aina lähemale sellele, et saaks keskenduda oma matemaatilistele huvidele dünaamiliste süsteemide vastu.
Nende aastate jooksul töötas ta oma matemaatikaülesannetega. Ta osales seminaridel, kohtus teiste matemaatikutega ja jätkas tulemuste loomist. "Ma ei peatunud kunagi," ütles Lyubich. «Näete, kui lõpetate, on väga raske taastuda. Te ei tohiks peatuda."
See oli kurnav. Ljubitš meenutab, et tundis end pärast keskkooliõpilaste terve päeva õpetamist eriti kurnatuna, et sundida end siis ülejäänud õhtu matemaatikaga tegelema. "Ma olin pettunud, et ma ei saanud täielikult matemaatikale pühenduda, mida ma teha tahtsin," ütles ta. Kuid "Otsustasin ise, et tegelen matemaatikaga, ükskõik mida."
"Mul vedas, et perestroika tuli ja mul lubati lahkuda," lisas ta. "Ma ei tea, kui kaua ma suudan seda jätkata." 1989. aastal sai ta koos abikaasaga viisa, mis lubas neil Nõukogude Liidust põgenikena lahkuda. Vaid paarsada dollarit taskus suundusid nad esmalt Viini, seejärel Itaaliasse, kus taotlesid USA-sse kolimist. Olles veetnud paar kuud Itaalias põgenikelaagris ja oodanud oma paberimajandust – selle aja jooksul teenis Ljubitš lisatulu kohalikes ülikoolides külalisloenguid andes –, jõudis ta koos naisega lõpuks New Yorki. Seal ootas Ljubitšit töökoht: Milnor (kellega Ljubitš oli suhelnud) kutsus ta tööle uude matemaatikateaduste instituuti, mida ta alustas Stony Brooki ülikoolis.
Sissejuhatus
Itaalias viibides pääses Lyubich esimest korda e-kirjadele - ja just seal sai ta Douadylt meili. (Douady oli varane pooldaja e-posti kasutamist matemaatilistes aruteludes ja koostöös. "Ta töötas palju, vahetades ideid kaugete kaastöötajatega, mis oli 80ndatel midagi uut," ütles Pierre Lavaurs, üks tema endistest magistrantidest.)
Meilis teatati Lyubichile ja teistele selle valdkonna matemaatikutele, et Jean-Christophe Yoccoz on tõestanud kohalikku ühenduvust peaaegu kõigis Mandelbroti komplekti punktides: MLC kehtis väärtuste puhul c mis ei asunud täiskomplekti väiksemate isesarnaste koopiate lõpmatus pesas. (Hiljem anti Yoccozile osaliselt selle töö eest Fieldsi medal, mida peeti matemaatika kõrgeimaks autasuks.)
Sissejuhatus
Douady jätkas meilis, et MLC täielik lahendus on kohe nurga taga. Ta polnud ainus, kes tundis end optimistlikult. "Oli inimesi, kes arvasid, et saavad Mandelbroti komplekti kohaliku ühenduvusega hakkama vaid mõne aastaga," ütles Davoud Cheraghi Londoni Imperial College'ist.
Selle asemel jäi aastakümnete pikkune töö. MLC osutus väga peeneks, peaaegu võimatult keeruliseks probleemiks, millega vaid käputäis matemaatikuid suutsid edasi töötada. See nõuaks tööriistu kogu matemaatikast ja uue teooria väljatöötamist, mis muudaks igaveseks keerulise dünaamika valdkonda.
Teed juhtis Ljubitš, kes oli relvastatud visadusega, mis oli osa tema matemaatilisest teekonnast kogu aeg.
Linn linnas
Me kipume arvama, et matemaatika on kõige puhtam teadus – kui me seda üldse teadusena peame. Teemal on abstraktse, eraldatud, ilust ja loogikast juhitud maine. See ei määri oma käsi ega tegele millegi nii konkreetsega kui "rakendused". (See on isegi nimes: me eristame "puhast matemaatikat" ja "rakendusmatemaatikat".) Matemaatikatööde kirjutamise viis ei aita: tavaliselt avaldatakse ainult lõplikud tõestused ja teoreemid, mitte nendeni viinud looklev protsess.
Kuid see on matemaatika kaasaegne kontseptsioon, mis hakkas kinnistuma alles 19. sajandi lõpus. See kontseptsioon kasvas, kui matemaatikud püüdsid oma määratlusi rangemaks muuta ja kui ametlike tõendite kirjutamine sai nende jaoks ainsaks võimaluseks tööd saada ja karjääri teha. Seda tugevdati veelgi 1930. aastatel, kui võimas salajane matemaatikute rühm hakkas avaldama ühiseid töid. pseudonüüm Nicolas Bourbaki. Nende eetos hakkas domineerima matemaatilises mõtlemises, püüdes distsipliini aluste maha võtta ja muuta see võimalikult formaalseks.
Sissejuhatus
Kuid ammu enne seda toetusid matemaatikud – nagu füüsikud või bioloogid või keemikud – uute nähtuste avastamiseks ja tõestamiseks eksperimentidele. Nad tegid oletusi, lükkasid hüpoteese kõrvale, otsisid katse-eksituse meetodil mustreid. Nad tegid arvutusi, vaatlusi, kogusid andmeid. Nad võtsid teadmiseks sarnasused, teatud numbrid või järjestused, mis tekivad ootamatutes kohtades.
18. ja 19. sajandi matemaatika hiiglased – Euler, Gauss, Riemann – olid kõik eksperimentalistid, kes toetusid tohututele arvutustele, mida tehti vaevaliselt käsitsi. Gauss oletas algarvuteoreemi (oluline valem, mis kirjeldab, kuidas algarvud jaotuvad täisarvude vahel) sajand enne selle tegelikku tõestamist. Selle põhjuseks on asjaolu, et teismelisena uuris ta algarvude tabeleid ja otsustas tuhandenumbrilistes plokkides kokku lugeda, kui palju neid on, kuni miljonini. (Kahtlemata oleks Gauss tänaste arvutite eest tänulik olnud.) Samamoodi püstitas Riemann oma samanimelise hüpoteesi, matemaatika suurima lahtise probleemi, alles pärast lehekülgede kaupa arvutusi. Neid lehti ei avastatud aastakümneid; kuni selle ajani kuulutasid paljud matemaatikud Riemanni hüpoteesi kui näidet selle kohta, mida on võimalik saavutada "ainuüksi puhta mõttega".
Sellist asja pole. Kogu mõtlemist, olgu see matemaatilist või muud, mõjutab meid ümbritsev maailm, meie aja tehnoloogiad ja filosoofilised liikumised ja esteetika.
Sellega seoses kujutas Bourbaki filosoofia – selle täieliku ranguse nõue ja üldiste väidete rõhutamine konkreetsete näidete asemel – omamoodi ümbersõitu. Matemaatikute vaatenurk Bourbakile on jagatud. Mõned väidavad, et see andis teatud valdkondadele väga vajaliku tõuke ranguse poole. Teised ütlevad, et see oli piirav, kinnine ja lõikas matemaatika teistest inspiratsiooniallikatest eemale.
Sissejuhatus
Alates 1970. aastatest on pendel hakanud tagasi liikuma, seda lükkavad kaasaegsed arvutid, mis on pakkunud matemaatikutele täiesti uusi katse- ja mänguviise. "Ma arvan, et inimesed nõustuvad üldiselt sellega, et Bourbaki asi oli omamoodi viga," ütles Eilers. "See väga abstraktne vaade, see pole nii inimsõbralik ... see ei ole lihtsalt see, kuidas valdkond peaks arenema."
Matemaatikud esitasid Gaussi ja Riemanni eksperimentaalses vaimus ühe tänapäeva kuulsaima lahtise probleemi – Birchi ja Swinnerton-Dyeri oletuse, küsimuse elliptiliste kõverate kohta, mille lahendamisel kaasneb 1 miljoni dollari suurune tasu – alles pärast arvuti kasutamist genereerida mägesid andmeid. Sarnasel viisil on tekkinud palju muid probleeme. "Nii tehakse vorsti," ütles Roland Roeder Indiana ülikoolist – Indianapolise Purdue ülikoolist. "See pole nii reklaamitud, kui peaks."
Matemaatikud on kasutanud arvuteid, et otsida vastunäiteid nii väljakujunenud oletustele kui ka tekkivatele hüpoteesidele. Nad on neid kasutanud vanades tõestusmaterjalides vigade leidmiseks ja parandamiseks. Nad on nende poole pöördunud, et luua uusi seoseid erinevate valdkondade vahel. Ja paljudes valdkondades on matemaatikud hakanud põhiarvutuste tegemiseks ja matemaatilise argumendi muude sammude tegemiseks arvutitele toetuma.
Mandelbroti komplekti puhul aitasid arvutid käivitada terve valdkonna.
Matemaatikute sõnul on arvutid võimaldanud neil käsitleda Mandelbroti komplekti kui linna – füüsilist ruumi, mida uurida. Nad on veetnud tunde, päevi, aastaid selle linnaosades ja tänavatel jalutades, eksinud, maastikuga tutvudes. "Hakkate üha rohkem ja rohkem mõistma ja iga kord, kui tulete tagasi, on see nagu koju tagasitulek," ütles Luna Lomonaco Brasiilia riiklikust puhta ja rakendusmatemaatika instituudist. "See muutub tõesti osaks sinust."
Sissejuhatus
See tuttav on selge alati, kui räägite selle valdkonna matemaatikutega. Nad navigeerivad hõlpsalt erinevates arvutiprogrammides, suumides erinevate omaduste kuvamiseks konkreetsetesse kohtadesse. Dudko kirjeldab neid pilte kui "nagu keelt keerulises dünaamikas". Buff suudab täpselt ennustada, kus tema arvates komplekti väike koopia enne nähtavaks saamist ilmub, lähtudes sellest, kuidas teatud oksad ja kõõlused välja näevad. Chéritatil paluti kord ilma täiendava teabeta reprodutseerida aastakümneid vana plakat ühest piirkonnast, mis asub sügaval Mandelbroti komplektis – ja ta tegi seda. Douady võiks ilmselt vaadata Julia komplekti ja teada, mis väärtus on c Mandelbroti komplektis see pärines. Hubbard viitab Julia komplektidele endiselt kui "vanadele sõpradele".
"Mandelbroti komplekti uurimine tundub tõesti matemaatika eksperimentaalse alana. See tundub peaaegu nagu rakenduslik matemaatikavaldkond, mitte puhas matemaatikavaldkond, ”ütles Kapiamba. "Sa võtad lihtsalt midagi, mis on väljas, ja siis proovite seda lahata ja analüüsida nii, et mulle tundub, et teil on mingi loodusnähtus, mida proovite paljastada."
"See pole midagi, mida te loote. See on midagi, mis seal on ja mida te uurite," lisas Buff. "See on minu arvutis selgelt olemas. Külastan Mandelbroti komplekti. Ja võib-olla on Mandelbroti komplektis kohti, mida ma pole veel avastanud.
See uurimisvaldkond on sellistest avastustest tulvil. Seal avastati komplekti enda sees väiksemad koopiad ning selle antennide, karvade ja muude kaunistuste ilmumisel spetsiifilised mustrid. Seal avastati komplektis kodeeritud Fibonacci jada, samuti ligikaudne väärtus $latex pi$. Ja Mandelbroti komplektid avastati täielikult muudes kontekstides, näiteks kuupvõrrandite arvuliste lahenduste otsimisel.
"Arvutid näitavad meile asju, mis on ahvatlevad, karjuvad, et keegi tuleks ja seletaks seda," ütles Kevin Pilgrim Indiana Bloomingtoni ülikoolist. Mis omakorda motiveerib õigeid küsimusi, kui mitte vastuseid.
Sissejuhatus
Kui arvutid paljastasid kõik need väiksemad Mandelbroti komplekti koopiad enda sees, tahtsid Douady ja Hubbard oma kohalolekut selgitada. Nad pöördusid lõpuks nn renormaliseerimise teooria poole – tehnika poole, mida füüsikud kasutavad kvantväljateooriate uurimisel lõpmatuste taltsutamiseks ja erinevate skaalade ühendamiseks faasisiirete uurimisel. Varem oli see matemaatikute vastu vähe huvi pakkunud; nende standardite järgi polnud see isegi range.
Kuid 1970. aastatel tõi füüsik Mitchell Feigenbaum renormaliseerimise teooria dünaamika maailma, kasutades seda konkreetse enesesarnase mustri selgitamiseks, mis ilmneb ruutvõrrandite kordamisel reaalarvude abil.
Douady ja Hubbard mõistsid, et renormaliseerimine oli just see, mida nad vajavad, et selgitada keerukamaid sarnaseid mustreid, mida nad oma arvutiekraanidel nägid. Ja nii nad mõtlesid välja, kuidas rakendada renormaliseerimise teooriat keerulises dünaamikas.
Sellest ajast peale on Lyubichi ja tema kolleegide töö MLC-ga viinud selle teooria kaugemale, kui keegi arvas.
Nimi igale punktile
Kui Ljubitš saabus 1990. aasta veebruaris New Yorki, kuid pärast Moskvast lahkumist, oli tal võimalus rohkem teada saada töö kohta, millest Douady oli oma meilis nii põnevil kirjutanud.
Alguses ei paelunud Lyubichit mitte MLC tulemus, vaid pigem tehnikad, mille Yoccoz oli selle tõestamiseks välja töötanud. "Millegipärast klappis see minuga väga hästi," ütles ta. Teda huvitas tõeline dünaamika ja Feigenbaumi renormaliseerimistöö põhjal tekkinud küsimustele vastamine. Enamiku 1990. aastatest keskendus Lyubich Yoccozi meetodite edasiarendamisele, et neid lahtisi probleeme lahendada. Kümnendi lõpuks tundis ta, et on "sisuliselt saanud täieliku dünaamika kirjelduse tegelikul liinil, kasutades seda masinat", ütles ta.
Selle töö loomuliku tagajärjena tõestas Lyubich MLC-d paljude, kuigi mitte kõigi juhtumite puhul, mida Yoccozi tulemus ei hõlmanud.
Sissejuhatus
See poleks tulnud üllatusena. Yoccozi tõend näitas MLC-d kõigi Mandelbroti komplekti punktide jaoks, välja arvatud need, mida tuntakse kui "lõpmatult renormaliseeritavaid" - punkte, mis elasid lõpmatult pesastatud beebi Mandelbroti koopiates. Tema tulemus muutis MLC-st koheselt probleemiks, mis oli tihedalt seotud renormaliseerimise teooriaga.
See link oli põnev. Pealtnäha tundus, et MLC kuulus välja täiesti erinevasse nurka. "Renormaliseerimise teooria oli arenenud täiesti iseseisvalt," ütles Lyubich. "Ja siis sai kõik sama loo osaks."
Ja nii tekkis ka Lyubichil huvi MLC probleemi lahendamise vastu.
Juba enne renormaliseerimise algust oli märke, et MLC oli sügavama resonantsiga küsimus.
Orsay märkmetes näitasid Douady ja Hubbard, et kui MLC on tõene, mõjutab see ka Mandelbroti komplekti sisemuse omadusi. Mitte kõik komplekti kuuluvad punktid ei käitu samamoodi. Peamise kardioidi punktid vastavad funktsioonidele, mis lähteväärtusest nullist itereerides koonduvad üheks arvuks. Teiste lobade punktid vastavad funktsioonidele, mis lõpuks võnkuvad teatud arvu erinevate väärtuste vahel. Näiteks peamise kardioidi peal olev suurim sagar esindab funktsioone, mis kõikuvad kolme väärtuse vahel. Hoolikalt valitud punktide puhul võib funktsioon aga tekitada jadasid, mis jäävad piirituks, kuid ei võngu kunagi – need hüppavad pidevalt uute, eristatavate väärtuste vahel.
Kuid kui MLC on tõsi, näitasid Douady ja Hubbard, et sellised mittevõnkuvad jadad peavad olema haruldased – omadus, mida nimetatakse hüperboolsuse tiheduseks, mida matemaatikud tahavad tõestada või ümber lükata mis tahes dünaamilise süsteemi puhul, mida nad juhtumisi uurivad. "See on põhimõtteliselt kõige olulisem küsimus dünaamikas, mitte ainult keerulises dünaamikas, " ütles Lomonaco.
Sissejuhatus
Hüperboolsuse tihedus on seotud Mandelbroti komplekti sisemusega. Kuid MLC võimaldaks matemaatikutel määrata aadressi igale punktile komplekti piiril. "See annab igale punktile nime. Ja siis, kui olete suutnud Mandelbroti komplekti piiri igale punktile nime anda, võite loota, et saate sellest täielikult aru, "ütles Hubbard.
Sel viisil ütleb MLC matemaatikutele, et nende komplekti pildil pole midagi puudu. Kuid ilma tõestuseta võivad selle lõpmatult keerulise maastiku sügavaimates nurkades siiski olla piirkonnad, mis pole veel arvutiekraanidele ilmunud – mis käituvad mingil põhimõtteliselt erineval viisil. See tähendaks, et matemaatikutel on ikka osa loost puudu.
Mõelge sügavalt lihtsatele asjadele
Jeremy Kahn kasvas üles New Yorgis 1970. aastatel sotsiaaltöötaja ja teaduskirjaniku pojana. Lapsena osutus ta kiiresti matemaatika imelapseks. Ta hüppas sellel teemal aastaid ette. Kuuendas klassis saavutas ta SATi matemaatikaosa 790. Ja ta kirjutas oma arvutiprogrammid, et uurida erinevaid matemaatilisi kontseptsioone põhjalikumalt. Kui ta oli 13-aastane, sai temast (sel ajal) noorim inimene, kes on võitnud koha USA rahvusvahelise matemaatikaolümpiaadi meeskonnas. Ta osales võistlusel kogu keskkooli vältel, võites kaks hõbemedalit ja kaks kulda. Selle aja jooksul alustas ta ka Columbia ülikoolis matemaatikakursustel osalemist ja ta tõestas mitu teoreemi (teadmata, et need on tõestatud) tahvlil, mida ta oma magamistoas hoidis.
Pärast keskkooli lõpetamist läks ta Harvardi ülikooli matemaatika erialale. Seal köitis ta Mandelbroti komplekti. Oma vanemaks aastaks pühendas ta kogu oma energia selle mõistmisele. Kuna Harvardis sel ajal keegi sellega ei tegelenud, sõitis ta rattaga Bostoni ülikooli, et õppida sealse matemaatiku käest fraktaalide ja dünaamiliste süsteemide kohta. Pärast seda, kui ta lõpetas ja astus doktoriõppesse California ülikoolis Berkeleys, keskendus ta hüperboolsele geomeetriale – valdkonnale, mille matemaatikud olid varem sidunud keerulise dünaamikaga, siis, kui Mandelbroti komplekt esimest korda populaarseks sai.
Sissejuhatus
Kahn tahtis seda sidet tugevdada. Aspirandina tõestas ta uuesti Yoccozi kuulsa MLC tulemuse, tuginedes matemaatikute tehtud põhjapanevale tööle. Dennis Sullivan ja Curt McMullen. Samuti hakkas ta mõtlema, kuidas rakendada ideid hüperboolsest geomeetriast kuni renormaliseerimiseni.
Kahni klassivend Kevin Pilgrim mäletab, kuidas ta täitis massiivsed paberilehed kõverate ja rõngaste joonistega, geomeetrilistest objektidest, mis degenereerusid ja moondusid. "Ta hakkas nende asjade üle väga-väga sügavalt mõtlema," ütles Pilgrim. "Ja kui ma ütlen" sügavalt, siis ma mõtlen 15 aastat."
"Jeremy visadus millegi üle tõsiselt mõelda on päris hämmastav," lisas ta.
Kahn mõtles eriti tõsiselt ümbernormaliseerimisele. Ta uuris Lyubichi ning Douady ja Hubbardi loomingut.
Kõigis neis kontekstides on renormaliseerimine viis dünaamilise süsteemi erinevate skaalade omavaheliseks seostamiseks. Vaatleme ühe ruutvõrrandi dünaamikat. Punktid põrkuvad teatud viisil ümber keeruka tasapinna. Renormaliseerimine võimaldab kirjeldada kõigi nende punktide dünaamikat, keskendudes vaid nende väikesele alamhulgale.
"Renormaliseerimine toimib nagu ülivõimas mikroskoop, mis võimaldab teil mõista kõige sügavamal asuvaid struktuure," ütles ta. Romain Dujardin Sorbonne'i ülikoolist Prantsusmaal.
See, mil määral saate seda teha, sõltub võrrandist, mida itereerite. Mõnikord ei saa te lihtsalt kirjeldada selle dünaamikat süsteemi väiksema osaga. Või võite kasutada renormaliseerimismikroskoopi, et suurendada asju üks, kaks või kümme korda, enne kui jõuate punkti, kus te ei saa enam väiksemate skaalade kohta midagi tähenduslikku öelda.
Lõpmatult ümbernormeeritavate parameetritega seotud funktsioonide puhul on aga võimalik renormaliseerimist igavesti rakendada.
See on delikaatne protseduur. "Seda ei saa teha juhuslikult," ütles Lyubich. Peate rangelt näitama, et saate liikuda ühelt skaalalt teisele ilma liigset täpsust kaotamata.
Esimene samm selle saavutamiseks hõlmab ligikaudse kontrolli saavutamist erinevate skaalade geomeetria üle. Seda sammu saab seejärel kasutada antud väärtuse MLC kuvamiseks c Mandelbroti komplektis.
Sissejuhatus
Kahn mõtles juba magistrandina, kuidas oma teadmisi hüperboolsest geomeetriast probleemi lahendamisel rakendada. Tema uurimistöö pälvis tähelepanu ja kolmandal kraadiõppeaastal võttis ta vastu ametikoha California Tehnoloogiainstituudis.
Kõik näis olevat ideaalselt paigas.
Ja siis ta tardus.
Caltechis ei osanud ta kirjutada. Ta saavutas kõrgkoolis õppimise tulemusi, kuid iga kord, kui ta arvuti taha istus, kaotas ta igasuguse tahtejõu. "Ma ei olnud hea kirjutamises," ütles ta. “Ma ei osanud isegi kirjutamiseks istuda. Nii et ma ei saanud asju kirja panna. (Kuigi ta on sellest ajast peale avaldanud palju artikleid, esitas ta osa sellest varasest tööst avaldamiseks alles hiljuti.)
Ta ei suutnud ka oma matemaatilist tähelepanu koondada. „Ma eksin mõnikord äärmustesse, soovides tõestada tõeliselt suurepäraseid teoreeme, nagu MLC või P versus NP. Ja siis tuleksin tagasi reaalsusesse, ”sõnas ta. "Ma olin eksinud ja õnnetu."
Nelja aasta jooksul Caltechis ei kirjutanud Kahn ühtegi artiklit. Ta kaotas töö.
Ja nii, 1998. aasta sügisel, veidi alla 30-aastasena, oli tema kunagine paljutõotav karjäär räbaldunud, "ma rändasin koju tagasi" New Yorki, ütles Kahn.
Ta helistas Milnorile ja küsis nõu. Milnor pani ta uuesti ühendust Ljubitšiga, kellega Kahn oli aspirantuuris paar korda kohtunud. Ja nii: "Ma ilmusin just Stony Brooki," ütles Kahn. "Misha oli uskumatult vastutulelik." Nad arutasid matemaatikat tundide kaupa. Kahn meenutab, et käis kogu aeg Ljubitši majas, sõi perega õhtust – selleks ajaks oli Ljubitšil ja ta naisel tütar; nad saavad hiljem teise ja saavad peagi sõpradeks. "Ta võttis mind tõesti vastu," ütles Kahn. "Ta oli see maailmakuulus matemaatik ja kohtles mind kui võrdset, mitte mingit eksinud last."
"Ta sai mulle praktiliselt teiseks isaks," lisas ta.
Lyubich leidis Kahnile ajutise töökoha Stony Brookis, ilma õpetajakohustusteta. 1990. aastate lõpust kuni 2000. aastate keskpaigani aitas Lyubich nooremat matemaatikut välja. Kui Ljubitš töötas aasta Toronto ülikoolis, leidis ta Kahnile koha; naastes Stony Brooki tegi ta sama. Kui Kahn lahkus akadeemilisest ringkonnast, et aastaks riskifondi tööle asuda, kuid otsustas, et see pole tema jaoks, aitas Ljubitš teda taas hädast välja. Kui Kahni isal diagnoositi vähk ja ta hiljem suri, ei saanud Kahn töötada. Kuid lõpuks suundus ta tagasi Ljubitšisse ja Ljubitš tervitas teda.
Sissejuhatus
Kuuldes Ljubitši seda rääkimas, tundis ta, et Kahnil on väga huvitavaid, mõnikord geniaalseid ideid. "Tal oli lihtsalt see psühholoogiline blokk, millest ta pidi üle saama," ütles Lyubich. "Seega toetasin teda nii palju kui võimalik."
Kuigi Kahn tundis end nende aastate jooksul endiselt sageli eksinud, arendas ta ja Lyubich välja selle, mida Kahn nimetas "üsna intensiivseks koostööks". See hoidis teda maa peal. Need kaks matemaatikut ühendasid oma lähenemisviisid ümbernormaliseerimisele, mis võimaldas neil ka tõestada MLC-d paljude muude parameetrite jaoks.
"Minu karjääri kokkuvarisemine andis mulle võimaluse lihtsalt Mishat jälgida" ja selle töö ära teha, ütles Kahn. "See lükkas palju elamise elemente edasi, mitte tahtlikult, vaid tegelikult nende teoreemide tõestamise huvides."
Kahni ja Lyubichi töö tähistas tohutut läbimurret renormaliseerimise teoorias ja MLC-s. Kuid "Mandelbroti komplekt on tohutult kaval," ütles Lyubich, kuna see ei ole täpselt enesesarnane ja sellel on erinevat tüüpi enesesarnasus. Nagu Avila ütles: "Selle sees liikudes on sellel erinevad isiksused." Need erinevad enesesarnasused vastavad väga erinevale dünaamikale ja nõuavad seetõttu ühe skaala teisega seostamiseks erinevat tüüpi renormaliseerimist.
Kahn ja Ljubitš olid välja töötanud ühe tüübi, kuid nad olid oma tehnikaid viinud nii kaugele, kui suutsid. "Nad põrkasid vastu seina ja teadsid, et said vastu seina," ütles Mukherjee.
Mandelbroti komplekti muude osade MLC tõestamiseks peaksid nad saama sarnase geomeetrilise juhtimise, kuid kasutades mõnda muud tüüpi - või tüüpi - renormaliseerimist.
Kahn ja Lyubich olid eriarvamusel, kuidas kõige paremini edasi minna.
Edusammud jäid seisma.
Sissejuhatus
Igaüks neist hakkas tegelema muude probleemidega. Kahn pöördus tagasi hüperboolse geomeetria juurde. Lyubich mõtles, kuidas saaks MLC tööd rakendada keeruka dünaamika muudele osadele (ja isegi füüsika küsimustele).
"See on põhjus, miks te pole kunagi päris ummikus," ütles Lyubich, kellest 2004. aastal sai Stony Brooki matemaatikateaduste instituudi direktor. "Kui keegi leiab homme kõigil juhtudel üherealise tõendi MLC kohta, kas see hävitaks kõik, mida oleme varem teinud? Ei. Sellel tehnikal on nii palju probleeme.
See on osa põhjusest, miks ta ei tundnud kunagi pettumust, kui tundus, et MLC rindel asjad ei edenenud nii sujuvalt. "Iga samm MLC-s avab paljudele teistele probleemidele," ütles ta.
Vahepeal tegi Kahn märkimisväärseid edusamme hüperboolse geomeetria vallas. Hakati tulema ametiaja pakkumisi. Lootes teha uut algust, kolis ta 2011. aastal Rhode Islandile Providence'i, et asuda Browni ülikooli professori kohale.
Ljubitš ega Kahn ei lakanud MLC-le mõtlemast, kuid nad eemaldusid, olles hõivatud oma kohustustega.
Teised keeruka dünaamika alal töötavad matemaatikud hakkasid liikuma eri suundades – keskendudes Mandelbroti komplektist veelgi keerulisematele parameetriruumidele ning kompleksdünaamika ja arvuteooria seostele.
Kuid viimastel aastatel on Lyubich ja Kahn mõlemad võtnud praktikante ja uuendanud oma jõupingutusi MLC tõestamiseks.
Ruudu suurendamine
Kümmekond aastat tagasi alustas Lyubich koostööd Dima Dudkoga.
Dudko kasvas üles 1980. aastatel Valgevenes, kus tema matemaatilised võimed said teda ümbritsevatele kiiresti ilmsiks. (Ta esindas Valgevenet rahvusvahelisel matemaatikaolümpiaadil 15 aastat pärast Kahni vananemist. Sarnaselt Kahniga võitis ta kuldmedali.) Hiljem, kui ta oli Saksamaal magistrant, konsulteeris tema nõunik Lyubichiga, millise probleemiga peaks Dudko oma heaks tegelema. väitekirja. Nad otsustasid küsimuse Mandelbroti komplekti kohta, millele nad ei oodanud, et Dudko saaks vastata. Avaldus tuleneks automaatselt MLC-st; nad arvasid, et ilma MLC-d, mis teda ei aitaks, suudab ta parimal juhul osaliselt edasi liikuda.
Dudko leidis tee MLC-st ümber ja lahendas probleemi täielikult.
Sissejuhatus
Pärast magistrantuuri lõpetamist 2012. aastal jätkas ta tööd Saksamaal järeldoktorina, kuid alustas ka koostööd Lyubichiga. Kolmanda matemaatikuga Nikita Selinger Birminghami Alabama ülikoolis töötasid nad välja uue renormaliseerimise teooria. Seejärel kasutasid Lyubich ja Dudko seda, et näidata, et MLC kehtib mõne Mandelbroti komplekti kõige keerulisema lõpmatult renormaliseeritava parameetri puhul – just nende puhul, mille puhul Lyubichi ja Kahni meetodeid ei saanud rakendada. (Lyubichi endine üliõpilane Davoud Cheraghi ja Mitsuhiro Shishikura Kyoto ülikoolist on samuti välja töötanud tehnikaid, et lahendada mõned neist silmapaistvatest juhtumitest.)
"See juhtum on nii erinev, et kulus veel paar aastakümmet," ütles Lyubich. See nõudis ka originaalset mõtlemist. Dudkot, kes juhtis hiljutist MLC seminari koos Lyubichiga Taanis, nähakse selles piirkonnas staarina ja tal on asjadele intrigeeriv pilk. Seda ilmestab võib-olla kõige paremini see, kuidas ta mõnikord visandab Mandelbroti komplekti ruutude hunnikuna, mitte ringidena, mida enamik matemaatikuid joonistab.
"See, et neid probleeme on võimalik lahendada, on mind üllatanud," ütles Lyubich. "See, mida me hiljuti teinud oleme, ületab kõik, mida olin varem teinud."
Püüdes kõiki neid tulemusi ühte kohta koondada, on Lyubich kirjutanud mitmeid õpikuid Mandelbroti komplekti, MLC ja sellega seotud töö kohta keerulises dünaamikas. Seni on ta koostanud üle 700 lehekülje, mis on jagatud kaheks köiteks kavandatud neljast. "Loodetavasti on MLC kohal, kui lõpetan 4. köitega," ütles ta.
Nagu Lyubich, on ka Kahn leidnud noorema kaitsealuse. Alex Kapiamba värbamise idee tekkis Kahnil esmakordselt unenäos. Ta osales 2019. aastal konverentsil. Tema, Lyubich ja Dudko olid mitu kuud regulaarselt kohtunud, et arutada MLC edusamme – see kajastus kohe ka unenäos, kus nad kolmekesi bussis olid. "Ja siis ma näen, et see neljas inimene läheb bussi ja see on sisuliselt kogu unistus," ütles Kahn. "Ja siis ma ärkan ja mulle tundub, et Alex Kapiamba on see neljas inimene."
Järgmisel päeval leppis ta kokku kohtumise Kapiambaga, et arutada oma uurimistööd. Kapiamba töötab nüüd koos Kahniga Browni järeldoktorina ja kolib sügisel Harvardi.
Kui ma eelmisel aastal Kapiambaga kohtusin, oli ta käsi tropis; ta oli paar päeva varem ülimat frisbet mängides õla nihestanud. (Ta mängis kõrgkoolis Detroit Mechanixis poolprofessionaalselt ja jätkab mängimist klubiliigas.) Ta oli tagasihoidlik selle suhtes, kui palju ta arvas, et suudab MLC-sse panustada. "See on natuke hirmutav," ütles ta. "Ma tunnen kindlasti petturi sündroomi."
"Ma tahan lihtsalt sisse saada ja natuke teha, enne kui on liiga hilja," lisas ta.
Sissejuhatus
Kapiamba polnud matemaatikat õppima asunud. Bakalaureuseõppena Ohios Oberlini kolledžis alustas ta biokeemia erialal; alles noorema aasta lõpus, pärast topoloogiakursuse läbimist, tekkis temas huvi matemaatika vastu. "Biokeemias meeldis mulle väga asjade struktuuri mõistmine," ütles Kapiamba. "Ja matemaatika üritab lihtsalt uurida struktuuri selle kõige tühisel kujul. Tõesti tundus, et need olid bioloogia või keemia osad, mis mulle väga meeldisid, puhtal kujul destilleeritud. Ma saaksin selle osa lihtsalt ära teha."
Pärast kooli lõpetamist 2014. aastal polnud ta kindel, mida ta teha tahab. Ta kolis Washingtoni DC-sse, et olla oma pere lähedal, ning leidis tööd pagariäris ja juhendajana. Selle aja jooksul hakkas ta kaaluma matemaatikakarjääri jätkamist. Ta loobus peagi pagaritööst ja jätkas järgmise kahe aasta jooksul juhendamist, õppides samal ajal omal ajal kõrgemal tasemel matemaatikat – vaatas üle bakalaureuseõppes õpitud materjalid ("et saada teistsugune vaatenurk"). ütles ta) ja osaleb veebikursustel. "Tahtsin tunda end väga valmis," ütles ta. 2016. aastal astus ta Michigani ülikooli magistriõppesse.
Magistrandina asus ta tegelema küsimusega Mandelbroti geomeetria kohta, mis asub selle peamise kardioidi tipu lähedal, kus madalast orust marsib välja elevantide paraad. Orule lähenedes näivad elevandid lähenevat üksteisele aina lähemale. Ja nii on oletatud, et kui lähened oru sügavamale punktile, väheneb elevantide vaheline kaugus nullini. "Ma olin nagu ilmselgelt," ütles Kapiamba ja viipas oma arvutiekraanile, kus ta oli suuminud elevante, et ma näeksin. Nad nägid tõesti välja nagu puudutaksid.
Tema argumendi põhiosa põhines ühes vanas doktoritöö artiklis tehtud otsekohesel märkusel. 73-leheküljeline, täielikult prantsuse keeles kirjutatud väitekiri valmis 1989. aastal, kuid seda ei avaldatud kunagi. Selle autor lahkus matemaatikast vaid aasta hiljem, olles pettunud ja pettunud probleemis, mida ta lootis lahendada: MLC.
Sissejuhatus
Kapiamba kammis teksti läbi, eksides sageli selle lehtedele, mõistmata, et kell oli juba ammu üle kesköö tiksunud, tuginedes keskkoolist tuttavale prantsuse keelele ja Google'i tõlkele. Ta kurtis, et teda pole kasvatatud prantsuse keelt rääkima. Nii tema isa, kes on pärit Kongo Demokraatlikust Vabariigist, kui ka ema, kes teda seal rahukorpuses teenides kohtas, rääkisid seda keelt soravalt. Kuid paar oli kolinud Marylandi vahetult enne Kapiamba sündi ja püüdes aidata isal võimalikult kiiresti inglise keelt õppida, rääkisid nad ainult kodus inglise keelt.
Lõpuks mõistis Kapiamba, et ta ei mõistnud lõputöö loogikas mõnda sammu. Selle autor oli teinud vea. Tema väide oli tõenäoliselt õige, kuid selle põhjendus ei pidanud paika. Ja nii võttis Kapiamba suuna vea parandamisele.
Ta lasi asjadel podiseda, nii nagu ta ootab leiva kerkimist. (Ta küpsetab endiselt, et meelt koondada. Ta naudib võimalust, mille see annab, et midagi oma kätega valmistada.) Järgmise paari aasta jooksul leidis ta lõpuks tõestuse. Selleks pidi ta tugevdama teoreemi, mida Yoccoz oli kasutanud oma algses MLC tõestuses, mis oli umbes elevantide suurus.
Töö üllatas keeruka dünaamika kogukonda täieliku üllatusena. Arvutipildid näitasid juba, et Mandelbroti komplekti teatud piirkonnad näisid kahanevat palju, palju kiiremini, kui Yoccozi teoreem soovitas, mis tähendab, et tema väidet saab tugevdada. "Kui te lihtsalt joonistate mõned pildid ja vaatate neid, näete, oh, tundub, et see, mis Yoccoz meile annab, on väga-väga halb," ütles Kapiamba. Kuid keegi ei suutnud seda parandada.
Kuni Kapiambani. Tema töö kehtis ainult teatud piirkondade kohta Mandelbroti komplektis; matemaatikud loodavad, et Yoccozi väite tugevamat versiooni saab näidata kogu komplekti kohta. Sellegipoolest said inimesed väga põnevil, ütles Benini. „Kõik, kes selle kallal töötavad, teavad, et see peab tõsi olema; nad lihtsalt ei teadnud, kuidas seda tõestada.
Lomonaco ja teised matemaatikud on Kapiamba tulemust juba kasutanud oma teoreemide tõestamiseks. Kuid seda peetakse ka potentsiaalseks tugipunktiks MLC tulevases tõendis.
Laboratoorium ja juhend
Möödunud aasta konverents tähistas viimast korda, kui matemaatikud kogunevad Taani vanasse sõjaväebaasi. Töötubade sarja rahastav Roskilde Ülikool loobus sel aastal selle asukoha rendilepingust.
Kui Lyubich, Kahn, Dudko ja Kapiamba suudavad ühendada oma erinevad lähenemisviisid, et lõpuks MLC tõestada, tähistab see teise ajastu lõppu - ajastu, mis algas siis, kui Mandelbrot ja Hubbard ja Douady nägid esimest korda fraktaali oma arvutiekraanidele ilmumas.
Sissejuhatus
Viimase poole sajandi pikkune Mandelbroti komplekti uurimine sai võimalikuks tänu arvutigraafika arengule. Fraktaali genereeriv matemaatika on lihtne: tegelikult on vaja ainult teada, kuidas liita ja korrutada. Kuid komplekti kuulsaks teinud jooniseid poleks saanud käsitsi teha. Nad tuginesid nende lihtsate arvutuste tegemisele miljoneid kordi, mis ei olnud ilma arvutiteta teostatav.
Põhimõtteliselt oleks visionäärist matemaatik võinud sadu aastaid tagasi hoida oma vaimusilmas pilti. Kuid ajaloo arenedes, kuigi geenius võib mõnikord silmapiiri taha heita, on tehnoloogia muutnud seda, mida võib ette kujutada. Näiteks Fatou "suutis sõnastada oletusi, ilma et oleks näinud Mandelbroti komplekti," ütles Buff. Kuid Fatou suutis minna ainult nii kaugele. Ükskõik kui võimas tema kujutlusvõime ka poleks olnud, Mandelbroti komplekti all keerleb rikkuse maailm, mis oli talle kättesaamatu, kuid mis on tänapäeval tavalisele inimesele kergesti nähtav.
Ljubitš ei kipu oma töös arvuteid kasutama. "Minu mõtteviis on väga visuaalne," ütles ta. "See on väga geomeetriline. Ma mõtlen piltide mõttes — aga ma lihtsalt joonistan enam-vähem primitiivseid pilte, käsitsi või mõttes. Ma ei kasuta kunagi arvuteid olulisel määral. (Ta naljatab, et võib-olla on selles süüdi programmeerimistöö, mida ta enne emigreerumist põgusalt töötas Leningradis. "See tõrjus mind," ütles ta.) Sellegipoolest elab ta maailmas, mis on täis arvutamist. Tagasi Usbekistani puuvillapõldudel jõudis temagi nii kaugele vaid fantaasial lennata lastes. "See oli Douady ja Hubbard, kes vaatasid sügavuse järgmisele tasemele," ütles ta, kasutades 1980. aastatel saadaolevaid arvuteid. Sellest ajast möödunud aastakümnete jooksul on Lyubich näinud, et tema kaastöötajad kasutavad arvuteid laborina ja juhendina. Ta meenutab, et Milnor tegi oma ühes ühises artiklis Milnoriga mitmeid arvutikatseid, et aidata nende tõestust õiges suunas juhtida. Ja Dudko naaseb Lyubichiga töötades ikka ja jälle arvuti juurde. "Ta oskab väga hästi tõlgendada seda, mida ta näeb," ütles Ljubitš, "et tõlkida need pildid matemaatilisse keelde ja sõnastada väga sügavaid oletusi."
Galileo avastas Jupiteri kuud mitte ainult sellepärast, et ta oli välja töötanud õige teooria nähtu mõtestamiseks, vaid seetõttu, et tal oli teleskoop. Samamoodi on matemaatilises universumis terveid osi, mis jäävad varjatuks, kuni tehnoloogilised muutused muudavad need nähtavaks. Neid ei saa puhta mõttega avastada rohkem kui Jupiteri kuude pilku heites.
Kui 1970. ja 80. aastate arvutusrevolutsioon avas Mandelbroti kontinendi uurimiseks, võivad matemaatikud täna olla teise sellise pöördepunkti tipus. Tehisintellekti hakatakse alles kasutama sisuliste oletuste sõnastamiseks ja oluliste matemaatiliste tulemuste tõestamiseks. Selle potentsiaali enesekindlalt hinnata on raske – võib-olla võimatu. ("Peame proovima õpetada närvivõrku Mandelbroti komplekti ümber suumima," naljatas Kapiamba.) Aga kui Mandelbroti komplekti lugu on üks sellest, kuidas matemaatikud saavad kasutada puhast mõtet, et uurida tehnoloogia poolt avatavat vaadet. , tuleb kirjutada järgmine peatükk.
"Mul pole kunagi olnud tunnet, et mu kujutlusvõime on piisavalt rikas, et kõiki neid erakordseid asju välja mõelda," ütles Mandelbrot kord. "Nad olid seal, kuigi keegi polnud neid varem näinud."
- SEO-põhise sisu ja PR-levi. Võimenduge juba täna.
- PlatoData.Network Vertikaalne generatiivne Ai. Jõustage ennast. Juurdepääs siia.
- PlatoAiStream. Web3 luure. Täiustatud teadmised. Juurdepääs siia.
- PlatoESG. Süsinik, CleanTech, Energia, Keskkond päikeseenergia, Jäätmekäitluse. Juurdepääs siia.
- PlatoTervis. Biotehnoloogia ja kliiniliste uuringute luureandmed. Juurdepääs siia.
- Allikas: https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/
- :on
- :on
- :mitte
- : kus
- ][lk
- $ 1 miljonit
- $ UP
- 000
- 10
- 13
- 15 aastat
- 15%
- 1985
- 1998
- 19.
- 20
- 20 aastat
- 200
- 2011
- 2012
- 2014
- 2016
- 2019
- 2023
- 22
- 30
- 40
- 60
- 700
- a
- Võimalik
- MEIST
- ABSTRACT
- AC
- Academia
- akadeemiline
- Akadeemia
- aktsepteeritud
- juurdepääs
- Vastavalt
- saavutada
- üle
- aktiivselt
- õigusaktid
- tegelikult
- lisama
- lisatud
- Täiendavad lisad
- Tooteinfo
- aadress
- adresseerimine
- edasijõudnud
- ettemaksed
- nõuanne
- nõustaja
- advokaat
- pärast
- jälle
- vanus
- vananenud
- tagasi
- Põllumajanduslik
- eespool
- AIR
- Alabama
- Alex
- Materjal: BPA ja flataatide vaba plastik
- lubatud
- võimaldab
- peaaegu
- üksi
- mööda
- kõrval
- juba
- Ka
- alati
- hämmastav
- ameerika
- vahel
- summad
- an
- analüüs
- analüüsima
- analüüsitud
- ja
- teatas
- Teine
- vastus
- vastamine
- vastuseid
- Oodatud
- mistahes
- keegi
- midagi
- lahus
- Korter
- ilmuma
- ilmunud
- ilmuvad
- taotlus
- rakendatud
- kehtima
- Rakendades
- määratud
- lähenemine
- lähenemisviisid
- Arktika
- OLEME
- PIIRKOND
- valdkondades
- vaieldamatult
- argument
- tekkivad
- ARM
- relvastatud
- Armee
- ümber
- korraldatud
- saabumine
- saabunud
- Kunst
- Arthur
- kunstlik
- tehisintellekti
- AS
- küsima
- küsis
- küsib
- aspektid
- seotud
- astronoomia
- At
- osalema
- Osalejad
- osalemine
- tähelepanu
- Meelitab
- publik
- AUGUST
- autor
- autorid
- automaatselt
- saadaval
- keskmine
- anda
- ära
- laps
- tagasi
- Selgroog
- Halb
- küpsetamine
- tõke
- baas
- põhineb
- põhiline
- Põhimõtteliselt
- BE
- Pidage
- ilus
- Ilu
- sai
- sest
- muutuma
- muutub
- saada
- olnud
- enne
- hakkas
- Algus
- alanud
- käituma
- käitumine
- käitumist
- taga
- on
- Valgevene
- Berkeley
- BEST
- enimmüüdud
- Parem
- vahel
- Peale
- Suur
- suurim
- bioloogia
- Birmingham
- Natuke
- Blokeerima
- Plokid
- Tugevdatud
- raamat
- Raamatud
- piir
- sündinud
- boston
- Boston University
- mõlemad
- Põrge
- seotud
- heldekäelisus
- oksad
- julge
- Brasiilia
- Leib
- Murdma
- läbimurre
- lühidalt
- hiilgav
- Toomine
- laiem
- üldjoontes
- Katki
- tõi kaasa
- pruun
- Browni Ülikool
- tuhmkollane
- ehitama
- Ehitus
- ehitatud
- Kobar
- buss
- hõivatud
- kuid
- by
- arvutused
- California
- kutsutud
- Kutsub
- tuli
- Laager
- CAN
- vähk
- ei saa
- pildistatud
- Karjäär
- karjääri
- ettevaatlik
- hoolikalt
- kes
- juga
- juhul
- juhtudel
- kataloog
- kataloogid
- Põhjus
- tsementeeritud
- keskus
- kesk-
- Sajand
- kindel
- võimalus
- muutma
- muutunud
- muutuv
- Kaos
- Peatükk
- iseloomustama
- keemia
- Keemiku
- laps
- valitud
- Ring
- ringid
- Linn
- nõudma
- klass
- selge
- selgelt
- kell
- lähedal
- lähemale
- Sulgeb
- Lähim
- klubi
- Rannik
- valmistatud
- koostööd
- koostöö
- koostöö
- koostööpartnerid
- Kokkuvarisemine
- kolleegidega
- kolledž
- värv
- Columbia
- ühendama
- Tulema
- tuleb
- tulevad
- KOMMUNIKATSIOON
- kogukond
- võrdlema
- konkurents
- Võistlused
- koostatud
- täitma
- Lõpetatud
- täiesti
- lõpetamist
- keeruline
- keeruline
- terviklik
- arvutamine
- arvutuslik
- arvutused
- arvuti
- arvutigraafika
- arvutiekraan
- arvutiga loodud
- arvutid
- arvutustehnika
- arvutusvõimsus
- mõiste
- disain
- mõisted
- Murettekitav
- kontserdid
- betoon
- Konverents
- usaldus
- Kongo
- oletus
- Võta meiega ühendust
- seotud
- ühendus
- Side
- Side
- tagajärg
- Arvestama
- märkimisväärne
- kaaluda
- moodustama
- kontakt
- kontekstid
- kontinent
- jätkama
- jätkas
- pidev
- aitama kaasa
- sissemaksed
- kontrollida
- lähenema
- Vestlus
- Kopenhaageni
- koopiad
- tuum
- cornell
- Nurk
- nurgad
- korpus
- parandada
- Vastav
- võiks
- loe
- Paar
- kursus
- kursused
- cover
- kaetud
- looma
- looja
- krediit
- ületamisel
- otsustav
- toores
- nutt
- kultuur
- Praegune
- Praegu
- kardin
- Kohe
- lõikamine
- DC
- kahju
- taani
- tume
- andmed
- David
- päev
- Päeva
- surnud
- tegelema
- Pakkumised
- arutelu
- kümme aastat
- aastakümnete
- otsustama
- otsustatud
- pühendunud
- pühendunud
- sügav
- sügavam
- sügavaim
- sügavalt
- kindlasti
- mõisted
- esitatud
- demokraatlik
- Taani
- Olenevalt
- sõltub
- kujutavad
- sügavus
- kirjeldama
- kirjeldab
- kirjeldus
- Vaatamata
- detail
- Detailimine
- arendama
- arenenud
- arenev
- & Tarkvaraarendus
- DID
- suri
- erinev
- raske
- Lõuna
- suund
- otse
- Juhataja
- kaovad
- distsipliin
- lahti
- avastama
- avastasin
- avastus
- arutama
- arutelud
- erinevad
- kaugus
- eristatav
- eristama
- Eriline
- jagatud
- jagatud
- pimestav
- do
- Dokk
- arstid
- dokument
- dokumentaalfilm
- ei
- Ei tee
- teeme
- dollarit
- domeen
- domineerima
- tehtud
- Ära
- Dorm
- DOT
- kahtlen
- alla
- juhtida
- Joonistused
- unistus
- ajendatud
- dubleeritud
- kaks
- ajal
- Tolm
- dünaamika
- iga
- innukas
- Ajalugu
- Varajane
- leevendada
- lihtne
- Ökonoomika
- majandus
- mõju
- jõupingutusi
- jõupingutusi
- kumbki
- Töötage välja
- element
- elemendid
- kõrvaldama
- Elliptiline
- tekkima
- tekkinud
- tekib
- rõhk
- võimaldama
- kohtumine
- julgustada
- lõpp
- lõppes
- Lõputu
- energia
- Inglise
- meeldis
- piisavalt
- registreerunud
- sisenes
- Kogu
- täielikult
- sissepääs
- võrdne
- võrrandid
- Ajastu
- viga
- pääse
- põhiliselt
- asutatud
- Ethos
- Isegi
- õhtu
- lõpuks
- KUNAGI
- Iga
- igapäevane
- kõik
- kõikjal
- arenema
- täpselt
- eksam
- näide
- näited
- Välja arvatud
- vahetamine
- erutatud
- põnev
- näitlikustatud
- eksponaadid
- ootama
- eksperiment
- eksperimentaalne
- katseid
- ekspert
- Selgitama
- uurimine
- uurima
- Explorers
- pikendatud
- ulatus
- lisatasu
- erakordne
- äärmiselt
- äärmused
- silm
- silmad
- Ezra
- nägu
- Rajatise
- vastasel
- Langema
- kuulus
- tuttav
- Tuttav
- pere
- kuulus
- fännid
- kaugele
- kiiremini
- teostatav
- FUNKTSIOONID
- Veebruar
- tundma
- tunne
- tunneb
- jalad
- mees
- viga
- vähe
- Fibonacci
- Ilukirjandus
- väli
- Valdkonnad
- äge
- arvasin
- viilmed
- täitma
- lõplik
- Lõpuks
- leidma
- lõpetama
- esimene
- esimene kontakt
- Esimest korda
- viis
- Määrama
- paindlik
- ujuv
- Põrand
- voog
- Keskenduma
- keskendunud
- keskendumine
- järgima
- Järel
- eest
- Sundida
- eeskätt
- igavesti
- võltsima
- vorm
- formaalne
- endine
- valem
- õnnelik
- avastatud
- Sihtasutused
- Asutajad
- neli
- Neljas
- murdosa
- killustatud
- Prantsusmaa
- tasuta
- Vaba tahe
- Vabadus
- prantsuse
- sage
- värske
- sõbrad
- Alates
- esi-
- pettunud
- täis
- täielikult
- funktsioon
- funktsioonid
- fond
- põhiline
- põhimõtteliselt
- edasi
- tulevik
- saadud
- kasumi saamine
- Galaktikad
- kogutud
- koguma
- kogutud
- gabariit
- andis
- Üldine
- üldiselt
- tekitama
- genereerib
- teeniva
- põlvkond
- Põlvkonnad
- helde
- geenius
- Geode
- geomeetria
- Saksamaa
- saama
- saamine
- hiiglased
- Andma
- antud
- annab
- andmine
- Pilk
- Go
- Goes
- läheb
- Kuldne
- läinud
- hea
- Google Translate
- sain
- rüütama
- klass
- koolilõpetaja
- suur
- graafik
- graafika
- haarake
- suur
- suurem
- kasvasid
- maandatud
- Grupp
- Kasvavad
- külaline
- suunata
- harjumus
- olnud
- Pool
- käsi
- käputäis
- Käed
- juhtuda
- juhtus
- Juhtub
- juhtub
- õnnelik
- Raske
- Harmoonia
- Harvardi
- Harvardi ülikool
- Olema
- võttes
- he
- pea
- Tervis
- kuulama
- hekk
- riskifondide
- Held
- aitama
- aitas
- siin
- Kõhklus
- varjatud
- Suur
- kõrge profiiliga
- kõrgeim
- teda
- ise
- tema
- ajalugu
- Tulemus
- hoidma
- omab
- Avaleht
- au
- lootus
- lootes
- silmapiir
- Haigla
- võõrustaja
- Lahtiolekuajad
- maja
- Kuidas
- Kuidas
- aga
- HTML
- http
- HTTPS
- tohutu
- tagasihoidlik
- sada
- sajad
- i
- IBM
- ikooniks
- idee
- ideid
- if
- Illustreerima
- pilt
- pildid
- kujuteldav
- kujutlusvõime
- kujutage ette
- ette kujutada
- kohe
- keiserlik
- Imperial College
- Imperial College London
- mõjud
- oluline
- võimatu
- parandama
- in
- Teistes
- ligipääsmatu
- Kaasa arvatud
- tulu
- uskumatult
- sõltumatud
- iseseisvalt
- India
- Indiana
- osutatud
- Üksikult
- Lõpmatus
- mõjutatud
- info
- teavitatakse
- esialgu
- vigastus
- sisend
- sees
- Inspiratsioon
- inspireerima
- inspireeritud
- Näiteks
- otsekohe
- selle asemel
- Instituut
- institutsioonid
- juhised
- Intelligentsus
- tahtlus
- interaktiivne
- huvi
- huvitatud
- huvitav
- el
- interjöör
- rahvusvaheliselt
- katkenud
- intiimselt
- sisse
- keerukas
- intrigeeriv
- Sissejuhatus
- uurides
- kutsutud
- seotud
- hõlmab
- saar
- Saared
- isoleeritud
- probleem
- IT
- Itaalia
- iteratsioon
- ITS
- ise
- james
- juudi
- töö
- Tööturg
- John
- ühine
- teekond
- julia
- Jupiter
- lihtsalt
- ainult üks
- hoidma
- hoitakse
- Võti
- Laps
- Teadma
- Teades
- teadmised
- teatud
- teab
- töö
- labor
- maastik
- maastikud
- keel
- suur
- suurim
- viimane
- Eelmisel aastal
- Hilja
- pärast
- viima
- Liiga
- Õppida
- õppinud
- õppimine
- Lahkuma
- jätmine
- loengud
- Led
- lahkus
- vähem
- laskma
- väljaüürimine
- Tase
- vale
- elu
- tõstmine
- nagu
- Tõenäoliselt
- piiratud
- nööpnõel
- joon
- vooderdatud
- vooder
- LINK
- Lõvi
- kuulab
- Nimekirjad
- kirjanduslik
- vähe
- elama
- Elab
- elu-
- kohalik
- kohapeal
- liising
- loogika
- London
- Pikk
- kauaaegne
- enam
- Vaata
- näeb välja
- Vaatasin
- otsin
- kaotama
- kaotamine
- kadunud
- Partii
- palju
- vali
- armastus
- õnn
- Luna
- masinad
- tehtud
- ajakiri
- põhiline
- peamine
- tegema
- TEEB
- Tegemine
- mees
- palju
- kaart
- Märts
- märk
- märgitud
- Maryland
- suur
- meister
- meistrid
- materjal
- matemaatika
- matemaatiline
- matemaatika
- küsimus
- võib olla
- me
- sööki
- keskmine
- tähendus
- tähendusrikas
- mehaanika
- medalid
- meditsiini-
- Vastama
- koosolekul
- Väärtus
- sõnum
- mõdu
- meetodid
- Michigan
- Mikroskoobi
- Kesk-
- kesköö
- võib
- Sõjaline
- miljon
- miljonid
- meeles
- puuduvad
- viga
- vigu
- Kaasaegne
- tagasihoidlik
- hetk
- kuu
- Mäed
- rohkem
- Moskva
- kõige
- ema
- motiveeritud
- liikuma
- kolis
- liikumised
- liikuv
- palju
- väga vajalik
- mukherjee
- mitmekordne
- peab
- my
- mina
- nimi
- Nimega
- jutustatud
- tärkav
- riiklik
- Natural
- loodus
- Navigate
- Lähedal
- peaaegu
- Vajadus
- vaja
- Pesa
- võrk
- Neural
- Närvivõrgus
- mitte kunagi
- Sellegipoolest
- Uus
- New York
- New York City
- Uusim
- järgmine
- nišš
- Nicolas
- ei
- ega ka
- põhja-
- meeles
- märkused
- mitte midagi
- Mõiste
- November
- nüüd
- number
- numbrid
- numbriline
- esemeid
- märkused
- jälgima
- takistus
- saadud
- Ilmne
- oktoober
- of
- maha
- pakkuma
- pakutud
- Pakkumised
- ametnikud
- sageli
- oh
- Ohio
- Vana
- on
- kunagi
- ONE
- ones
- Internetis
- ainult
- peale
- avatud
- avatud
- avamine
- Võimalus
- vastupidine
- vastupidine
- Optimistlik
- or
- suuline
- orbiit
- et
- Korraldatud
- originaal
- Muu
- teised
- muidu
- meie
- välja
- kontuur
- väljund
- väljaspool
- tasumata
- üle
- Ületada
- enda
- lehekülge
- maalid
- Paber
- dokumendid
- paberitöö
- Paradoks
- parameeter
- parameetrid
- osa
- osalejad
- osales
- eriline
- eriti
- isikutele
- osad
- Vastu võetud
- minevik
- tee
- Muster
- mustrid
- rahu
- Inimesed
- suurepäraselt
- täitma
- teostatud
- ehk
- püsivus
- inimene
- Isiksused
- perspektiiv
- Peter
- PETERBURGI
- faas
- nähtus
- filosoofia
- Fotod
- füüsiline
- Füüsika
- korjamine
- pilt
- Pildid
- tükk
- tükki
- Pierre
- sammas
- Koht
- Kohad
- lennuk
- Planets
- plaanitud
- taimed
- Platon
- Platoni andmete intelligentsus
- PlatoData
- mängima
- mängis
- mängijad
- mängimine
- süžee
- pistik
- taskud
- Luule
- Punkt
- võrra
- Poliitika
- vaene
- pop-
- populaarne
- tulenevad
- positsioon
- võimalik
- võimalik
- postdocs
- plakat
- potentsiaal
- nael
- võim
- võimas
- praktiliselt
- täpselt
- Täpsus
- ennustada
- valmis
- olemasolu
- esitada
- maineka
- ilus
- varem
- hind
- Peamine
- primitiivne
- põhimõte
- preemia
- Probleem
- probleeme
- menetlus
- jätkama
- protsess
- töödeldud
- tootma
- Toodetud
- Õpetaja
- sügav
- Programm
- Programmeerija
- Programming
- Programmid
- Edu
- edeneb
- projekt
- projektid
- paljutõotav
- tõend
- tõendid
- omadused
- kinnisvara
- väljavaade
- Tõesta
- tõestatud
- pakkudes
- tõestades
- osavus
- psühholoogiline
- avalik
- avaldamine
- avaldama
- avaldatud
- jätkama
- jätkates
- Lükkama
- lükatakse
- panema
- Putting
- kvadraatiline
- Kvantamagazin
- Kvant
- otsimine
- küsimus
- Küsimused
- Kiire
- kiiresti
- vaikselt
- üsna
- tsitaat
- tõstatatud
- juhuslik
- kiiresti
- HARULDANE
- pigem
- jõudma
- jõuda
- Lugenud
- lugejad
- kergesti
- reaalne
- Reaalsus
- realiseeritud
- realiseerimisel
- tõesti
- realm
- põhjus
- saadud
- hiljuti
- hiljuti
- tunnustatud
- Taastuma
- värbamisel
- viitab
- kajastatud
- pagulane
- pagulaste
- pidama
- piirkond
- piirkondades
- regulaarselt
- Tagasi lükatud..
- seotud
- lootma
- tuginedes
- jääma
- jäi
- ülejäänud
- jäänused
- Renessanss
- uuendatakse
- remont
- korduv
- asendatakse
- esindama
- esindatud
- esindab
- Vabariik
- maine
- Taotlusi
- nõudma
- nõutav
- nõue
- teadustöö
- Teadlased
- vastus
- kohustused
- vastutav
- REST
- kaasa
- Tulemused
- tagasi
- Tulu
- Revealed
- läbivaatamine
- Revolutsioon
- Premeerima
- Rikas
- rüüstatud
- õige
- rangelt
- Tõusma
- Riskantne
- ROBERT
- Roll
- ruum
- Toad
- juur
- ROW
- Eeskiri
- eeskirjade
- jooks
- vene
- s
- Ütlesin
- sake
- sama
- nägin
- ütlema
- Skaala
- Kaalud
- Kool
- ulmefilm
- teadus
- TEADUSED
- teaduslik
- Ekraan
- ekraanid
- SEA
- Otsing
- Teine
- suuruselt teine
- salajane
- saladusi
- Osa
- vaata
- nägemine
- tundub
- tundus
- näiliselt
- tundub
- nähtud
- näeb
- segmendid
- seminar
- vanem
- tunne
- Saadetud
- eri
- Jada
- Seeria
- teenib
- teenus
- teenindavad
- komplekt
- Komplektid
- seade
- mitu
- raske
- madal
- kuju
- kuju
- Jaga
- jagatud
- lehed
- Varsti
- peaks
- näitama
- näitas
- näidatud
- külg
- Vaatamisväärsused
- märkimisväärne
- Märgid
- Silver
- sarnane
- sarnasused
- Samamoodi
- lihtne
- lihtsalt
- üheaegselt
- alates
- ühekordne
- Istung
- kuues
- SUURUS
- oskus
- uni
- väike
- väiksem
- sujuvalt
- Snapshot
- So
- nii kaugel
- sotsiaalmeedia
- tarkvara
- tahkuda
- lahendus
- Lahendused
- LAHENDAGE
- Lahendamine
- mõned
- Keegi
- midagi
- mõnikord
- selle
- Varsti
- keeruline
- otsisin
- Allikad
- nõukogude
- Ruum
- tühikud
- rääkima
- Räägib
- eriline
- konkreetse
- määratletud
- kulutama
- Kulutused
- kasutatud
- vaim
- jagada
- Sponsorid
- Kaubandus-
- täpid
- laiali
- ruut
- väljakud
- st
- Peterburi
- stabiilne
- standardite
- seisab
- täht
- algus
- alustatud
- Käivitus
- riik
- väljavõte
- avaldused
- Ühendriigid
- juhtima
- Samm
- Sammud
- Veel
- KIVI
- seisis
- Peatus
- peatatud
- Lugu
- otse
- lihtne
- oja
- tänavad
- Tugevdama
- tugevdatud
- eemaldamine
- tugevam
- struktuur
- struktuuride
- õpilane
- Õpilased
- õppinud
- uuringud
- Uuring
- Õppimine
- vääratav
- stiil
- teema
- esitama
- esitatud
- mahukas
- selline
- kannatab
- Sun
- Päikeseloojang
- super
- tarnija
- Toetamine
- Pind
- üllatus
- Uuring
- kahtlus
- Swing
- sümbol
- süsteem
- süsteemid
- Võtma
- võtnud
- võtmine
- rääkima
- Läbirääkimised
- ahvatlev
- õpetas
- õpetaja
- õpetamine
- meeskond
- Tehniline
- tehnika
- tehnikat
- tehnoloogiline
- Tehnoloogiad
- Tehnoloogia
- teismeline
- teleskoop
- öelda
- ütleb
- ajutine
- pingeid
- tingimused
- maastik
- testid
- tekst
- kui
- tänulik
- et
- .
- Piirkond
- Püsivus
- Lääs
- maailm
- oma
- Neile
- ennast
- SIIS
- teooria
- Seal.
- seetõttu
- Need
- väitekiri
- nad
- asi
- asjad
- Mõtlema
- mõtlejad
- Mõtlemine
- Mõtleb
- Kolmas
- see
- Sel aastal
- need
- kuigi?
- arvasin
- tuhat
- kolm
- Läbi
- läbi kogu
- aeg
- aega võttev
- korda
- Kallutamine
- Kallutuspunkt
- nõuanded
- et
- täna
- tänane
- kokku
- ütles
- homme
- liiga
- võttis
- töövahendid
- ülemine
- teema
- Toronto
- Summa
- Kokku
- puudutama
- liigutav
- suunas
- jälgida
- traditsiooniline
- Rong
- ümber
- üleminekuid
- tõlkima
- lõksus
- traavers
- käsitlema
- töödeldud
- tohutult
- kohtuprotsess
- proovitud
- häda
- tõsi
- tõeliselt
- Tõde
- püüdma
- üritab
- turbulentne
- Pöörake
- Pöördunud
- Pööramine
- Kaks korda
- kaks
- tüüp
- liigid
- tüüpiliselt
- Ukraina
- lõplik
- ei suuda
- paljastama
- all
- ajal 30
- mõistma
- arusaadav
- mõistmine
- arusaadav
- Ootamatu
- kujunevast
- ühtne
- liit
- ainulaadne
- Ühendatud
- Ühendriigid
- Universum
- Ülikoolid
- Ülikool
- California Ülikool
- University of Michigan
- lahtipakkimine
- prognoosimatu
- kuni
- ebatavaline
- Värskendused
- peale
- ülakorrusel
- us
- kasutama
- Kasutatud
- kasutamine
- tavaliselt
- uzbekistan
- org
- orud
- väärtus
- Väärtused
- vaatepunkt
- eri
- äärel
- versioon
- Versus
- väga
- Video
- vaade
- vaadatud
- Viisa
- nähtav
- nägemus
- visionäär
- visiit
- külastatud
- visuaalne
- maht
- mahud
- ootamine
- ootab
- Ärka
- Ärka üles
- kõndima
- jalutamine
- Sein
- tahan
- tagaotsitav
- tahab
- sõda
- soe
- oli
- Washington
- Vesi
- Tee..
- kuidas
- we
- webp
- tervitas
- tervitades
- Hästi
- läks
- olid
- Läände
- Lääne-
- M
- millal
- millal iganes
- kas
- mis
- kuigi
- WHO
- kogu
- kellega
- kelle
- miks
- naine
- Metsik
- will
- võitma
- tuul
- aknad
- võit
- koos
- jooksul
- ilma
- Võitis
- Woods
- sõna
- Töö
- töötas
- töötaja
- töö
- töötab
- töökoda
- Töötoad
- maailm
- maailma
- oleks
- kirjutama
- kirjanik
- kirjutamine
- kirjalik
- Vale
- kirjutas
- aasta
- aastat
- veel
- york
- sa
- noor
- Younger
- Noorim
- Sinu
- sephyrnet
- null
- zoom
- suumimine
- Zurich