Sümmeetria, mis teeb matemaatikavõrrandite lahendamise lihtsaks

Mõelge loole "Pop Goes the Weasel". Nüüd laulge neid sõnu:

Negatiivne b, pluss või miinus
Ruutjuur b ruuduline
miinus neli a c
Kõik! üle kahe a

See kõlin on aidanud algebraõpilaste põlvkondadel meelde tuletada ruutvalemit, mis lahendab kõik võrrandid kujul $lateks ax^2+bx+c=0$. Valem on sama kasulik, kui see tõenäoliselt sõnaraamatus „matemaatika ärevuse” all ilmub, ja kiire pilk näitab, miks:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Nii hirmutav kui see ka välja näeb, on sees peitmine lihtne saladus, mis teeb iga ruutvõrrandi lahendamise lihtsaks: sümmeetria. Vaatame, kuidas sümmeetria paneb ruutvalemi tööle ja kuidas sümmeetria puudumine muudab kuupvõrrandite (kujul $lateks ax^3+bx^2+cx+d =0$) lahendamise palju-palju raskemaks. Tegelikult nii palju raskem, et mõned 1500. aastate matemaatikud veetsid oma elu kibedates avalikes vaenutes, konkureerides kuupmeetrite eest, mida oli nii lihtne teha ruutarvude jaoks.

Võrrandite lahendamine on matemaatikatunni põhioskus – see aitab meil leida maksimaalset kasumit, minimaalseid kaugusi, ristumispunkte ja palju muud. Üks põhilisi võrrandeid, mida me lahendama õpime, on $latex f(x)=0$. Kui antud funktsioon $latex f(x)$, küsib see võrrand: millised sisendid x tagastab väljundi 0? Sel põhjusel nimetatakse selle võrrandi lahendusi mõnikord funktsiooni "nullideks" või "juurteks".

Enne kui leiame iga ruutfunktsiooni juured, alustame lihtsast: Mis on $latex f(x)=x^2-9$ juured? Nende leidmiseks lahendage lihtsalt võrrand $latex f(x)=0$.

$lateks f(x)=0$
$lateks x^2-9=0$
$lateks x^2=9$
$lateks x=pm3$

Neid juuri on lihtne leida, kuna seda võrrandit on lihtne lahendada. Kõik, mida pead tegema, on isoleerida x. Pange tähele, et me vajame seda $latex pm$ viimasel real, sest nii 3 kui -3 omavad omadust, et nende ruudustamisel saad 9. Kiire kontroll, et $latex f(3)=f(-3)=0 $ kontrollib, et need on tõepoolest sisendid, mis muudavad $latex f(x)$ väljundiks 0.

See $lateks pm$ viitab ka olukorrale omasele sümmeetriale. Ruutfunktsioonil on kaks juurt ja kui kujutate ette kahte juurt arvureal, näete, et need on sümmeetrilised $lateksi x=0$ suhtes.

Ja kui mäletate, et ruutfunktsiooni graafik on parabool, on sellel palju mõtet. Igal paraboolil on sümmeetriatelg, mis jagab parabooli kaheks peegelpildiks. $lateksi f(x)=x^2-9$ korral on sümmeetriatelg y-telg (joon $lateks x=0$). Kui graafik $lateks f(x)=x^2-9$ tavapärasel viisil, töödeldes x sõltumatu muutujana ja seadistusena $latex y=f(x)$, näete selle juured lehel x-telg, võrdsel kaugusel ja mõlemal pool y-axis.

Keerulisema ruutsuuruse (nt $latex f(x)=x^2-8x-9$) puhul nõuab juurte leidmine veidi rohkem kaevamist.

$lateks f(x)=0$
$lateks x^2-8x-9=0$
$lateks x^2-8x=9$

Saame määrata $latex f(x)$ väärtuseks 0 ja nihutada 9 paremale, nagu me tegime varem, kuid me ei saa eraldamiseks võtta mõlema poole ruutjuurt x. See teine ​​termin koos x selles seisab teel. Kuid see funktsioon, nagu iga ruutväärtus, on sümmeetriline ja me saame kasutada seda sümmeetriat probleemi ümber liikumiseks. Sümmeetria läbipaistvamaks muutmiseks vajame lihtsalt väikest algebrat.

Kirjutame funktsiooni $lateks f(x)=x^2-8x-9$ ümber kujule $latex f(x)=x(x-8)-9$. Nüüd keskenduge $lateksi x(x-8)$ osale. See on 0 kahel juhul - kui x = 0 või kui x = 8 — ja see tagab, et $latex f(0)$ ja $latex f(8)$ võtavad sama väärtuse -9. See annab meile kaks sümmeetrilist punkti paraboolil ja kuna sümmeetriatelg peab jagama $latex x=0$ ja $latex x=8$ keskelt allapoole, peab see olema sirge $lateks x=4$.

Nüüd, kui oleme sümmeetria leidnud, on aeg seda kasutada. Nihutame oma parabooli nelja ühiku võrra vasakule, nii et selle sümmeetriatelg liigub joonelt $lateks x=4$ joonele $lateks x=0$. Selle tõlke algebraliseks tegemiseks on lihtne viis: asendame kõik x koos x + 4.

Nimetagem $latex g(x)$ uueks ruutfunktsiooniks, mille saame asendamisel x koos x+ 4. Teisisõnu olgu $lateks g(x)=f(x+4)$. Vaadake, mis juhtub, kui lihtsustada $latex g(x)$:

$lateks g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$lateks g(x)=x^2-25$

Pärast seda, kui rakendame jaotusomadust paar korda ja kogume sarnaseid termineid, x meie uue tõlgitud ruutmärgi termin kaob ja see muudab $latex g(x)$ juurte leidmise lihtsaks:

$lateks g(x)=0$
$lateks x^2-25=0$
$lateks x^2=25$
$lateks x=pm5$

$latex g(x)$ juured on $latex x=pm5$, nii et $latex f(x)=x^2-8x-9$ juurte leidmiseks liigutame lihtsalt $latex g( x)$ tagasi neli ühikut paremale. See annab meile $latex f(x)$ juured: $latex 4pm5$ ehk 9 ja -1, mida saate kontrollida, arvutades $latex f(9)=f(-1)=0$.

Selle veidi raskema ruutvõrrandi lahendamise saladus oli selle üle libistada ja segavate tegurite kõrvaldamise teel muuta see lihtsamaks ruutvõrrandiks x tähtaeg. See lähenemisviis töötab mis tahes ruutfunktsiooni puhul. Arvestades suvalist ruutväärtust $latex f(x)=ax^2+bx+c$, saate alati leida selle sümmeetriatelje sama faktooringuga:

$lateks f(x)=ax^2+bx+c$
$lateks f(x)=x(ax+b)+c$

Sellel kujul näete, et $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, mis tähendab, et sümmeetriatelg on $latex x=0$ ja $latex x= vahel. -frac{b}{a}$. Teisisõnu, iga ruutfunktsiooni $latex f(x)=ax^2+bx+c$ sümmeetriatelg on sirge $latex x=-frac{b}{2a}$. Ja see peaks tunduma tuttav. See on peidus ruutvalemis!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Seda on lihtsam näha, kui kirjutate selle ümber järgmiselt:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ruutvalem tugineb asjaolule, et ruutväärtuse $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$ juured on sümmeetrilised $lateksi x=-frac{b}{2a}$ suhtes. Ja nagu me eespool tegime, saate nende leidmiseks kasutada seda sümmeetriat: lihtsalt tõlkige $latex f(x)$ väärtusega $latex -frac{b}{2a}$. See kõrvaldab x termin, mis võimaldab teil seejärel kergesti isoleerida x ja lahendada. Tehke seda ja saate ruutvalemi. (Lisateavet leiate allolevatest harjutustest.) See pole nii lihtne kui lastelaulu ümisemine, kuid see näitab olulisi algebralisi ja geomeetrilisi seoseid, mis selle valemi toimima panevad.

Ruutarvude lahendamine sümmeetria jõuga võib julgustada meid proovima sarnast taktikat kuupvõrrandite puhul. Kuid kuigi kuupmeetritel on sümmeetria, pole see selline, mis aitab lahendada võrrandeid, nagu $latex f(x)=0$. Kuupgraafikutel on punktisümmeetria, mis tähendab, et iga kuupfunktsiooni graafikul on spetsiaalne punkt, kus kui joon läbib seda punkti ja lõikub kuupmeetriga kusagil mujal, lõikub see graafikuga uuesti sümmeetriliselt selle punkti suhtes.

See on tugev sümmeetriatüüp, kuid see ei aita juurte leidmisel. Selle põhjuseks on asjaolu, et funktsiooni juured esinevad seal, kus selle graafik ületab horisontaaljoont $latex y=0$ ( x-telg) ja üldiselt ei ole need lõikekohad sümmeetrilised kuupmeetri erilise sümmeetriapunkti suhtes.

Tegelikult võib kuubil olla ainult juur. Sümmeetriat seal pole.

Siiski on midagi meie varasemast tööst ruutnäitajatega, mis võib aidata.

Kui meil on ruutfunktsioon $latex f(x)=ax^2+bx+c$ ja me teame, et selle juured on $latex r_1 $ ja $latex r_2$, siis saame alati kirjutada $latex f(x)$ "faktoreeritud" vorm: $lateks f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Nüüd, kui me seda korrutame ja lihtsustame, saame midagi väga kasulikku, millega töötada.

$lateks f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Pange tähele, kuidas koefitsient x termin hõlmab kahe juure $latex r_1$ ja $latex r_2$ summat. See on seotud ühe Vieta valemiga (mida olete ehk näinud kunagi or kaks korda enne nendes veergudes): Arvestades ruutfunktsiooni $latex f(x)=ax^2+bx+c$, on kahe juure summa alati $latex -frac{b}{a}$. Saate seda näidata, kui määrate ruutarvu üldkuju võrdseks selle faktorite vormiga $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ ja jälgite, et ainus viis, kuidas kaks polünoomi saavad tegelikult olema sama, kui nende vastavad koefitsiendid on samad. Sel juhul tähendab see koefitsiente x võrrandi mõlemal poolel olevad liikmed peavad olema võrdsed, et saaksime kirjutada

$lateks b=-a(r_1+r_2)$

ja seejärel jagage:

$lateks r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Pange tähele, et selle võrrandi mõlema poole jagamine 2-ga näitab huvitavat fakti: ruutfunktsiooni kahe juure keskmine on võrdne x- sümmeetriatelje väärtus:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

See on loogiline, sest sümmeetriatelg peab olema kahe juure keskel ja mis tahes kahe arvu keskmine on arv, mis asub täpselt nende keskel.

Kuid mõelge sellele uuele suhtele meie varasema tõlke kontekstis. Parabooli teisendamine, nihutades sümmeetriatelge väärtuselt $latex x = -frac{b}{2a}$ väärtusele $latex x=0$, muudab ka kahe juure keskmist väärtusest $latex -frac{b}{2a} $ kuni 0.

Kui aga juurte keskmine on 0, siis peab ka juurte summa olema 0 ja kahe juure summa ilmneb ruutväärtuse faktorite kujul:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

See tähendab, et ruutväärtuse tõlkimine nii, et juurte summa muutub 0-ks, annab ka x termin kaob. See aitas meil lahendada meie varasema ruutvõrrandi ja sarnane tulemus juurte kohta kehtib ka kuupfunktsioonide kohta.

Kui on antud üldine kuupkujuline $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, saame teha sama, mida tegime ruutkeskmega. Kui kuupmeetri juured on $lateks r_1$, $lateks r_2$ ja $lateks r_3$, saame kuupfunktsiooni kirjutada faktoristatud kujul $lateks f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ ja korrutage see välja. See annab meile $lateks f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, mille seejärel määrame võrdseks üldkujuga $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ja kuna vastavad koefitsiendid peavad olema samad, saame kuupmeetri juurte summa kohta Vieta valemi:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Pange tähele, et saame võrrandi mõlemad pooled jagada 3-ga

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

See näitab, et kuupmeetri keskmine juur on $latex -frac{b}{3a}$. Kui nüüd tõlkida kuupmeetrit selle summa võrra, on keskmine juur 0, mis muudab juurte summa võrdseks 0-ga, mis omakorda muudab meie tõlgitud kuupmeetri koefitsiendi $lateksi x^2$ kaduma.

Lühidalt, teisendus $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ annab nn "depressiivse" kuupmeetri, mis lihtsalt tähendab, et sellel pole $latex x^2$ terminit . Meie muudetud ja surutud kuup näeb välja selline:

$lateks g(x)=ax^3+mx+n$

Koefitsiendid m ja n saab väljendada terminites a, b, c, ja d algsest kuupmeetrist. Millega need võrdsed on, on vähem oluline kui tõsiasi, et depressiivsete kuubikute juurte leidmiseks on garanteeritud tehnikad. Tegelikult oli selline tehnika 1500. aastatel Gerolamo Cardano ja Niccolò Tartaglia vahelise legendaarse vaidluse keskmes, mis hõlmas sõprust, reetmist ja avalikke matemaatikaduelle. See on pikk ja põnev lugu, millel on märkimisväärne matemaatiline järeldus: võime muuta mis tahes kuupmeetrit surutud kuupmeetriks koos võimega lahendada mis tahes allasurutud kuupmeetrit võimaldab meil lahendada iga kuupmeetri võrrandi. Sa annad mulle andeks, et jätsin ülejäänud üksikasjad välja, sest noh, seda on sulle lihtsalt lihtsam näidata.

See on kuupvalem, mis, nagu ruutvalem, lahendab iga kuupvõrrandi. Kuid erinevalt ruutvalemist pole sellel kaasalaulmiseks meeldejäävat viisi. Võite proovida seda kirjutada, kuid tõenäoliselt on selleks vaja mõnda salmi ja refrääni või kahte.

Harjutused

1. Kui tead üht kuupjuurt, leiad kindlasti ka teised. Miks?

2. Ruutarvu juured võivad olla kompleksarvud. Kas see ei mõjuta sümmeetria argumenti?

3. Arvestades üldist ruutsuurust $latex f(x)=ax^2+bx+c$, lahendage teisendatud ruutsuurus $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$, et tuletada ruutvalem.

4. Mis on kvartfunktsiooni $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ juurte keskmine?

5. Näidake arvutuse abil, et kuubiku käändepunkt on ühtlasi ka selle sümmeetriapunkt.