Introduction
L'un des grands épisodes de l'histoire des mathématiques a commencé le 23 octobre 1852. Dans une lettre à Sir William Rowan Hamilton, Augustus De Morgan a écrit : « Un de mes étudiants m'a demandé aujourd'hui de lui donner une raison pour un fait que j'ai fait. Je ne savais pas que c'était un fait - et je ne le sais pas encore. À ce jour, ce « fait » continue de fasciner et de défier les chercheurs.
L'étudiant était Frederick Guthrie, et le "fait" en question provenait à l'origine de son frère, Francis. Après avoir examiné une carte des comtés britanniques, il s'est demandé s'il était toujours possible de colorier une carte en utilisant quatre couleurs ou moins, tout en s'assurant que les régions partageant une frontière (plus qu'un point d'angle) sont de couleurs différentes.
Il semblait que cela devait toujours être possible. "Plus j'y pense, plus cela semble évident", a écrit De Morgan. Pourtant, le problème n'excitait pas Hamilton. Il a répondu: "Je ne suis pas susceptible de tenter votre 'quaternion de couleurs' très bientôt. Et les efforts de De Morgan pour intéresser les autres ont également échoué.
Le problème resta largement en sommeil jusqu'en 1878, quand Arthur Cayley demanda aux membres de la London Mathematical Society si quelqu'un avait trouvé une preuve. Peu de temps après, des preuves ont commencé à apparaître. C'est la première, par l'avocat Alfred Kempe en 1879, qui s'est avérée la plus importante. La preuve était convaincante et elle a été acceptée comme correcte pendant plus d'une décennie. Malheureusement, la preuve de Kempe - comme toutes les autres qui apparaîtront au cours du siècle prochain - était erronée. Pourtant, il était ingénieux et contenait des idées clés qui apparaîtraient dans la preuve éventuelle.
Pour comprendre comment Kempe et la plupart des mathématiciens ont examiné ce problème, il est utile de reconnaître qu'une carte contient de nombreuses informations sans rapport avec le problème de coloration, telles que la forme, la taille et l'emplacement exact de chaque région. Tout ce qui compte, c'est quelles régions partagent des frontières, même si nous exigeons que toutes les régions soient connectées ; Le Michigan, avec sa péninsule supérieure séparée, n'empêche pas réellement la carte des États-Unis d'être quadrichromie, mais elle le pourrait, mathématiquement.
Pour se concentrer sur les informations importantes, nous pouvons coder ces relations à l'aide d'un graphe, également appelé réseau, où les points (sommets) sont reliés par des lignes (arêtes). Remplacez chaque région de la carte par un sommet et connectez les sommets des régions voisines par une arête. Si cela aide, nous pouvons imaginer que les sommets sont les capitales et les bords sont les routes qui les relient.
De cette manière, le problème de coloration de la carte devient un problème de coloration du graphe : colorez les sommets pour que les voisins soient de couleurs différentes. Le nombre minimum de couleurs est appelé le nombre chromatique du graphe. Nous pouvons poser des questions sur le numéro chromatique de n'importe quel graphique, mais les graphiques issus de cartes ont des propriétés particulières. Ces graphes sont simples, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'arêtes commençant et se terminant au même sommet (appelées boucles), et deux sommets ne peuvent être joints que par une seule arête. Le graphique est également planaire, ce qui signifie qu'il peut être dessiné de sorte qu'aucun bord ne se croise.
Nous pouvons maintenant reformuler le problème de Francis Guthrie : prouver que le nombre chromatique de tout graphe planaire simple est au plus quatre.
Voici une esquisse de l'argument de Kempe, décrit en termes modernes en utilisant des graphiques plutôt que des cartes. Il a commencé par observer qu'un graphique avec un sommet - peut-être que la carte est une île isolée - ne nécessite qu'une seule couleur. Il a ensuite utilisé un argument astucieux pour construire à partir de là, arguant qu'il est possible d'utiliser au plus quatre couleurs pour colorer un graphe avec deux sommets, puis trois sommets et ainsi de suite. Voici comment.
Supposons que nous puissions colorer tous les graphes planaires simples avec n sommets avec au plus quatre couleurs - c'est trivial pour n moins de 5 - et on nous en remet alors un avec n + 1 sommets. Comment montrer qu'elle aussi sera colorable avec au plus quatre couleurs ?
Tout d'abord, Kempe a montré, en utilisant un argument de comptage prudent, que chaque graphe planaire simple a quelque chose en commun : il doit contenir au moins un sommet avec au plus cinq voisins. En tenant compte de toutes les options, cela signifie que chaque graphe possible basé sur une carte contient l'une des six configurations spéciales de sommets.
Si nous supprimons ce sommet et toutes les arêtes qui s'y connectent, nous laissons un graphe avec n les sommets — dont nous savons déjà qu'ils peuvent être colorés à l'aide de quatre couleurs. En fait, nous le faisons à l'étape suivante. Maintenant, regardez les sommets adjacents au sommet supprimé. S'ils présentent trois couleurs ou moins, nous pouvons colorer le sommet supprimé d'une des couleurs restantes, et nous avons terminé : nous venons de montrer que le graphe avec n + 1 sommets peuvent être colorés avec quatre couleurs. Et si les sommets adjacents incluent les quatre couleurs, Kempe a conçu une méthode intelligente de recoloration de certains sommets pour libérer une couleur pour le sommet supprimé, montrant à nouveau que le graphique avec n + 1 sommets n'a besoin que de quatre couleurs.
En 1890, le mathématicien Percy Heawood a identifié l'erreur de Kempe. Il y avait un cas particulier dans lequel la méthode intelligente de Kempe a échoué. Heawood a fait remarquer que bien que son propre travail paraisse "destructeur [plutôt] que constructif", il a montré que la technique de Kempe pouvait prouver que chaque carte peut être colorée avec cinq couleurs ou moins - pas tout à fait l'objectif initial, mais toujours impressionnant.
Heawood a également étudié des cartes dessinées sur des surfaces plus compliquées. Il a prouvé qu'une carte sur un beignet avec g les trous peuvent nécessiter jusqu'à $latex frac{mathrm 1}{mathrm 2} left( 7+sqrt{ 1+48g} right) $ colors (où cette valeur est arrondie à l'entier le plus proche). Ainsi, décorer un beignet ordinaire peut nécessiter jusqu'à sept couleurs de glaçage. Pourtant, dans ce qui devenait un modèle, sa preuve pour les surfaces générales était incomplète, et nous n'avons eu une preuve complète qu'en 1968.
Mais même lorsque le théorème de Heawood pour les surfaces générales a été prouvé, le problème des quatre couleurs est resté non résolu. Grâce à des décennies de travail acharné, cependant, une preuve était en vue.
Lors d'une conférence en 1976, 124 ans après que Guthrie ait posé le problème, Wolfgang Haken a annoncé une preuve en collaboration avec Kenneth Appel et avec l'aide de l'étudiant diplômé John Koch. Les réactions ont été mitigées. "Je m'attendais à ce que le public éclate avec une grande ovation", écrit Don Albers, qui était présent à la conférence. "Au lieu de cela, ils ont répondu par des applaudissements polis !" C'est parce que plutôt que de produire un argument crayon et papier, l'équipe s'est fortement appuyée sur un ordinateur.
Ils n'avaient pas de machine répondant directement à la question, car une infinité de graphes planaires sont possibles, et un ordinateur ne peut pas tous les vérifier. Cependant, tout comme Kempe a prouvé que chaque graphe contient l'une des six configurations spéciales de sommets, Appel et Haken ont montré que chaque graphe doit avoir l'une des 1,936 1,936 configurations spéciales. Prouver le théorème revient à montrer que nous n'avons besoin que de quatre couleurs pour colorer tout graphe contenant ces sous-graphes. La décomposition des six cas spéciaux de Kempe en 1,000 XNUMX sous-cas leur a donné un contrôle plus précis et a rendu chaque cas plus facile à vérifier – bien que le nombre total soit maintenant beaucoup trop important pour qu'un humain puisse le vérifier sans assistance. En fait, effectuer les calculs a nécessité plus de XNUMX XNUMX heures de temps d'ordinateur.
La communauté mathématique n'a accepté les résultats qu'à contrecœur, estimant qu'une preuve devait être compréhensible et vérifiable entièrement par les humains. S'il était acceptable que les ordinateurs effectuent des opérations arithmétiques de routine, les mathématiciens n'étaient pas prêts à céder le raisonnement logique à un appareil informatique. Ce conservatisme et cette réticence à adopter les avancées permettant de gagner du temps n'étaient pas nouveaux. Au 17ème siècle, il y eut un tollé similaire lorsque certains mathématiciens utilisèrent des techniques algébriques de pointe pour résoudre des problèmes de géométrie. Un drame similaire pourrait se reproduire avec l'essor de l'apprentissage automatique: Les mathématiciens accepteront-ils un théorème découvert et prouvé par un algorithme opaque ?
La preuve du problème des quatre couleurs n'était, bien sûr, que le début de la révolution informatique en mathématiques. En 1998, Thomas Hales a utilisé un ordinateur pour prouver le célèbre conjecture de Johannes Kepler que le moyen le plus efficace d'empiler des sphères est celui couramment utilisé pour empiler des oranges dans une épicerie. Et récemment, les ordinateurs ont aidé à trouver le "nombre de Dieu" - le nombre maximum de torsions nécessaires pour résoudre un Rubik's cube (20 tours de face ou 26 si les demi-tours comptent pour deux.)
Bien que le problème des quatre couleurs pour les cartes soit résolu, de nombreuses questions fondamentales sur la coloration des graphiques restent sans réponse ou sont vient d'être résolu.
Le travail de Heawood sur les surfaces a montré que nous pouvons poser des questions de colorabilité sur les graphes non planaires. Et de fait, le nombre chromatique d'un graphe particulier ne dépend pas de la surface sur laquelle est dessinée la carte équivalente. Par exemple, un graphe dans lequel chaque sommet est connecté à tous les autres sommets est appelé un graphe complet, et le nombre chromatique d'un graphe complet avec n sommets est n. Donc, si un grand graphique contient un graphique complet avec n sommets, alors nous savons que le nombre chromatique du grand graphe est au moins n.
Cette observation n'implique pas que si le nombre chromatique d'un graphe est n, alors il contient un graphe complet avec n sommets. Mais en 1943, Hugo Hadwiger a conjecturé quelque chose de très similaire. Il croyait que si un graphique sans boucles a un nombre chromatique n, alors il a un arrangement de sommets appelé mineur $latex K_n$, où la suppression de certains sommets et arêtes et le regroupement d'autres donnent un graphe complet avec n sommets. Reformulée, cette conjecture stipule que si un graphe n'a pas de mineur $latex K_n$, alors il peut être coloré avec moins de n couleurs. La conjecture de Hadwiger, l'un des problèmes ouverts les plus importants de la théorie des graphes, généralise le théorème des quatre couleurs, puisqu'un graphe planaire ne peut pas contenir une mineure $latex K_5$.
Bien que la coloration des graphes ait commencé par une question de cartographie, des problèmes n'ayant rien à voir avec les cartes ou les couleurs peuvent également s'intégrer dans le cadre de la coloration des graphes. Par exemple, le sudoku est un problème de coloration graphique déguisé. Affichez chaque cellule comme un sommet et les neuf chiffres comme des couleurs. Chaque sommet a 20 arêtes qui en sortent - une pour chaque cellule de sa rangée, de sa colonne et de son sous-carré 3 par 3. Ce graphe de 81 sommets et 810 arêtes commence par une coloration partielle (les indices donnés). Le but du jeu est de colorer le reste des sommets.
Malgré toute l'attention que ces problèmes de coloration ont reçue, nous n'avons toujours pas de preuve du théorème original des quatre couleurs qu'un humain puisse lire. Ce n'est pas faute d'avoir essayé. Aujourd'hui encore, de nouvelles preuves apparaissent, suscitent un certain enthousiasme et, comme la preuve de Kempe, se révèlent contenir des erreurs.
Le mathématicien Paul Erdős parlait du "Livre" - un tome imaginaire contenant les preuves les plus élégantes de chaque théorème. On se demande si Le Livre contient une preuve lisible par l'homme du théorème des quatre couleurs, et si oui, si nous la verrons un jour.
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