Introduzione
A metà degli anni ’1980, come i lettori di cassette Walkman e le camicie tinte in cravatta, la sagoma a forma di insetto del set di Mandelbrot era ovunque.
Gli studenti l'hanno incollato sulle pareti dei dormitori di tutto il mondo. I matematici hanno ricevuto centinaia di lettere, richieste impazienti di stampe del set. (In risposta, alcuni di loro hanno prodotto cataloghi, completi di listini prezzi; altri hanno raccolto le caratteristiche più sorprendenti in libri.) I fan più esperti di tecnologia potrebbero rivolgersi al numero di agosto 1985 di Scientific American. Sulla copertina, il set di Mandelbrot si dispiega in viticci ardenti, con il bordo in fiamme; all'interno c'erano attente istruzioni di programmazione, che descrivevano in dettaglio come i lettori avrebbero potuto generare da soli l'immagine iconica.
A quel punto, quei tentacoli avevano esteso la loro portata ben oltre la matematica, fino ad angoli apparentemente non correlati della vita quotidiana. Negli anni successivi, il set di Mandelbrot avrebbe ispirato i dipinti più recenti di David Hockney e le composizioni più recenti di diversi musicisti: brani simili a fughe nello stile di Bach. Apparirebbe nelle pagine dei romanzi di John Updike e guiderebbe il modo in cui il critico letterario Hugh Kenner analizzò la poesia di Ezra Pound. Diventerebbe oggetto di allucinazioni psichedeliche e di un popolare documentario narrato dal grande fantascienza Arthur C. Clarke.
L'insieme di Mandelbrot è una forma speciale, con un contorno frattale. Usa un computer per ingrandire il confine frastagliato del set e incontrerai valli di cavallucci marini e sfilate di elefanti, galassie a spirale e filamenti simili a neuroni. Non importa quanto esplori in profondità, vedrai sempre quasi copie del set originale: una cascata infinita e vertiginosa di auto-somiglianza.
Quella autosomiglianza era un elemento centrale del libro più venduto di James Gleick Chaos, che ha consolidato il posto dell'insieme di Mandelbrot nella cultura popolare. "Conteneva un universo di idee", ha scritto Gleick. “Una moderna filosofia dell’arte, una giustificazione del nuovo ruolo della sperimentazione in matematica, un modo per portare i sistemi complessi davanti a un vasto pubblico.”
L'insieme di Mandelbrot era diventato un simbolo. Rappresentava la necessità di un nuovo linguaggio matematico, un modo migliore per descrivere la natura frattale del mondo che ci circonda. Ha illustrato come una profonda complessità possa emergere dalle regole più semplici, proprio come la vita stessa. (“Si tratta quindi di un vero messaggio di speranza”, John hubbard, uno dei primi matematici a studiare l'insieme, disse in un video del 1989, “che forse la biologia può davvero essere compresa nello stesso modo in cui possono essere comprese queste immagini.”) Nell'insieme di Mandelbrot, ordine e caos vivevano in armonia; determinismo e libero arbitrio potrebbero essere riconciliati. Un matematico ha ricordato di essersi imbattuto nel set da adolescente e di averlo visto come una metafora del complicato confine tra verità e menzogna.
Introduzione
Il set di Mandelbrot era ovunque, finché non lo fu più.
Nel giro di un decennio sembrò scomparire. I matematici passarono ad altri argomenti e il pubblico passò ad altri simboli. Oggi, a soli 40 anni dalla sua scoperta, il frattale è diventato un cliché, al limite del kitsch.
Ma una manciata di matematici si è rifiutata di lasciarlo andare. Hanno dedicato la loro vita a scoprire i segreti dell'insieme di Mandelbrot. Ora pensano di essere finalmente sul punto di capirlo veramente.
La loro storia è fatta di esplorazione, sperimentazione e di come la tecnologia modella il nostro modo di pensare e le domande che poniamo sul mondo.
I cacciatori di taglie
Nell’ottobre del 2023, 20 matematici provenienti da tutto il mondo si sono riuniti in un tozzo edificio di mattoni su quella che un tempo era una base di ricerca militare danese. La base, costruita alla fine del 1800 in mezzo ai boschi, era nascosta su un fiordo sulla costa nordoccidentale dell'isola più popolosa della Danimarca. Un vecchio siluro sorvegliava l'ingresso. Foto in bianco e nero, raffiguranti ufficiali della marina in uniforme, barche allineate al molo e test sottomarini in corso, adornavano le pareti. Per tre giorni, mentre un vento violento trasformava l’acqua fuori dalle finestre in creste schiumose, il gruppo ha assistito a una serie di discorsi, la maggior parte dei quali tenuti da due matematici della Stony Brook University di New York: Misha Lyubich ed Dima Dudko.
Tra il pubblico del workshop c'erano alcuni dei più intrepidi esploratori del set di Mandelbrot. Vicino alla parte anteriore sedeva Mitsuhiro Shishikura dell'Università di Kyoto, che negli anni '1990 dimostrò che il confine dell'insieme è quanto di più complicato possa essere. C'erano alcuni posti sopra Hiroyuki Inou, che insieme a Shishikura sviluppò importanti tecniche per studiare una regione particolarmente importante dell'insieme di Mandelbrot. Nell'ultima fila c'era Lupo Jung, il creatore di Mandel, il software preferito dai matematici per studiare in modo interattivo l'insieme di Mandelbrot. Erano presenti anche Arnaud Cheritat dell'Università di Tolosa, Carsten Petersen dell'Università di Roskilde (che organizzò il seminario) e molti altri che avevano dato un contributo importante alla comprensione dell'insieme di Mandelbrot da parte dei matematici.
Introduzione
E alla lavagna c'erano Lyubich, il massimo esperto mondiale sull'argomento, e Dudko, uno dei suoi più stretti collaboratori. Insieme ai matematici Jeremy Kahn ed Alex Kapiamba, hanno lavorato per dimostrare una congettura di vecchia data sulla struttura geometrica dell'insieme di Mandelbrot. Quella congettura, nota come MLC, è l’ultimo ostacolo nella decennale ricerca per caratterizzare il frattale, per domare la sua intricata natura selvaggia.
Costruendo e perfezionando un potente insieme di strumenti, i matematici hanno lottato per il controllo della geometria di “quasi tutto nell’insieme di Mandelbrot”, ha affermato Caroline Davis dell’Indiana University – ad eccezione di pochi casi rimanenti. "Misha, Dima, Jeremy e Alex sono come cacciatori di taglie, che cercano di rintracciare questi ultimi."
Lyubich e Dudko erano in Danimarca per aggiornare altri matematici sui recenti progressi verso la dimostrazione della MLC e sulle tecniche che avevano sviluppato per farlo. Negli ultimi 20 anni, i ricercatori si sono riuniti qui per workshop dedicati a svelare risultati e metodi nel campo dell'analisi complessa, lo studio matematico dei tipi di numeri e funzioni utilizzati per generare l'insieme di Mandelbrot.
Era una situazione insolita: i matematici mangiavano tutti i pasti insieme e parlavano e ridevano davanti a una birra fino alle prime ore del mattino. Quando finalmente decidevano di andare a dormire, si ritiravano nei letti a castello o nelle culle in piccole stanze che condividevano al secondo piano della struttura. (Al nostro arrivo, ci è stato detto di prendere lenzuola e federe da una pila e portarle di sopra per rifare i letti.) In alcuni anni, i partecipanti alla conferenza affrontano una nuotata nell'acqua gelida; più spesso vagano per i boschi. Ma per la maggior parte non c'è niente da fare oltre alla matematica.
In genere, mi ha detto uno dei partecipanti, il workshop attira molti matematici più giovani. Ma questa volta non è stato così, forse perché era la metà del semestre o, ipotizzò, a causa di quanto fosse difficile l'argomento. Ha confessato che in quel momento si sentiva un po' intimidito dalla prospettiva di tenere una conferenza davanti a così tanti grandi del settore.
Introduzione
Ma dato che la maggior parte dei matematici nell’area più ampia dell’analisi complessa non lavora più direttamente sull’insieme di Mandelbrot, perché dedicare un intero seminario alla MLC?
L'insieme di Mandelbrot è più di un frattale, e non solo in senso metaforico. Serve come una sorta di catalogo principale dei sistemi dinamici: di tutti i diversi modi in cui un punto potrebbe muoversi nello spazio secondo una semplice regola. Per comprendere questo catalogo principale, è necessario attraversare molti paesaggi matematici diversi. L'insieme di Mandelbrot è profondamente legato non solo alla dinamica, ma anche alla teoria dei numeri, alla topologia, alla geometria algebrica, alla teoria dei gruppi e persino alla fisica. "Interagisce con il resto della matematica in un modo meraviglioso", ha detto Sabyasachi Mukherjee del Tata Institute of Fundamental Research in India.
Per fare progressi sulla MLC, i matematici hanno dovuto sviluppare un insieme sofisticato di tecniche, quella che Chéritat definisce “una potente filosofia”. Questi strumenti hanno raccolto molta attenzione. Oggi costituiscono un pilastro centrale nello studio dei sistemi dinamici in modo più ampio. Si sono rivelati cruciali per risolvere una serie di altri problemi, problemi che non hanno nulla a che fare con l'insieme di Mandelbrot. E hanno trasformato l'MLC da una questione di nicchia in una delle congetture aperte più profonde e importanti del settore.
Lyubich, il matematico probabilmente maggiormente responsabile di aver plasmato questa “filosofia” nella sua forma attuale, sta in piedi con la testa alta e diritta e parla a bassa voce. Quando altri matematici del laboratorio si avvicinano a lui per discutere un concetto o fare una domanda, lui chiude gli occhi e ascolta attentamente, con le folte sopracciglia aggrottate. Risponde con attenzione, con accento russo.
Introduzione
Ma è anche pronto a scoppiare in una risata forte e calda e a fare battute ironiche. È generoso con il suo tempo e i suoi consigli. Ha "allevato parecchie generazioni di matematici", ha detto Mukherjee, uno degli ex postdoc di Lyubich e un frequente collaboratore. Secondo lui, chiunque sia interessato allo studio delle dinamiche complesse trascorre un po' di tempo a Stony Brook imparando da Lyubich. "Misha ha questa visione di come dovremmo affrontare un determinato progetto o di cosa guardare dopo", ha detto Mukherjee. “Ha questo grande quadro in mente. Ed è felice di condividerlo con le persone.
Per la prima volta Lyubich sente di poter vedere quel quadro generale nella sua totalità.
I combattenti del premio
Il set di Mandelbrot è iniziato con un premio.
Nel 1915, motivata dai recenti progressi nello studio delle funzioni, l'Accademia francese delle scienze bandì un concorso: entro tre anni avrebbe offerto un primo premio di 3,000 franchi per il lavoro sul processo di iterazione - lo stesso processo che avrebbe successivamente generare l'insieme di Mandelbrot.
L'iterazione è l'applicazione ripetuta di una regola. Inserisci un numero in una funzione, quindi utilizza l'output come input successivo. Continua a farlo e osserva cosa succede nel tempo. Mentre continui a ripetere la tua funzione, i numeri che ottieni potrebbero aumentare rapidamente verso l'infinito. Oppure potrebbero essere attratti verso un numero in particolare, come la limatura di ferro che si muove verso un magnete. Oppure finiscono per rimbalzare tra gli stessi due numeri, o tre, o mille, in un'orbita stabile dalla quale non potranno mai uscire. Oppure salta da un numero all'altro senza capo né coda, seguendo un percorso caotico e imprevedibile.
Introduzione
L’Accademia di Francia, e i matematici più in generale, avevano un altro motivo per interessarsi all’iterazione. Il processo ha svolto un ruolo importante nello studio dei sistemi dinamici: sistemi come la rotazione dei pianeti attorno al sole o il flusso di un flusso turbolento, sistemi che cambiano nel tempo secondo un insieme di regole specifiche.
Il premio ha ispirato due matematici a sviluppare un campo di studio completamente nuovo.
Il primo fu Pierre Fatou, che in un'altra vita avrebbe potuto essere un marinaio (una tradizione di famiglia), se non fosse stato per la sua cattiva salute. Intraprese invece la carriera nel campo della matematica e dell'astronomia, e nel 1915 aveva già dimostrato diversi importanti risultati in analisi. Poi c'era Gaston Julia, un giovane matematico promettente nato nell'Algeria occupata dai francesi i cui studi furono interrotti dalla prima guerra mondiale e dalla sua arruolamento nell'esercito francese. All’età di 22 anni, dopo aver subito un grave infortunio subito dopo aver iniziato il suo servizio – avrebbe indossato una cinghia di cuoio sul viso per il resto della sua vita, poiché i medici non furono in grado di riparare il danno – tornò a dedicarsi alla matematica, studiando alcune materie. il lavoro che avrebbe presentato per il premio dell'Accademia da un letto d'ospedale.
Il premio ha motivato sia Fatou che Julia a studiare cosa succede quando si ripetono le funzioni. Hanno lavorato in modo indipendente, ma hanno finito per fare scoperte molto simili. C'erano così tante sovrapposizioni nei loro risultati che anche adesso non è sempre chiaro come assegnare il credito. (Julia era più estroversa e quindi ricevette più attenzione. Alla fine vinse il premio; Fatou non si candidò nemmeno.) Grazie a questo lavoro, i due sono ora considerati i fondatori del campo delle dinamiche complesse.
“Complesso”, perché Fatou e Julia hanno iterato funzioni di numeri complessi – numeri che combinano un numero reale familiare con un cosiddetto numero immaginario (un multiplo di i, il simbolo che i matematici usano per denotare la radice quadrata di −1). Mentre i numeri reali possono essere disposti come punti su una linea, i numeri complessi vengono visualizzati come punti su un piano, in questo modo:
Introduzione
Fatou e Julia hanno scoperto che l'iterazione anche di funzioni semplici e complesse (non un paradosso nel regno della matematica!) potrebbe portare a comportamenti ricchi e complicati, a seconda del punto di partenza. Cominciarono a documentare questi comportamenti e a rappresentarli geometricamente.
Ma poi il loro lavoro cadde nell’oscurità per mezzo secolo. “La gente non sapeva nemmeno cosa cercare. Erano limitati anche solo sulle domande da porre”, ha detto Artur Avila, professore all'Università di Zurigo.
La situazione è cambiata quando la grafica computerizzata ha raggiunto la maggiore età negli anni '1970.
A quel punto, il matematico Benoît Mandelbrot si era guadagnato la reputazione di dilettante accademico. Si era dilettato in molti campi diversi, dall'economia all'astronomia, il tutto mentre lavorava al centro di ricerca IBM a nord di New York City. Quando fu nominato membro dell'IBM nel 1974, ebbe ancora più libertà di perseguire progetti indipendenti. Ha deciso di applicare la notevole potenza di calcolo del centro per far uscire dal letargo dinamiche complesse.
Inizialmente Mandelbrot usò i computer per generare il tipo di forme che Fatou e Julia avevano studiato. Le immagini codificavano informazioni su quando un punto di partenza, una volta ripetuto, sarebbe fuggito all'infinito e quando sarebbe rimasto intrappolato in qualche altro schema. I disegni di Fatou e Julia di 60 anni prima sembravano gruppi di cerchi e triangoli, ma le immagini generate al computer realizzate da Mandelbrot sembravano draghi e farfalle, conigli e cattedrali e teste di cavolfiore, a volte persino nuvole di polvere sconnesse. A quel punto, Mandelbrot aveva già coniato la parola “frattale” per forme che sembravano simili su scale diverse; la parola evocava la nozione di un nuovo tipo di geometria: qualcosa di frammentato, frazionario o rotto.
Le immagini che apparivano sullo schermo del suo computer - oggi conosciute come set di Julia - erano alcuni degli esempi di frattali più belli e complicati che Mandelbrot avesse mai visto.
Introduzione
Il lavoro di Fatou e Julia si è concentrato sulla geometria e sulla dinamica di ciascuno di questi insiemi (e le loro funzioni corrispondenti) individualmente. Ma i computer diedero a Mandelbrot la possibilità di pensare a un’intera famiglia di funzioni contemporaneamente. Poteva codificarli tutti nell'immagine che avrebbe portato il suo nome, anche se resta oggetto di dibattito se sia stato effettivamente il primo a scoprirla.
L'insieme di Mandelbrot si occupa delle equazioni più semplici che, se ripetute, fanno comunque qualcosa di interessante. Queste sono funzioni quadratiche della forma f(z) = z2 + c. Fissare un valore di c - può essere qualsiasi numero complesso. Se si ripete l'equazione iniziando con z = 0 e scopri che i numeri che generi rimangono piccoli (o limitati, come dicono i matematici). c è nell'insieme di Mandelbrot. Se, d'altra parte, iteri e scopri che alla fine i tuoi numeri iniziano a crescere verso l'infinito, allora c non è nell'insieme di Mandelbrot.
È semplice dimostrare che i valori di c vicini allo zero sono nel set. Ed è altrettanto semplice mostrare i grandi valori di c non lo sono. Ma i numeri complessi sono all'altezza del loro nome: il confine dell'insieme è magnificamente intricato. Non vi è alcuna ragione ovvia per cui cambiare c di piccole quantità dovrebbe farti continuare a oltrepassare il confine, ma quando lo ingrandisci, appaiono infinite quantità di dettagli.
Inoltre, l'insieme di Mandelbrot si comporta come una mappa degli insiemi di Julia. Valori di c nell'insieme di Mandelbrot corrispondono agli insiemi di Julia connessi. Ma se lasci l'insieme di Mandelbrot, il corrispondente insieme di Julia verrà disconnesso dalla polvere.
Introduzione
La prima immagine pubblicata del set, una trama approssimativa di appena un paio di centinaia di asterischi, apparve nel 1978 in un articolo dei matematici Robert Brooks e J. Peter Matelski, che stavano studiando una questione apparentemente non correlata alla teoria dei gruppi e alla geometria iperbolica.
Fu Mandelbrot a riconoscere e rendere popolare l'insieme. Dopo aver utilizzato i computer IBM per rappresentare graficamente centinaia di insiemi di Julia, cercò di rappresentarli tutti simultaneamente. Nel 1980, armato di una potenza di calcolo molto più sofisticata di quella di Brooks e Matelski, finì per generare una versione di gran lunga migliore dell'insieme di Mandelbrot (anche se ancora rozza per gli standard odierni). Se ne innamorò subito e decise di rendere il frattale un'immagine quanto più pubblica possibile. È per questo motivo che il set porta il suo nome. (Lo stesso Mandelbrot era impopolare tra i matematici, a causa della sua abitudine di saltare da un argomento all'altro senza dimostrare risultati profondi, e perché era spesso stridente nel suo tentativo di prendersi il merito di scoperte come l'insieme di Mandelbrot.)
Le immagini del computer catturarono immediatamente l'attenzione di alcuni dei pensatori più profondi della matematica. "Tutti sono diventati molto interessati, una volta che abbiamo potuto vedere effettivamente cosa stava succedendo", ha detto Kapiamba, che attualmente è un postdoc presso la Brown University.
Introduzione
Nessuno aveva previsto quanto potesse essere ricco il mondo delle equazioni quadratiche. "È come quando apri un geode, una pietra dall'aspetto semplice, e al suo interno trovi tutti questi cristalli, questa straordinaria struttura complessa", ha detto Anna Benini dell’Università di Parma in Italia.
"I matematici hanno visto cose che prima non immaginavano", ha detto Avila. “Tutti oggi dobbiamo molto a quelle esplorazioni”.
Nel giro di appena un paio d'anni Hubbard e il matematico Adrien Douady riuscirono a dimostrare un gran numero di risultati sia sull'insieme di Mandelbrot che sugli insiemi di Julia che rappresentava. Ma le loro dimostrazioni erano scritte a mano, "per lo più comprensibili solo a me e a Douady", scrisse Hubbard. E così, nel 1983, Douady scrisse e tenne una serie di conferenze per spiegare quei primi risultati. Successivamente, ha raccolto il materiale delle sue lezioni in un unico documento, soprannominato gli appunti d'Orsay. Lungo quasi 200 pagine, divenne rapidamente la bibbia del settore.
Negli appunti d'Orsay, Douady e Hubbard dimostrarono diversi importanti teoremi motivati dalle immagini del computer che avevano visto. Hanno dimostrato che l'insieme di Mandelbrot era connesso: che è possibile tracciare una linea da qualsiasi punto dell'insieme a qualsiasi altro senza sollevare la matita. Mandelbrot inizialmente sospettava il contrario: le sue prime immagini del set sembravano una grande isola con tanti piccoli che galleggiavano in un mare attorno. Ma in seguito, dopo aver visto immagini ad alta risoluzione – comprese quelle che utilizzavano il colore per illustrare la velocità con cui le equazioni fuori dal set volavano all’infinito – Mandelbrot cambiò la sua ipotesi. Divenne chiaro che quelle isolette erano tutte collegate da sottilissimi viticci. L'introduzione del colore “è una cosa molto banale, ma è importante”, ha detto Søren Eilers dell'Università di Copenaghen.
L'interesse di Douady per l'insieme di Mandelbrot era contagioso. Ospitava pasti elaborati, feste e concerti nel suo appartamento, ed era noto per camminare a piedi nudi attraverso i corridoi delle università in cui insegnava in Francia - e per cantare ad alta voce in pubblico. (Fu spesso scambiato per un artista di strada.) Nei suoi ultimi anni, non lesse mai documenti di matematica; invitò invece i loro autori a visitarli e a spiegargli direttamente l'opera.
Introduzione
“Lo paragonerei ai pittori del Rinascimento che avevano una scuola di discepoli attorno a loro”, ha detto Saverio Buff, matematico dell'Università di Tolosa e uno degli ex dottorandi di Douady. "È stato molto emozionante."
Una parte fondamentale delle note d’Orsay era un’umile affermazione che presto sarebbe diventata la questione più importante sull’insieme di Mandelbrot: la congettura MLC.
MLC presuppone che l'insieme di Mandelbrot non sia semplicemente connesso; è connesso localmente: non importa quanto ingrandisci l'insieme di Mandelbrot, sembrerà sempre un pezzo connesso. Ad esempio, un cerchio è connesso localmente. Un pettine a denti estremamente fini, invece, non lo è. Sebbene l'intera forma sia connessa, se salti l'asta e ingrandisci invece la punta di alcuni dei suoi denti, vedrai solo un gruppo di segmenti di linea separati.
Introduzione
Nonostante fosse una chiara affermazione sulla geometria dell'insieme di Mandelbrot, MLC si guadagnò rapidamente la reputazione di essere incredibilmente duro. Molti matematici erano riluttanti a lavorarci. Sembrava così tecnico e dispendioso in termini di tempo: un problema rischioso su cui puntare. Più di un matematico finì per abbandonare la matematica a causa di ciò. Avila allontana attivamente i suoi studenti dall'MLC e dalle aree di ricerca correlate finché non hanno il tempo di apprendere tutta la matematica necessaria per fare progressi. "Quoto Il Re Leone e dire: "Guarda, c'è tutta la dinamica". Tutto quello che puoi vedere è il tuo dominio. Ma c'è quell'angolo oscuro che non dovresti esplorare... perché se esplori questa parte, rimarrai intrappolato e non ne uscirai mai più,'" ha detto. "C'è così tanto che devi imparare per entrare in questo."
Ma alcuni matematici non hanno potuto resistere.
Connetti solo
Misha Lyubich è cresciuta negli anni '1960 a Kharkiv, la seconda città più grande dell'Ucraina. Stalin era morto; Nikita Krusciov mantenne brevemente il potere, ma fu presto sostituito da Leonid Brezhnev. L’economia sovietica fiorì, per poi stagnare con il passare del decennio. Le tensioni con l’Occidente erano ai massimi storici.
Il padre di Lyubich era professore di matematica all'Università di Kharkiv, sua madre una programmatrice; ricorda che altri matematici venivano a casa sua quando era giovane, dove la matematica era sempre nell'aria, un argomento di conversazione frequente. "La vita intorno a me era matematica", ha detto.
Come ebreo nell’Unione Sovietica – dove “c’erano politiche statali che cercavano di eliminare gli ebrei dal coinvolgimento attivo in vari campi”, ha detto Lyubich – aveva difficoltà a entrare nelle migliori università. Fece domanda all'Università statale di Mosca ma fu respinta. Nonostante fosse uno studente eccezionale e uno dei partecipanti di più alto rango alle prestigiose competizioni delle Olimpiadi di matematica dell'Unione Sovietica, gli fu detto che non aveva superato l'esame orale. Gli esaminatori si rifiutarono di dirgli dove aveva sbagliato.
Introduzione
Finì per frequentare l'Università di Kharkiv, una delle migliori istituzioni universitarie che accettava studenti ebrei in base al merito. Suo padre insegnava materie che gli studenti normalmente potevano trovare solo nelle università di Mosca. (Mosca era il centro del progresso matematico nell’Unione Sovietica.) “Fu un’opportunità unica quella che mio padre offriva in quel periodo… per ottenere una visione più ampia della matematica”, ha detto Lyubich. In particolare, suo padre lo incoraggiò a iniziare a pensare a problemi con dinamiche complesse, un campo che non riceveva affatto attenzione in Unione Sovietica. "A quel tempo non vedevamo nessuno che lavorasse in quest'area", ha detto Lyubich. Ne rimase subito affascinato: fu durante quegli anni universitari che iniziò a pensare alla matematica “essenzialmente senza sosta”.
Sebbene si sia diplomato secondo nella sua classe, ha lottato per entrare nei programmi di specializzazione. Finì a più di 2,000 miglia di distanza alla Tashkent State University in Uzbekistan, dove suo padre aveva dei colleghi. Continuò a studiare dinamiche complesse, isolato e ignaro del lavoro che Douady e Hubbard stavano svolgendo in Francia. “Ero un po’ solo”, ha detto. "Era piuttosto solo."
Gli studenti universitari dovevano svolgere lavori agricoli durante i mesi autunnali. "Le università si sono sostanzialmente svuotate in ottobre e novembre", ha detto Lyubich. E così si ritrovò a raccogliere cotone (all'epoca l'Uzbekistan era il principale fornitore di cotone dell'Unione Sovietica) nei campi fuori Tashkent. Dall'alba al tramonto, con un calore di 90 gradi, si chinava sulle piante, che erano alte solo un paio di piedi. Si considerava fortunato, però. Gli studenti universitari dovevano raggiungere una quota abbastanza alta da “richiedere abilità”, ha detto, e si è trasformata in un lavoro massacrante che “non sarebbe stato possibile per me fare”. Gli studenti laureati non dovevano farlo.
E così, “stavo semplicemente passeggiando per i campi di cotone pensando alla matematica”, ha detto Lyubich. In particolare, iniziò a pensare allo spazio dei parametri delle equazioni quadratiche complesse.
Sebbene in Occidente fossero già emerse le prime immagini computerizzate, Lyubich non vi aveva accesso. Invece, le caratteristiche fondamentali dell'insieme di Mandelbrot presero forma nella sua mente: la regione centrale del frattale a forma di cuore, chiamata cardioide principale, e aspetti della spina dorsale dell'insieme, che divide in due la forma orizzontalmente lungo la x-asse. "Ho semplicemente costruito un'immagine nella mia mente e ho cercato di capirla", ha detto. "Non avevo idea di quanto profonde fossero le domande nascoste all'interno di questa immagine."
Nel marzo 1982 – mentre Lyubich era ancora uno studente laureato – Giovanni Milnor, uno dei matematici americani più illustri della sua generazione (allora professore presso l'Institute for Advanced Study), visitò Mosca per tenere un discorso. Poiché l'università era flessibile su dove Lyubich trascorreva il suo tempo, purché completasse gli esami e la tesi (così come i suoi compiti di raccolta del cotone), andava spesso a Mosca per frequentare seminari e incontrare i matematici che lavoravano lì. È successo che lui fosse lì quando Milnor è venuto a trovarlo. Dopo che Milnor ebbe finito il suo discorso, lui e Lyubich parlarono per un po'.
Introduzione
A causa della barriera linguistica, hanno scritto le cose o si sono fatti aiutare da uno dei colleghi di Lyubich a tradurre. Lyubich divenne chiaro che il lavoro correlato si stava svolgendo dall'altra parte della cortina di ferro. "È stato il mio primo contatto con la matematica occidentale in questa direzione", ha detto.
Dopo essere tornato a casa, Milnor ha sparso la voce su alcune delle ricerche di Lyubich. "La comunicazione era molto scarsa, ma è stata una mia fortuna incontrare Milnor", ha detto Lyubich. E così più tardi, Douady inviò a Lyubich una copia degli appunti di Orsay, dove Lyubich venne a conoscenza per la prima volta del problema MLC.
Lyubich, però, non comincerebbe davvero a pensare alla MLC prima di qualche anno. Stava lavorando su altri problemi e, dopo aver completato il dottorato nel 1984, lui e sua moglie, anche lei matematica, si trasferirono a Leningrado (oggi San Pietroburgo), dove gli fu nuovamente escluso dagli incarichi accademici perché era ebreo. Nei cinque anni successivi lavorò invece come insegnante di scuola superiore, come programmatore in quello che definì un “istituto quasi di ricerca” (focalizzato sulle tecnologie mediche), e infine come modellista presso un istituto scientifico che faceva studi approfonditi di l'Artico e l'Antartico. Con ogni nuovo lavoro, si avvicinava sempre di più alla capacità di concentrarsi sui suoi interessi matematici nei sistemi dinamici.
Nel corso di quegli anni continuò a lavorare sui suoi problemi di matematica. Frequentò seminari, incontrò altri matematici e continuò a produrre risultati. "Non mi sono mai fermato", ha detto Lyubich. “Vedi, se ti fermi è molto difficile recuperare. Non dovresti fermarti.
Era faticoso. Lyubich ricorda di essersi sentito particolarmente esausto dopo aver insegnato tutto il giorno ai liceali, per poi costringersi a trascorrere il resto della serata lavorando sulla matematica. "Ero frustrato perché non potevo dedicarmi completamente alla matematica, che era quello che volevo fare", ha detto. Ma “in un certo senso ho deciso da solo che avrei fatto matematica, qualunque cosa accada”.
"Sono stato fortunato che sia arrivata la perestrojka e mi sia stato permesso di andarmene", ha aggiunto. "Non so per quanto tempo potrò andare avanti così." Nel 1989, lui e sua moglie ottennero un visto che permetteva loro di lasciare l'Unione Sovietica come rifugiati. Con poche centinaia di dollari in tasca si diressero prima a Vienna, poi in Italia, dove fecero domanda per trasferirsi negli Stati Uniti. Dopo aver trascorso alcuni mesi in un campo profughi in Italia, in attesa che i loro documenti venissero sbrigati – durante questo periodo, Lyubich guadagnò un reddito extra tenendo conferenze presso le università locali – lui e sua moglie finalmente arrivarono a New York. Lì, Lyubich aveva un lavoro che lo aspettava: Milnor (con il quale Lyubich era rimasto in contatto) lo aveva invitato a lavorare presso il nuovo Istituto di scienze matematiche che stava fondando alla Stony Brook University.
Introduzione
Mentre era in Italia, Lyubich ha avuto accesso alla posta elettronica per la prima volta – ed è stato lì che ha ricevuto un’e-mail da Douady. (Douady è stato uno dei primi sostenitori dell'uso della posta elettronica per discussioni e collaborazioni matematiche. "Lavorava molto scambiando idee con collaboratori lontani, che era qualcosa di nuovo negli anni '80", ha detto Pierre Lavaurs, uno dei suoi ex studenti laureati.)
L'e-mail informava Lyubich e altri matematici del settore che Jean-Christophe Yoccoz aveva dimostrato la connettività locale in quasi tutti i punti dell'insieme di Mandelbrot: MLC era vera per valori di c che non risiedeva all'interno di un nido infinito di copie auto-simili più piccole dell'intero set. (Yoccoz avrebbe poi ricevuto la Medaglia Fields, considerata la più alta onorificenza della matematica, in parte per questo lavoro.)
Introduzione
Nell'e-mail, Douady continuava dicendo che la soluzione completa per MLC era proprio dietro l'angolo. Non era l'unico a sentirsi ottimista. "C'erano persone che pensavano di poter gestire la connettività locale del set di Mandelbrot in pochi anni", ha detto Davide Cheraghi dell'Imperial College di Londra.
Restavano invece decenni di lavoro. L'MLC si rivelò un problema molto sottile, quasi incredibilmente difficile, sul quale solo una manciata di matematici riuscì a continuare a lavorare. Richiederebbe strumenti provenienti da tutta la matematica e lo sviluppo di una nuova teoria che cambierebbe per sempre il campo delle dinamiche complesse.
Ad aprire la strada, armato della tenacia che aveva sempre fatto parte del suo viaggio matematico, era Lyubich.
Una città nella città
Tendiamo a pensare alla matematica come alla scienza più pura, quando la consideriamo una scienza. Il soggetto ha la reputazione di essere astratto, distaccato, guidato dalla bellezza e dalla logica. Non si sporca le mani e non si occupa di qualcosa di così concreto come le “applicazioni”. (Lo dice anche il nome: distinguiamo “matematica pura” da “matematica applicata”.) Il modo in cui sono scritti gli elaborati di matematica non aiuta: di solito vengono pubblicati solo le dimostrazioni e i teoremi finali, non il tortuoso processo che ha portato a loro.
Ma questa è una concezione moderna della matematica, che ha cominciato a consolidarsi solo alla fine del XIX secolo. È una concezione cresciuta quando i matematici cercarono di rendere le loro definizioni più rigorose e quando scrivere dimostrazioni formali divenne per loro l'unico modo per ottenere lavoro e costruire una carriera. Fu ulteriormente rafforzato negli anni ’19, quando un potente e riservato gruppo di matematici cominciò a pubblicare lavori congiunti sotto il nome di pseudonimo di Nicolas Bourbaki. La loro etica finì per dominare il pensiero matematico, con l’intento di spogliare la disciplina fino alle fondamenta e renderla quanto più formale possibile.
Introduzione
Eppure, molto prima, i matematici – proprio come i fisici, i biologi o i chimici – si affidavano alla sperimentazione per scoprire e dimostrare nuovi fenomeni. Hanno fatto supposizioni, scartato ipotesi, cercato modelli per tentativi ed errori. Hanno eseguito calcoli, fatto osservazioni, raccolto dati. Hanno notato le somiglianze, alcuni numeri o sequenze che si presentavano in luoghi inaspettati.
I giganti della matematica del XVIII e XIX secolo – Eulero, Gauss, Riemann – erano tutti sperimentali che facevano affidamento su enormi quantità di calcoli, eseguiti faticosamente a mano. Gauss congetturò il teorema dei numeri primi (una formula cruciale che descrive come i numeri primi sono distribuiti tra gli interi) un secolo prima che fosse effettivamente dimostrato. Questo perché, da adolescente, ha studiato attentamente le tabelle dei numeri primi e ha deciso di contarne quanti ce n'erano in blocchi di mille numeri, fino a un milione. (Senza dubbio Gauss sarebbe stato grato per i computer di oggi.) Allo stesso modo, Riemann pose la sua omonima ipotesi, il più grande problema aperto in matematica, solo dopo aver fatto pagine di calcoli. Quelle pagine non furono scoperte per decenni; fino ad allora, molti matematici salutavano l’ipotesi di Riemann come un esempio di ciò che si poteva ottenere con il “solo pensiero puro”.
Non esiste una cosa del genere. Tutto il pensiero, matematico o meno, è influenzato dal mondo che ci circonda, dalle tecnologie, dai movimenti filosofici e dall'estetica del nostro tempo.
A questo proposito, la filosofia di Bourbaki – la sua esigenza di rigore totale e la sua enfasi sulle affermazioni generali rispetto agli esempi concreti – ha rappresentato una sorta di deviazione. La prospettiva dei matematici su Bourbaki è divisa. Alcuni sostengono che abbia dato ad alcuni campi la spinta tanto necessaria verso il rigore. Altri dicono che fosse limitante, di mentalità chiusa, che escludesse la matematica da altre fonti di ispirazione.
Introduzione
A partire dagli anni ’1970, il pendolo ha cominciato a oscillare indietro, spinto dai moderni computer, che hanno offerto ai matematici modi completamente nuovi di sperimentare e giocare. "Penso che le persone siano generalmente d'accordo sul fatto che la faccenda di Bourbaki sia stata una specie di errore", ha detto Eilers. “Questa visione molto astratta, non è così a misura d’uomo… semplicemente non è così che il campo dovrebbe evolversi”.
Nello spirito sperimentale di Gauss e Riemann, i matematici hanno posto uno dei problemi aperti più famosi di oggi - la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, una domanda sulle curve ellittiche che, se risolta, comporta una ricompensa di 1 milione di dollari - solo dopo aver utilizzato un computer per generare montagne di dati. Molti altri problemi sono sorti in modo simile. "Ecco come viene prodotta la salsiccia", ha detto Roland Roeder dell'Università dell'Indiana-Purdue University Indianapolis. "Non è così pubblicizzato come dovrebbe essere."
I matematici hanno utilizzato i computer per cercare controesempi sia alle congetture consolidate che alle ipotesi nascenti. Li hanno usati per trovare e correggere errori nelle vecchie dimostrazioni. Si sono rivolti a loro per creare nuove connessioni tra campi disparati. E in molti ambiti, i matematici sono arrivati a fare affidamento sui computer per effettuare calcoli fondamentali ed eseguire altri passaggi dell’argomentazione matematica stessa.
Nel caso dell’insieme di Mandelbrot, i computer hanno contribuito a far ripartire un intero campo.
Per sentirlo raccontare dai matematici, i computer hanno permesso loro di trattare l’insieme di Mandelbrot come una città, uno spazio fisico da esplorare. Hanno trascorso ore, giorni, anni passeggiando per i quartieri e le strade, perdendosi, familiarizzando con il terreno. "Inizi a capire sempre di più, e ogni volta che torni, è come tornare a casa", ha detto Luna Lomonaco dell'Istituto Nazionale di Matematica Pura e Applicata del Brasile. "Diventa davvero parte di te."
Introduzione
Questa familiarità è chiara ogni volta che parli con i matematici sul campo. Navigano con facilità tra diversi programmi per computer, ingrandendo punti specifici per mostrare proprietà diverse. Dudko descrive queste immagini come “come un linguaggio dalle dinamiche complesse”. Buff può prevedere esattamente dove pensa che apparirà una piccola copia del set prima che diventi visibile, solo in base all'aspetto di determinati rami e viticci. Una volta a Chéritat fu chiesto di riprodurre un poster vecchio di decenni di una regione all'interno del set di Mandelbrot, senza alcuna informazione aggiuntiva - e lo fece. Apparentemente Douady potrebbe guardare un set Julia e sapere di quale valore c nell'insieme di Mandelbrot da cui proviene. Hubbard si riferisce ancora ai set di Julia come a "vecchi amici".
“Studiare l’insieme di Mandelbrot sembra davvero un campo sperimentale della matematica. Sembra quasi un campo della matematica applicata, in contrapposizione a un campo della matematica pura”, ha detto Kapiamba. "Prendi semplicemente qualcosa che è là fuori e poi provi a sezionarlo e analizzarlo in un modo che mi sembra come se ci fosse qualche fenomeno naturale che stai cercando di scoprire."
“Non è qualcosa che crei. È qualcosa che è lì e che puoi esplorare”, ha aggiunto Buff. “È chiaramente lì sul mio computer. Visito il set di Mandelbrot. E forse ci sono alcuni posti nell’insieme di Mandelbrot che non ho ancora scoperto”.
Quest’area di studio è piena di tali scoperte. Sono state scoperte copie più piccole del set al suo interno e modelli specifici nel modo in cui appaiono le antenne, i capelli e altre decorazioni. C'è stata la scoperta della sequenza di Fibonacci, codificata nel set, nonché un'approssimazione di $latex pi$. E ci fu la scoperta degli insiemi di Mandelbrot in contesti completamente diversi, come nella ricerca di soluzioni numeriche alle equazioni cubiche.
"I computer ci mostrano cose allettanti, che richiedono a gran voce che qualcuno venga a spiegarcelo", ha detto Kevin Pellegrino dell’Università dell’Indiana Bloomington. Il che a sua volta motiva le domande giuste, se non le risposte.
Introduzione
Quando i computer rivelarono al loro interno tutte quelle copie più piccole del set di Mandelbrot, Douady e Hubbard vollero spiegare la loro presenza. Alla fine si sono rivolti alla cosiddetta teoria della rinormalizzazione, una tecnica che i fisici usano per domare gli infiniti nello studio delle teorie quantistiche dei campi e per collegare diverse scale nello studio delle transizioni di fase. In precedenza aveva suscitato scarso interesse per i matematici; secondo i loro standard, non era nemmeno rigoroso.
Ma negli anni ’1970, il fisico Mitchell Feigenbaum introdusse la teoria della rinormalizzazione nel mondo della dinamica, usandola come un modo per spiegare un particolare modello autosimilare che emerge quando si ripetono equazioni quadratiche utilizzando numeri reali.
Douady e Hubbard si resero conto che la rinormalizzazione era esattamente ciò di cui avevano bisogno per spiegare i modelli auto-similari più complicati che vedevano sugli schermi dei loro computer. E così hanno capito come applicare la teoria della rinormalizzazione a dinamiche complesse.
Da allora, il lavoro sulla MLC di Lyubich e dei suoi colleghi ha spinto quella teoria più in là di quanto si pensasse possibile.
Un nome per ogni punto
Una volta arrivato a New York nel febbraio 1990, mesi dopo aver lasciato Mosca, Lyubich ebbe la possibilità di saperne di più sul lavoro di cui Douady aveva scritto con così entusiasmo nella sua e-mail.
All'inizio, non era il risultato dell'MLC ad affascinare Lyubich, ma piuttosto le tecniche che Yoccoz aveva sviluppato per dimostrarlo. "In qualche modo, mi è piaciuto molto", ha detto. Era interessato alle dinamiche reali e alla risposta alle domande emerse sulla base del lavoro di Feigenbaum sulla rinormalizzazione. Per la maggior parte degli anni '1990, Lyubich si concentrò sullo sviluppo ulteriore dei metodi di Yoccoz, per affrontare quei problemi aperti. Entro la fine del decennio, sentiva di aver "essenzialmente ottenuto la descrizione completa delle dinamiche sulla linea reale, utilizzando questo macchinario", ha detto.
Come naturale conseguenza di questo lavoro, Lyubich finì per dimostrare la MLC per molti, anche se non tutti, i casi che il risultato di Yoccoz non aveva coperto.
Introduzione
Non sarebbe stata una sorpresa. La dimostrazione di Yoccoz ha mostrato la MLC per tutti i punti dell'insieme di Mandelbrot eccetto quelli conosciuti come parametri “infinitamente rinormalizzabili” – punti che vivevano all'interno di copie baby di Mandelbrot annidate all'infinito. Il suo risultato trasformò immediatamente la MLC in un problema intimamente connesso alla teoria della rinormalizzazione.
Quel collegamento è stato emozionante. In superficie, MLC sembrava appartenere a un angolo completamente diverso del campo. "La teoria della rinormalizzazione si è sviluppata in modo completamente indipendente", ha detto Lyubich. "E poi tutto è diventato parte della stessa storia."
E così anche Lyubich si interessò ad affrontare il problema MLC.
Ancor prima che la rinormalizzazione entrasse nella mischia, c’erano già segnali che la MLC fosse una questione con risonanze più profonde.
Nelle note d'Orsay, Douady e Hubbard mostrarono che se la MLC è vera, allora essa ha implicazioni anche per le proprietà dell'interno dell'insieme di Mandelbrot. Non tutti i punti all'interno dell'insieme si comportano allo stesso modo. I punti nel cardioide principale corrispondono a funzioni che, se ripetute da un valore iniziale pari a zero, convergono in un singolo numero. I punti in altri lobi corrispondono a funzioni che finiscono per oscillare tra un particolare numero di valori diversi. Il lobo più grande sopra il cardioide principale, ad esempio, rappresenta funzioni che oscillano tra tre valori. Per punti scelti con cura, tuttavia, una funzione potrebbe produrre sequenze che rimangono limitate ma non oscillano mai: continuano a saltare tra valori nuovi e distinti.
Ma se la MLC è vera, Douady e Hubbard hanno dimostrato che tali sequenze non oscillanti devono essere rare – una proprietà chiamata “densità di iperbolicità” che i matematici vogliono dimostrare o confutare per qualsiasi sistema dinamico che stanno studiando. "È fondamentalmente la questione più importante in dinamica, non solo in dinamiche complesse", ha detto Lomonaco.
Introduzione
La densità dell'iperbolicità riguarda l'interno dell'insieme di Mandelbrot. Ma l'MLC consentirebbe anche ai matematici di assegnare un indirizzo a ogni punto sul confine dell'insieme. “Dà un nome a ogni punto. E poi, una volta che sarai riuscito a dare un nome a ogni punto del confine dell'insieme di Mandelbrot, potrai sperare di capirlo davvero completamente", ha detto Hubbard.
In questo modo, MLC dice ai matematici che nell'immagine che hanno del set non manca nulla. Ma senza una prova, potrebbero ancora esserci alcune regioni, nascoste negli angoli più profondi di questo paesaggio infinitamente complesso, che non sono ancora apparse sugli schermi dei computer, che si comportano in un modo fondamentalmente diverso. Significherebbe che ai matematici manca ancora una parte della storia.
Pensa profondamente alle cose semplici
Jeremy Kahn è cresciuto a New York negli anni '1970, figlio di un assistente sociale e di uno scrittore scientifico. Da bambino, dimostrò rapidamente di essere una sorta di prodigio della matematica. Ha saltato anni avanti nell'argomento. In prima media ottenne un punteggio di 790 nella sezione di matematica del SAT. E scrisse i propri programmi per computer per esplorare vari concetti matematici in modo più approfondito. Quando aveva 13 anni, divenne la persona più giovane (all'epoca) a vincere un posto nella squadra statunitense delle Olimpiadi internazionali di matematica. Ha partecipato alla competizione durante tutto il liceo, vincendo due medaglie d'argento e due d'oro. Durante questo periodo iniziò anche a seguire corsi di matematica alla Columbia University e riprovò diversi teoremi (senza sapere che erano stati dimostrati) su una lavagna che teneva nella sua camera da letto.
Dopo essersi diplomato al liceo, andò all'Università di Harvard per specializzarsi in matematica. Lì rimase affascinato dal set di Mandelbrot. Durante il suo ultimo anno, stava dedicando tutte le sue energie per capirlo. Dato che all'epoca nessuno ad Harvard ci stava lavorando, andava in bicicletta all'Università di Boston per imparare da un matematico locale sui frattali e sui sistemi dinamici. Dopo essersi laureato e essersi iscritto a un programma di dottorato presso l'Università della California, a Berkeley, si concentrò sulla geometria iperbolica, un campo che i matematici avevano precedentemente collegato alle dinamiche complesse, quando l'insieme di Mandelbrot stava diventando popolare per la prima volta.
Introduzione
Kahn voleva rafforzare quella connessione. Come studente laureato, ha riprovato il famoso risultato MLC di Yoccoz, basandosi sul lavoro fondamentale svolto dai matematici Dennis Sullivan ed Curt Mc Mullen. Iniziò anche a pensare a come applicare le idee della geometria iperbolica alla rinormalizzazione.
Compagno di classe di Kahn Kevin Pellegrino ricorda di averlo visto riempire enormi fogli di carta con disegni di curve e anelli, di oggetti geometrici che degeneravano e si deformavano. "Ha iniziato a pensare molto, molto profondamente a queste cose", ha detto Pilgrim. "E quando dico 'profondamente' intendo per 15 anni."
"La tenacia di Jeremy nel pensare intensamente a qualcosa è davvero sorprendente", ha aggiunto.
Kahn rifletté particolarmente intensamente sulla rinormalizzazione. Ha studiato il lavoro di Lyubich e quello di Douady e Hubbard.
In tutti questi contesti, la rinormalizzazione è un modo per mettere in relazione tra loro diverse scale di un sistema dinamico. Considera la dinamica di un'equazione quadratica. I punti rimbalzeranno attorno al piano complesso in determinati modi. La rinormalizzazione ti consente di descrivere la dinamica di tutti questi punti concentrandoti solo su un piccolo sottoinsieme di essi.
"La rinormalizzazione agisce come un microscopio super potente che consente di comprendere le strutture che si trovano al livello più profondo", ha affermato Romain Dujardin dell'Università della Sorbona in Francia.
La misura in cui puoi farlo dipende dall'equazione che stai ripetendo. A volte semplicemente non è possibile descriverne le dinamiche in termini di una parte più piccola del sistema. Oppure potresti essere in grado di utilizzare il microscopio di rinormalizzazione per ingrandire le cose una, due o 10 volte, prima di raggiungere un punto in cui non puoi più dire nulla di significativo sulle scale più piccole.
Ma per le funzioni associate a parametri rinormalizzabili all'infinito, è possibile continuare ad applicare la rinormalizzazione per sempre.
E' una procedura delicata. "Non può essere fatto in modo casuale", ha detto Lyubich. Bisogna dimostrare con rigore che si può passare da una scala all'altra senza perdere troppa precisione.
Il primo passo verso questo obiettivo implica acquisire una sorta di controllo approssimativo sulla geometria delle diverse scale. È questo passaggio che può quindi essere utilizzato per mostrare MLC per un determinato valore di c nell'insieme di Mandelbrot.
Introduzione
Come studente laureato, Kahn stava già pensando a come applicare la sua conoscenza della geometria iperbolica al problema. La sua ricerca attirò l'attenzione e, al terzo anno di scuola di specializzazione, accettò un lavoro di ruolo presso il California Institute of Technology.
Tutto sembrava allinearsi perfettamente.
E poi si è bloccato.
Al Caltech non sapeva scrivere. Aveva ottenuto risultati dal periodo della scuola di specializzazione, ma ogni volta che si sedeva al computer perdeva tutta la forza di volontà che aveva. "Non ero bravo a scrivere", ha detto. “Non ero bravo nemmeno a sedermi a scrivere. Quindi non stavo scrivendo le cose. (Sebbene da allora abbia pubblicato molti articoli, solo di recente ha presentato alcuni dei suoi primi lavori per la pubblicazione.)
Nemmeno lui riusciva a concentrare la sua attenzione matematica. “A volte mi perdevo negli estremi nel voler dimostrare teoremi davvero grandiosi, come MLC o P contro NP. E poi tornerei alla realtà”, ha detto. "Ero perso e infelice."
In quattro anni al Caltech, Kahn non ha scritto un solo articolo. Ha perso il lavoro.
E così, nell'autunno del 1998, a poco meno di 30 anni, con la sua carriera un tempo promettente a brandelli, "sono tornato a casa" a New York, ha detto Kahn.
Chiamò Milnor, chiedendo consiglio. Milnor lo rimise in contatto con Lyubich, che Kahn aveva incontrato alcune volte alla scuola di specializzazione. E così: "Mi sono appena presentato a Stony Brook", ha detto Kahn. “Misha è stata incredibilmente accogliente.” I due discutevano di matematica per ore. Kahn ricorda di essere andato sempre a casa di Lyubich, di cenare con la sua famiglia - a quel punto Lyubich e sua moglie avevano una figlia; più tardi ne avrebbero avuto un secondo e presto sarebbero diventati amici. "Mi ha davvero accolto", ha detto Kahn. "Era un matematico di fama mondiale e mi trattava da pari a pari, non da bambino perduto."
“È diventato praticamente un secondo padre per me”, ha aggiunto.
Lyubich trovò un posto temporaneo per Kahn a Stony Brook, senza compiti di insegnante. Dalla fine degli anni '1990 fino alla metà degli anni 2000, Lyubich aiutò il matematico più giovane. Quando Lyubich trascorse un anno a lavorare all'Università di Toronto, trovò un posto per Kahn; quando tornò a Stony Brook, fece lo stesso. Quando Kahn lasciò il mondo accademico per lavorare in un hedge fund per un anno, solo per decidere che non era cosa per lui, Lyubich lo aiutò ancora una volta. Quando al padre di Kahn fu diagnosticato un cancro e in seguito morì, Kahn non era in grado di lavorare. Ma alla fine è tornato a Lyubich, e Lyubich lo ha accolto.
Introduzione
A sentire Lyubich raccontarlo, riconobbe che Kahn aveva idee molto interessanti, a volte brillanti. "Aveva semplicemente questo blocco psicologico che doveva superare", ha detto Lyubich. "Così ho continuato a sostenerlo il più possibile."
Sebbene Kahn si sentisse spesso perso durante questi anni, lui e Lyubich svilupparono quella che Kahn definì “una collaborazione piuttosto intensa”. Lo ha tenuto con i piedi per terra. I due matematici unirono i loro approcci alla rinormalizzazione, cosa che permise loro anche di dimostrare la MLC per molti più parametri.
"Il crollo della mia carriera mi ha dato l'opportunità di seguire Misha in giro" e portare a termine questo lavoro, ha detto Kahn. “Si trattava di rimandare molti elementi della vita, non deliberatamente, ma di fatto per il gusto di dimostrare questi teoremi”.
Il lavoro di Kahn e Lyubich ha segnato un enorme passo avanti nella teoria della rinormalizzazione e nella MLC. Ma “l’insieme di Mandelbrot è tremendamente subdolo”, ha detto Lyubich, perché non è esattamente auto-similare e mostra diversi tipi di auto-somiglianza. Come ha detto Avila, “ha personalità diverse man mano che ti muovi al suo interno”. Questi diversi tipi di autosimilarità corrispondono a dinamiche molto diverse e quindi richiedono diversi tipi di rinormalizzazione per mettere in relazione una scala con l'altra.
Kahn e Lyubich ne avevano sviluppato un tipo, ma avevano spinto le loro tecniche il più lontano possibile. "Hanno colpito un muro, e sapevano che avrebbero colpito un muro", ha detto Mukherjee.
Per dimostrare la MLC per altre parti dell’insieme di Mandelbrot, dovrebbero ottenere un tipo simile di controllo geometrico, ma utilizzando qualche altro tipo – o tipi – di rinormalizzazione.
E Kahn e Lyubich non erano d'accordo su come procedere al meglio.
I progressi si sono arrestati.
Introduzione
Ognuno di loro ha iniziato a lavorare su altri problemi. Kahn tornò alla geometria iperbolica. Lyubich pensò a come applicare il lavoro MLC ad altre parti di dinamiche complesse (e persino a questioni di fisica).
"Ecco perché, in un certo senso, non sei mai veramente bloccato", ha detto Lyubich, che nel 2004 è diventato direttore dell'Istituto di scienze matematiche di Stony Brook. “Se domani qualcuno trovasse una prova di una sola riga dell’MLC in tutti i casi, ciò annullerebbe tutto ciò che abbiamo fatto prima? No. Ci sono così tanti problemi che si basano su questa tecnica”.
Questo è uno dei motivi per cui non si è mai sentito frustrato quando le cose non sembravano procedere così bene sul fronte MLC. "Ogni passo in MLC è un'apertura a molti altri problemi", ha detto.
Nel frattempo, Kahn fece progressi significativi nella geometria iperbolica. Cominciarono ad arrivare offerte di incarico. Sperando di ricominciare da capo, nel 2011 si trasferì a Providence, Rhode Island, per assumere una cattedra alla Brown University.
Né Lyubich né Kahn hanno smesso di pensare alla MLC, ma si sono allontanati, impegnati con le proprie responsabilità.
Altri matematici che lavoravano nel campo delle dinamiche complesse iniziarono a muoversi in direzioni diverse, concentrandosi su spazi parametrici ancora più complicati dell’insieme di Mandelbrot e sulla connessione tra dinamiche complesse e teoria dei numeri.
Ma negli ultimi anni, Lyubich e Kahn hanno assunto apprendisti e rinnovato i loro sforzi per dimostrare la MLC.
Quadratura
Circa dieci anni fa, Lyubich ha iniziato a lavorare con Dima Dudko.
Dudko è cresciuto negli anni '1980 in Bielorussia, dove le sue abilità matematiche sono diventate presto evidenti a chi lo circondava. (Ha rappresentato la Bielorussia alle Olimpiadi internazionali della matematica 15 anni dopo che Kahn era invecchiato. Come Kahn, ha vinto una medaglia d'oro.) Più tardi, quando era uno studente laureato in Germania, il suo consulente consultò Lyubich su quale problema Dudko avrebbe dovuto lavorare per il suo bambino. tesi. Decisero di porre una domanda sull'insieme di Mandelbrot alla quale non si aspettavano che Dudko fosse in grado di rispondere. La dichiarazione seguirebbe automaticamente da MLC; hanno pensato che, senza l'MLC ad aiutarlo, nella migliore delle ipotesi sarebbe stato in grado di fare progressi parziali.
Dudko ha trovato un modo per aggirare MLC e ha risolto completamente il problema.
Introduzione
Dopo aver terminato il suo corso di laurea nel 2012, ha continuato a lavorare in Germania come postdoc, ma ha anche iniziato a collaborare con Lyubich. Con un terzo matematico, Nikita Selinger dell’Università dell’Alabama, Birmingham, hanno sviluppato una nuova teoria della rinormalizzazione. Lyubich e Dudko lo usarono poi per dimostrare che MLC vale per alcuni dei parametri infinitamente rinormalizzabili più difficili nell'insieme di Mandelbrot, proprio quelli a cui i metodi di Lyubich e Kahn non potevano essere applicati. (Anche l'ex studente di Lyubich, Davoud Cheraghi e Mitsuhiro Shishikura dell'Università di Kyoto, hanno sviluppato tecniche per affrontare alcuni di questi casi eccezionali.)
"Questo caso è così diverso che ci sono voluti altri due decenni", ha detto Lyubich. Ci è voluto anche un pensiero originale. Dudko, che ha condotto il recente seminario della MLC con Lyubich in Danimarca, è visto come una star nella zona e ha un modo intrigante di vedere le cose. Ciò è forse meglio esemplificato dal modo in cui a volte disegna l’insieme di Mandelbrot come un insieme di quadrati, piuttosto che come cerchi che la maggior parte dei matematici tende a disegnare.
"Mi ha sorpreso che sia possibile risolvere questi problemi", ha detto Lyubich. "Quello che abbiamo fatto di recente, va oltre qualsiasi cosa avessi fatto prima."
Nel tentativo di riunire tutti questi risultati in un unico posto, Lyubich ha scritto una serie di libri di testo sull'insieme di Mandelbrot, sulla MLC e sul lavoro correlato in dinamiche complesse. Finora ha prodotto oltre 700 pagine, divise in due volumi dei quattro previsti. "Se tutto va bene, quando avrò finito con il volume 4, MLC sarà lì", ha detto.
Come Lyubich, Kahn ha trovato un protetto più giovane. L'idea di reclutare Alex Kapiamba è venuta a Kahn per la prima volta in sogno. Era a una conferenza nel 2019. Per diversi mesi lui, Lyubich e Dudko si erano incontrati regolarmente per discutere i progressi della MLC, qualcosa che si rifletteva immediatamente nel sogno, dove loro tre erano su un autobus. "E poi vedo questa quarta persona salire sull'autobus, e questo è l'intero sogno, essenzialmente", ha detto Kahn. "E poi mi sveglio e penso che Alex Kapiamba è la quarta persona."
Il giorno successivo organizzò un incontro con Kapiamba per discutere della sua ricerca. Kapiamba ora lavora con Kahn come postdoc alla Brown e in autunno si trasferirà ad Harvard.
Quando ho incontrato Kapiamba l'anno scorso, il suo braccio era al collo; si era lussato una spalla qualche giorno prima giocando a Frisbee definitivo. (Ha giocato in modo semiprofessionale per i Detroit Mechanix mentre era alla scuola di specializzazione e continua a giocare in un campionato di club.) Era modesto riguardo a quanto pensava di poter contribuire allo sforzo della MLC. "È un po' spaventoso", ha detto. "Sento decisamente la sindrome dell'impostore."
"Voglio solo entrare e fare qualcosa prima che sia troppo tardi", ha aggiunto.
Introduzione
Kapiamba non aveva deciso di studiare matematica. Come studente universitario presso l'Oberlin College in Ohio, ha iniziato con una specializzazione in biochimica; fu solo alla fine del suo primo anno, dopo aver seguito un corso di topologia, che cominciò ad interessarsi alla matematica. "In biochimica, quello che mi piaceva davvero era capire la struttura delle cose", ha detto Kapiamba. “E la matematica in realtà cerca solo di studiare la struttura nella sua forma più semplice. Sembrava davvero che fossero le parti della biologia o della chimica che mi piacevano davvero, distillate in una forma pura. Potrei semplicemente fare quella parte.
Dopo la laurea nel 2014, non era sicuro di cosa volesse fare. Si trasferì a Washington, DC, per stare vicino alla sua famiglia, e trovò lavoro lavorando in una panetteria e come tutor. Durante questo periodo, iniziò a contemplare di intraprendere una carriera in matematica. Ben presto lasciò il lavoro di panettiere e per i due anni successivi continuò a fare da tutor mentre studiava matematica di livello superiore nel tempo libero, rivedendo il materiale che aveva imparato durante gli anni universitari ("per ottenere un punto di vista diverso", ha detto) e frequentando corsi online. "Volevo sentirmi molto preparato", ha detto. Nel 2016 si è iscritto a un master presso l'Università del Michigan.
Come studente di un master, iniziò a lavorare su una questione riguardante la geometria del Mandelbrot situato vicino alla cuspide del suo cardioide principale, dove una parata di elefanti marcia fuori da una valle poco profonda. Man mano che ti avvicini alla valle, gli elefanti sembrano avvicinarsi sempre di più. Si è quindi ipotizzato che man mano che ci si avvicina al punto più profondo della valle, la distanza tra gli elefanti si ridurrà a zero. "Ho pensato, ovviamente", ha detto Kapiamba, indicando lo schermo del suo computer, dove aveva zoomato sugli elefanti affinché potessi vederli. Sembrava davvero che si toccassero.
Una parte fondamentale della sua argomentazione si basava su un’osservazione disinvolta fatta in un vecchio documento di tesi di dottorato. La tesi di 73 pagine, scritta interamente in francese, fu completata nel 1989 ma mai pubblicata. Il suo autore aveva lasciato la matematica solo un anno dopo, disilluso e frustrato dal problema che sperava di risolvere: l'MLC.
Introduzione
Kapiamba ha sfogliato il testo, spesso perdendosi tra le sue pagine senza rendersi conto che l'orologio aveva ormai superato la mezzanotte, affidandosi al francese che conosceva dal liceo e a Google Translate. Si lamentava di non essere stato educato a parlare francese. Sia suo padre, originario della Repubblica Democratica del Congo, sia sua madre, che lo conobbe lì mentre prestava servizio nei Corpi di Pace, parlavano fluentemente la lingua. Ma la coppia si era trasferita nel Maryland poco prima della nascita di Kapiamba e, nel tentativo di aiutare suo padre a imparare l'inglese il più rapidamente possibile, a casa parlavano solo inglese.
Alla fine, Kapiamba si rese conto che non stava mancando di cogliere qualche passaggio nella logica della tesi. Il suo autore aveva commesso un errore. La sua affermazione era probabilmente corretta, ma il ragionamento alla base non reggeva. E così Kapiamba ha deciso di correggere l'errore.
Lasciava cuocere a fuoco lento, come aspetta che il pane lieviti. (Cucina ancora per concentrare la mente. Gli piace l'opportunità che gli dà di fare qualcosa con le sue mani.) Negli anni successivi, ha finalmente capito la prova. Per fare ciò, dovette rafforzare un teorema che Yoccoz aveva utilizzato nella sua dimostrazione MLC originale, relativo alle dimensioni degli elefanti.
Il lavoro ha colto di sorpresa la comunità delle dinamiche complesse. Le immagini del computer avevano già indicato che alcune regioni dell'insieme di Mandelbrot sembravano ridursi molto, molto più velocemente di quanto suggerisse il teorema di Yoccoz, il che significa che la sua affermazione poteva essere rafforzata. "Se disegni semplicemente alcune immagini e le guardi, puoi vedere, oh, sembra che il limite che Yoccoz ci dà sia molto, molto brutto", ha detto Kapiamba. Ma nessuno era riuscito a migliorarlo.
Fino a Kapiamba. Il suo lavoro si applicava solo ad alcune regioni dell'insieme di Mandelbrot; i matematici sperano che la versione più forte dell'affermazione di Yoccoz possa essere mostrata per l'intero set. Anche così, “la gente era davvero emozionata”, ha detto Benini. “Tutti coloro che lavorano su questo sanno che deve essere vero; semplicemente non sapevano come dimostrarlo.
Lomonaco e altri matematici hanno già utilizzato il risultato di Kapiamba per dimostrare i propri teoremi. Ma è anche visto come un potenziale fulcro in una futura prova di MLC.
Un Laboratorio e una Guida
La conferenza dello scorso anno ha segnato l'ultima volta in cui i matematici si sono riuniti nella vecchia base militare in Danimarca. Quest'anno l'Università di Roskilde, che sponsorizza la serie di workshop, ha rinunciato all'affitto della sede.
Se Lyubich, Kahn, Dudko e Kapiamba riusciranno a combinare i loro diversi approcci per dimostrare finalmente la MLC, ciò segnerà la fine di un’altra era, un’era iniziata quando Mandelbrot, Hubbard e Douady videro per la prima volta apparire il frattale sugli schermi dei loro computer.
Introduzione
L'ultimo mezzo secolo di esplorazione dell'insieme di Mandelbrot è stato reso possibile dallo sviluppo della computer grafica. La matematica che genera il frattale è semplice: devi solo sapere come aggiungere e moltiplicare. Ma i disegni che hanno reso famoso il set non possono essere stati realizzati a mano. Facevano affidamento su questi semplici calcoli milioni di volte, cosa che non era fattibile senza i computer.
In linea di principio, un matematico visionario avrebbe potuto tenere in mente un'istantanea del set centinaia di anni fa. Ma nel dipanarsi della storia, anche se talvolta il genio può intravedersi all’orizzonte, la tecnologia ha modulato ciò che si può immaginare. Fatou, ad esempio, "era in grado di formulare congetture senza aver potuto vedere l'insieme di Mandelbrot", ha detto Buff. Ma Fatou non poteva che arrivare così lontano. Per quanto potente possa essere stata la sua immaginazione, c'è un mondo di ricchezza che vortica sotto l'insieme di Mandelbrot che gli era inaccessibile, ma facilmente visibile a una persona media oggi.
Lyubich tende a non utilizzare i computer nel suo lavoro. "Il mio modo di pensare è molto visivo", ha detto. “È molto geometrico. Penso in termini di immagini, ma disegno semplicemente immagini più o meno primitive, a mano o nella mia mente. Non uso mai i computer in modo sostanziale”. (Scherza dicendo che forse la colpa è del lavoro di programmazione che ha svolto per un breve periodo a Leningrado prima di emigrare. “Mi ha disgustato”, ha detto.) Tuttavia, vive in un mondo intriso di calcolo. Tornato nei campi di cotone dell'Uzbekistan, anche lui è arrivato lontano solo dando libero sfogo alla sua immaginazione. "Sono stati Douady e Hubbard a individuare il livello successivo di profondità", ha detto, utilizzando i computer disponibili negli anni '1980. Nei decenni successivi, Lyubich ha visto i suoi collaboratori utilizzare i computer come laboratorio e come guida. Nel suo unico articolo congiunto con Milnor, ricorda, Milnor condusse diversi esperimenti al computer per indirizzare le loro dimostrazioni nella giusta direzione. E Dudko torna ancora e ancora al computer mentre lavora con Lyubich. "È molto bravo nell'interpretare ciò che vede", ha detto Lyubich, "per tradurre queste immagini in linguaggio matematico e formulare congetture molto profonde".
Galileo scoprì le lune di Giove non solo perché aveva sviluppato la teoria giusta per dare un senso a ciò che vedeva, ma perché aveva un telescopio. Allo stesso modo, ci sono interi settori dell’universo matematico che rimangono nascosti finché il cambiamento tecnologico non li rende visibili. Non possono essere scoperte con il puro pensiero più di quanto le lune di Giove possano essere individuate strizzando gli occhi.
Se la rivoluzione computazionale degli anni ’1970 e ’80 avesse aperto all’esplorazione il continente del set di Mandelbrot, i matematici oggi potrebbero trovarsi sull’orlo di un altro punto critico. L’intelligenza artificiale sta appena cominciando a essere utilizzata per formulare congetture sostanziali e dimostrare risultati matematici significativi. È difficile – forse impossibile – valutarne il potenziale con sicurezza. ("Dobbiamo provare ad addestrare una rete neurale a zoomare attorno all'insieme di Mandelbrot", ha scherzato Kapiamba). , il prossimo capitolo resta da scrivere.
"Non ho mai avuto la sensazione che la mia immaginazione fosse abbastanza ricca da inventare tutte quelle cose straordinarie", disse una volta Mandelbrot. "Erano lì, anche se nessuno li aveva visti prima."
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