Wprowadzenie
W połowie lat 1980., podobnie jak odtwarzacze kasetowe Walkman i farbowane krawatowo koszule, sylwetka zestawu Mandelbrota przypominająca robaka była wszędzie.
Studenci przykleili go do ścian akademików na całym świecie. Matematycy otrzymali setki listów z gorliwymi prośbami o wydruki zestawu. (W odpowiedzi niektórzy z nich stworzyli katalogi wraz z cennikami, inni zebrali najbardziej uderzające informacje w formie książek). Bardziej obeznani z technologią fani mogą sięgnąć do wydania magazynu z sierpnia 1985 roku. Scientific American. Na okładce zestaw Mandelbrota rozwijał się w ognistych wąsach, a jego granica płonęła; wewnątrz znajdowały się dokładne instrukcje programowania, szczegółowo opisujące, w jaki sposób czytelnicy mogą wygenerować dla siebie ikoniczny obraz.
Do tego czasu te wąsy rozszerzyły swój zasięg daleko poza matematykę, na pozornie niezwiązane zakątki życia codziennego. W ciągu najbliższych kilku lat zestaw Mandelbrota stanie się inspiracją dla najnowszych obrazów Davida Hockneya i najnowszych kompozycji kilku muzyków — utworów przypominających fugi w stylu Bacha. Ukazywała się na kartach powieści Johna Updike’a i stanowiła wskazówkę, jak krytyk literacki Hugh Kenner analizował poezję Ezry Pounda. Stało się tematem psychodelicznych halucynacji i popularnego filmu dokumentalnego, którego narratorem był wielki science fiction Arthur C. Clarke.
Zbiór Mandelbrota ma specjalny kształt z fraktalnym konturem. Użyj komputera, aby powiększyć postrzępioną granicę planu, a zobaczysz doliny koników morskich i parady słoni, galaktyki spiralne i włókna podobne do neuronów. Nieważne, jak głęboko będziesz eksplorować, zawsze zobaczysz prawie kopie oryginalnego zestawu – nieskończoną, oszałamiającą kaskadę samopodobieństwa.
To samopodobieństwo było głównym elementem bestsellerowej książki Jamesa Gleicka Chaos, co ugruntowało miejsce zbioru Mandelbrota w kulturze popularnej. „Zawierał wszechświat idei” – napisał Gleick. „Nowoczesna filozofia sztuki, uzasadnienie nowej roli eksperymentu w matematyce, sposób na przedstawienie złożonych systemów szerokiej publiczności”.
Zbiór Mandelbrota stał się symbolem. Reprezentowało potrzebę nowego języka matematycznego, lepszego sposobu na opisanie fraktalnej natury otaczającego nas świata. Pokazał, jak głęboka zawiłość może wyłaniać się z najprostszych zasad – podobnie jak samo życie. („Jest to zatem prawdziwe przesłanie nadziei”, John Hubbard, jeden z pierwszych matematyków badających ten zbiór, stwierdził w nagraniu wideo z 1989 roku, „że prawdopodobnie biologię można naprawdę zrozumieć w taki sam sposób, w jaki można zrozumieć te obrazy”). W zbiorze Mandelbrota porządek i chaos żyły w harmonii; determinizm i wolną wolę można było pogodzić. Pewien matematyk przypomniał sobie, że jako nastolatek natknął się na ten zestaw i uznał go za metaforę skomplikowanej granicy między prawdą a fałszem.
Wprowadzenie
Zbiór Mandelbrota był wszędzie, dopóki tak nie było.
Wydawało się, że w ciągu dekady zniknie. Matematycy zajęli się innymi tematami, a społeczeństwo innymi symbolami. Dziś, zaledwie 40 lat po odkryciu, fraktal stał się banalnym, graniczącym z kiczem.
Ale garstka matematyków nie chciała odpuścić. Poświęcili swoje życie odkrywaniu tajemnic zbioru Mandelbrota. Teraz myślą, że w końcu są o krok od prawdziwego zrozumienia tego problemu.
Ich historia to opowieść o eksploracji i eksperymentach oraz o tym, jak technologia kształtuje nasz sposób myślenia i pytania, które zadajemy na temat świata.
Łowcy nagród
W październiku 2023 r. 20 matematyków z całego świata zebrało się w przysadzistym ceglanym budynku na terenie dawnej duńskiej wojskowej bazy badawczej. Baza, zbudowana pod koniec XIX wieku w środku lasu, była schowana nad fiordem na północno-zachodnim wybrzeżu najbardziej zaludnionej wyspy Danii. Wejście strzegła stara torpeda. Ściany zdobiły czarno-białe zdjęcia przedstawiające oficerów marynarki wojennej w mundurach, łodzie ustawione w rzędzie w porcie i trwające testy łodzi podwodnych. Przez trzy dni, gdy gwałtowny wiatr zamieniał wodę za oknami w pieniące się białe czapy, grupa prowadziła serię rozmów, w większości prowadzonych przez dwóch matematyków z Uniwersytetu Stony Brook w Nowym Jorku: Misza Lubicz i Dima Dudko.
Uczestnikami warsztatów byli jedni z najbardziej nieustraszonych odkrywców Zespołu Mandelbrota. Niedaleko przodu siedział Mitsuhiro Shishikura Uniwersytetu w Kioto, który w latach 1990. XX w. udowodnił, że granica zbioru jest tak skomplikowana, jak to tylko możliwe. Kilka miejsc dalej Hiroyuki Inou, który wraz z Shishikurą opracowali ważne techniki badania szczególnie ważnego obszaru zbioru Mandelbrota. W ostatnim rzędzie był Wilk Jung, twórca Mandela, popularnego oprogramowania dla matematyków do interaktywnego badania zbiorów Mandelbrota. Obecni byli także Arnauda Chéritata Uniwersytetu w Tuluzie, Carstena Petersena z Uniwersytetu Roskilde (który zorganizował warsztaty) i kilku innych, którzy wnieśli znaczący wkład w zrozumienie zbioru Mandelbrota przez matematyków.
Wprowadzenie
A przy tablicy stali Lyubich, czołowy światowy znawca tematu, i Dudko, jeden z jego najbliższych współpracowników. Razem z matematykami Jeremy Kahn i Aleks Kapiamba, pracowali nad udowodnieniem długotrwałego przypuszczenia na temat struktury geometrycznej zbioru Mandelbrota. To przypuszczenie, znane jako MLC, stanowi ostatnią przeszkodę w trwających od dziesięcioleci poszukiwaniach scharakteryzowania fraktala i ujarzmienia jego splątanej dziczy.
Budując i ostrząc potężny zestaw narzędzi, matematycy zmagali się z kontrolą geometrii „prawie wszystkiego w zbiorze Mandelbrota” – powiedział Caroline Davis z Indiana University – z wyjątkiem kilku pozostałych przypadków. „Misha, Dima, Jeremy i Alex są jak łowcy nagród, próbujący wyśledzić tych ostatnich”.
Lyubich i Dudko udali się do Danii, aby poinformować innych matematyków o najnowszych postępach w udowadnianiu MLC i opracowanych w tym celu technikach. Od 20 lat naukowcy gromadzą się tu na warsztatach poświęconych rozpakowywaniu wyników i metod z zakresu analizy zespolonej, czyli matematycznego badania rodzajów liczb i funkcji wykorzystywanych do generowania zbioru Mandelbrota.
To było niezwykłe ustawienie: matematycy jedli razem wszystkie posiłki, rozmawiali i śmiali się przy piwie do późnych godzin nocnych. Kiedy w końcu zdecydowali się pójść spać, udali się do piętrowych łóżek lub łóżek w małych pokojach, które dzielili na drugim piętrze placówki. (Po przyjeździe kazano nam zabrać ze stosu prześcieradła i poszewki na poduszki i zanieść je na górę, aby pościelić łóżka). W niektórych latach uczestnicy konferencji odważają się pływać w lodowatej wodzie; częściej wędrują po lesie. Ale w większości nie ma nic do roboty poza matematyką.
Zazwyczaj, jak powiedział mi jeden z uczestników, warsztaty przyciągają wielu młodszych matematyków. Ale tym razem tak nie było – może dlatego, że był środek semestru, a może – jak spekulował – z powodu trudnego przedmiotu. Wyznał, że w tamtym momencie czuł się nieco onieśmielony perspektywą wygłoszenia przemówienia przed tak wieloma osobistościami w swojej dziedzinie.
Wprowadzenie
Biorąc jednak pod uwagę, że większość matematyków zajmujących się szerszą analizą złożoną nie pracuje już bezpośrednio nad zbiorem Mandelbrota, po co poświęcać cały warsztat MLC?
Zbiór Mandelbrota to coś więcej niż fraktal i to nie tylko w sensie metaforycznym. Służy jako rodzaj głównego katalogu układów dynamicznych — wszystkich różnych sposobów, w jakie punkt może poruszać się w przestrzeni zgodnie z prostą zasadą. Aby zrozumieć ten główny katalog, należy przemierzyć wiele różnych krajobrazów matematycznych. Zbiór Mandelbrota jest ściśle powiązany nie tylko z dynamiką, ale także z teorią liczb, topologią, geometrią algebraiczną, teorią grup, a nawet fizyką. „W piękny sposób współdziała z resztą matematyki” – stwierdził Sabyasachi Mukherjee Instytutu Badań Podstawowych Tata w Indiach.
Aby poczynić postępy w MLC, matematycy musieli opracować wyrafinowany zestaw technik – co Chéritat nazywa „potężną filozofią”. Narzędzia te cieszą się dużym zainteresowaniem. Dziś stanowią one centralny filar szerzej rozumianych badań nad układami dynamicznymi. Okazały się kluczowe w rozwiązaniu wielu innych problemów — problemów, które nie mają nic wspólnego ze zbiorem Mandelbrota. I przekształcili MLC z niszowego pytania w jedno z najgłębszych i najważniejszych otwartych hipotez w tej dziedzinie.
Lyubich, matematyk prawdopodobnie najbardziej odpowiedzialny za ukształtowanie tej „filozofii” w jej obecnej formie, stoi wyprostowany i wysoki i mówi cicho. Kiedy inni matematycy w warsztacie podchodzą do niego, aby omówić jakąś koncepcję lub zadać pytanie, zamyka oczy i uważnie słucha, marszcząc gęste brwi. Odpowiada ostrożnie, z rosyjskim akcentem.
Wprowadzenie
Ale szybko wybucha głośnym, ciepłym śmiechem i opowiada ironiczne dowcipy. Jest hojny w swoim czasie i radach. „Naprawdę wychował kilka pokoleń matematyków” – powiedział Mukherjee, jeden z byłych doktorantów Lyubicha i częsty współpracownik. Jak mówi, każdy zainteresowany badaniem dynamiki zespolonej spędza trochę czasu w Stony Brook, ucząc się od Lyubicha. „Misha ma wizję tego, jak powinniśmy podejść do konkretnego projektu lub na co zwrócić uwagę w następnej kolejności” – powiedział Mukherjee. „Ma w umyśle wspaniały obraz. I chętnie dzieli się tym z ludźmi.”
Lyubich po raz pierwszy ma wrażenie, że widzi ten wspaniały obraz w całej okazałości.
Wojownicy nagród
Zbiór Mandelbrota zaczął się od nagrody.
W 1915 roku, motywowana ostatnimi postępami w badaniu funkcji, Francuska Akademia Nauk ogłosiła konkurs: za trzy lata ufunduje główną nagrodę w wysokości 3,000 franków za pracę nad procesem iteracji – czyli samym procesem, który później wygeneruj zbiór Mandelbrota.
Iteracja to wielokrotne zastosowanie reguły. Podłącz liczbę do funkcji, a następnie użyj wyniku jako następnego wejścia. Rób to dalej i obserwuj, co będzie się działo z czasem. W miarę kontynuowania iteracji funkcji otrzymane liczby mogą szybko rosnąć w kierunku nieskończoności. Mogą też być przyciągane w stronę konkretnej liczby, jak opiłki żelaza poruszające się w stronę magnesu. Albo skończą, odbijając się między tymi samymi dwiema, trzema lub tysiącem, na stabilnej orbicie, z której nigdy nie będą mogły uciec. Lub przeskakuj z jednego numeru na drugi bez rymu i powodu, podążając chaotyczną, nieprzewidywalną ścieżką.
Wprowadzenie
Akademia Francuska, a szerzej matematycy, mieli jeszcze jeden powód, aby zainteresować się iteracją. Proces ten odegrał ważną rolę w badaniu układów dynamicznych — systemów takich jak obrót planet wokół Słońca lub przepływ turbulentnego strumienia, czyli systemów, które zmieniają się w czasie zgodnie z pewnym określonym zestawem zasad.
Nagroda zainspirowała dwóch matematyków do opracowania zupełnie nowego kierunku studiów.
Pierwszym był Pierre Fatou, który w innym życiu mógłby zostać żołnierzem marynarki wojennej (tradycja rodzinna), gdyby nie jego zły stan zdrowia. Zamiast tego kontynuował karierę w matematyce i astronomii i do 1915 roku udowodnił już kilka ważnych wyników w analizach. Następnie był Gaston Julia, obiecujący młody matematyk urodzony w okupowanej przez Francję Algierii, którego studia przerwała I wojna światowa i pobór do armii francuskiej. W wieku 22 lat, po ciężkiej kontuzji wkrótce po rozpoczęciu służby – do końca życia nosił na twarzy skórzany pasek, gdyż lekarzom nie udało się naprawić uszkodzeń – wrócił do matematyki, wykonując niektóre z pracę, którą zgłaszał do nagrody Akademii ze szpitalnego łóżka.
Nagroda zmotywowała zarówno Fatou, jak i Julię do zbadania, co się dzieje, gdy iterujesz funkcje. Pracowali niezależnie, ale ostatecznie dokonali bardzo podobnych odkryć. Ich wyniki pokrywały się w tak dużym stopniu, że nawet teraz nie zawsze jest jasne, jak przypisać zasługi. (Julia była bardziej towarzyska i dlatego poświęcono jej więcej uwagi. Ostatecznie zdobył nagrodę; Fatou nawet się nie zgłosił.) Dzięki tej pracy oboje są obecnie uważani za założycieli dziedziny dynamiki zespolonej.
„Złożone”, ponieważ Fatou i Julia iterowały funkcje liczb zespolonych — liczb łączących znaną liczbę rzeczywistą z tak zwaną liczbą urojoną (wielokrotnością i, symbol używany przez matematyków do oznaczania pierwiastka kwadratowego z -1). Podczas gdy liczby rzeczywiste można przedstawić jako punkty na linii, liczby zespolone są wizualizowane jako punkty na płaszczyźnie, na przykład:
Wprowadzenie
Fatou i Julia odkryły, że iteracja nawet prostych złożonych funkcji (co nie jest paradoksem w dziedzinie matematyki!) może prowadzić do bogatych i skomplikowanych zachowań, w zależności od punktu wyjścia. Zaczęli dokumentować te zachowania i przedstawiać je geometrycznie.
Ale potem ich twórczość odeszła w zapomnienie na pół wieku. „Ludzie nawet nie wiedzieli, czego szukać. Mieli ograniczone możliwości zadawania pytań” – powiedział Artur Avila, profesor Uniwersytetu w Zurychu.
Zmieniło się to, gdy w latach 1970. XX wieku grafika komputerowa zyskała na popularności.
Do tego czasu matematyk Benoît Mandelbrot zyskał reputację akademickiego dyletanta. Zajmował się wieloma różnymi dziedzinami, od ekonomii po astronomię, a wszystko to podczas pracy w centrum badawczym IBM na północ od Nowego Jorku. Kiedy w 1974 roku został mianowany członkiem IBM, miał jeszcze większą swobodę w realizacji niezależnych projektów. Postanowił wykorzystać znaczną moc obliczeniową centrum do wybudzania złożonej dynamiki ze stanu hibernacji.
Początkowo Mandelbrot używał komputerów do generowania kształtów, które badali Fatou i Julia. Obrazy zakodowały informację o tym, kiedy punkt początkowy po iteracji ucieknie do nieskończoności, a kiedy zostanie uwięziony w jakimś innym wzorze. Rysunki Fatou i Julii sprzed 60 lat wyglądały jak skupiska kół i trójkątów, ale wygenerowane komputerowo obrazy, które stworzył Mandelbrot, wyglądały jak smoki i motyle, króliki, katedry i głowy kalafiorów, a czasem nawet niepołączone chmury kurzu. Już wtedy Mandelbrot ukuł słowo „fraktal” na określenie kształtów, które wyglądały podobnie w różnych skalach; słowo to przywołało pojęcie nowego rodzaju geometrii — czegoś fragmentarycznego, ułamkowego lub złamanego.
Obrazy pojawiające się na ekranie jego komputera – dziś znane jako zbiory Julii – były jednymi z najpiękniejszych i najbardziej skomplikowanych przykładów fraktali, jakie Mandelbrot kiedykolwiek widział.
Wprowadzenie
Prace Fatou i Julii skupiały się na geometrii i dynamice każdego z tych zbiorów (i odpowiadających im funkcji) indywidualnie. Ale komputery umożliwiły Mandelbrotowi myślenie o całej rodzinie funkcji na raz. Mógł zakodować je wszystkie w obrazie, który miał nosić jego imię, choć pozostaje kwestią dyskusyjną, czy faktycznie odkrył to jako pierwszy.
Zbiór Mandelbrota dotyczy najprostszych równań, które po iteracji wciąż robią coś interesującego. Są to funkcje kwadratowe formy f(z) = z2 + c. Napraw wartość c — może to być dowolna liczba zespolona. Jeśli powtórzysz równanie zaczynając od z = 0 i przekonaj się, że wygenerowane liczby pozostają małe (lub ograniczone, jak mówią matematycy). c jest w zbiorze Mandelbrota. Jeśli z drugiej strony wykonasz iterację i odkryjesz, że w końcu liczby zaczną rosnąć w kierunku nieskończoności, to wtedy c nie należy do zbioru Mandelbrota.
Łatwo jest pokazać, że wartości c bliskie zeru są w zestawie. Równie łatwo jest pokazać tak duże wartości c nie są. Ale liczby zespolone zasługują na swoją nazwę: granica zbioru jest wspaniale skomplikowana. Nie ma oczywistego powodu, dla którego to się zmienia c niewielkie ilości powinny powodować ciągłe przekraczanie granicy, ale gdy ją przybliżasz, pojawia się nieskończona ilość szczegółów.
Co więcej, zbiór Mandelbrota działa jak mapa zbiorów Julii. Wartości c w zbiorze Mandelbrota odpowiadają połączonym zbiorom Julii. Ale jeśli opuścisz zbiór Mandelbrota, wówczas odpowiedni zbiór Julii zostanie odłączony od pyłu.
Wprowadzenie
Pierwszy opublikowany obraz zbioru, przybliżony wykres składający się z zaledwie kilkuset gwiazdek, pojawił się w 1978 roku w artykule matematyków Roberta Brooksa i J. Petera Matelskiego, którzy badali pozornie niezwiązane ze sobą zagadnienia z teorii grup i geometrii hiperbolicznej.
To Mandelbrot rozpoznał i spopularyzował ten zestaw. Po użyciu komputerów IBM do wykreślenia setek zbiorów Julii próbował przedstawić je wszystkie jednocześnie. W 1980 roku, uzbrojony w znacznie bardziej wyrafinowaną moc obliczeniową niż Brooks i Matelski, ostatecznie wygenerował znacznie lepszą wersję zbioru Mandelbrota (choć wciąż prymitywną jak na dzisiejsze standardy). Od razu się zakochał i postanowił uczynić fraktal jak najbardziej publicznym obrazem. Z tego powodu zestaw został nazwany jego imieniem. (Sam Mandelbrot był niepopularny wśród matematyków ze względu na swój zwyczaj przeskakiwania z jednego przedmiotu na drugi bez udowadniania głębokich wyników oraz dlatego, że często stanowczo zabiegał o przypisanie sobie zasług za odkrycia takie jak zbiór Mandelbrota).
Obrazy komputerowe natychmiast przykuły uwagę niektórych z największych myślicieli matematyki. „Kiedy mogliśmy zobaczyć, co się dzieje, wszyscy bardzo się zainteresowali” – powiedział Kapiamba, który obecnie przebywa na stażu podoktorskim na Uniwersytecie Browna.
Wprowadzenie
Nikt nie spodziewał się, jak bogaty może być świat równań kwadratowych. „To tak, jakbyś otworzył geodę, prosto wyglądający kamień, a w środku znalazł wszystkie te kryształy – tę niesamowitą złożoną strukturę” – powiedział Anna Benini Uniwersytetu w Parmie we Włoszech.
„Matematycy widzieli rzeczy, których wcześniej nie wyobrażali sobie” – powiedział Avila. „Dziś wszyscy wiele zawdzięczamy tym odkryciom”.
W ciągu zaledwie kilku lat Hubbard i matematyk Adrien Douady udowodnili ogromną liczbę wyników zarówno dotyczących zbioru Mandelbrota, jak i reprezentowanych przez niego zbiorów Julii. Jednak ich korekty były pisane odręcznie, „zrozumiałe głównie dla Douady’ego i dla mnie” – napisał Hubbard. I tak w 1983 roku Douady napisał i wygłosił serię wykładów wyjaśniających te wczesne wyniki. Następnie zebrał materiał ze swoich wykładów w jeden dokument, nazwany notatkami Orsay. Mająca prawie 200 stron książka szybko stała się biblią dziedziny.
W notatkach Orsay Douady i Hubbard udowodnili kilka głównych twierdzeń, których motywacją były obrazy komputerowe, które widzieli. Pokazali, że zbiór Mandelbrota jest spójny — że można narysować linię z dowolnego punktu zbioru do dowolnego innego bez podnoszenia ołówka. Mandelbrot początkowo podejrzewał coś przeciwnego: na jego pierwszych zdjęciach plan zdjęciowy wyglądał jak jedna wielka wyspa otoczona mnóstwem małych dzieci pływających po morzu. Jednak później, po obejrzeniu zdjęć w wyższej rozdzielczości – w tym tych, na których wykorzystano kolor do zilustrowania, jak szybko równania poza zbiorem leciały do nieskończoności – Mandelbrot zmienił swoje przypuszczenia. Stało się jasne, że wszystkie te małe wysepki były połączone bardzo cienkimi wąsami. Wprowadzenie koloru „jest rzeczą bardzo przyziemną, ale ważną” – stwierdził Sørena Eilersa Uniwersytetu w Kopenhadze.
Zainteresowanie Douady'ego zbiorem Mandelbrota było zaraźliwe. W swoim mieszkaniu organizował wyszukane posiłki, przyjęcia i koncerty, chodził boso po korytarzach uniwersytetów, na których wykładał we Francji, a także głośno śpiewał w miejscach publicznych. (Często mylono go z ulicznym artystą). W późniejszych latach nigdy nie czytał prac matematycznych; zamiast tego zaprosił ich autorów do odwiedzenia i bezpośredniego wyjaśnienia mu pracy.
Wprowadzenie
„Porównałbym go do malarzy renesansu, którzy mieli wokół siebie szkołę uczniów” – powiedział Ksawery Buff, matematyk na Uniwersytecie w Tuluzie i jeden z byłych doktorantów Douady'ego. "To było bardzo ekscytujące."
Kluczową częścią notatek Orsaya było skromne stwierdzenie, które wkrótce stało się najważniejszym pytaniem dotyczącym zbioru Mandelbrota: hipoteza MLC.
MLC zakłada, że zbiór Mandelbrota jest nie tylko spójny; jest on połączony lokalnie — niezależnie od tego, jak bardzo powiększysz zbiór Mandelbrota, zawsze będzie on wyglądał jak jeden połączony element. Na przykład okrąg jest lokalnie połączony. Z drugiej strony grzebień o wyjątkowo drobnych zębach taki nie jest. Chociaż cały kształt jest połączony, jeśli pominiesz wałek i zamiast tego przybliżysz końcówki niektórych jego zębów, zobaczysz po prostu kilka oddzielnych segmentów linii.
Wprowadzenie
Pomimo tego, że jest to proste stwierdzenie na temat geometrii zbioru Mandelbrota, MLC szybko zyskało reputację niezwykle trudnego. Wielu matematyków wahało się, czy nad tym pracować. Wydawało się to bardzo techniczne i czasochłonne – stanowiło to ryzykowny problem. Niejeden matematyk ostatecznie porzucił matematykę z tego powodu. Avila aktywnie kieruje swoich uczniów z dala od MLC i pokrewnych obszarów badań, dopóki nie zdążą nauczyć się całej matematyki niezbędnej do zrobienia postępów. "Cytuję Król Lew i powiedzieć: „Spójrz, jest cała dynamika”. Wszystko, co widzisz, to Twoja domena. Ale jest ten ciemny zakątek, którego nie powinieneś badać… ponieważ jeśli odkryjesz tę część, wpadniesz w pułapkę i nigdy się nie wydostaniesz” – powiedział. „Musisz się wiele nauczyć, żeby się w to zaangażować”.
Ale niektórzy matematycy nie mogli się powstrzymać.
Tylko łącz
Misha Lyubich dorastała w latach 1960. XX wieku w Charkowie, drugim co do wielkości mieście Ukrainy. Stalin nie żył; Nikita Chruszczow sprawował władzę przez krótki czas, ale wkrótce został zastąpiony przez Leonida Breżniewa. Gospodarka radziecka rozkwitła, by w miarę upływu dekady popaść w stagnację. Napięcia z Zachodem osiągnęły najwyższy poziom w historii.
Ojciec Lyubicza był profesorem matematyki na Uniwersytecie w Charkowie, matka programistką; pamięta, jak inni matematycy przychodzili do jego domu, gdy był młody, gdzie matematyka zawsze wisiała w powietrzu i była częstym tematem rozmów. „Życie wokół mnie było matematyką” – powiedział.
Jako Żyd w Związku Radzieckim – gdzie „istniała polityka państwa, która próbowała wyeliminować Żydów z aktywnego zaangażowania w różnych dziedzinach” – powiedział Lyubicz – miał trudności z dostaniem się na najlepsze uniwersytety. Złożył podanie na Moskiewski Uniwersytet Państwowy, ale został odrzucony. Mimo że był czołowym uczniem i jednym z najwyżej notowanych uczestników prestiżowych konkursów olimpiad matematycznych w Związku Radzieckim, powiedziano mu, że nie zdał egzaminu ustnego. Egzaminatorzy nie chcieli mu powiedzieć, gdzie popełnił błąd.
Wprowadzenie
Skończył studia na Uniwersytecie w Charkowie, jednej z najlepszych uczelni licencjackich, która przyjmowała żydowskich studentów na podstawie zasług. Jego ojciec uczył przedmiotów, które studenci zazwyczaj mogli znaleźć tylko na moskiewskich uniwersytetach. (Moskwa była ośrodkiem postępu matematycznego w Związku Radzieckim). „To była wyjątkowa szansa, jaką dawał wówczas mój ojciec… zdobycia szerszej wizji matematyki” – powiedział Lyubich. W szczególności ojciec zachęcił go, aby zaczął myśleć o problemach związanych ze złożoną dynamiką – dziedziną, na którą w Związku Radzieckim w ogóle nie zwracano uwagi. „W tamtym czasie nie widzieliśmy nikogo, kto pracowałby w tym rejonie” – powiedział Lyubich. Szybko się uzależnił: to właśnie na studiach zaczął myśleć o matematyce „w zasadzie bez przerwy”.
Choć ukończył drugą klasę, miał trudności z dostaniem się na studia podyplomowe. Trafił ponad 2,000 km dalej, na Uniwersytet Stanowy w Taszkencie w Uzbekistanie, gdzie jego ojciec miał kolegów. Kontynuował badanie złożonej dynamiki, odizolowany i nieświadomy pracy Douady'ego i Hubbarda we Francji. „Byłem trochę samotny” – powiedział. „Było dość samotnie.”
Studenci uniwersytetu byli zobowiązani do pracy w rolnictwie w miesiącach jesiennych. „Uniwersytety w zasadzie opustoszały w październiku i listopadzie” – powiedział Lyubich. I tak znalazł się przy zbieraniu bawełny – Uzbekistan był wówczas głównym dostawcą bawełny do Związku Radzieckiego – na polach pod Taszkentem. Od wschodu do zachodu słońca, w trzydziestostopniowym upale, pochylał się nad roślinami, które miały zaledwie kilka stóp wysokości. Uważał się jednak za szczęściarza. Studenci musieli spełnić określony limit – na tyle wysoki, że „wymagało to umiejętności” – powiedział, i zamieniło się w katorżniczą pracę, której „nie byłbym w stanie wykonać”. Absolwenci nie musieli.
I tak „chodziłem po polach bawełny, myśląc o matematyce” – powiedział Lyubich. W szczególności zaczął myśleć o przestrzeni parametrów złożonych równań kwadratowych.
Choć na Zachodzie pojawiły się już pierwsze obrazy komputerowe, Lyubicz nie miał do nich dostępu. Zamiast tego w jego umyśle uformowały się podstawowe cechy zbioru Mandelbrota — centralny obszar fraktala w kształcie serca, zwany główną kardioidą, oraz aspekty szkieletu zbioru, który dzieli kształt na pół poziomo wzdłuż x-oś. „Po prostu stworzyłem sobie w głowie obraz i próbowałem go zrozumieć” – powiedział. „Nie miałem pojęcia, jak głębokie są pytania ukryte w tym obrazie”.
W marcu 1982 r. — gdy Lyubicz był jeszcze studentem — Johna Milnora, jeden z najwybitniejszych amerykańskich matematyków swojego pokolenia (wówczas profesor Instytutu Studiów Zaawansowanych), odwiedził Moskwę z wykładem. Ponieważ uczelnia elastycznie decydowała o tym, gdzie Lyubicz spędzał czas, o ile tylko zdał egzaminy i rozprawę doktorską (a także zbierał bawełnę), często jeździł do Moskwy na seminaria i spotkania z pracującymi tam matematykami. Tak się złożyło, że był tam, kiedy odwiedził go Milnor. Gdy Milnor skończył mówić, on i Lyubich chwilę porozmawiali.
Wprowadzenie
Ze względu na barierę językową albo spisali wszystko, albo poprosili jednego z kolegów Lyubicha o pomoc w tłumaczeniu. Dla Lyubicha stało się jasne, że po drugiej stronie żelaznej kurtyny prowadzone są podobne prace. „To był mój pierwszy kontakt w tym kierunku z zachodnią matematyką” – powiedział.
Po powrocie do domu Milnor rozpowszechnił informację o niektórych badaniach Lyubicha. „Komunikacja była bardzo słaba, ale miałem szczęście, że spotkałem Milnora” – powiedział Lyubich. I tak później Douady wysłał Lyubichowi kopię notatek Orsay, gdzie Lyubich po raz pierwszy dowiedział się o problemie MLC.
Jednak Lyubich tak naprawdę nie zaczął myśleć o MLC przez kilka kolejnych lat. Zajmował się innymi problemami i po doktoracie w 1984 r. wraz z żoną, także matematyczką, przeniósł się do Leningradu (obecnie Sankt Petersburg), gdzie po raz kolejny wykluczono go z pracy akademickiej ze względu na żydowskie pochodzenie. Przez następne pięć lat pracował zamiast tego jako nauczyciel w szkole średniej, jako programista w, jak to określił, „quasi-instytucie badawczym” (koncentrującym się na technologiach medycznych), a wreszcie jako modelarz w instytucie naukowym, który zajmował się kompleksowymi badaniami nad Arktykę i Antarktydę. Z każdą nową pracą był coraz bliżej możliwości skupienia się na swoich matematycznych zainteresowaniach w układach dynamicznych.
Przez te wszystkie lata pracował nad swoimi problemami matematycznymi. Uczęszczał na seminaria, spotykał się z innymi matematykami i nadal osiągał wyniki. „Nigdy nie przestałem” – powiedział Lyubich. „Widzisz, jeśli przestaniesz, bardzo trudno będzie odzyskać siły. Nie powinieneś się zatrzymywać.
To było wyczerpujące. Lyubich pamięta, że czuł się szczególnie wyczerpany po całym dniu nauczania licealistów, a potem zmusił się do spędzenia reszty wieczoru na pracy z matematyką. „Byłem sfrustrowany, że nie mogłem w pełni poświęcić się matematyce, a tego właśnie chciałem” – powiedział. Ale „w pewnym sensie zdecydowałem, że będę zajmować się matematyką bez względu na wszystko”.
„Miałem szczęście, że przyszła pierestrojka i pozwolono mi odejść” – dodał. „Nie wiem, jak długo będę w stanie to ciągnąć”. W 1989 roku on i jego żona uzyskali wizę umożliwiającą im opuszczenie Związku Radzieckiego jako uchodźcy. Mając w kieszeni zaledwie kilkaset dolarów, udali się najpierw do Wiednia, a następnie do Włoch, gdzie złożyli wniosek o wyjazd do Stanów Zjednoczonych. Po kilku miesiącach spędzonych w obozie dla uchodźców we Włoszech i oczekiwaniu na załatwienie dokumentów – w tym czasie Lyubich dorabiał, wygłaszając gościnne wykłady na lokalnych uniwersytetach – on i jego żona w końcu dotarli do Nowego Jorku. Tam Lyubich czekała na niego praca: Milnor (z którym Lyubich utrzymywał kontakt) zaprosił go do pracy w nowym Instytucie Nauk Matematycznych, który zakładał na Uniwersytecie Stony Brook.
Wprowadzenie
Będąc we Włoszech, Lyubich po raz pierwszy uzyskał dostęp do poczty elektronicznej i tam otrzymał e-mail od Douady’ego. (Douady był wczesnym zwolennikiem wykorzystywania poczty elektronicznej do dyskusji i współpracy matematycznej. „Dużo pracował, wymieniając się pomysłami z odległymi współpracownikami, co było czymś nowym w latach 80.” – powiedział Pierre Lavaurs, jeden z jego byłych studentów).
E-mail poinformował Lyubicha i innych matematyków w tej dziedzinie, że Jean-Christophe Yoccoz udowodnił lokalną łączność w prawie wszystkich punktach zbioru Mandelbrota: MLC była prawdziwa dla wartości c które nie znajdowały się w nieskończonym gnieździe mniejszych, samopodobnych kopii pełnego zestawu. (Yoccoz został później odznaczony Medalem Fieldsa, uważanym za najwyższe wyróżnienie matematyczne, częściowo za tę pracę).
Wprowadzenie
W e-mailu Douady dodał, że pełne rozwiązanie MLC jest tuż za rogiem. Nie tylko on był optymistą. „Byli ludzie, którzy myśleli, że poradzą sobie z lokalną łącznością na planie Mandelbrota w ciągu zaledwie kilku lat” – powiedział Davouda Cheraghiego z Imperial College London.
Zamiast tego pozostały dziesięciolecia pracy. MLC okazało się bardzo subtelnym, prawie niemożliwie trudnym problemem, nad którym tylko garstka matematyków była w stanie pracować. Wymagałoby to narzędzi z całej matematyki i opracowania nowej teorii, która na zawsze zmieniłaby dziedzinę złożonej dynamiki.
Przodował, uzbrojony w wytrwałość, która była częścią jego matematycznej podróży przez cały czas, był Lyubich.
Miasto w mieście
Mamy tendencję do myślenia o matematyce jako o najczystszej z nauk – jeśli w ogóle o niej myślimy jako o nauce. Temat ma reputację osoby abstrakcyjnej, oderwanej, kierującej się pięknem i logiką. Nie brudzi sobie rąk i nie zajmuje się niczym tak konkretnym jak „aplikacje”. (Jest to nawet w nazwie: odróżniamy „czystą matematykę” od „matematyki stosowanej”). Sposób pisania prac matematycznych nie pomaga: zazwyczaj publikowane są tylko końcowe dowody i twierdzenia, a nie zawiły proces, który do nich doprowadził.
Jest to jednak nowoczesna koncepcja matematyki, która zaczęła się umacniać dopiero pod koniec XIX wieku. Koncepcja ta rozwinęła się w miarę, jak matematycy starali się zaostrzyć swoje definicje, a pisanie formalnych dowodów stało się dla nich jedynym sposobem na zdobycie pracy i budowanie kariery. Zostało ono jeszcze bardziej wzmocnione w latach trzydziestych XX wieku, kiedy potężna, tajemnicza grupa matematyków zaczęła publikować wspólne prace pod pseudonim Nicolas Bourbaki. Ich etos zdominował myślenie matematyczne, zmierzając do rozebrania tej dyscypliny do podstaw i uczynienia jej tak formalną, jak to tylko możliwe.
Wprowadzenie
Jednak na długo przed tym matematycy – podobnie jak fizycy, biolodzy i chemicy – polegali na eksperymentach, aby odkrywać i udowadniać nowe zjawiska. Domyślali się, odrzucali hipotezy, szukali wzorców metodą prób i błędów. Dokonywali obliczeń, dokonywali obserwacji, zbierali dane. Zauważali podobieństwa, pewne liczby lub ciągi pojawiające się w nieoczekiwanych miejscach.
Giganci matematyki z XVIII i XIX wieku – Euler, Gauss, Riemann – wszyscy byli eksperymentatorami, którzy polegali na ogromnych ilościach obliczeń wykonywanych mozolnie, ręcznie. Gauss wysunął hipotezę o twierdzeniu o liczbach pierwszych (kluczowy wzór opisujący rozkład liczb pierwszych pomiędzy liczbami całkowitymi) sto lat przed jego faktycznym udowodnieniem. Stało się tak, ponieważ jako nastolatek przeglądał tabele liczb pierwszych i postanowił policzyć, ile ich jest w blokach po tysiąc liczb, aż do miliona. (Bez wątpienia Gauss byłby wdzięczny za dzisiejsze komputery.) Podobnie Riemann postawił swoją tytułową hipotezę, największy otwarty problem w matematyce, dopiero po wykonaniu stron obliczeń. Tych stron nie odkryto przez dziesięciolecia; do tego czasu wielu matematyków ogłaszało hipotezę Riemanna jako przykład tego, co można osiągnąć „samą czystą myślą”.
Nie ma takiej rzeczy. Na całe myślenie, matematyczne i inne, wpływa otaczający nas świat, technologie, ruchy filozoficzne i estetyka naszych czasów.
Pod tym względem filozofia Bourbaki – jej wymóg całkowitego rygoru i nacisk na twierdzenia ogólne zamiast na konkretne przykłady – stanowiła swego rodzaju objazd. Perspektywa matematyków na temat Bourbaki jest podzielona. Niektórzy twierdzą, że dało to niektórym dziedzinom bardzo potrzebny impuls w kierunku rygorystyczności. Inni mówią, że było to ograniczające, zamknięte, odcinające matematykę od innych źródeł inspiracji.
Wprowadzenie
Od lat 1970. wahadło zaczęło się cofać, popychane przez nowoczesne komputery, które zaoferowały matematykom zupełnie nowe sposoby eksperymentowania i zabawy. „Myślę, że ludzie na ogół zgadzają się, że sprawa z Bourbaki była w pewnym sensie pomyłką” – powiedział Eilers. „Ten bardzo abstrakcyjny pogląd nie jest zbyt przyjazny człowiekowi… po prostu nie w ten sposób powinna ewoluować ta dziedzina”.
W duchu eksperymentalnym Gaussa i Riemanna matematycy postawili jeden z najsłynniejszych współczesnych problemów otwartych — hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera, czyli pytanie dotyczące krzywych eliptycznych, za które rozwiązanie można otrzymać nagrodę w wysokości miliona dolarów — dopiero po użyciu komputera do generować góry danych. Wiele innych problemów powstało w podobny sposób. „Tak powstaje kiełbasa” – powiedział Rolanda Roedera Uniwersytetu Indiana – Uniwersytetu Purdue w Indianapolis. „To nie jest tak reklamowane, jak powinno”.
Matematycy używali komputerów do poszukiwania kontrprzykładów zarówno dla ustalonych przypuszczeń, jak i rodzących się hipotez. Używali ich do wyszukiwania i naprawiania błędów w starych próbach. Zwrócili się do nich, aby stworzyć nowe połączenia między różnymi dziedzinami. W wielu dziedzinach matematycy zaczęli polegać na komputerach przy wykonywaniu kluczowych obliczeń i wykonywaniu innych kroków w samym argumencie matematycznym.
W przypadku zbioru Mandelbrota komputery pomogły w uruchomieniu całego pola.
Jak mówią matematycy, komputery pozwoliły im traktować zbiór Mandelbrota jak miasto – fizyczną przestrzeń do eksploracji. Spędzali godziny, dni, lata przechadzając się po dzielnicach i ulicach, gubiąc się, zapoznając się z terenem. „Zaczynasz rozumieć coraz więcej i więcej, a za każdym razem, gdy wracasz, przypomina to powrót do domu” – powiedziała Luna Lomonaco z Narodowego Instytutu Matematyki Czystej i Stosowanej w Brazylii. „To naprawdę staje się częścią ciebie”.
Wprowadzenie
Ta znajomość jest wyraźna, gdy rozmawiasz z matematykami w terenie. Z łatwością poruszają się po różnych programach komputerowych, przybliżając określone miejsca, aby pokazać różne właściwości. Dudko opisuje te obrazy jako „jak język o złożonej dynamice”. Buff może dokładnie przewidzieć, gdzie według niego pojawi się mała kopia zestawu, zanim stanie się widoczna, na podstawie wyglądu niektórych gałęzi i wąsów. Kiedyś poproszono Chéritata o odtworzenie bez żadnych dodatkowych informacji plakatu przedstawiającego region znajdujący się głęboko w zbiorze Mandelbrota – i zrobił to. Douady najwyraźniej mógł spojrzeć na zbiór Julii i wiedzieć, jaka jest jego wartość c w zbiorze Mandelbrota, z którego pochodzi. Hubbard nadal nazywa zestawy Julii „starymi przyjaciółmi”.
„Badanie zbiorów Mandelbrota naprawdę przypomina eksperymentalną dziedzinę matematyki. Można odnieść wrażenie, że jest to dziedzina matematyki stosowanej, w przeciwieństwie do czystej dziedziny matematyki” – powiedział Kapiamba. „Po prostu bierzesz coś, co istnieje, a następnie próbujesz to przeanalizować i przeanalizować w sposób, który według mnie ma jakieś naturalne zjawisko, które próbujesz odkryć”.
„To nie jest coś, co tworzysz. To coś, co tam jest i co można eksplorować” – dodał Buff. „Wyraźnie jest tam na moim komputerze. Odwiedzam zbiór Mandelbrota. Być może są pewne miejsca w zbiorze Mandelbrota, których jeszcze nie odkryłem.
Ten obszar badań jest pełen takich odkryć. Odkryto mniejsze kopie samego zestawu oraz specyficzne wzory w wyglądzie jego czułków, włosów i innych ozdób. Nastąpiło odkrycie zakodowanej w zestawie sekwencji Fibonacciego — a także przybliżenia $latex pi$. Odkrycie zbiorów Mandelbrota miało miejsce zupełnie w innych kontekstach, na przykład podczas poszukiwania numerycznych rozwiązań równań sześciennych.
„Komputery pokazują nam rzeczy, które są kuszące i aż wołają, aby ktoś przyszedł i to wyjaśnił” – powiedział Kevina Pilgrima z Uniwersytetu Indiana w Bloomington. Co z kolei motywuje do stawiania właściwych pytań, jeśli nie odpowiedzi.
Wprowadzenie
Kiedy komputery ujawniły wszystkie te mniejsze kopie zbioru Mandelbrota, Douady i Hubbard chcieli wyjaśnić ich obecność. W końcu zwrócili się ku tak zwanej teorii renormalizacji – technice stosowanej przez fizyków do ujarzmiania nieskończoności w badaniu kwantowych teorii pola i łączenia różnych skal w badaniu przejść fazowych. Wcześniej nie cieszyło się to dużym zainteresowaniem matematyków; według ich standardów nie było to nawet rygorystyczne.
Jednak w latach 1970. fizyk Mitchell Feigenbaum wprowadził teorię renormalizacji do świata dynamiki, wykorzystując ją do wyjaśnienia szczególnego samopodobnego wzoru, który pojawia się podczas iteracji równań kwadratowych przy użyciu liczb rzeczywistych.
Douady i Hubbard zdali sobie sprawę, że renormalizacja była właśnie tym, czego potrzebowali, aby wyjaśnić bardziej skomplikowane samopodobne wzorce, które widzieli na ekranach komputerów. W ten sposób wymyślili, jak zastosować teorię renormalizacji do dynamiki zespolonej.
Od tego czasu prace nad MLC prowadzone przez Lyubicha i jego współpracowników popchnęły tę teorię dalej, niż ktokolwiek myślał, że jest to możliwe.
Imię dla każdej kropki
Kiedy Lyubich przybył do Nowego Jorku w lutym 1990 roku, kilka miesięcy po opuszczeniu Moskwy, miał okazję dowiedzieć się więcej o pracy, o której Douady tak podekscytowany napisał w swoim e-mailu.
Na początku to nie wynik MLC zafascynował Lyubicha, ale raczej techniki, które Yoccoz opracował, aby to udowodnić. „W jakiś sposób bardzo mi to odpowiadało” – powiedział. Interesowała go rzeczywista dynamika i odpowiedzi na pytania, które pojawiły się w związku z pracami Feigenbauma nad renormalizacją. Przez większą część lat 1990. Lyubich skupiał się na dalszym rozwijaniu metod Yoccoza, aby rozwiązać te otwarte problemy. Pod koniec dekady miał poczucie, że „w zasadzie uzyskał pełny opis dynamiki w warunkach rzeczywistych, korzystając z tej maszynerii” – powiedział.
Naturalną konsekwencją tej pracy był fakt, że Lyubich udowodnił MLC w wielu, choć nie wszystkich, przypadkach, których nie uwzględnił wynik Yoccoza.
Wprowadzenie
Nie byłoby to zaskoczeniem. Dowód Yoccoza pokazał MLC dla wszystkich punktów zbioru Mandelbrota z wyjątkiem tych znanych jako parametry „nieskończenie renormalizowalne” – punktów, które znajdowały się w nieskończenie zagnieżdżonych małych kopiach Mandelbrota. Jego wynik natychmiast zmienił MLC w problem ściśle powiązany z teorią renormalizacji.
To połączenie było ekscytujące. Na pozór wydawało się, że MLC należy do zupełnie innego zakątka pola. „Teoria renormalizacji rozwinęła się całkowicie niezależnie” – powiedział Lyubich. „A potem wszystko stało się częścią tej samej historii”.
W związku z tym Lyubich również zainteresował się rozwiązaniem problemu MLC.
Jeszcze zanim do walki wkroczyła renormalizacja, były już oznaki, że MLC jest kwestią o głębszym rezonansie.
W notatkach Orsay Douady i Hubbard wykazali, że jeśli MLC jest prawdziwa, to ma to również konsekwencje dla właściwości wnętrza zbioru Mandelbrota. Nie każdy punkt wewnątrz zbioru zachowuje się w ten sam sposób. Punkty głównej kardioidy odpowiadają funkcjom, które po iteracji od wartości początkowej równej zero zbiegają się do pojedynczej liczby. Punkty w innych płatach odpowiadają funkcjom, które ostatecznie oscylują między określoną liczbą różnych wartości. Na przykład największy płat na górze głównej kardioidy reprezentuje funkcje oscylujące pomiędzy trzema wartościami. Jednak w przypadku starannie wybranych punktów funkcja może generować ciągi, które pozostają ograniczone, ale nigdy nie oscylują — przeskakują między nowymi, odrębnymi wartościami.
Jeśli jednak MLC jest prawdziwa, Douady i Hubbard wykazali, że takie nieoscylujące sekwencje muszą być rzadkie — jest to właściwość zwana „gęstością hiperboliczności”, którą matematycy chcą udowodnić lub obalić w przypadku każdego badanego przez siebie układu dynamicznego. „To w zasadzie najważniejsze pytanie w dynamice, a nie tylko złożonej dynamice” – powiedział Lomonaco.
Wprowadzenie
Gęstość hiperboliczności dotyczy wnętrza zbioru Mandelbrota. Ale MLC umożliwiłoby także matematykom przypisanie adresu do każdego punktu na granicy zbioru. „Nadaje nazwę każdej kropce. A kiedy już będziesz w stanie nazwać każdą kropkę granicy zbioru Mandelbrota, możesz mieć nadzieję, że naprawdę ją całkowicie zrozumiesz” – powiedział Hubbard.
W ten sposób MLC mówi matematykom, że na ich obrazie zbioru niczego nie brakuje. Jednak bez dowodu nadal mogą istnieć pewne regiony, ukryte w najgłębszych zakątkach tego nieskończenie złożonego krajobrazu, które nie pojawiły się jeszcze na ekranach komputerów, a które zachowują się w zasadniczo odmienny sposób. Oznaczałoby to, że matematycy wciąż nie rozumieją części tej historii.
Pomyśl głęboko o prostych rzeczach
Jeremy Kahn dorastał w Nowym Jorku w latach 1970. jako syn pracownika socjalnego i pisarza naukowego. Już jako dziecko szybko dał się poznać jako geniusz matematyki. W tym temacie przeskoczył lata do przodu. W szóstej klasie uzyskał 790 punktów z części matematycznej egzaminu SAT. Napisał także własne programy komputerowe, aby głębiej badać różne koncepcje matematyczne. Mając 13 lat, został najmłodszą (wówczas) osobą, która zdobyła miejsce w amerykańskiej drużynie Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej. Brał udział w zawodach przez całe liceum, zdobywając dwa srebrne medale i dwa złote. W tym czasie zaczął także brać udział w kursach matematycznych na Uniwersytecie Columbia i ponownie udowodnił kilka twierdzeń (nie wiedząc, że zostały udowodnione) na tablicy, którą trzymał w swojej sypialni.
Po ukończeniu szkoły średniej podjął studia matematyczne na Uniwersytecie Harvarda. Tam zafascynował go zbiór Mandelbrota. Kiedy był na ostatnim roku studiów, całą swoją energię poświęcał jego zrozumieniu. Ponieważ w tamtym czasie nikt na Harvardzie nad tym nie pracował, jeździł rowerem na Uniwersytet Bostoński, aby uczyć się od tamtejszego matematyka o fraktalach i układach dynamicznych. Po ukończeniu studiów i zapisaniu się na studia doktoranckie na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley skupił się na geometrii hiperbolicznej — dziedzinie, którą matematycy wcześniej łączyli ze złożoną dynamiką, kiedy zbiór Mandelbrota stał się popularny.
Wprowadzenie
Kahn chciał wzmocnić to połączenie. Jako student ponownie udowodnił słynny wynik MLC Yoccoza, opierając się na przełomowej pracy wykonanej przez matematyków Dennisa Sullivana i Curta McMullena. Zaczął także myśleć o tym, jak zastosować koncepcje z geometrii hiperbolicznej do renormalizacji.
Kolega z klasy Kahna Kevina Pilgrima pamięta, jak wypełniał masywne arkusze papieru rysunkami krzywizn i pierścieni, obiektów geometrycznych, które ulegały degeneracji i zniekształceniu. „Zaczął bardzo, bardzo głęboko myśleć o tych sprawach” – powiedział Pilgrim. „Kiedy mówię „głęboko”, mam na myśli 15 lat”.
„Nieustępliwość Jeremy’ego w myśleniu o czymś naprawdę intensywnie jest niesamowita” – dodał.
Kahn szczególnie intensywnie myślał o renormalizacji. Studiował prace Lyubicha oraz Douady'ego i Hubbarda.
We wszystkich tych kontekstach renormalizacja jest sposobem na powiązanie ze sobą różnych skal układu dynamicznego. Rozważ dynamikę jednego równania kwadratowego. Punkty będą w określony sposób odbijać się od złożonej płaszczyzny. Renormalizacja pozwala opisać dynamikę wszystkich tych punktów, skupiając się tylko na ich niewielkim podzbiorze.
„Renormalizacja działa jak super potężny mikroskop, który pozwala zrozumieć struktury leżące na najgłębszym poziomie” – powiedział Romaina Dujardina Uniwersytetu Sorbona we Francji.
Zakres, w jakim możesz to zrobić, zależy od iterowanego równania. Czasami po prostu nie da się opisać jego dynamiki w kategoriach mniejszej części systemu. Możesz też użyć mikroskopu renormalizacyjnego, aby powiększyć rzeczy raz, dwa lub 10 razy, zanim osiągniesz punkt, w którym nie będziesz mógł już powiedzieć nic znaczącego na temat mniejszych skal.
Ale w przypadku funkcji związanych z parametrami, które można nieskończenie renormalizować, możliwe jest ciągłe stosowanie renormalizacji.
To delikatna procedura. „Nie da się tego zrobić w sposób przypadkowy” – stwierdził Lyubich. Musisz rygorystycznie pokazać, że możesz przechodzić z jednej skali do drugiej, nie tracąc przy tym zbytniej precyzji.
Pierwszym krokiem w tym kierunku jest uzyskanie ogólnej kontroli nad geometrią różnych skal. Ten krok można następnie wykorzystać do pokazania MLC dla danej wartości c w zbiorze Mandelbrota.
Wprowadzenie
Już jako student Kahn zastanawiał się, jak zastosować swoją wiedzę z geometrii hiperbolicznej do rozwiązania problemu. Jego badania wzbudziły zainteresowanie i na trzecim roku studiów podyplomowych przyjął stałą pracę w California Institute of Technology.
Wszystko wydawało się układać idealnie.
A potem zamarł.
W Caltech nie umiał pisać. Miał wyniki z czasów studiów, ale za każdym razem, gdy siadał przed komputerem, tracił całą siłę woli, jaką posiadał. „Nie byłem dobry w pisaniu” – powiedział. „Nie byłem dobry nawet w siadaniu i pisaniu. Więc nie spisałem tego wszystkiego. (Chociaż od tego czasu opublikował wiele artykułów, dopiero niedawno przekazał do publikacji niektóre z tych wczesnych prac).
Nie mógł też skupić swojej matematycznej uwagi. „Czasami popadałem w skrajność i chciałem udowodnić naprawdę wielkie twierdzenia, takie jak MLC lub P kontra NP. A potem wrócę do rzeczywistości” – powiedział. „Byłem zagubiony i nieszczęśliwy”.
Przez cztery lata w Caltech Kahn nie napisał ani jednej pracy. Stracił pracę.
I tak jesienią 1998 roku, mając niecałe 30 lat, a jego niegdyś obiecująca kariera legła w gruzach, „w pewnym sensie wróciłem do domu” do Nowego Jorku – powiedział Kahn.
Zadzwonił do Milnora i poprosił o radę. Milnor ponownie skontaktował go z Lyubichem, którego Kahn spotkał kilka razy na studiach. I tak „właśnie pojawiłem się w Stony Brook” – powiedział Kahn. „Misha była niesamowicie gościnna.” Obaj godzinami dyskutowali o matematyce. Kahn wspomina, że cały czas chodził do domu Lyubicha, jadł obiad z rodziną – Lyubich i jego żona mieli już wtedy córkę; później mieli sekundę - i wkrótce zostali przyjaciółmi. „Naprawdę mnie wciągnął” – powiedział Kahn. „To był światowej sławy matematyk i traktował mnie jak równego sobie, a nie jakieś zagubione dziecko”.
„Stał się dla mnie praktycznie drugim ojcem” – dodał.
Lyubich znalazł dla Kahna tymczasową posadę w Stony Brook, bez obowiązków dydaktycznych. Od końca lat 1990. do połowy XXI wieku Lyubich pomagał młodszemu matematykowi. Kiedy Lyubich spędził rok pracując na Uniwersytecie w Toronto, znalazł miejsce dla Kahna; kiedy wrócił do Stony Brook, zrobił to samo. Kiedy Kahn opuścił środowisko akademickie, aby przez rok pracować w funduszu hedgingowym, ale zdecydował, że to nie dla niego, Lyubich pomógł mu po raz kolejny. Kiedy u ojca Kahna zdiagnozowano raka i później zmarł, Kahn nie był w stanie pracować. Ale w końcu wrócił do Lubicza i Lubicz go powitał.
Wprowadzenie
Słysząc, jak Lyubich to opowiadał, rozpoznał, że Kahn miał bardzo ciekawe, czasem genialne pomysły. „Po prostu miał tę psychologiczną blokadę, którą musiał pokonać” – powiedział Lyubich. „Dlatego nadal go wspierałem, jak tylko mogłem”.
Chociaż przez te lata Kahn nadal często czuł się zagubiony, on i Lyubich nawiązali, jak to określił Kahn, „całkiem intensywną współpracę”. Dzięki temu był uziemiony. Obaj matematycy ujednolicili swoje podejścia do renormalizacji, co pozwoliło im również udowodnić MLC dla znacznie większej liczby parametrów.
„Ten rodzaj załamania mojej kariery dał mi możliwość podążania za Mishą” i wykonywania swojej pracy, powiedział Kahn. „To było odkładanie wielu elementów życia na później, nie celowo, ale w efekcie w celu udowodnienia tych twierdzeń”.
Praca Kahna i Lyubicha oznaczała ogromny przełom w teorii renormalizacji i MLC. Ale „zbiór Mandelbrota jest niezwykle przebiegły” – stwierdził Lyubich, ponieważ nie jest dokładnie samopodobny i wykazuje różne rodzaje samopodobieństwa. Jak to ujął Avila, „w miarę poruszania się w środku ma różne osobowości”. Te różne rodzaje samopodobieństwa odpowiadają bardzo różnej dynamice i dlatego wymagają różnych typów renormalizacji, aby powiązać jedną skalę z drugą.
Kahn i Lyubich opracowali jeden typ, ale rozwinęli swoje techniki tak daleko, jak tylko mogli. „Uderzyli w ścianę i wiedzieli, że uderzą w ścianę” – powiedział Mukherjee.
Aby udowodnić MLC dla innych części zbioru Mandelbrota, musieliby uzyskać podobny rodzaj kontroli geometrycznej, ale stosując inny typ – lub typy – renormalizacji.
Kahn i Lyubich nie byli zgodni co do najlepszego sposobu postępowania.
Postęp utknął w martwym punkcie.
Wprowadzenie
Każdy z nich zaczął pracować nad innymi problemami. Kahn powrócił do geometrii hiperbolicznej. Lyubich zastanawiał się, w jaki sposób mógłby zastosować pracę MLC do innych części złożonej dynamiki (a nawet do zagadnień fizyki).
„To dlatego w pewnym sensie nigdy tak naprawdę nie utkniesz w miejscu” – powiedział Lyubich, który w 2004 roku został dyrektorem Instytutu Nauk Matematycznych w Stony Brook. „Jeśli jutro ktoś znajdzie jednowierszowy dowód MLC we wszystkich przypadkach, czy unicestwi to wszystko, co zrobiliśmy wcześniej? Nie. Istnieje wiele problemów związanych z tą techniką.”
Między innymi z tego powodu nigdy nie czuł się sfrustrowany, gdy wydawało się, że sprawy na froncie MLC nie toczą się tak gładko. „Każdy krok w MLC otwiera wiele innych problemów” – powiedział.
W międzyczasie Kahn poczynił znaczące postępy w geometrii hiperbolicznej. Zaczęły napływać oferty stałego zatrudnienia. Mając nadzieję na nowy początek, w 2011 roku przeniósł się do Providence w stanie Rhode Island, aby objąć stanowisko profesora na Uniwersytecie Brown.
Ani Lyubich, ani Kahn nie przestali myśleć o MLC, ale oddalili się od siebie, zajęci swoimi obowiązkami.
Inni matematycy zajmujący się dynamiką zespoloną zaczęli podążać w różnych kierunkach — skupiając się na przestrzeniach parametrów jeszcze bardziej skomplikowanych niż zbiór Mandelbrota oraz na powiązaniu dynamiki zespolonej z teorią liczb.
Jednak w ostatnich latach Lyubich i Kahn przyjęli praktykantów i wznowili wysiłki, aby udowodnić MLC.
Wyrównanie
Około dziesięć lat temu Lyubich rozpoczął współpracę z Dimą Dudko.
Dudko dorastał w latach 1980. na Białorusi, gdzie jego zdolności matematyczne szybko stały się oczywiste dla otaczających go osób. (Reprezentował Białoruś na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej 15 lat po podeszłym wieku Kahna. Podobnie jak Kahn zdobył złoty medal). Później, gdy był studentem w Niemczech, jego doradca konsultował się z Lyubiczem w sprawie problemu, nad którym Dudko powinien popracować dla swojego dziecka. rozprawa. Postanowili zadać pytanie dotyczące zbioru Mandelbrota, na które nie spodziewali się, że Dudko będzie w stanie odpowiedzieć. Oświadczenie byłoby automatycznie następstwem MLC; doszli do wniosku, że bez pomocy MLC będzie w stanie w najlepszym wypadku poczynić w tej sprawie częściowe postępy.
Dudko znalazł sposób na obejście MLC i całkowicie rozwiązał problem.
Wprowadzenie
Po ukończeniu studiów podyplomowych w 2012 r. kontynuował pracę w Niemczech jako postdoktor, ale rozpoczął także współpracę z Lyubiczem. Z trzecim matematykiem, Nikitę Selingera z Uniwersytetu Alabama w Birmingham opracowali nową teorię renormalizacji. Lyubich i Dudko następnie wykorzystali to, aby wykazać, że MLC zachowuje niektóre z najtrudniejszych, nieskończenie renormalizowalnych parametrów ze zbioru Mandelbrota — dokładnie tych, do których nie można zastosować metod Lyubicha i Kahna. (Były student Lyubicha, Davoud Cheraghi i Mitsuhiro Shishikura z Uniwersytetu w Kioto, również opracowują techniki pozwalające zająć się niektórymi z tych wyjątkowych przypadków.)
„Ten przypadek jest tak inny, że zajęło to kolejne kilka dekad” – powiedział Lyubich. Wymagało to również oryginalnej myśli. Dudko, który prowadził niedawne seminarium MLC z Lyubichem w Danii, jest postrzegany jako gwiazda w swojej dziedzinie i ma intrygujący sposób patrzenia na sprawy. Najlepszym tego przykładem może być to, jak czasami szkicuje zbiór Mandelbrota jako zbiór kwadratów, a nie okręgi, które zwykle rysuje większość matematyków.
„Zaskoczyło mnie, że można rozwiązać te problemy” – powiedział Lyubich. „To, co ostatnio zrobiliśmy, wykracza poza wszystko, co robiłem wcześniej”.
Próbując zebrać wszystkie te wyniki w jednym miejscu, Lyubich napisał serię podręczników na temat zbioru Mandelbrota, MLC i pokrewnych prac w złożonej dynamice. Do tej pory napisał ponad 700 stron, podzielonych na dwa z planowanych czterech tomów. „Mam nadzieję, że kiedy skończę z czwartym tomem, będzie tam MLC” – powiedział.
Podobnie jak Lyubich, Kahn znalazł młodszego protegowanego. Pomysł zwerbowania Alexa Kapiamby po raz pierwszy przyszedł do Kahna we śnie. Był na konferencji w 2019 roku. Od kilku miesięcy on, Lyubich i Dudko spotykali się regularnie, aby omówić postępy w MLC – co natychmiast znalazło odzwierciedlenie w śnie, w którym cała trójka jechała autobusem. „A potem widzę, jak czwarta osoba wsiada do autobusu i w zasadzie to jest cały sen” – powiedział Kahn. „A potem się budzę i myślę, że Alex Kapiamba jest tą czwartą osobą”.
Następnego dnia umówił się na spotkanie z Kapiambą, aby omówić swoje badania. Kapiamba pracuje obecnie z Kahnem na stanowisku postdoc w Brown, a jesienią przeniesie się na Harvard.
Kiedy w zeszłym roku spotkałem Kapiambę, jego ramię było na temblaku; kilka dni wcześniej zwichnął ramię, grając w Ultimate Frisbee. (Podczas studiów podyplomowych grał półprofesjonalnie w drużynie Detroit Mechanix i nadal gra w lidze klubowej). Okazał skromnie, jak bardzo sądził, że będzie w stanie wnieść wkład w wysiłki MLC. „To trochę przerażające” – powiedział. „Zdecydowanie czuję jakiś syndrom oszusta”.
„Chcę po prostu wziąć udział i zrobić coś, zanim będzie za późno” – dodał.
Wprowadzenie
Kapiamba nie planował studiować matematyki. Jako student Oberlin College w Ohio, zaczynał jako absolwent biochemii; matematyką zainteresował się dopiero pod koniec pierwszego roku studiów, po ukończeniu kursu z topologii. „W biochemii najbardziej podobało mi się zrozumienie struktury rzeczy” – powiedział Kapiamba. „A matematyka tak naprawdę próbuje po prostu badać strukturę w jej najprostszej formie. Naprawdę miałem wrażenie, że to te części biologii lub chemii, które naprawdę mi się podobały, sprowadzone do czystej formy. Mógłbym po prostu zrobić tę część.
Po ukończeniu studiów w 2014 roku nie był pewien, co chce robić. Aby być blisko rodziny, przeprowadził się do Waszyngtonu i znalazł pracę w piekarni oraz jako nauczyciel. W tym czasie zaczął rozważać karierę matematyczną. Wkrótce rzucił pracę w piekarni i przez następne dwa lata nadal udzielał korepetycji, studiując w wolnym czasie matematykę na wyższym poziomie, przeglądając materiał, którego nauczył się podczas studiów licencjackich („aby zyskać inny punkt widzenia”, powiedział) i biorąc udział w kursach online. „Chciałem czuć się bardzo przygotowany” – powiedział. W 2016 roku rozpoczął studia magisterskie na Uniwersytecie Michigan.
Jako student studiów magisterskich zaczął pracować nad zagadnieniem dotyczącym geometrii Mandelbrota ustawionego w pobliżu wierzchołka jego głównej kardioidy, gdzie z płytkiej doliny maszeruje parada słoni. W miarę zbliżania się do doliny słonie wydają się być coraz bliżej siebie. Dlatego przypuszcza się, że w miarę zbliżania się do najgłębszego punktu doliny odległość między słoniami zmniejszy się do zera. „To oczywiste” – powiedział Kapiamba, wskazując na ekran komputera, na którym powiększył słonie, żebym mógł je zobaczyć. Naprawdę wyglądali, jakby się dotykali.
Kluczowa część jego argumentacji opierała się na bezceremonialnej uwadze zawartej w starej pracy doktorskiej. 73-stronicowa rozprawa, napisana w całości po francusku, została ukończona w 1989 roku, ale nigdy nie została opublikowana. Jej autor porzucił matematykę zaledwie rok później, rozczarowany i sfrustrowany problemem, który miał nadzieję rozwiązać: MLC.
Wprowadzenie
Kapiamba przeczesywał tekst, często gubiąc się w jego stronach, nie zdając sobie sprawy, że zegar już dawno wybił północ, opierając się na francuskim, który znał z liceum i Tłumaczu Google. Ubolewał, że nie został wychowany tak, aby mówić po francusku. Zarówno jego ojciec, pochodzący z Demokratycznej Republiki Konga, jak i matka, która poznała go tam podczas służby w Korpusie Pokoju, mówili biegle tym językiem. Jednak para przeniosła się do Maryland na krótko przed narodzinami Kapiamby i chcąc pomóc ojcu w jak najszybszej nauce języka angielskiego, w domu rozmawiali tylko po angielsku.
W końcu Kapiamba zdał sobie sprawę, że nie zapomniał o pewnym kroku w logice pracy dyplomowej. Jej autor popełnił błąd. Jego twierdzenie było prawdopodobnie słuszne, ale uzasadnienie go nie utrzymało się. Dlatego Kapiamba skupił się na naprawieniu błędu.
Pozwalał, żeby wszystko się zagotowało, tak jak czekał, aż chleb wyrośnie. (Nadal piecze, żeby się skupić. Cieszy się, że daje mu to możliwość zrobienia czegoś własnymi rękami.) W ciągu następnych kilku lat w końcu znalazł dowód. Aby to zrobić, musiał wzmocnić twierdzenie, którego Yoccoz użył w swoim oryginalnym dowodzie MLC, dotyczące wielkości słoni.
Praca całkowicie zaskoczyła społeczność zajmującą się dynamiką złożoną. Obrazy komputerowe wykazały już, że pewne obszary zbioru Mandelbrota wydają się kurczyć znacznie, znacznie szybciej, niż sugerowało twierdzenie Yoccoza, co oznaczało, że jego stwierdzenie można było wzmocnić. „Jeśli po prostu narysujesz kilka zdjęć i przyjrzysz się im, zobaczysz, och, wygląda na to, że oprawa, którą daje nam Yoccoz, jest bardzo, bardzo zła” – powiedział Kapiamba. Ale nikt nie był w stanie tego poprawić.
Aż do Kapiamby. Jego praca dotyczyła tylko niektórych regionów zbioru Mandelbrota; matematycy mają nadzieję, że dla całego zbioru uda się wykazać mocniejszą wersję twierdzenia Yoccoza. Mimo to „ludzie byli naprawdę podekscytowani” – powiedział Benini. „Każdy, kto nad tym pracuje, wie, że to musi być prawda; po prostu nie wiedzieli, jak to udowodnić.
Lomonaco i inni matematycy wykorzystali już wynik Kapiamby do udowodnienia własnych twierdzeń. Ale jest to również postrzegane jako potencjalny filar przyszłego dowodu MLC.
Laboratorium i przewodnik
Na zeszłorocznej konferencji po raz ostatni matematycy zgromadzili się w starej bazie wojskowej w Danii. Uniwersytet Roskilde, sponsor cyklu warsztatów, zrezygnował w tym roku z dzierżawy lokalu.
Jeśli Lyubich, Kahn, Dudko i Kapiamba połączą swoje różne podejścia, aby w końcu udowodnić MLC, będzie to oznaczać koniec innej ery — ery, która rozpoczęła się, gdy Mandelbrot, Hubbard i Douady po raz pierwszy zobaczyli fraktal pojawiający się na ekranach swoich komputerów.
Wprowadzenie
Ostatnie półwiecze eksploracji zbioru Mandelbrota stało się możliwe dzięki rozwojowi grafiki komputerowej. Matematyka generująca fraktal jest prosta: naprawdę wystarczy tylko wiedzieć, jak dodawać i mnożyć. Jednak rysunki, które rozsławiły ten zestaw, nie mogły zostać wykonane ręcznie. Polegali na wykonywaniu tych prostych obliczeń miliony razy, co nie było możliwe bez komputerów.
W zasadzie matematyk-wizjoner mógłby mieć w umyśle migawkę tego zestawu setki lat temu. Jednak w miarę rozwoju historii, chociaż geniusz może czasami dojrzeć za horyzontem, technologia wpłynęła na to, co można sobie wyobrazić. Na przykład Fatou „była w stanie formułować przypuszczenia, nie widząc zbioru Mandelbrota” – powiedział Buff. Ale Fatou mogła zajść tylko tak daleko. Jakkolwiek potężna mogła być jego wyobraźnia, pod zbiorem Mandelbrota wiruje świat bogactwa, który był dla niego niedostępny, ale dziś łatwo widoczny dla przeciętnego człowieka.
Lyubich w swojej pracy nie wykorzystuje komputerów. „Mój sposób myślenia jest bardzo wizualny” – powiedział. „To bardzo geometryczne. Myślę obrazami – ale po prostu rysuję mniej lub bardziej prymitywne obrazy, ręcznie lub w myślach. Nigdy nie korzystam z komputerów w żaden znaczący sposób. (Żartuje, że być może winę za to ponosi praca programisty, którą przez krótki czas piastował w Leningradzie przed emigracją. „Odpychało mnie to” – powiedział.) Niemniej jednak żyje w świecie przesiąkniętym obliczeniami. Po powrocie na pola bawełny w Uzbekistanie on także doszedł tak daleko jedynie dzięki puszczeniu wodzy wyobraźni. „To Douady i Hubbard dostrzegli kolejny poziom głębi” – powiedział, korzystając z komputerów dostępnych w latach 1980. Przez dziesięciolecia Lyubich widział, jak jego współpracownicy używają komputerów jako laboratorium i przewodnika. Wspomina, że w swojej jedynej wspólnej pracy z Milnorem Milnor przeprowadził kilka eksperymentów komputerowych, aby poprowadzić dowód we właściwym kierunku. A Dudko, pracując z Lyubiczem, raz po raz wraca do komputera. „Jest bardzo dobry w interpretowaniu tego, co widzi” – powiedział Lyubich – „w tłumaczeniu tych obrazów na język matematyczny i formułowaniu bardzo głębokich przypuszczeń”.
Galileusz odkrył księżyce Jowisza nie tylko dlatego, że opracował odpowiednią teorię, która pozwalała mu zrozumieć to, co widział, ale także dlatego, że miał teleskop. Podobnie istnieją całe połacie matematycznego wszechświata, które pozostają ukryte, dopóki zmiany technologiczne nie sprawią, że staną się widoczne. Nie można ich odkryć czystą myślą, tak jak księżyców Jowisza nie można rozpoznać przez mrużenie oczu.
Jeśli rewolucja obliczeniowa lat 1970. i 80. XX w. umożliwiła eksplorację kontynentu Mandelbrota, matematycy mogliby dziś znaleźć się o krok od kolejnego takiego punktu krytycznego. Sztuczna inteligencja dopiero zaczyna być wykorzystywana do formułowania merytorycznych przypuszczeń i udowadniania znaczących wyników matematycznych. Trudno – być może niemożliwe – ocenić z całą pewnością jego potencjał. („Musimy spróbować wytrenować sieć neuronową, aby przybliżała zbiór Mandelbrota” – zażartował Kapiamba.) Ale jeśli historia zbioru Mandelbrota jest historią tego, jak matematycy mogą używać czystej myśli do badania perspektywy otwartej przez technologię , następny rozdział pozostaje do napisania.
„Nigdy nie miałem poczucia, że moja wyobraźnia jest na tyle bogata, aby wymyślić te wszystkie niezwykłe rzeczy” – powiedział kiedyś Mandelbrot. „Byli tam, mimo że nikt ich wcześniej nie widział”.
- Dystrybucja treści i PR oparta na SEO. Uzyskaj wzmocnienie już dziś.
- PlatoData.Network Pionowe generatywne AI. Wzmocnij się. Dostęp tutaj.
- PlatoAiStream. Inteligencja Web3. Wiedza wzmocniona. Dostęp tutaj.
- PlatonESG. Węgiel Czysta technologia, Energia, Środowisko, Słoneczny, Gospodarowanie odpadami. Dostęp tutaj.
- Platon Zdrowie. Inteligencja w zakresie biotechnologii i badań klinicznych. Dostęp tutaj.
- Źródło: https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/
- :ma
- :Jest
- :nie
- :Gdzie
- ][P
- $ 1 mln
- $W GÓRĘ
- 000
- 10
- 13
- 15 roku
- 15%
- 1985
- 1998
- 19
- 20
- 20 roku
- 200
- 2011
- 2012
- 2014
- 2016
- 2019
- 2023
- 22
- 30
- 40
- 60
- 700
- a
- Zdolny
- O nas
- ABSTRACT
- AC
- Akademia
- akademicki
- Akademia
- zaakceptowany
- dostęp
- Stosownie
- osiągnięty
- w poprzek
- aktywnie
- Dzieje Apostolskie
- faktycznie
- Dodaj
- w dodatku
- Dodatkowy
- Dodatkowe informacje
- adres
- adresowanie
- zaawansowany
- zaliczki
- Rada
- doradca
- rzecznik
- Po
- ponownie
- wiek
- w wieku
- temu
- Rolniczy
- przed
- AIR
- Alabama
- alex
- Wszystkie kategorie
- dozwolony
- pozwala
- prawie
- sam
- wzdłuż
- wzdłuż
- już
- również
- zawsze
- zdumiewający
- amerykański
- wśród
- kwoty
- an
- analiza
- w czasie rzeczywistym sprawiają,
- analizowane
- i
- ogłosił
- Inne
- odpowiedź
- sekretarka
- odpowiedzi
- Przewiduje
- każdy
- ktoś
- wszystko
- osobno
- Apartament
- zjawić się
- pojawił się
- pojawia się
- Zastosowanie
- stosowany
- Aplikuj
- Stosowanie
- wyznaczony
- podejście
- awanse
- arktyczny
- SĄ
- POWIERZCHNIA
- obszary
- prawdopodobnie
- argument
- powstające
- ARM
- uzbrojony
- Armia
- na około
- ułożone
- przylot
- przybył
- Sztuka
- Arthur
- sztuczny
- sztuczna inteligencja
- AS
- zapytać
- zapytał
- pytanie
- aspekty
- powiązany
- astronomia
- At
- uczęszczać
- uczestnicy
- uczestniczyć
- Uwaga
- Przyciąga
- publiczność
- Sierpnia
- autor
- Autorzy
- automatycznie
- dostępny
- średni
- Stephen Schwartz wygrywa
- z dala
- Niemowlę
- z powrotem
- Kręgosłup
- Łazienka
- pieczenie
- bariera
- baza
- na podstawie
- podstawowy
- Gruntownie
- BE
- Niedźwiedź
- piękny
- Uroda
- stał
- bo
- stają się
- staje się
- staje
- być
- zanim
- rozpoczął
- Początek
- zaczął
- zachować się
- zachowanie
- zachowania
- za
- jest
- Białoruś
- Berkeley
- BEST
- najlepiej sprzedający się
- Ulepsz Swój
- pomiędzy
- Poza
- Duży
- Najwyższa
- biologia
- Birmingham
- Bit
- Blokować
- Bloki
- wzmocniony
- książka
- Książki
- granica
- urodzony
- boston
- Boston University
- obie
- Odbić się
- związany
- hojność
- gałęzie
- odważny
- Brazylia
- Chleb
- przerwa
- przełom
- krótko
- błyskotliwy
- Bringing
- szerszy
- szeroko
- Złamany
- przyniósł
- brązowy
- Brown University
- polerować
- budować
- Budowanie
- wybudowany
- Pęczek
- autobus
- zajęty
- ale
- by
- Obliczenia
- California
- nazywa
- Połączenia
- oprawa ołowiana witrażu
- Obóz
- CAN
- Rak
- nie może
- Zajęte
- Kariera
- kariery
- ostrożny
- ostrożnie
- noszenie
- wodospady
- walizka
- Etui
- katalog
- katalogi
- Spowodować
- cementowane
- Centrum
- centralny
- Wiek
- pewien
- szansa
- zmiana
- zmieniony
- wymiana pieniędzy
- Chaos
- Rozdział
- charakteryzować
- chemia
- Apteka
- dziecko
- wybrany
- Okrągłe
- koła
- Miasto
- roszczenie
- klasa
- jasny
- wyraźnie
- zegar
- Zamknij
- bliższy
- Zamyka
- najbliższy
- klub
- Wybrzeże
- wymyślony
- współpracę
- współpraca
- współpraca
- współpracownicy
- Zawalić się
- koledzy
- Studentki
- kolor
- Columbia
- połączyć
- jak
- byliśmy spójni, od początku
- przyjście
- Komunikacja
- społeczność
- porównać
- konkurencja
- Konkursy
- skompilowany
- kompletny
- Zakończony
- całkowicie
- wypełniając
- kompleks
- skomplikowane
- wszechstronny
- obliczenia
- obliczeniowy
- obliczenia
- komputer
- Grafika komputerowa
- ekran komputera
- wygenerowane komputerowo
- komputery
- computing
- moc obliczeniowa
- pojęcie
- konstrukcja
- Koncepcje
- Troska
- koncerty
- beton
- Konferencja
- pewność siebie
- Kongo
- przypuszczenie
- Skontaktuj się
- połączony
- połączenie
- połączenia
- Łączność
- konsekwencja
- Rozważać
- znaczny
- za
- stanowić
- skontaktuj się
- konteksty
- kontynent
- kontynuować
- nadal
- ciągły
- przyczynić się
- składki
- kontrola
- zbieżny
- Rozmowa
- Kopenhaga
- kopie
- rdzeń
- Cornell
- Corner
- rogi
- korpus
- skorygowania
- Odpowiedni
- mógłby
- liczyć
- Para
- kurs
- kursy
- pokrywa
- pokryty
- Stwórz
- twórca
- kredyt
- przejście
- istotny
- surowy
- Płacz
- kultura
- Aktualny
- Obecnie
- kurtyna
- Wierzchołek
- tnący
- DC
- uszkodzić
- duński
- Ciemny
- dane
- David
- dzień
- Dni
- martwy
- sprawa
- Promocje
- debata
- dekada
- lat
- zdecydować
- postanowiła
- dedykowany
- dedykowane
- głęboko
- głębiej
- najgłębszy
- głęboko
- Zdecydowanie
- definicje
- dostarczona
- demokratyczny
- Dania
- W zależności
- zależy
- przedstawiający
- głębokość
- opisać
- opisuje
- opis
- Mimo
- detal
- Detailing
- rozwijać
- rozwinięty
- rozwijanie
- oprogramowania
- ZROBIŁ
- zmarł
- różne
- trudny
- Obiad
- kierunek
- bezpośrednio
- Dyrektor
- znikać
- dyscyplina
- odłączony
- odkryj
- odkryty
- odkrycie
- dyskutować
- dyskusje
- różny
- dystans
- odrębny
- rozróżniać
- Wybitny
- dystrybuowane
- podzielony
- oszałamiający
- do
- Dok
- Lekarze
- dokument
- dokumentalny
- robi
- Nie
- robi
- dolarów
- domena
- dominować
- zrobić
- nie
- sala sypialna
- DOT
- wątpić
- na dół
- rysować
- Rysunki
- marzenie
- napędzany
- dubbingowane
- z powodu
- podczas
- Kurz
- dynamika
- każdy
- chętny
- Wcześniej
- Wcześnie
- łatwość
- łatwo
- ekonomia
- gospodarka
- efekt
- wysiłek
- starania
- bądź
- Opracować
- element
- Elementy
- wyeliminować
- Eliptyczny
- wyłaniać się
- wyłonił
- wyłania się
- nacisk
- umożliwiać
- spotkanie
- zachęcać
- zakończenia
- zakończony
- Nieskończony
- energia
- Angielski
- cieszył się
- dość
- zapisany
- wpisana
- Cały
- całkowicie
- wejście
- równy
- równania
- Era
- błąd
- uciec
- istotnie
- ustanowiony
- Etos
- Parzyste
- wieczór
- ostatecznie
- EVER
- Każdy
- codzienny
- wszystko
- wszędzie
- ewoluuje
- dokładnie
- egzamin
- przykład
- przykłady
- Z wyjątkiem
- wymiana
- podniecony
- ekscytujący
- na przykładzie
- eksponaty
- oczekiwać
- eksperyment
- eksperymentalny
- eksperymenty
- ekspert
- Wyjaśniać
- eksploracja
- odkryj
- Odkrywcy
- dużym
- stopień
- dodatkowy
- nadzwyczajny
- niezwykle
- skrajności
- oko
- Oczy
- Ezra
- Twarz
- Łatwość
- nie
- Spadać
- słynny
- znajomy
- Znajomość
- członków Twojej rodziny
- sławny
- Fani
- daleko
- szybciej
- wykonalny
- Korzyści
- luty
- czuć
- uczucie
- czuje
- stopy
- facet
- błąd
- kilka
- Fibonacciego
- Fikcja
- pole
- Łąka
- dziki
- wzorzysty
- opiłki
- wypełniać
- finał
- W końcu
- Znajdź
- koniec
- i terminów, a
- pierwszy kontakt
- pierwszy raz
- pięć
- Fix
- elastyczne
- unoszący się
- piętro
- pływ
- Skupiać
- koncentruje
- skupienie
- obserwuj
- następujący
- W razie zamówieenia projektu
- wytrzymałość
- główny
- na zawsze
- wykuć
- Nasz formularz
- formalny
- Dawny
- formuła
- szczęśliwy
- znaleziono
- Fundamenty
- założyciele
- cztery
- Czwarty
- frakcyjny
- rozdrobniony
- Francja
- Darmowy
- Wolna wola
- Wolność
- francuski
- częsty
- świeży
- przyjaciele
- od
- z przodu
- udaremniony
- pełny
- w pełni
- funkcjonować
- Funkcje
- fundusz
- fundamentalny
- zasadniczo
- dalej
- przyszłość
- zdobyte
- zyskuje
- Galaktyki
- zebrany
- zbierać
- zebrane
- wskaźnik
- dał
- Ogólne
- ogólnie
- Generować
- generuje
- generujący
- generacja
- Pokoleń
- hojny
- geniusz
- Geoda
- geometria
- Niemcy
- otrzymać
- miejsce
- gigantów
- Dać
- dany
- daje
- Dający
- Dojrzeć
- Go
- Goes
- będzie
- Złoto
- poszedł
- dobry
- tłumacz Google
- got
- chwycić
- stopień
- absolwent
- wielki
- wykres
- grafika
- chwycić
- wspaniały
- większy
- wzrosła
- uziemiony
- Zarządzanie
- Rozwój
- Gość
- poprowadzi
- nawyk
- miał
- Pół
- ręka
- garstka
- siła robocza
- zdarzyć
- się
- Wydarzenie
- dzieje
- Zaoszczędzić
- Ciężko
- Harmonia
- harvard
- Harvard University
- Have
- mający
- he
- głowice
- Zdrowie
- słyszeć
- żywopłot
- fundusze hedgingowe
- Trzymany
- pomoc
- pomógł
- tutaj
- Niezdecydowany
- Ukryty
- Wysoki
- wysoki profil
- Najwyższa
- go
- samego siebie
- jego
- historia
- Dobranie (Hit)
- przytrzymaj
- posiada
- Strona główna
- honor
- nadzieję
- nadzieję
- horyzont
- Szpital
- gospodarz
- GODZINY
- dom
- W jaki sposób
- How To
- Jednak
- HTML
- http
- HTTPS
- olbrzymi
- pokorny
- cetnar
- Setki
- i
- IBM
- ikoniczny
- pomysł
- pomysły
- if
- zilustrować
- obraz
- zdjęcia
- wyimaginowany
- wyobraźnia
- obraz
- wyobrażam sobie
- natychmiast
- Imperial
- Imperial College
- Imperial College London
- implikacje
- ważny
- niemożliwy
- podnieść
- in
- W innych
- niedostępny
- Włącznie z
- Dochód
- niewiarygodnie
- niezależny
- niezależnie
- Indie
- Indiana
- wskazany
- Indywidualnie
- Nieskończoność
- pod wpływem
- Informacja
- poinformowany
- początkowo
- szkoda
- wkład
- wewnątrz
- Inspiracja
- inspirować
- inspirowane
- przykład
- natychmiast
- zamiast
- Instytut
- instytucje
- instrukcje
- Inteligencja
- zamiar
- współdziała
- odsetki
- zainteresowany
- ciekawy
- zainteresowania
- wnętrze
- na świecie
- przerwane
- ściśle
- najnowszych
- zawiły
- intrygancki
- Wprowadzenie
- dochodzenie
- zaproszony
- zaangażowany
- dotyczy
- wyspa
- Wyspy
- odosobniony
- problem
- IT
- Włochy
- iteracja
- JEGO
- samo
- james
- żydowski
- Praca
- Oferty pracy
- John
- połączenie
- podróż
- julia
- Jupiter
- właśnie
- tylko jeden
- Trzymać
- trzymane
- Klawisz
- Uprzejmy
- Wiedzieć
- Wiedząc
- wiedza
- znany
- wie
- praca
- laboratorium
- krajobraz
- krajobrazy
- język
- duży
- największym
- Nazwisko
- Ostatni rok
- Późno
- później
- prowadzić
- Liga
- UCZYĆ SIĘ
- dowiedziałem
- nauka
- Pozostawiać
- pozostawiając
- wykłady
- Doprowadziło
- lewo
- mniej
- niech
- najmu
- poziom
- kłamstwo
- życie
- Modernizacja
- lubić
- Prawdopodobnie
- Ograniczony
- zatyczka
- Linia
- prążkowany
- podszewka
- LINK
- lew
- słucha
- wykazy
- literacki
- mało
- relacja na żywo
- Zyje
- życie
- miejscowy
- lokalnie
- lokalizacja
- logika
- Londyn
- długo
- od dawna
- dłużej
- Popatrz
- wygląda jak
- wyglądał
- poszukuje
- stracić
- utraty
- stracił
- Partia
- dużo
- głośno
- miłość
- szczęście
- Luna
- maszyny
- zrobiony
- magazyn
- Główny
- poważny
- robić
- WYKONUJE
- Dokonywanie
- mężczyzna
- wiele
- mapa
- March
- znak
- wyraźny
- Maryland
- masywny
- mistrz
- mistrzowski
- materiał
- matematyka
- matematyczny
- matematyka
- Materia
- może
- me
- posiłki
- oznaczać
- znaczenie
- wymowny
- mechanizm
- Medale
- medyczny
- Poznaj nasz
- Spotkanie
- Zasługa
- wiadomość
- spełnione
- metody
- Michigan
- Mikroskop
- Środkowy
- północ
- może
- Wojsko
- milion
- miliony
- nic
- brakujący
- błąd
- błędy
- Nowoczesne technologie
- skromny
- moment
- miesięcy
- Księżyce
- jeszcze
- Moskwa
- większość
- mama
- zmotywowani
- ruch
- przeniósł
- Ruchy
- przeniesienie
- dużo
- bardzo potrzebne
- Mukherjee
- wielokrotność
- musi
- my
- sam
- Nazwa
- O imieniu
- opowiadane
- powstający
- narodowy
- Naturalny
- Natura
- Nawigacja
- Blisko
- prawie
- Potrzebować
- potrzebne
- Nest
- sieć
- Nerwowy
- sieci neuronowe
- nigdy
- Niemniej jednak
- Nowości
- I Love New York
- nowy jork
- Najnowszy
- Następny
- nisza
- Nicolas
- Nie
- ani
- Północ
- noty
- Uwagi
- nic
- Pojęcie
- listopad
- już dziś
- numer
- z naszej
- liczbowy
- obiekty
- obserwacje
- obserwować
- przeszkoda
- uzyskane
- oczywista
- październik
- of
- poza
- oferta
- oferowany
- Oferty
- Oficerowie
- często
- oh
- Ohio
- Stary
- on
- pewnego razu
- ONE
- te
- Online
- tylko
- na
- koncepcja
- otwierany
- otwarcie
- Okazja
- przeciwny
- naprzeciwko
- Optymistyczny
- or
- ustny
- Orbita
- zamówienie
- Zorganizowany
- oryginalny
- Inne
- Pozostałe
- Inaczej
- ludzkiej,
- na zewnątrz
- zarys
- wydajność
- zewnętrzne
- wybitny
- koniec
- Przezwyciężać
- własny
- stron
- Malarstwo
- Papier
- Papiery
- Papierkowa robota
- Paradoks
- parametr
- parametry
- część
- Uczestnicy
- udział
- szczególny
- szczególnie
- strony
- strony
- minęło
- Przeszłość
- ścieżka
- Wzór
- wzory
- pokój
- Ludzie
- doskonale
- wykonać
- wykonywane
- może
- uporczywość
- osoba
- Osobistości
- perspektywa
- Piotr
- PETERSBURG
- faza
- zjawisko
- filozofia
- ZDJĘCIA
- fizyczny
- Fizyka
- zbierając
- obraz
- Zdjęcia
- kawałek
- sztuk
- Pierre
- Filar
- Miejsce
- Miejsca
- samolot
- Planety
- planowany
- Rośliny
- plato
- Analiza danych Platona
- PlatoDane
- Grać
- grał
- gracze
- gra
- działka
- wtyczka
- kieszenie
- Poezja
- punkt
- zwrotnica
- polityka
- biedny
- muzyka pop
- Popularny
- stwarzane
- position
- możliwy
- możliwie
- postdocs
- plakat
- potencjał
- funt
- power
- mocny
- praktycznie
- precyzyjnie
- Detaliczność
- przewidzieć
- przygotowany
- obecność
- teraźniejszość
- prestiżowy
- bardzo
- poprzednio
- Cena
- premia
- prymitywny
- zasada
- nagroda
- Problem
- problemy
- procedura
- kontynuować
- wygląda tak
- obrobiony
- produkować
- Wytworzony
- Profesor
- głęboki
- Program
- Programista
- Programowanie
- Programy
- Postęp
- postępuje
- projekt
- projektowanie
- obiecujący
- dowód
- dowody
- niska zabudowa
- własność
- Perspektywa
- Udowodnij
- okazały
- że
- udowodnienie
- dzielność
- psychologiczny
- publiczny
- Publikacja
- publikować
- opublikowany
- kontynuować
- ściganie
- Naciskać
- popychany
- położyć
- Putting
- kwadratowy
- Magazyn ilościowy
- Kwant
- poszukiwanie
- pytanie
- pytania
- Szybki
- szybko
- spokojnie
- całkiem
- zacytować
- przypadkowy
- szybko
- RZADKO SPOTYKANY
- raczej
- dosięgnąć
- osiągnięcie
- Czytaj
- czytelnicy
- łatwo
- real
- Rzeczywistość
- realizowany
- zrealizowanie
- naprawdę
- królestwo
- powód
- Odebrane
- niedawny
- niedawno
- uznane
- Recover
- Rekrutacja
- odnosi
- odzwierciedlenie
- uchodźca
- uchodźców
- Uważać
- region
- regiony
- regularnie
- Odrzucony..
- związane z
- polegać
- opierając się
- pozostawać
- pozostał
- pozostały
- szczątki
- Renesans
- odnowiony
- naprawa
- powtórzony
- otrzymuje
- reprezentować
- reprezentowane
- reprezentuje
- Republika
- reputacja
- wywołań
- wymagać
- wymagany
- wymaganie
- Badania naukowe
- Badacze
- odpowiedź
- obowiązki
- odpowiedzialny
- REST
- dalsze
- Efekt
- powrót
- powraca
- Ujawnił
- recenzowanie
- Rewolucja
- Nagradzać
- Bogaty
- zagadka
- prawo
- rygorystyczny
- Rosnąć
- ryzykowny
- ROBERT
- Rola
- Pokój
- Pokoje
- korzeń
- RZĄD
- Zasada
- reguły
- run
- Rosyjski
- s
- Powiedział
- wzgląd
- taki sam
- zobaczył
- powiedzieć
- Skala
- waga
- Szkoła
- sci-fi
- nauka
- NAUKI
- naukowy
- Ekran
- Ekrany
- SEA
- Szukaj
- druga
- drugi największy
- skryty
- tajniki
- Sekcja
- widzieć
- widzenie
- wydać się
- wydawało się
- pozornie
- wydaje
- widziany
- widzi
- Segmenty
- seminarium
- senior
- rozsądek
- wysłany
- oddzielny
- Sekwencja
- Serie
- służy
- usługa
- służąc
- zestaw
- Zestawy
- ustawienie
- kilka
- ciężki
- płytki
- Shape
- kształty
- Share
- shared
- pościel
- Wkrótce
- powinien
- pokazać
- pokazał
- pokazane
- bok
- Zabytki
- znaczący
- znaki
- Srebro
- podobny
- podobieństwa
- Podobnie
- Prosty
- po prostu
- jednocześnie
- ponieważ
- pojedynczy
- Siedzący
- szósty
- Rozmiar
- umiejętność
- spać
- mały
- mniejszy
- płynnie
- Migawka
- So
- dotychczas
- Obserwuj Nas
- Tworzenie
- zestalać
- rozwiązanie
- Rozwiązania
- ROZWIĄZANIA
- Rozwiązywanie
- kilka
- Ktoś
- coś
- czasami
- syn
- Wkrótce
- wyrafinowany
- poszukiwany
- Źródła
- radziecki
- Typ przestrzeni
- obowiązuje
- mówić
- Mówi
- specjalny
- specyficzny
- określony
- wydać
- Spędzanie
- spędził
- duch
- dzielić
- Sponsorzy
- Spot
- plamy
- rozpiętość
- Kwadratowa
- kwadraty
- st
- Petersburg
- stabilny
- standardy
- stojaki
- Gwiazda
- początek
- rozpoczęty
- Startowy
- Stan
- Zestawienie sprzedaży
- oświadczenia
- Zjednoczone
- sterować
- Ewolucja krok po kroku
- Cel
- Nadal
- STONE
- stał
- Stop
- zatrzymany
- Historia
- proste
- bezpośredni
- strumień
- ulice
- Wzmacniać
- wzmocniony
- rozbiórki
- silniejszy
- Struktura
- Struktury
- student
- Studenci
- Studiował
- badania naukowe
- Badanie
- Studiowanie
- potykając
- styl
- przedmiot
- Zatwierdź
- składane
- znaczny
- taki
- cierpienie
- Niedz
- Zachód słońca
- Wspaniały
- dostawca
- Wspierający
- Powierzchnia
- niespodzianka
- Badanie
- podejrzany
- Huśtawka
- symbol
- system
- systemy
- Brać
- Zadania
- biorąc
- Mówić
- Rozmowy
- kuszące
- nauczony
- nauczyciel
- Nauczanie
- zespół
- Techniczny
- technika
- Techniki
- techniczny
- Technologies
- Technologia
- nastolatek
- teleskop
- powiedzieć
- mówi
- tymczasowy
- Napięcia
- REGULAMIN
- teren
- Testy
- XNUMX
- niż
- wdzięczny
- że
- Połączenia
- Strefa
- Trwałość
- Zachód
- świat
- ich
- Im
- sami
- następnie
- teoria
- Tam.
- w związku z tym
- Te
- praca
- one
- rzecz
- rzeczy
- Myśleć
- myśliciele
- Myślący
- Myśli
- Trzeci
- to
- w tym roku
- tych
- chociaż?
- myśl
- tysiąc
- trzy
- Przez
- poprzez
- czas
- czasochłonne
- czasy
- Tipping
- Punkt zwrotny
- wskazówki
- do
- już dziś
- dzisiaj
- razem
- powiedział
- jutro
- także
- wziął
- narzędzia
- Top
- aktualny
- Toronto
- Kwota produktów:
- Całość
- Kontakt
- dotykając
- w kierunku
- śledzić
- tradycyjny
- Pociąg
- przekształcony
- przejścia
- tłumaczyć
- uwięziony
- poligon
- leczyć
- leczony
- ogromnie
- próba
- wypróbowany
- kłopot
- prawdziwy
- naprawdę
- Prawda
- próbować
- stara
- burzliwie
- SKRĘCAĆ
- Obrócony
- Obrócenie
- Dwa razy
- drugiej
- rodzaj
- typy
- zazwyczaj
- Ukraina
- ostateczny
- niezdolny
- odkryć
- dla
- pod 30
- zrozumieć
- zrozumiały
- zrozumienie
- zrozumiany
- Nieoczekiwany
- rozkładanie
- Ujednolicony
- unia
- wyjątkowy
- Zjednoczony
- United States
- Wszechświat
- Uniwersytety
- uniwersytet
- University of California
- University of Michigan
- Rozpakowanie
- nieobliczalny
- aż do
- niezwykły
- Aktualizacja
- na
- na górę
- us
- posługiwać się
- używany
- za pomocą
- zazwyczaj
- Uzbekistan
- Dolina
- doliny
- wartość
- Wartości
- punkt obserwacyjny
- różnorodny
- skraj
- wersja
- Przeciw
- początku.
- Wideo
- Zobacz i wysłuchaj
- oglądany "
- wiza
- widoczny
- wizja
- wizjoner
- Odwiedzić
- odwiedził
- wizualny
- Tom
- kłęby
- Czekanie
- czeka
- Budzić
- Obudzić się
- spacer
- chodzący
- Ściana
- chcieć
- poszukiwany
- brakujący
- wojna
- ciepły
- była
- Waszyngton
- Uzdatnianie wody
- Droga..
- sposoby
- we
- webp
- mile widziana
- powitanie
- DOBRZE
- poszedł
- były
- Zachód
- Western
- Co
- jeśli chodzi o komunikację i motywację
- ilekroć
- czy
- który
- Podczas
- KIM
- cały
- kogo
- którego
- dlaczego
- żona
- Dziki
- będzie
- wygrać
- wiatr
- okna
- zwycięski
- w
- w ciągu
- bez
- Wygrał
- Las
- słowo
- Praca
- pracował
- pracownik
- pracujący
- działa
- warsztat
- warsztaty
- świat
- świat
- by
- napisać
- pisarz
- pisanie
- napisany
- Źle
- napisał
- rok
- lat
- jeszcze
- york
- ty
- młody
- Mniejszy
- Najmłodszy
- Twój
- zefirnet
- zero
- zoom
- powiększanie
- Zurych