Квантовая теория поля открывает математическую головоломку

В прошлом месяце Карен Фогтманн и Майкл Боринский опубликовал доказательство что в до сих пор недоступном математическом мире, называемом пространством модулей графов, существует множество математических структур, которые Фогтманн и его соавтор впервые описал в середине 1980.

«Это очень сложная проблема. Удивительно, что они смогли это сделать», — сказал Дэн Маргалит, математик из Технологического института Джорджии.

Фогтманн и Борински начали с вопросов, которые Фогтманн, математик из Уорикского университета, задавала себе на протяжении десятилетий. Затем пара переосмыслила проблему на языке физики, используя методы квантовой теории поля, чтобы прийти к своему результату.

Доказательство показывает, что в пространстве модулей существуют определенные структуры, но явно не раскрывает, что это за структуры. Таким образом, их новый результат больше похож на металлоискатель, чем на камеру — он предупреждает их о том, что скрывается что-то интересное, даже если они не могут полностью это описать.

Вы можете думать о пространствах модулей графов как о математических фигурах с дополнительным украшением. Если вы встанете в любую точку фигуры, вы увидите парящий над вами график — набор точек или вершин, соединенных ребрами. В разных точках пространства модулей графы изменяются, их ребра сжимаются или растут, а иногда и вовсе исчезают. Из-за этих особенностей Боринский, физик-математик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе, описывает пространства модулей как «большое море графов».

«Ранг» графа — это количество циклов, которые он имеет; для каждого ранга графов существует пространство модулей. Размер этого пространства быстро растет — если зафиксировать длины ребер графа, то получится три графа ранга 2, 15 ранга 3, 111 ранга 4 и 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX ранга XNUMX. В пространстве модулей эти длины могут варьироваться, что еще больше усложняет задачу.

Форма пространства модулей для графов данного ранга определяется отношениями между графами. Когда вы ходите по пространству, близлежащие графики должны быть похожими и должны плавно переходить один в другой. Но эти отношения сложны, оставляя пространство модулей с математически тревожными особенностями, такими как области, где три стены пространства модулей проходят друг через друга.

Математики могут изучать структуру пространства или формы, используя объекты, называемые классами когомологий, которые могут помочь понять, как устроено пространство. Например, рассмотрим одну из любимых фигур математиков — пончик. На пончике классы когомологий — это просто петли.

На поверхности пончика можно нарисовать несколько разных петель: петля 1 окружает центральное отверстие пончика; петли 2 нити через отверстие; третья «тривиальная» петля находится сбоку от бублика.

Однако не все классы когомологий одинаковы. Петля, расположенная снаружи бублика, как и третья петля, всегда может скользить или сжиматься, чтобы не пересекаться с другой петлей. Это делает его «тривиальным» классом когомологий.

А вот петли 1 и 2 гораздо больше говорят о структуре бублика — они существуют только благодаря дырке. Чтобы математически различить разницу, можно использовать пересечения, объяснил Маргалит. Петли 1 и 2 могут скользить по поверхности бублика, но если вы не заставите их полностью оторваться от поверхности, они всегда будут пересекаться друг с другом. Поскольку у этих двух петель есть партнеры, которых они не могут не пересекать, они являются «нетривиальными» когомологическими классами.

В отличие от бублика, математики не могут найти классы когомологий в пространствах модулей графов, просто нарисовав картинку. По словам Натали Валь, математика из Копенгагенского университета, при таком огромном количестве графов с пространствами модулей трудно разобраться. «Очень быстро, компьютер больше не может помочь», — сказала она. В самом деле, только один нечетномерный класс нетривиальных когомологий был явно вычисленный (в 11 измерениях), а также несколько четных.

Фогтманн и Боринский доказали, что существует огромное количество классов когомологий, лежащих в пространстве модулей графов заданного ранга, даже если мы не можем их найти. «Мы знаем, что их много, и мы знаем одного», — сказал Уол, назвав положение дел «смехотворным».

Вместо того, чтобы работать непосредственно с классами когомологий, Боринский и Фогтманн изучили число, называемое эйлеровой характеристикой. Это число обеспечивает тип измерения пространства модулей. Вы можете изменить пространство модулей определенным образом, не изменяя его эйлеровой характеристики, что сделает эйлерову характеристику более доступной, чем сами классы когомологий. Что и сделали Боринский и Фогтманн. Вместо того, чтобы работать непосредственно с пространством модулей графов, они изучали «корешок» — по сути, скелет всего пространства. Спайн имеет ту же эйлерову характеристику, что и само пространство модулей, и с ним легче работать. Вычисление эйлеровой характеристики на позвоночнике сводилось к подсчету большого набора пар графов.

Идея Боринского заключалась в том, чтобы использовать методы подсчета диаграмм Фейнмана, которые представляют собой графики, отображающие способы взаимодействия квантовых частиц. Когда физики хотят рассчитать, скажем, вероятность того, что при столкновении электрона и позитрона возникнет два фотона, им нужно сумма по всем возможным взаимодействиям которые приводят к такому результату. Это означает усреднение по многим диаграммам Фейнмана, мотивируя умные стратегии подсчета.

«Я понял, что можно сформулировать такого рода проблему как своего рода игрушечную вселенную квантовой теории поля», — объяснил Боринский.

Боринский представил графики как представляющие физические системы в простой версии Вселенной, в которой, помимо других предположений, существует только один тип частиц. Структура квантовой теории поля нуждалась в некоторой корректировке, чтобы Боринский и Фогтманн получили правильный подсчет. Например, в квантовой теории поля два графика, являющиеся зеркальным отражением друг друга, неразличимы, сказал Боринский. Формулы для сложения диаграмм Фейнмана включают факторы, гарантирующие, что эти графики не переоценены. Но когда дело доходит до расчета характеристики Эйлера, эти графики считаются разными. «Мы должны сыграть в небольшую игру с симметриями графов, — сказал Боринский.

С некоторой помощью программирования от физика Хос Вермасерен, Боринский и Фогтман наконец преодолели эту трудность. В своей январской статье они доказали, что эйлерова характеристика пространства модулей графов ранга n становится резко отрицательным, поскольку n становится больше. Это означает, что в каждом пространстве модулей нужно открыть очень много нетривиальных классов когомологий.

Хотя статья Боринского и Фогтманна не содержит дальнейших намеков на эти классы когомологий, это обнадеживающий результат для исследователей, которые стремятся их найти, и, возможно, добавляет азарта охоте. Сказал Маргалит о классах когомологий: «Те, что мы знаем, — просто драгоценные камни. И каждый раз, когда мы находим его, это такая красивая вещь».