Elliptiska kurvor ger sina hemligheter i ett nytt nummersystem | Quanta Magazine

Många komplicerade framsteg inom forskningsmatematiken sporras av en önskan att förstå några av de enklaste frågorna om siffror. Hur är primtal fördelade i heltal? Finns det perfekta kuber (som 8 = 2³ eller 27 = 3³) som kan skrivas som summan av två andra kuber? Mer generellt kanske matematiker vill lösa en ekvation. Men det är ofta omöjligt att göra det genom att mixtra med själva ekvationen. Istället hittar matematiker sätt att koppla lösningarna till vilt abstrakta strukturer vars komplexitet kodar för deras hemligheter.

Under de senaste decennierna har en av de mest spännande forskningslinjerna inom matematik följt denna form. Det har inneburit att förstå förhållandet mellan vissa typer av polynomekvationer som kallas elliptiska kurvor och mer esoteriska objekt som kallas modulära former, som fick framträdande plats i matematiken 1994 när Andrew Wiles använde dem för att bevisa Fermats sista sats, bland de mest berömda resultaten av 20-talet. matematik.

Den senaste januari, Ana Caraiani från Imperial College London och University of Bonn och James Newton vid University of Oxford öppnade en ny forskning inom detta område när de bevisade att ett förhållande som Wiles hade etablerat mellan elliptiska kurvor och modulära former gäller även för vissa matematiska objekt som kallas imaginära kvadratiska fält.

Wiles bevisade att vissa typer av elliptiska kurvor är modulära - vilket betyder att det finns en speciell modulär form som motsvarar varje kurva - när de två variablerna och två koefficienter som är involverade i att definiera kurvan alla är rationella tal, värden som kan skrivas som bråk. Efter hans arbete, strävade matematiker efter att etablera modularitet i en bredare mängd olika sammanhang. År 2001 visade fyra matematiker att alla elliptiska kurvor är modulära över de rationella talen (medan Wiles endast hade bevisat detta för vissa kurvor). Under 2013 har tre matematiker bl.a Samir Siksek från University of Warwick visade att elliptiska kurvor också är modulära över riktiga kvadratiska fält  (vilket betyder att variablerna och koefficienterna är hämtade från ett talsystem som kallas ett reellt kvadratiskt fält).

När framstegen ökade förblev ett särskilt mål utom räckhåll: att bevisa att elliptiska kurvor är modulära över imaginära kvadratiska fält.

Kvadratiska fält är en matematisk språngbräda mellan de rationella talen och de reella talen, som inkluderar alla möjliga decimaltal, även de med oändliga mönster till höger om decimalkomma som aldrig upprepas. (Detta inkluderar alla irrationella tal, som $latex sqrt{2}$ eller $latex pi $.)

Kvadratiska fält väljer något heltal – säg 5 – och inkluderar alla tal i formen $latex a + bsqrt{5}$ där a och b är båda rationella tal. Om heltalet i fråga är positivt, är det resulterande kvadratiska fältet en delmängd av de reella talen, så det är känt som ett reellt kvadratiskt fält.

Hur är det med elliptiska kurvor som definieras över imaginära kvadratiska fält - de som bildas genom att ta kvadratroten ur ett negativt tal?

Det är problemet som Caraiani och Newton tacklade.

För hundratals år sedan definierade matematiker kvadratroten av negativa tal på ett enkelt sätt: De gav ett namn, i, till kvadratroten av −1. Då är kvadratroten av alla andra negativa tal bara i gånger kvadratroten av motsvarande positiva tal. Så $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Imaginära tal spelar en avgörande roll i matematik eftersom de för många problem är lättare att arbeta med än reella tal.

Men att bevisa att elliptiska kurvor är modulära över imaginära kvadratiska fält har länge varit utom räckhåll, eftersom teknikerna för att bevisa modularitet över riktiga kvadratiska fält inte fungerar.

Caraiani och Newton uppnådde modularitet - för alla elliptiska kurvor över ungefär hälften av alla imaginära kvadratiska fält - genom att ta reda på hur man anpassar en process för att bevisa modularitet som pionjärer av Wiles och andra till elliptiska kurvor över imaginära kvadratiska fält.

"Det var där Caraianis och Newtons vackra arbete kom in. De förbättrade Wiles andra steg," sa Chandrashekhar Khare vid University of California, Los Angeles.

Arbetet är en teknisk bedrift i sig, och det öppnar dörren till att göra framsteg i några av de viktigaste frågorna i matematik i den imaginära miljön.

Matchmaker, Matchmaker

Matematiker har brytt sig om lösningarna på polynomekvationer - kombinationer av variabler upphöjda till konstanta potenser - sedan åtminstone de gamla grekerna. Ekvationerna finns i oändliga varianter, uppnådda genom att justera mängden variabler, dessa variablers koefficienter och potenserna de höjs till. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ är bara ett exempel.

Elliptiska kurvor är polynomekvationer som har den optimala hårdhetsnivån för matematisk undersökning. Det finns en städad (och undervisas brett) formel för att hitta lösningar till kvadratiska polynom i en variabel, där den högsta potensen är 2, men det finns ingen sådan formel för lösningar till polynom där den högsta potensen är 5 eller högre. Att lägga till fler variabler gör också saker och ting mer komplicerade. Men elliptiska kurvor, som har två variabler och vars högsta styrka är 3, som $latex (y^2=x^3+1)$, är tillräckligt utmanande för att inspirera uppfinningar, utan att vara så svåra att de känns hopplösa.

En av de grundläggande frågorna om en elliptisk kurva är om det finns ändligt eller oändligt många rationella par som löser det. Vissa elliptiska kurvor har ändligt många rationella lösningar, andra har oändligt många och vissa har inga alls.

"De har den här typen av roligt mellanbeteende," sa Caraiani.

Om du får en slumpmässig elliptisk kurva är det inte direkt uppenbart vilken kategori den faller under. Men det är möjligt att avkoda det genom att para ihop det med ett matchande objekt som kallas en modulär form, vars egenskaper avslöjar svaret.

Catch Me a Modular Form

Modulära former är funktioner som studeras i analys, en avancerad form av kalkyl. Dom är mycket symmetrisk och kan ofta översättas - flyttas till vänster eller höger - utan att förlora sitt utseende. På så sätt har de gemensamma egenskaper med andra mycket symmetriska funktioner, som sinusfunktionen, även om de är mindre enkla att skriva ner eller visualisera.

Varje modulform kommer med koefficienter. Du kan skriva ner dem och skapa en serie siffror. Dessa siffror har mycket fina egenskaper, och verkar långt ifrån slumpmässiga. De mystifierade matematiker med början i början av 20-talet, när det matematiska geniet Srinivasan Ramanujan började uppfatta att mönstren i koefficienterna för en modulär form förklaras av det faktum att varje modulär form är fäst vid en andra sorts objekt som kallas en Galois-representation . Senare arbete bekräftade länken.

Elliptiska kurvor har också Galois-representationer, och efter Ramanujans arbete verkade det möjligt att Galois-representationer kunde interpoleras mellan elliptiska kurvor och modulära former: Börja med en, identifiera dess Galois-representation, hitta den andra.

"Du tänker typ: elliptiska kurvor, objekt från geometri, har Galois-representationer och modulära former har Galois-representationer - finns det en matchning?" sa Siksek.

I slutet av 1950-talet föreslog Yutaka Taniyama och Goro Shimura att det finns en perfekt 1-till-1-matchning mellan vissa modulära former och elliptiska kurvor. Nästa decennium byggde Robert Langlands på denna idé i konstruktionen av hans expansiva Langlands-program, som har blivit ett av de mest långtgående och följdriktiga forskningsprogrammen inom matematik.

Om 1-till-1-överensstämmelsen är sann, skulle det ge matematiker en kraftfull uppsättning verktyg för att förstå lösningarna på elliptiska kurvor. Till exempel finns det ett slags numeriskt värde förknippat med varje modulär form. Ett av matematikens viktigaste öppna problem (bevisa att det kommer med en miljonpris) — Birch och Swinnerton-Dyer-förmodan — föreslår att om det värdet är noll, så har den elliptiska kurvan som är associerad med den modulära formen oändligt många rationella lösningar, och om den inte är noll har den elliptiska kurvan ändligt många rationella lösningar.

Men innan något sådant kan hanteras måste matematiker veta att korrespondensen håller: Ge mig en elliptisk kurva, så kan jag ge dig dess matchande modulära form. Att bevisa detta är vad många matematiker, från Wiles till Caraiani och Newton, har gjort under de senaste decennierna.

Titta igenom din bok

Före Wiles arbete hade matematiker lyckats bevisa en riktning av korrespondensen: I vissa fall kunde de börja med en modulär form och hitta dess matchande elliptiska kurva. Men att gå åt andra hållet - vilket är vad matematiker menar när de talar om att elliptiska kurvor är modulära - var svårare, och Wiles var den första att uppnå det.

"Tidigare visste människor hur man går från en modulär form till en elliptisk kurva under vissa omständigheter, men denna bakåtriktning från elliptisk till modulär var den som Wiles motiverade," sa Khare.

Wiles bevisade modularitet för vissa typer av elliptiska kurvor med koefficienter som är rationella tal. Det i sig var tillräckligt för att bevisa Fermats sista sats i form av en motsägelse. (Wiles bevisade att om Fermats sista teorem var falsk, skulle det antyda förekomsten av en elliptisk kurva som tidigare arbete hade fastställt inte kan existera. Därför måste Fermats sista teorem vara sann.)

När matematiker utökade Wiles arbete med elliptiska kurvor, följde de samma metod som han hade använt för att bevisa sitt ursprungliga resultat.

Efter framgångarna med att generalisera resultatet till rationella tal och reella kvadratiska fält, var den uppenbara nästa förlängningen till imaginära kvadratiska fält.

"Det finns bara två saker som kan hända: Fältet är antingen verkligt eller imaginärt," sa Caraiani. "Det verkliga fallet var redan förstått, så det är naturligt att gå till det imaginära fallet."

Imaginära kvadratiska fält har samma grundläggande aritmetiska egenskaper som de rationella och de reella talen, men Wiles metod kunde inte transplanteras dit tillnärmelsevis lika lätt. Det finns många anledningar till varför, men i synnerhet, modulära former över imaginära kvadratiska fält är mycket mindre symmetriska än de är över rationalerna och över verkliga kvadratiska fält. Denna relativa brist på symmetri gör det svårare att definiera deras Galois-representationer, som är nyckeln till att etablera en matchning med en elliptisk kurva.

I åratal efter Wiles' Fermat-bevis, "var fallet med imaginära kvadratiska fält fortfarande bortom vad som var möjligt," sa Khare. Men under det senaste decenniet beredde en rad framsteg vägen för Caraiani och Newtons arbete.

Bring Me a Ring (eller Better Yet, a Field)

Det första steget i Wiles metod var att etablera en ungefärlig matchning mellan elliptiska kurvor och modulära former. De två är sammankopplade via Galois-representationer som är kodade i en serie nummer som har sitt ursprung unikt på båda sidor av parningen.

I slutändan vill du visa att siffrorna som definierar Galois-representationerna matchar exakt, men i det här första steget räcker det för att visa att de skiljer sig med någon konsekvent felmarginal. Du kan till exempel bevisa att en serie med tal stämmer överens om du kan addera eller subtrahera multiplar av 3 för att komma från varje nummer till dess motsvarande tal. I detta ljus matchar (4, 7, 2) med (1, 4, 5) eller med (7, 10, 8), men inte med (2, 8, 3). Man kan också säga att de matchar om de skiljer sig åt med multiplar av 5, 11 eller något primtal (av tekniska men viktiga skäl måste felmarginalen alltid vara primtal). A 2019 papper by Patrick Allen, Khare och Jack Thorn gav den här typen av grepp om problemet.

"De bevisade satser som ger dig någonstans att börja," sa Newton.

Ungefär samtidigt som 2019 års uppsats pågick, arbetade en grupp på 10 matematiker för att göra ytterligare steg i Wiles metodarbete för imaginära kvadratiska fält. Samarbetet startade under en vecka som tillbringades på Institute for Advanced Study och inkluderade Allen och Thorne – medförfattare till 2019 års uppsats – samt Caraiani och Newton.

Gruppens första mål var att fastställa att Galois-representationerna som kommer från modulära former har en viss typ av intern konsistens. Denna egenskap – som är en förutsättning för att matcha dem med Galois-representationerna som kommer från elliptiska kurvor – kallas lokal-global kompatibilitet.

Samarbetet på 10 personer lyckades göra detta i vissa speciella fall, men inte de flesta. När samarbetet avslutades bestämde sig Caraiani och Newton för att fortsätta arbeta tillsammans för att se om de kunde göra mer.

"Vi var i London samtidigt och vi njöt av att prata med varandra om saker som dök upp på det där tio författares projektet," sa Caraiani. "Vi visste vad som var knäpppunkterna, vad som var hindren för att gå vidare."

Natt efter natt i mörkret 

Kort efter att de började arbeta på egen hand, landade Caraiani och Newton på en strategi för att gå längre än det arbete de hade påbörjat med den större gruppen. Det verkade inte uppenbart fel, men de hade heller ingen aning om det verkligen skulle fungera.

"Vi började med den här optimistiska idén att saker och ting skulle ordna sig, att vi kunde bevisa något lite starkare än detta 10-författare, och så småningom gjorde vi det," sa Newton.

Caraiani och Newton arbetade på den här idén i två år, och i slutet av 2021 hade deras optimism lönat sig: de hade förbättrat det lokal-globala kompatibilitetsresultatet som gjorts av teamet med tio författare. De beskriver hur i ett långt tekniskt avsnitt som omfattar den första hälften av deras slutuppsats, som är mer än 10 sidor långt.

"Vi visste att när vi hade den här tekniska biten på plats, skulle modularitet vara i spel," sa Caraiani.

Det första steget i Wiles metod var att etablera ett slags ungefärlig modularitet. Det andra steget var det lokal-globala kompatibilitetsresultatet. Det tredje steget var att ta sin kunskap om att åtminstone ett litet antal kurvor är modulära och utnyttja det för att bevisa att många kurvor är modulära. Detta drag var möjligt på grund av vad som kallas en modularitetslyftsats.

"Det låter dig sprida modularitet runt," sa Newton. "Om du känner till modulariteten hos något, låter detta lyft av saker dig rädda modulariteten hos många andra saker. Du sprider den här modularitetsegenskapen på något bra sätt."

En makalös match

Genom att tillämpa lyftsatsen kunde Caraiani och Newton bevisa modulariteten hos oändligt många elliptiska kurvor, men det fanns fortfarande några hörnfall som de inte kunde få. Dessa var en handfull familjer av elliptiska kurvor med unika egenskaper som gjorde dem otillgängliga för lyftsatsen.

Men eftersom det var så få av dem kunde Caraiani och Newton attackera dem för hand - beräkna deras Galois-representationer en efter en för att försöka etablera en match.

"Där hade vi kul med att beräkna massor av punkter på vissa kurvor," sa Caraiani.

Insatsen var framgångsrik, upp till en punkt. Caraiani och Newton lyckades till slut bevisa att alla elliptiska kurvor är modulära över ungefär hälften av de imaginära kvadratiska fälten, inklusive de fält som bildas genom att kombinera de rationella talen med kvadratroten av −1, −2, −3 eller −5. För andra imaginära kvadratiska fält kunde de bevisa modularitet för många, men inte alla, elliptiska kurvor. (Modulariteten hos hålloutsen förblir en öppen fråga.)

Deras resultat ger en grund för att undersöka några av samma grundläggande frågor om elliptiska kurvor över imaginära kvadratiska fält som matematiker driver över rationalerna och realerna. Detta inkluderar den imaginära versionen av Fermats sista teorem - även om ytterligare grundarbete måste läggas innan det är tillgängligt - och den imaginära versionen av Birch och Swinnerton-Dyer-förmodan.

Men om matematiker gör framsteg på någon av ställena, kommer Caraiani inte att vara en del av det - åtminstone inte för nu. Efter år av arbete med modulariteten hos elliptiska kurvor är hon redo att prova något annat.

"Om jag får ett resultat i en riktning, gillar jag inte alltid att bara fortsätta arbeta i den riktningen," sa hon. "Så nu har jag bytt mina intressen till något med lite mer geometrisk smak."

Rättelse: Juli 6, 2023
Denna artikel sa ursprungligen att det inte finns någon generell formel för lösningarna av en polynomekvation vars högsta exponent är 4 eller högre. Rätt nummer är 5. Artikeln har rättats.